Giáo trình Đại số tuyến tính - Chương 3: Không gian Vecrtor

Chương 3. Không gian véctơ §1. KHÁI NIỆM KHÔNG GIAN VÉCTƠ 1.1. Định nghĩa. Một tập V ≠ được gọi là không gian véctơ (không gian tuyến tính) trên (hay không gian véctơ) nếu:
Có 2 phép toán: • Phép cộng 2 véctơ: • Phép nhân 1 số với véctơ ( phép nhân vô hướng): ∅ _ℝℝ V V V (PhÐp céng khÐp kÝn) (x, y) x y × → +֏ V V (PhÐp nh©n v« h−íng khÐp kÝn) ( , x) x × → α α ℝ ֏
Hai phÐp to¸n trªn tháa m·n 8 tiªn ®Ò sau: x, y, z V; ,∀ ∈ ∀α β ∈ ℝ ( ) + + = + + + = + θ ∈ θ + = θ ∀ ∈ ∃ − ∈ + − = θ − 1) Céng kÕt hîp: (x y) z x (y z ) 2) Céng giao ho¸n: x y y x 3) Tån t¹i phÇn tö V sao cho: x x. PhÇn tö ®−îc gäi lµ phÇn tö trung hßa. 4) Víi x V , x V sao cho: x ( x ) . PhÇn tö x ®−îc gäi lµ α + = α + α α + β = α + β αβ = α β = phÇn tö ®èi cña x. 5) (x y) x y 6) ( )x x x 7) ( )x ( x ) 8) T iªn ®Ò Unita: 1 .x x Mỗi phÇn tö cña V ®ưîc gäi lµ mét vÐct¬. Mỗi phÇn tö trong ®ưîc gäi lµ v« hưíng. ℝ VD1. { }n 1 2 n i 1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n TËp gåm tÊt c¶ c¸c bé n sè thùc: (x ,x ,...,x ) x ;i 1,n lµ kh«ng gian vÐct¬ trªn víi PhÐp céng 2 vÐct¬ : x y (x y ,x y ,...,x y ) víi x (x ,x ,...,x ); y (y ,y ,...,y ) PhÐp nh©n v« h−ín = ∈ = + = + + + = = ℝ ℝ ℝ i i 1 2 n 1 2 n g: x ( x , x ,..., x ) (0,0,...,0); x ( x , x ,..., x ) α = α α α ⇒θ= − = − − − VD2. Ký hiÖu: R2 lµ tËp hîp tÊt c¶ c¸c vÐct¬ tù do trong mÆt ph¼ng víi phÐp céng vÐct¬ vµ phÐp nh©n 1 sè thùc víi vÐct¬ ®ưîc ®Þnh nghÜa như ë phæ th«ng. Khi ®ã R2 lµ kh«ng gian vÐct¬ trªn ℝ 0; vÐct¬ ®èi cña x lµ x⇒ θ= −    Tư¬ng tù: R3 lµ tÊt c¶ c¸c vÐct¬ tù do trong kh«ng gian víi phÐp céng vµ nh©n v« hưíng như trªn còng lµ kh«ng gian vÐct¬ trªn ℝ VD3. Ký hiÖu: Pn[x] lµ tËp tÊt c¶ c¸c ®a thøc víi hÖ sè thùc cã bËc kh«ng qu¸ n (n ), tøc: víi phÐp céng 2 ®a thøc vµ phÐp nh©n 1 sè víi ®a thøc th«ng thưêng. Khi ®ã Pn[x] lµ kh«ng gian vÐct¬ trªn VD4. Ký hiÖu: lµ tËp tÊt c¶ c¸c ma trËn cì m×n trªn víi phÐp to¸n céng 2 ma trËn vµ nh©n 1 sè víi ma trËn. Khi ®ã lµ kh«ng gian vÐct¬ trªn ∗∈ℕ [ ] { }2 nn o 1 2 n iP x a a x a x ... a x a ; i 0, n= + + + + ∈ =ℝ ℝ 2 n 2 n o 1 2 n 0 0 .x 0 .x ... 0 .x p (x ) a a x a x ... a x ⇒ θ = + + + + − = − − − − − ( )m nM × ℝ ℝ ( )m nM × ℝ ℝ 1.2. Các tính chất. Định lý. Trong không gian véctơ V ta có:
Véctơ là duy nhất
Véctơ đối của véctơ là duy nhất
ta có
ta có
ta có
