Giáo trình đại số đại cương

õy caùc öôùc thöïc söï a1,...,an ... seõ khoâng döøng, vaø ñieàu naøy maâu thuaãn vôùi giaû thieát. • Theo lí luaän treân thì a coù ít nhaát moät öôùc baát khaû qui, giaû söû λ . Ñieàu kieän daõy döøng caùc öôùc thöïc söï : Giaû söû a∈ D, a khaùc 0 vaø khoâng khaû nghòch. Ñaët l(a) laø soá caùc nhaân töû trong söï phaân tích a thaønh tích caùc phaàn töû baát khaû qui. Neáu a = bc, vôùi b thaønh m cuûa b vaø c vôùi nhau. Suy ra raèng l(a) = l(b) + l(c).Vì vaäy neáu b || a N 1 2 n khoâng döøng laïi thì ta seõ coù moät daõy giaûm voâ haïn caùc s ≥> n (⇐ söï. • Giaû söû a laø moät phaàn töû cuûa D khaùc 0 vaø khoâng khaû nghòch. Khi ñoù a coù ít nhaát moät öôùc laø phaàn töû baát khaû qui, thaät vaäy . Neáu a laø baát khaû qui (ñaõ chöùng minh xong). . Neáu a laø khaû qui, töùc laø a coù moät öôùc thöïc söï laø a1. . Neáu a1 laø baát khaû qui (ñaõ chöùng minh xong). . Neáu a1 laø khaû qui, töùc laø a1 coù moät öôùc thöïc söï laø a2 Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 89 - a = p1a1 v qui ì cuõng reân = p2 a2 vôùi p2 baát khaû qui eáu a2 khoâng khaû nghòch thì cuõng eo treân a2 = p3 a3 vôùi p3 baát khaû qui . . . . . . . . . . . . aùc øng aû qui. 1 2 n 1 2 m i j laø baát khaû qui. {1, 2, …, m} sao cho p1| qj. Baèng caùch ñaùnh soá laïi, coù theå giaû söû j =1, töùc laø p1| q1. Vì p1, q1 ñeàu baát khaû qui neân p1 ∼ q1, suy ra q1 ôùi u1 g u p1 p2...pn = u1 p1 q2 ...qm hay p2 ...pn = u1 q2 ...qm ; ûn öôùc, ta ñöôïc : xaûy ra vì qn+1, ...,qm, khoâng khaû nghòch. Vaäy phaûi coù n ≥ . Vai troø m, n laø nhö nhau, neân töông töï coù m ≥ n, töø ñoù m = n. Ngoøai ra Baèng 6.11 Ñònh lí ôùi p1 baát khaû . Neáu a1 laø khaû nghòch (söï phaân tích ñaõ xong). Neáu a1 khoâng khaû nghòch th theo t a1 . Neáu a2 laø khaû nghòch (söï phaân tích ñaõ xong). N th . . . . . . . . . . . . . . . . . Quaù trình naøy phaûi chaám döùt sau soá höõu haïn böôùc, vì trong daõy a1, a2,.., an, .. c öùng lieàn tröôùc noù. Neáu quaù trình döphaàn töû ñöùng sau laø öôùc thöïc söï cuûa phaàn töû ñ sau böôùc thöù n thì ta coù a = p1 p2...pn vôùi pi laø baát kh • Giaû söû : p p ...p = a = q q ...q , trong ñoù caùc p , q Vì p1 | q1...qm neân toàn taïi j ∈ ta = u1 p1 v khaû n hòch. L ùc naøy ta coù Baèng laäp luaän nhö treân, neáu n < m thì sau n laàn gia 1 = u1...un qn+1...qm nhöng ñieàu naøy khoâng theå m moät caùch ñaùnh soá thích hôïp, ta cuõng coù pi = ui qi vôùi ui khaû nghòch. höùng inh: ân vaønh chính (ñònh ôùc xeùt daõy caùc öôùc thöïc söï n-1... eáu ai ≠ aj vôùi moïi i ≠ j thì ta coù moät daõy caùc ideal < < a Moïi vaønh chính ñeàu laø vaønh Gauss C m Ta ñaõ bieát raèng ñieàu kieän ÖCLN ñöôïc thoûa maõn tre lí 6.4). Do ñoù, töø ñònh lí 6.10, ta chæ caàn chöùng minh ñieàu kieän daõy döøng nhöõng ö thöïc söï cuõng ñöôïc thoûa maõn treân vaønh chính. Thaät vaäy, trong vaønh chính D a ,a , ..., a ,... vôùi a a , a a ,... , a1 2 n 2 || 1 3 || 2 n || a N a ⊆ a2 > ….