Giáo trình Đại số tuyến tính - Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính

Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính §1. KHÁI NIỆM VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1.1. Định nghĩa. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát là hệ gồm m phương trình, n ẩn ( ) m,n ∗∈ℕ 11 1 12 2 1n n 1 21 1 22 2 2 n n 2 m1 1 m 2 2 mn n m j a x a x ... a x b a x a x ... a x b (I) .......................... a x a x ... a x b trong ®ã: x ( j 1, n) : ®−îc gäi lµ c¸c Èn cña hÖ  + + + = + + + =   + + + = = ij i a (i 1,m; j 1, n) : ®−îc gäi lµ c¸c hÖ sè cña Èn b (i 1,m) : ®−îc gäi lµ c¸c hÖ sè tù do = = = ×               = = =                   ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 11 12 1n 11 12 1n 1 21 22 2n 21 22 2n 2 ij m n m1 m2 mn m1 m2 mn m Ký hiÖu: a a a a a a b a a a a a a b A (a ) ; A a a a a a a b Ma trËn hÖ sè Ma trËn bæ sung cña hÖ ( ) ( ) 1 1 T T2 2 1 2 m 1 2 n m n b x b x B b b b ; X x x x b x Ma trËn hÖ sè tù do Ma trËn Èn               = = = =                ⋮ ⋮ Khi đó hệ (I) được viết dưới dạng AX = B; (II): được gọi là dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính 1.2. Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính.
Bộ số được gọi là nghiệm của hệ (I) nếu với . Tập hợp tất cả các nghiệm của một hệ phương trình được gọi là tập hợp nghiệm của hệ phương trình đó.
Hai hệ phương trình tuyến tính có cùng ẩn số được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập hợp nghiệm. α α α ∈ ℝ n1 2 n ( , , ..., ) ( )α = α = α α α T 1 2 nA B, ... §2. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 2.1. Định lý Kronecker – Capeli. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát (I) có nghiệm khi và chỉ khi 2.2. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Cramer 1. Định nghĩa hệ Cramer. Một hệ phương trình tuyến tính tổng quát (I) được gọi là hệ Cramer nếu ( ) ( )r A r A= m n A 0  =  ≠ 11 1 12 2 1n n 1 21 1 22 2 2n n 2 n1 1 n2 2 nn n n a x a x ... a x b a x a x ... a x b Nh− vËy: (III): HÖ Cramer .......................... a x a x ... a x b  + + + = + + + =   + + + = 2. Định lý Cramer. Hệ Cramer có nghiệm duy nhất được tính theo công thức ( )jj A x ; j 1,n A = = Trong đó: A: là ma trận hệ số Aj: là ma trận thu được từ ma trận A bằng cách thay cột thứ j bởi cột hệ số tự do. VD 1. Giải hệ phương trình 1 2 3 2 3 1 2 3 2x x x 1 x 3x 3 2x x x 1  + − = + =  + + = − VD 2. Giải và biện luận hệ phương trình 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ax x x 1 x ax x 1 x x ax 1  + + = + + =  + + = VD. Giải hệ phương trình Chú ý. Khi giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính, nếu xảy ra trường hợp , ta không có kết luận “ Hệ vô số nghiệm”, để có kết luận chính xác ta phải giải hệ bằng phương pháp Gauss (sẽ trình bày ở sau). Còn nếu xảy ra trường hợp và có ít nhất một thì hệ đã cho vô nghiệm. jA 0≠ x 2 y z 1 x 2 y z 1 x 2 y z 1  + − =− − + =  + − = 1 2 3A A A A 0= = = = A 0= 2.3. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp ma trận nghịch đảo Xét hpt tuyến tính AX = B với A là ma trận khả nghịch (suy ra hpt là hệ Cramer). Khi đó hệ có nghiệm duy nhất là: X = A-1B VD. Giải hệ phương trình: 3x 4y 6z 2 y z 3 2x 3y 4z 5 − + + = − + =  − − = 2.4. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss Xét hệ phương trình tuyến tính tổng quát: AX = B Bước 1. Đưa ma trận bổ sung về dạng bậc thang bằng PBĐSC trên hàng. Ta được một hệ phương trình mới tương đương với hệ đã cho. Bước 2. Giải hệ phương trình mới với quy tắc: Các ẩn mà các hệ số là các phần tử khác 0 đầu tiên trên các hàng của ma trận bậc thang được gọi là các ẩn ràng buộc. Các ẩn còn lại là các ẩn tự do. VD. Giải hệ phương trình A 1 2 4 4 1 3 2 1 2 3 4 1 4 3 2 x x 5x 6 x z 2y 1 14x 3x x 5x 22 3x y z 2 a) ; b) 2x 4x x 11x 17 4y 9x 2z 3 5x 3y 2z 4 x 6x x x 2  − + = + − =   − − − + = − + − =−     − + + = − + + =    − + =+ − + =  ▪ Các bước giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss Xét hệ phương trình tuyến tính tổng quát: AX = B; (m phương trình, n ẩn) Bước 1. Đưa ma trận bổ sung về dạng bậc thang bằng PBĐSC trên hàng. Bước 2. Xét hạng của ma trận bậc thang đó A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) N Õu r A r A th × h Ö v« ngh iÖm N Õu r A r A n th × h Ö cã ngh iÖm duy nh Ê t N Õu r A r A r n th × h Ö cã v « sè n gh iÖm v í i n r Èn tù d o v µ r Èn rµng b uéc ≠ = = = = < − i i i VD. Giải và biện luận hệ phương trình  + + = + + =  + + = ax y z 1 x ay z 1 x y az 1 §3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT 3.1. Định nghĩa. Một hệ phương trình tuyến tính tổng quát trong đó tất cả các hệ số tự do bằng 0 được gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất. Như vậy là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất m phương trình, n ẩn  + + + = + + + =   + + + = 11 1 12 2 1n n 21 1 22 2 2n n m1 1 m 2 2 mn n a x a x ... a x 0 a x a x ... a x 0 (1) .......................... a x a x ... a x 0 Dạng ma trận của hệ: AX = O; với A = (aij)m×n Nhận xét. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (1) luôn có nghiệm (0,0,...,0), nghiệm này được gọi là nghiệm tầm thường của hệ. 3.2. Định lý. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (1) với n ẩn có nghiệm không tầm thường (tức nghiệm khác nghiệm tầm thường (0,0,...,0)) khi và chỉ khi r(A) < n; (A là ma trận hệ số). Nhận xét. Trường hợp r(A) = n thì hệ (1) chỉ có nghiệm tầm thường. Hệ quả 1. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có số phương trình ít hơn số ẩn thì hệ có nghiệm không tầm thường. ▪ Khi m = n, hệ (1) trở thành 11 1 12 2 1n n 21 1 22 2 2n n n1 1 n2 2 nn n a x a x ... a x 0 a x a x ... a x 0 (2) .......................... a x a x ... a x 0  + + + = + + + =   + + + = Hệ quả 2. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất dạng (2) có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi |A| = 0; (A là ma trận hệ số) Nhận xét. Trường hợp thì hệ (2) chỉ có nghiệm tầm thường. ≠A 0 3.3. Mối liên hệ giữa nghiệm của hệ phương trình tuyến tính tổng quát và nghiệm của hpt tuyến tính thuần nhất tương ứng Xét hệ phương trình tuyến tính tổng quát: AX = B; (a) và hệ phương trình tuyến tính thuần nhất: AX = O; (b) Khi đó: ▪ Hiệu hai nghiệm bất kỳ của (a) là nghiệm của (b) ▪ Tổng một nghiệm bất kỳ của (a) và một nghiệm bất kỳ của (b) là nghiệm của (a) VD 2. Giải hệ phương trình  + + = + + =  + + = mx y z 0 x my z 0 x y mz 0 VD 1. Tìm m để hệ phương trình thuần nhất sau chỉ có nghiệm tầm thường 4 1 2 3 1 3 2 4 1 2 3 4 1 2 3 4 9x x 7x 8x 0 2x 3x 3x 2x 0 5x x 2x 5x 0 3x 13x 14x 13x 0  + + − + = + − − =   + − + = − + − =