Với ta có Định nghĩa. θ x V∈ x V∀ ∈ 0.x = θ x V∀ ∈ ( )1 .x x− = − k∀ ∈ ℝ k.θ = θ x V , k∈ ∈ ℝ k 0 kx x  = = θ ⇔  = θ ( )x, y V : x y x y∀ ∈ − = + − §2. SỰ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH VÀ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH 2.1. §Þnh nghÜa. Cho kh«ng gian vÐct¬ V vµ hÖ vÐct¬ a1, a2,..., an V ∈ = = λ = λ + λ + + λ ∈ λ λ λ ∈ = ∑ i ℝ n i i 1 1 2 2 n n 1 2 n i 1 i Mét cña hÖ vÐct¬ ®· cho lµ 1 tæng cã d¹ng: x a a a ... a V, tr tæ hîp tuyÕn tÝnh (thtt) biÓu thÞ tuyÕn t ong ®ã: , ,..., Khi ®ã ta nãi x quaÝnh c¸c vÐct¬ a , i 1, n Nh− vËy, vÐct { } θ λ λ λ ∈ θ λ + λ + + λ i ℝ 1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n ¬ lµ thtt cña mäi hÖ vÐct¬. HÖ vÐct¬ a ,a ,..., a ®−îc gäi lµ nÕu tån t¹i c¸c sè , ,..., kh«ng ®ång thêi b»ng 0 sao cho thtt cña hÖ b»ng tøc phô thuéc t a a uyÕn tÝnh (pt ... tt a ) ( ) { } = θ λ + λ + + λ = θ λ = ∀ = i 1 2 n 1 1 2 2 n n i . HÖ vÐct¬ a ,a ,...,a ®−îc gäi lµ nÕu nã kh«ng pttt, tøc lµ tõ a ®éc lËp a ... a suy ra tuyÕn tÝnh 0; i (®ltt) 1, n VD 1. = = =− + = − − − + = = ℝ 31) Trong : x (1,2,3); y (4,5,6) Ta cã: z 2x 3y ( 2, 4, 6) (12,15,18) (10,11,12) Khi ®ã z (10,11,12) lµ thtt cña c¸c vÐct¬ x vµ y = − ∈ℝ3 z (7, 3,0)2) Véctơ có phải là thtt của hệ hai véctơ không ? = = −x (1,1,0); y (1, 1,0) { } ( ) ( ) = − = λ + λ =λ +λ =θ⇔ λ −λ + λ λ = ⇔ −λ + λ = λ =λ = = ≠ − ℝ 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 Trong : x (1, 1); y (2,3). HÖ x,y ®ltt v×: 2 0 XÐt x y , 2 ,3 (0,0) 3 0 Gi¶i hÖ suy ra 0 (hoÆc v× hÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn 1 2 nhÊt cã 5 0 nªn hÖ chØ cã 1 3 nghiÖm tÇm th−êng). VD 2. { } = − = = −λ + λ =λ +λ +λ =θ ∗ ⇔ λ + λ =  λ +λ + λ = − ℝ 3 1 2 1 2 3 1 3 1 2 3 Trong : x ( 1,3,2); y (2,0,1); z (0,6,5). 2 0 HÖ x,y,z pttt v×: XÐt x y z ;( ) 3 6 0 2 5 0 1 2 0 §©y lµ hÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt cã 3 0 6 = λ λ λ ∗ 1 2 3 0 2 1 5 nªn hÖ cã nghiÖm kh«ng tÇm th−êng, tøc tån t¹i c¸c sè , , kh«ng ®ång thêi b»ng 0 ®Ó ( ) ®óng. VËy hÖ pttt. 2.2. §Þnh lý. HÖ vÐct¬ a1, a2,..., an trong kh«ng gian vÐct¬ V lµ pttt khi vµ chØ khi cã mét trong c¸c vÐct¬ cña hÖ lµ thtt cña c¸c vÐct¬ cßn l¹i. VD 3. 2.3. HÖ qu¶.
Mäi hÖ chøa vÐct¬ kh«ng ®Òu pttt
NÕu cã mét hÖ con cña hÖ pttt th× hÖ ®· cho còng pttt Như vËy, nÕu hÖ ®ltt th× mäi hÖ con cña hÖ còng ®ltt VD. XÐt VD.1) ë trªn th× hÖ {x,y,z} pttt v× z = -2x +3y. Nhưng hÖ {x,y} ®ltt v×: ⇒ 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 0 XÐt x y 2 5 0 0 3 6 0  λ + λ =λ +λ =θ⇔ λ + λ = ⇒λ =λ =  λ + λ = §3. CƠ SỞ VÀ SỐ CHIỀU CỦA KHÔNG GIAN VÉCTƠ 3.1. §Þnh nghÜa. Cho kh«ng gian vÐct¬ V. HÖ vÐct¬ E = {e1, e2,...,en} ®ưîc gäi lµ c¬ së cña V nÕu
HÖ E ®ltt.