⊆ n> ⊆ ⊆ Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 90 - Neáu ët I ai > ì I m ide cuûa . T t va gia û x laø i ph àn tö aát k uûa c I, i ñ àn i, j o o x ña = ∞ =∪1i < th laø oät al D haä äy, û sö , y ha a û b ì c uûa kh où to taïi sa ch ∈ ø y ∈ , töø ñoù x, y < a = max {i, j}. Vì laø nhoùm con neân x – y a ∈ k > vôùi k ∈ vaø do ñoù x – y I. o ai n töû ì àn löôï huoäc I vaø D, khi ñoù x ∈ Vaäy I laø nhoùm con cuûa nhoùm c äng (D, +). Maët khaùc, giaû söû x vaø a laø h phaà baát k la t t ∈ vôùi moät k naøo ñoù. Vì laø moät ideal neân x a, a x ∈ ⊂ I. Vaäy I laø moät ideal cuûa D, maø D laø vaønh chính neân I laø moät ideal chính, töùc laø I = vôùi a∈ D. Vì a ∈ I neân toàn taïi n sao cho a < n >, töùc laø I ⊂ ⊂ I, vaø ñieàu naøy daãn ñeán maâu thuaãn. ∈ a n ⊆ Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 91 - BAØI TAÄP ân taäp X ≠ ∅ thoûa caùc tính chaát a) (X,+) laø nhoùm c) Pheùp toaùn • phaân phoái vôùi pheùp toaùn +. co a sau : (c, d) = (ac, ad + bc). 3. 1. Giaû söû + vaø • laø hai pheùp toaùn trong tre . b) (X,• ) laø vò nhoùm. Chöùng minh raèng (X,+, • ) laø moät vaønh. 2. Cho 3 laø taäp caùc soá thöïc. Treân 32 ù xaùc ñònh c ùc pheùp toaùn + vaø • nhö (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d). (a, b) • Chöùng minh raèng (32 ,+, • ) laø moät vaønh giao hoaùn. Cho moät hoï caùc vaønh {(Xi ,+, •), i ∈ I} vaø X = ∏ ∈Ii i X . Treân X xaùc ñònh caùc (xi)i∈I .(yi ) i∈I = (xi .yi ) i∈I inh raèng (X,+, •) laø moät vaønh, vaø X giao hoaùn neáu caùc Xi laø giao hoaùn. aønh X ñöôïc goïi laø tích tröïc tieáp cuaû caùc vaønh Xi. vôùi caùc pheùp toaùn coäng vaø haân caùc haøm thoâng thöôøng thì (33,+, •) laø moät vaønh giao hoùan. 33 coù phaûi laø moät . Ta goïi caáu truùc ñaïi soá (X,+, •) laø moät giaû vaønh neáu caùc pheùp toaùn trong + vaø a) (X,+) laø nhoùm giao hoaùn . b) (X, •) laø nöûa nhoùm. c) Pheùp toaùn • phaân phoái vôùi pheùp toaùn +. höùng minh raèng caùc taäp hôïp töông öùng vôùi caùc pheùp toaùn sau laø caùc giaû vaønh pheùp toaùn + vaø • nhö sau : (xi )i∈ I + (yi )i∈I = (xi + yi )i∈I . Chöùng m V 4. Ñaët 33 = {haøm soá f : 3 → 3 }. Chöùng minh raèng ñoái n mieàn nguyeân hay khoâng? 5 • treân X thoûa maõn ba ñieàu kieän sau ñaây : C 1) Taäp hôïp caùc haøm soá thöïc lieân tuïc f treân 3 sao cho : ∞<∫+∞∞− )x(f dx g thöôøng caùc haøm. ùn coäng vaø nhaân caùc soá. eùp toaùn treân X ñöôïc cho bôûi b c vôùi caùc pheùp toaùn coäng vaø nhaân thoân 2) Taäp hôïp 29 vôùi pheùp toa 3) X = { 0, a, b, c } vôùi caùc ph + 0 a b C • 0 a Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 92 - 0 0 a b c 0 0 0 0 0 a a 0 c b a 0 a b c b b c 0 a b 0 0 0 0 c c b a 0 c 0 a b c 4) Taäp X = {(a, b, – b, a) : a, b∈ 9}, vôùi caùc pheùp toaùn + vaø • nhö sau : , ad + bc, – ad – bc, ac – bd). . Cho (X,+, •) laø moät giaû vaønh vaø Z(X) = {x (a, b, – b, a) + (c, d, – d, c) = (a + c, b + d, –b – d, a + c) (a, b, – b, a) • (c, d, – d, c) = (ac – bd 6 ∈ X : ax =xa, vôùi moïi a X} ∈ laø taâm cuûa X. Giaû söû vôùi moïi x ∈ X, x2 – x ∈ Z(X). a) Chöùng min raèng vh ôùi moïi x, y ∈ X, xy + yx ∈ Z(X). ) Suy ra xy = yx vôùi moïi x, y b ∈ X. . Trong moät vaønh giao hoaùn X, haõy chöùng minh coâng thöùc nhò thöùc Newton 7 ∑ = −=+ n knkk baC)ba( n aân caùc haøm soá thoâng thöôøng chöùng toû taäp [0,1 = {haøm soá f :[0, 1] 3 } laø moät vaønh giao hoaùn. Caùc taäp hôïp sau coù phaûi laø ôïp caùc haøm soá khaû tích treân [0,1]. 0k n 8. Ñoái vôùi caùc pheùp toaùn coäng vaø nh ] → 3 vaønh con cuûa 3[0,1] a) Taäp hôïp caùc haøm soá lieân tuïc treân [0,1]. b) Taäp h 9. Chöùng minh raèng a) 9[i] = { a + bi : a, b ∈ 9} laø vaønh con cuûa (∀,+, •). b) 9[ 2 ] = { a + b 2 : a, b ∈ 9} laø vaønh con cuûa (3,+, •). ) Θ [ 2 ] = { a + b 2 : a,b Θ} laø tröôøng con cuûa (R,+, ⋅) 0. Cho moät hoï caùc vaønh con {Ai, i ∈ c 1 ∈I} cuûa X. Giaû söû raèng, vôùi moïi i, j I toàn taïi eàu chöùa trong Ak . Chöùng minh raèng ∈ Ii∈∪k∈I sao cho Ai vaø Aj ñ Ai laø vaønh con . : toàn taïi n∈ ∠ : an = 0}. A coù phaûi laø höùng minh cuûa X. 11. Cho (X,+, •) laø moät vaønh vaø goïi Z(X) = {a ∈ X : ax = xa, vôùi moïi x∈ X} laø taâm cuûa X. Chöùng minh raèng Z(X) laø vaønh con cuûa X 12. Cho (X,+, •) laø moät vaønh vaø A = {a ∈X aøn con cuûa X khoâng? v h Cho (X,+, 13. •) laø moät vaønh vaø f : X →X laø moät ñoàng caáu vaønh. C raèng A = { a ∈ X : f(x) = x } laø vaønh con cuûa X. Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 93 - 14. Tìm taát caû caùc töï ñoàng caáu vaønh cuûa caùc vaønh 9, 9 [ 2 ], 9 [i]. 215. Cho Θ laø taäp caùc soá höõu tæ. Treân Θ xaùc ñònh caùc pheùp toaùn + vaø • nhö sau : (a, b) • (c, d) = (ac + 2bd, ad + bc) . [ (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) . Chöùng minh raèng (Θ 2 ,+, •) laø moät vaønh vaø noù ñaúng caáu vôùi (Θ 2 ],+, • ) . Cho (X,+,•) laø moät vaønh vaø End(X) laø vaønh caùc töï ñoàng caáu cuûa nhoùm coäng fa ∈ b) .Chöùng minh raèng aùnh xaï h : X End(X) , a a , laø ñôn caáu vaønh. uy ra raèng moïi vaønh coù theå xem nhö laø vaønh con cuûa vaønh caùc töï ñoàng caáu cuûa 7. Cho moät vaønh X. .Chöùng minh raèng toàn taïi duy nhaát moät ñoàng caáu vaønh f :9 . Chöùng minh raèng caùc vaønh 9). haïn coù ñaëc soá m > 0. . û A laø ideal X. 21. Cho (X,+, • ) laø moät vaønh giao hoaùn. . Chöùng minh raèng taäp con 2. Cho (X,+, •) laø moät vaønh giao hoaùn vaø A, B laø caùc ideal cuûa X. Chöùng minh èng C = {x∈ X : x b ∈ A , vôùi moïi b ∈ B} laø moät ideal cuûa X. 23. Cho A laø taäp con khaùc roãng cuûa vaønh X. . Chöùng minh raèng taäp con 16. (X,+). Vôùi moãi a ∈ X, ñònh nghóa aùnh xaï : fa : X → X , fa (x) = ax. a) Chöùng minh raèng End(X). → a f S nhoùm coäng cuûa noù. 1 → X. Hôn nöõa, neáu X coù ñaëc soá 0 thì f laø ñôn caáu. 18 sau ñaây coù ñaëc soá 0 : 9, Θ , 3, ∀ , Mat3 (n), End( 19. Chöùng minh raèng moïi vaønh höõu 20. Cho (X,+, •) laø moät