HÖ E lµ hÖ sinh (hay tËp sinh) của V, tøc víi V th× x lµ thtt cña hÖ E, nghÜa lµ Khi ®ã ta còng nãi E sinh ra V. Bé sè ®ưîc gäi lµ täa ®é cña vÐct¬ x ®èi víi c¬ së E vµ ký hiÖu lµ x∀ ∈ i 1 1 n n tån t¹ i c¸c sè x , i 1, n sao cho x x e ... x e ∈ = = + + ℝ ∈ℝn1 2 n(x,x ,...,x ) E 1 2 nx (x ,x ,...,x ) = Bæ ®Ò. Víi mçi vÐct¬ V th× täa ®é ®èi víi mét c¬ së E lµ duy nhÊt §Þnh lý. x ∈ E 1 n E 1 n E 1 1 n n E 1 n NÕu x (x ,...,x ) vµ y (y ,..., y ) th× (x y) (x y ,...,x y ) ( x) ( x ,..., x ); = = + = + + λ = λ λ λ ∈ i i ℝ VD. ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1) Trong : XÐt e (1,0); e (0,1). HÖ E {e ,e } lµ mét c¬ së cña vµ ®−îc gäi lµ c¬ së chÝnh t¾c cña . ThËt vËy: E ®ltt v×: XÐt e e ,0 0, (0,0) ( , ) 0,0 0. E lµ hÖ sinh = = = λ +λ =θ⇔ λ + λ = ⇔ λ λ = ⇒λ =λ = ℝ ℝ ℝ i i 2 1 2 1 2 1 1 2 2 v×: x ta cã x (x ;x ) x (1,0) x (0,1) x e x e . VËy x lµ mét thtt cña E. ∀ ∈ = = + = + ℝ ( ) ( ) 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2) Trong : XÐt hÖ F {e (1, 1); e (0,1). Ta cã HÖ F ®ltt v×: XÐt e e , 0, (0,0) 0 0. 0 HÖ F lµ hÖ sinh v×: LÊy bÊt kú x (x ;x ) , t×m a, b sao cho x ae b = = − = λ +λ =θ⇔ λ −λ + λ = λ =⇔ ⇒λ =λ = −λ +λ = = ∈ = + ℝ i i ℝ 2 1 2 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 e (x ;x ) a(1, 1) b(0,1) (a,b a) a x a x x x e (x x )e b a x b x x x lµ mét thtt cña F. VËy F lµ mét c¬ së cña . ⇔ = − + = −  = =  ⇔ ⇒ ⇒ = + +   − = = +   ⇒ ℝ n 1 2 3) Hoµn toµn t−¬ng tù, trong : XÐt hÖ vÐct¬ e (1,0,...,0) e (0,1,...,0) = = ℝ n n 1 2 n ....................... e (0,0,...,1) HÖ E {e ,e ,...,e } lµ mét c¬ së cña vµ ®−îc gäi lµ = ⇒ = ℝ n c¬ së chÝnh t¾c cña . ℝ NhËn xÐt. Mét kh«ng gian vÐct¬ cã thÓ cã nhiÒu c¬ së. 3.2. H¹ng cña hÖ vÐct¬ Trong kh«ng gian vÐct¬ V cho hÖ vÐct¬ S = {a1,a2, ... ,am}. Gi¶ sö kh«ng gian vÐct¬ V cã c¬ së E = {e1,e2, ... ,en}. BiÓu diÔn mçi vÐct¬ cña hÖ S theo c¬ së E ta cã 1 11 1 12 2 1n n 2 21 1 22 2 2n n m m1 1 m2 2 mn n a a e a e ... a e a a e a e ... a e ............................................ a a e a e ... a e = + + + = + + + = + + +       =       ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 11 12 1n 21 22 2n m1 m2 mn a a ... a a a ... a Ma trËn A a a ... a ®ưîc gäi lµ ma trËn täa ®é cña hÖ vÐct¬ S ®èi víi c¬ së E §Þnh nghÜa . H¹ng cña hÖ vÐct¬ S (ký hiÖu: r(S)) lµ sè r sao cho:
Cã r vÐct¬ cña S ®ltt.
Mäi vÐct¬ cña hÖ S ®Òu lµ thtt cña r vÐct¬ ®ã. NhËn xÐt.
H¹ng cña hÖ vÐct¬ S lµ sè r khi vµ chØ khi tån t¹i r vÐct¬ cña hÖ S ®ltt vµ mäi hÖ gåm (r + 1) vÐct¬ cña S ®Òu pttt.
H¹ng cña hÖ vÐct¬ S lµ sè tèi ®a c¸c vÐct¬ ®ltt cña hÖ.
Cã thÓ xÐt sù ®ltt hay pttt cña hÖ S gồm m vÐct¬ th«ng qua xÐt h¹ng cña hÖ, nếu r(S) = m th× hÖ S ®ltt, nÕu r(S) < m th× hÖ S pttt §Þnh lý 1. NÕu V lµ kh«ng gian vÐct¬ cã mét c¬ së h÷u h¹n th× h¹ng cña mét hÖ vÐct¬ trong V b»ng h¹ng cña ma trËn täa ®é cña hÖ ®ã ®èi víi mét c¬ së bÊt kú cña V. NhËn xÐt. Xét hệ S có m véctơ. Khi đó: • NÕu r(A) = m th× hÖ S ®ltt. • NÕu r(A) < m th× hÖ S pttt VD. T×m h¹ng cña hÖ vÐct¬ S = {a1, a2, a3, a4} víi a1 = (1,3,0), a2 = (0,2,4), a3 = (1,5,4), a4 = (1,1,-4). §Þnh lý 2. NÕu trong kh«ng gian vÐct¬ V cã mét c¬ së gåm n vÐct¬ th× mäi hÖ gåm (n+1) vÐct¬ trong V ®Òu pttt. HÖ qu¶. NÕu kh«ng gian vÐct¬ V cã mét c¬ së gåm n vÐct¬ th× sè vÐct¬ cña mét c¬ së bÊt kú cña V còng b»ng n. 3⊂ℝ 3.3. §Þnh nghÜa. Mét kh«ng gian vÐct¬ V ®ưîc gäi lµ kh«ng gian vÐct¬ h÷u h¹n chiÒu nÕu tån t¹i mét c¬ së trong V gåm mét sè h÷u h¹n vÐct¬. Sè vÐct¬ trong c¬ së cña V gäi lµ sè chiÒu cña V vµ ký hiÖu lµ: dimV VD. 1) lµ kh«ng gian vÐct¬ h÷u h¹n chiÒu, dim = n 2) Trong Pn[x]: HÖ vÐct¬ {1, x, x 2,..., xn} lµ c¬ së chÝnh t¾c cña Pn[x], do đó Pn[x] là không gian véctơ hữu hạn chiều, dimPn[x] = n + 1. 3) Trong kh«ng gian vÐct¬ : XÐt hÖ vÐct¬ {eij} mµ eij, lµ ma trËn cì m×n mµ phÇn tö ë vÞ trÝ (i,j) bằng 1 vµ c¸c phÇn tö ë vÞ trÝ kh¸c b»ng 0, tøc n ℝ n ℝ m nM ( )× ℝ 1 i m, 1 j n≤ ≤ ≤ ≤                            = = =                              ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 11 12 mn 1 0 ... 0 0 1 ... 0 0 0 ... 0 0 0 ... 0 0 0 ... 0 0 0 ... 0 e ; e ;...; e 0 0 ... 0 0 0 ... 0 0 0 ... 1 HÖ E = {e11, e12,..., emn} lµ c¬ së chÝnh t¾c cña . VËy lµ kh«ng gian vÐct¬ h÷u h¹n chiÒu, dim = m.n m nM ( )× ℝ m nM ( )× ℝ m nM ( )× ℝ §Þnh lý. NÕu V lµ kh«ng gian vÐct¬ n chiÒu th× mäi hÖ gåm n vÐct¬ ®ltt trong V ®Òu lµ c¬ së cña V. VD. Hệ có là cơ sở của không? ( ) ( ) ( ){ }= = = − =1 2 3S a 1,1, 2 , a 1, 1, 0 , a 2 , 0 ,1 ℝ 3 3.4. Không gian véctơ con 3.4.1. §Þnh nghÜa. Cho kh«ng gian vÐct¬ V. TËp con ®ưîc gäi lµ kh«ng gian vÐct¬ con (hay kh«ng gian con) cña V nÕu A còng lµ kh«ng gian vÐct¬ víi hai phÐp to¸n trªn V. 3.4.2. §Þnh lý. (Tiªu chuÈn kh«ng gian con) Cho kh«ng gian vÐct¬ V. TËp con lµ kh«ng gian vÐct¬ con cña V khi vµ chØ khi: A V∅≠ ⊂ A V∅≠ ⊂ a,b A th× a b A , a A th× a A  ∀ ∈ + ∈  ∀α ∈ ∀ ∈ α ∈ i i ℝ VD1. Cho V lµ mét kh«ng gian vÐct¬. Khi ®ã
V lµ kh«ng gian con cña V.
TËp lµ kh«ng gian con cña V. Hai kh«ng gian con vµ V lµ hai kh«ng gian con tÇm thưêng cña V VD2. Cho tËp hîp . Chøng minh r»ng A lµ kh«ng gian vÐct¬ con cña VD3. Chøng minh r»ng tËp hîp lµ kh«ng gian con cña kh«ng gian vÐct¬ { }Vθ { }Vθ { }31 2 3 1 2 3A x (x ,x ,x ) 2x x x 0= = ∈ + + =ℝ 3 ℝ 0 a A a,b b 0      = ∈       ℝ 2M ( )ℝ 3.4.3. Kh«ng gian con sinh bëi hÖ vÐct¬. §Þnh nghÜa 1. Cho kh«ng gian vÐct¬ V vµ S = {a1, a2, ... , an} lµ mét hÖ vÐct¬ cña V. Ta gäi tËp tÊt c¶ c¸c thtt cña hÖ S lµ bao tuyÕn tÝnh cña S, ký hiÖu lµ spanS. Như vËy §Þnh lý 1. SpanS lµ mét kh«ng gian con cña V §Þnh nghÜa 2. SpanS ®ưîc gäi lµ kh«ng gian vÐct¬ con sinh bëi hÖ vÐct¬ S vµ ký hiÖu lµ = = SpanS { }1 1 2 2 n n i iSpanS a a ... a ;a V= λ +λ + +λ λ ∈ ∈ℝ VD1. XÐt A lµ kh«ng gian con cña như trong VD2 trong môc 4.2. Ta cã: Do ®ã: Suy ra A = víi S = {(1,0,-2); (0,1,-1)}. VËy S lµ hÖ sinh cña A. KiÓm tra thÊy S ®ltt. Do ®ã S lµ c¬ së cña A. VËy dimA = 2 §Þnh lý 2. NÕu S lµ kh«ng gian vÐct¬ con cña kh«ng gian vÐct¬ h÷u h¹n chiÒu V th× S lµ kh«ng gian vÐct¬ h÷u h¹n chiÒu vµ dimS ≤ dimV. DÊu “=“ x¶y ra khi vµ chØ khi S = V. MÖnh ®Ò. NÕu {e1, ... , ek} lµ c¬ së cña kh«ng gian vÐct¬ con S cña kh«ng gian vÐct¬ n chiÒu V th× tån t¹i c¸c vÐct¬ ek+1, ... , en thuéc V sao cho {e1, ... , ek, ek+1, ... , en } lµ c¬ së cña V. 3 ℝ ( )1 2 3 1 2 3 3 1 2x x ,x ,x A 2x x x 0 x 2x x∀ = ∈ ⇔ + + = ⇔ =− − ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2x x ,x , 2x x x 1,0, 2 x 0,1, 1= − − = − + − §Þnh lý 3. 1) lµ kh«ng gian con nhá nhÊt chøa S. 2) dim = r(S). NhËn xÐt. NÕu dim = k th× mäi hÖ gåm k vÐct¬ ®ltt cña S ®Òu lµ c¬ së cña VD2. XÐt hÖ vÐct¬ S trong VD môc 3.2. T×m dim vµ mét c¬ së cña 3.5. Kh«ng gian nghiÖm cña hÖ phư¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt XÐt hÖ phư¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt m phư¬ng tr×nh, n Èn: AX = O (1) Ký hiÖu: TËp hîp nghiÖm cña hÖ (1) lµ N §Þnh lý 1. N lµ mét kh«ng gian con cña , nã ®ưîc gäi lµ kh«ng gian nghiÖm cña hÖ phư¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt (1) vµ dimN = n – r; víi r = r(A) §Þnh nghÜa. Mçi c¬ së cña kh«ng gian nghiÖm cña hÖ phư¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt (1) ®ưîc gäi lµ mét hÖ nghiÖm c¬ b¶n cña hÖ phư¬ng tr×nh ®ã. n ℝ NÕu lµ mét hÖ nghiÖm c¬ b¶n cña hÖ (1) th× ®ưîc gäi lµ mét nghiÖm tæng qu¸t cña (1). Do ®ã 1 1 2 2 n r n r ic c ... c ; víi c ; i 1,n r− −β + β + + β ∈ = −ℝ NhËn xÐt. NÕu (1) lµ hÖ phư¬ng t×nh Cramer th× hÖ chØ cã duy nhÊt nghiÖm tÇm thưêng. Tøc N = {(0,0,...,0)}, do ®ã dimN = 0 { }1 2 n r, ,..., −β β β { }1 1 2 2 n r n r iN c c ... c ; víi c ; i 1,n r− −= β + β + + β ∈ = −ℝ VD1. T×m mét hÖ nghiÖm c¬ b¶n cña hÖ phư¬ng tr×nh sau vµ gi¶i hÖ phư¬ng tr×nh ®ã 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x 7x 8x 9x 0 2x 3x 3x 2x 0 5x x 2x 5x 0 3x 13x 14x 13x 0  + − + = − + − =  + − + = − + − = Dùa vµo mèi liªn hÖ gi÷a nghiÖm cña hÖ phư¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh tæng qu¸t vµ nghiÖm cña hÖ phư¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt tư¬ng øng ta suy ra: NÕu biÕt mét nghiÖm nµo ®ã cña hÖ phư¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh tæng qu¸t vµ tËp hîp N c¸c nghiÖm cña hÖ phư¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt tư¬ng øng th× ta suy ra tËp tÊt c¶ c¸c nghiÖm cña hÖ phư¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh tæng qu¸t lµ: λ { }N u u Nλ+ = λ+ ∈ VD2. Gi¶i hÖ phư¬ng tr×nh sau: 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x 7x 8x 9x 3 2x 3x 3x 2x 5 5x x 2x 5x 13 3x 13x 14x 13x 7  + − + = − + − =  + − + = − + − = 3.6. §æi c¬ së vµ phÐp biÕn ®æi täa ®é. Cho V lµ kh«ng gian vÐct¬ n chiÒu cã c¸c c¬ së lµ Gi¶ sö biÓu diÔn c¸c phÇn tö cña c¬ së E’ qua c¬ së E ta ®ưîc: { } { }1 2 n 1 2 nE e , e , . . . , e ; E e , e , . . . , e′ ′ ′ ′= = 1 1 1 1 2 1 2 n 1 n 2 1 2 1 2 2 2 n 2 n n 1 n 1 2 n 2 n n n e a e a e .. . a e e a e a e .. . a e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e a e a e .. . a e ′ = + + + ′ = + + + ′ = + + + Ma trËn       =       ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 11 12 1n 21 22 2n n1 n2 nn a a ... a a a ... a A a a ... a ®ưîc gäi lµ ma trËn chuyÓn cơ sở tõ c¬ së E sang c¬ së E’ vµ ký hiÖu lµ E E'A → Khi ®ã A-1 ®ưîc gäi lµ ma trËn chuyÓn tõ c¬ së E’ sang c¬ së E. Cho V. Gi¶ sö Khi ®ã ta cã c«ng thøc chuyÓn tõ täa ®é sang täa ®é lµ x ∈ ( ) ( )E 1 2 n 1 2 nEx x , x ,..., x vµ x x , x ,..., x′ ′ ′ ′= = ( )1 2 nx , x , ..., x′ ′ ′ ( )1 2 nx , x ,..., x [ ] [ ]E Ex A x ′= [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] E E 1 1 TT2 2 1 2 n 1 2 nE E n n Trong ®ã: x vµ x lµ c¸c ma trËn cét täa ®é x x x x x x x ... x ; x x x ... x x x ′ ′    ′       ′     ′ ′ ′= = = =           ′       ⋮ ⋮ V× ma trËn chuyÓn tõ c¬ së E’ sang c¬ së E lµ A-1 nªn c«ng thøc chuyÓn tõ täa ®é sang täa ®é lµ ( )1 2 nx , x , ..., x ( )1 2 nx , x ,..., x′ ′ ′ [ ] [ ]1 E E x A x− ′ = NhËn xÐt. Cho lµ c¸c c¬ së cña kh«ng gian vÐct¬ n chiÒu V NÕu A lµ ma trËn chuyÓn tõ c¬ së E sang c¬ së E’ B lµ ma trËn chuyÓn tõ c¬ së E’ sang c¬ së E’’ th× AB lµ ma trËn chuyÓn tõ c¬ së E sang c¬ së E’’ VD1. Trong , cho c¸c c¬ së a) T×m ma trËn chuyÓn c¬ së b) T×m nÕu VD2. Trong , cho c¸c c¬ së T×m biÕt { } { } { }i i iE e , E e , E e′ ′ ′′ ′′= = = 2 ℝ { } { } 1 2 1 2 E e (1, 0); e (0,1) E e (1,1); e (2,1) = = = ′ ′ ′= = = E E'A → [ ] E x ′ E x (7,2)= 2 ℝ { } { } 1 2 1 2 E e (1, 0); e (0, 1) E e (2, 1); e (1,1) = = = − ′ ′ ′= = − = [ ] E x Ex (1,2)′ = §4. KHÔNG GIAN EUCLIDE 4.1. Định nghĩa. Cho kh«ng gian vÐct¬ V trªn , lÊy bÊt kú x, y V. TÝch v« hưíng cña x vµ y lµ mét sè thùc, ký hiÖu lµ tháa m·n c¸c tÝnh chÊt sau: ▪ Kh«ng gian vÐct¬ V h÷u h¹n chiÒu trªn cïng víi mét tÝch v« hưíng ®· cho trªn V ®îc gäi lµ mét kh«ng gian Euclide. VD. Kh«ng gian vÐct¬ lµ kh«ng gian Euclide víi tÝch v« hưíng th«ng thưêng (tÝch v« hưíng Euclide) tư¬ng tù như trong vµ ℝ ∈ 1) x, x 0 vµ x, x 0 x 2) x, y y, x 3) x y, z x, z y, z ; z V 4) x, y x, y ; ≥ = ⇔ = θ = + = + ∀ ∈ λ = λ ∀λ ∈ ℝ ℝ n ℝ 2 ℝ 3 ℝ ( ) ( )1 n 1 n 1 1 n nx, y x , ..., x , y , ..., y x y ... x y= = + + 4.2. §é dµi cña vÐct¬ §Þnh nghÜa. Cho kh«ng gian Euclide V vµ x V. §é dµi (hay chuÈn) cña vÐct¬ x, ký hiÖu lµ sè thùc ®ưîc x¸c ®Þnh bëi
NÕu = 1 th× x ®ưîc gäi lµ vÐct¬ ®¬n vÞ.
d(x,y) = ®ưîc gäi lµ kho¶ng c¸ch gi÷a x vµ y.
ViÖc chia mét vÐct¬ kh¸c cho ®é dµi cña nã ®ưîc gäi lµ chuÈn hãa vÐct¬ ®ã. Khi ®ã ta sÏ ®ưîc vÐct¬ ®¬n vÞ. Tøc ∈ x x,x=x x x y− θ x y y 1 x = ⇒ = VD. Trong kh«ng gian Euclide , cho ta cã gäi lµ ®é dµi Euclide cña x 2 2 1 nx x, x x ... x= = + + n ℝ ( )1 nx x ,..., x= n∈ℝ ≥ = ⇔ = θ λ = λ ∀λ ∈ + ≤ + ≤ i i ℝ i i x 0 vµ x 0 x x x ; x y x y ; (bÊt ®¼ng thøc tam gi¸c) BÊt ®¼ng thøc Cauchy-Schwartz: x, y x y TÝnh chÊt. VD. Trong kh«ng gian Euclide víi tÝch v« hưíng th«ng thưêng, bÊt ®¼ng thøc C-S lµ: n ℝ n n n 2 2 i i i i i 1 i 1 i 1 x y x y = = = ≤∑ ∑ ∑ 4.3. VÐct¬ trực giao §Þnh nghÜa. Trong mét kh«ng gian Euclide V, hai vÐct¬ x, y ®ưîc gäi lµ trùc giao (hay vu«ng gãc) nÕu vµ ký hiÖu VD. Trong với tích vô hướng Euclide cho Khi đó: Vậy x, y là hai véctơ trực giao NhËn xÐt. VÐct¬ ®ưîc coi lµ trùc giao víi mäi vÐct¬ cña V ≠θ x,y 0= x y⊥ θ 2 ℝ ( ) ( )= − =x 2, 1 ,y 2,4 ( )= + − =x,y 2.2 1 .4 0 4.4. HÖ vÐct¬ trùc giao, trùc chuÈn §Þnh nghÜa 1.
Mét hÖ vÐct¬ trong kh«ng gian Euclide ®ưîc gäi lµ hÖ trùc giao nÕu c¸c vÐct¬ cña hÖ trùc giao tõng ®«i mét.
Mét hÖ vÐct¬ trong kh«ng gian Euclide ®ưîc gäi lµ hÖ trùc chuÈn nÕu hÖ nµy trùc giao vµ mäi vÐct¬ cña hÖ ®Òu cã chuÈn b»ng 1. VD1. Trong víi tÝch v« hưíng th«ng thưêng 3 ℝ ( ) ( ) ( ){ } 1,1,0 ; 1,1,2 ; 1, 1,1 : hÖ vÐct¬ trùc giao 1 1 1 1 2 1 1 1 , ,0 ; , , ; , , : hÖ vÐct¬ trùc chuÈn 2 2 6 6 6 3 3 3 − −             − −                    i i §Þnh lý. Trong kh«ng gian Euclide nÕu u1, u2, ...,uk lµ mét hÖ vÐct¬ trùc giao vµ c¸c vÐct¬ ui th× hÖ vÐct¬ nµy ®ltt. NhËn xÐt. Trong mét kh«ng gian Euclide n chiÒu, mäi hÖ gåm n vÐct¬ kh¸c trùc giao ®Òu lµ mét c¬ së cña kh«ng gian ®ã. §Þnh nghÜa 2. C¬ së trong NhËn xÐt trªn ®ưîc gäi lµ c¬ së trùc giao cña kh«ng gian Euclide. NÕu ®é dµi cña mçi vÐct¬ trong c¬ së trùc giao b»ng 1 th× ta gäi nã lµ mét c¬ së trùc chuÈn cña kh«ng gian Euclide. VD2. HÖ c¸c vÐct¬ trong VD1 cho ta mét c¬ së trùc giao vµ mét c¬ së trùc chuÈn trong 4.5. Qu¸ tr×nh trùc giao hãa Gram - Schmidt Dïng ®Ó x©y dùng c¬ së trùc giao vµ c¬ së trùc chuÈn cña kh«ng gian Euclide tõ mét c¬ së cho trưíc. ,i 1,k≠θ = θ 3 ℝ ThuËt to¸n. B1. Chän {e1, ...,en} lµ mét c¬ së bÊt kú cña kh«ng gian Euclide n chiÒu V. B2. X©y dùng c¬ së trùc giao {u1, ...,un} cña V như sau: §Æt 1 1 2 1 2 2 12 1 3 1 3 2 3 3 1 22 2 1 2 n 1 n i n n i2 i 1 i u e e ,u u e u u e ,u e ,u u e u u u u ............... e ,u u e u u − = = = − = − − = −∑ B3. X©y dùng c¬ së trùc chuÈn {v1, ...,vn} cña V b»ng viÖc chuÈn hãa c¸c vÐct¬ ë B2. Tøc: VD1. Trong kh«ng gian Euclide , h·y trùc chuÈn hãa c¬ së E = {e1 = (1,-1,0); e2 = (0,1,-1); e3 = (1,1,-1)} VD2. Hãy tìm một cơ sở trực chuẩn của không gian con của sau 1 2 n 1 2 n i 1 2 n u u u v ,v ,...,v v 1; i 1,n u u u = = = ⇒ = ∀ = 3 ℝ 3 ℝ ( ){ }= ∈ = +ℝ31 2 3 1 2 3W x ,x ,x x x 2x §Þnh lý 1. Mäi kh«ng gian Euclide n chiÒu ®Òu tån t¹i c¬ së trùc chuÈn §Þnh lý 2. NÕu E = {e1, ...,en} lµ c¬ së trùc chuÈn cña kh«ng gian Euclide n chiÒu V th× mäi x , x cã thÓ biÓu diÔn duy nhÊt dưíi d¹ng VD 3. XÐt c¬ së trùc chuÈn {v1, v2, v3} cña ë VD1. H·y biÓu diÔn x = (1,2,3) thµnh mét thtt cña c¸c vÐct¬ cña c¬ së trùc chuÈn ®ã V∈ n i i i 1 x x,e e = =∑ 3 ℝ