moät vaønh vaø n∈9 Chöùng to = { x ∈ X : nx = 0} cuûa A = { x ∈ X : rx = 0 ; vôùi moïi r ∈ X } laø ideal cuûa X. 2 ra { }∑ = ∈∈∈∈= n 1i iiiiii Nn;n,1i;Aa;Xy,x:yax)A( . laø moät ideal cuûa X 24. Cho A laø ideal vaø B laø vaønh con cuûa vaønh X. Chöùng minh raèng a) A + B laø moät vaønh con cuûa X. b) A B laø ideal cuûa B. c) A laø moät ideal cuûa A + B. ∩ Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 94 - d) B/(A ) ñaúng caáu vôùi (A + B 25. Cho X1, X2 laø hai vaønh × X2 . 1 2 ùc ideal cuûa vaønh tích X = X1 × X2 thoûa : ∩ B )/A. vaø A1 = X1 ×{0}, A2 = {0} a) Chöùng minh raèng A , A laø ca A1 ∩ A2 = {0} vaø A1 + A2 = X. 1 2 khoâng phaûi laø vaønh con cuûa X. 4, 95, 96, 948 , XA = {aùnh xaï f : A X} 27. Chöùng minh raèng Θ [ b) Chöùng toû pheùp chieáu pi : X → Xi , (x1, x2) a xi laø moät toaøn caáu. Xaùc ñònh Kerpi . Chöùng minh raèng X/Aj ≅ Xi vôùi i,j ∈ {1, 2} vaø i ≠ j. c) Chöùng toû A , A laø caùc vaønh ñoái vôùi caùc pheùp toaùn + vaø • xaùc ñònh treân X, nhöng 26. Vaønh naøo trong caùc vaønh sau laø mieàn nguyeân, tröôøng : 93, 9 → 2 ] laø tröôøng. 9[ 2 ]coù phaûi laø tröôøng khoâng ? ⎛ a ba trong ñoù a, b 28. Trong Θ , cho caùc pheùp toaùn : a * b = a + b – 1 vaø a ⊥ b = a + b – ab. (Θ ,*, ⊥ ) coù phaûi laø moät tröôøng khoâng? ⎟⎟⎠ ⎞ ∈29. Cho T laø taäp caùc ma traän daïng ⎜⎜⎝ b2 Θ. Chöùng minh raèng ñoái vôùi pheùp coäng vaø nhaân ma traän, T laø moät tröôøng vaø T ñaúng caáu vôùi tröôøng Θ [ 2 ]. 30. Chöùng minh raèng vaønh con cuûa mieàn nguyeân laø mieàn nguyeân. 31. Chöùng minh raèng moïi tröôøng höõu haïn ñeàu coù ñaëc soá khaùc 0. Moïi tröôøng ñeàu coù ñaëc soá 0 hay laø soá nguyeân toá. 32. Neáu (X,+, ⋅) laø moät tröôøng coù ñaëc soá p. Chöùng minh raèng laø luõy linh neáu toàn taïi n∈ ∠ p p p a) (x + y) = x + y . ) (x – y)p = xp – yp . b 3. Trong vaønh giao hoaùn X, moät phaàn töû x ñöôïc goïi 3 sao cho xn = 0 . Chöùng minh raèng a) Neáu x, y laø luõy linh thì x + y cuõng luõy linh. b) Neáu x luõy linh thì (1 + x) | 1. Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 95 - c) Neáu x luõy linh vaø u | 1 thì (u + x) | 1. 34. a) Chæ ra raèng A = {a + b 3− , a, b ∈ 9} ⊂ ∀ laø moät vaønh nguyeân. 3− 3−, 1 – b) Chöùng minh raèng phaàn töû 2, 1 + , laø nhöõng phaàn töû baát khaû qui. Chöùng toû phaàn töû 4 coù hai daïng phaân tích thaønh nhaân töû baát khaû qui khaùc nhau. Töø ñoù suy ra A khoâng phaûi laø moät vaønh chính. 35. Chöùng minh raèng moïi tröôøng ñeàu laø vaønh chính. vaønh A ñöôïc goïi laø vaønh Boole neáu vaø chæ neáu x2 = x vôùi moïi x A. ñoù 92 laø vaønh caùc soá nguyeân odulo 2 vaø (92) laø taäp caùc aùnh xaï töø E ñeán 92 . c taäp con cuûa E aø laø hieäu ñoái xöùng 36. a) Vaønh con cuûa moät vaønh chính coù phaûi laø vaønh chính khoâng? b) Vaønh thöông cuûa moät vaønh chính coù phaûi laø moät vaønh chính hay khoâng? 37. Cho A laø moät vaønh chính vaø p laø moät phaàn töû baát khaû qui cuûa A. Chöùng minh raèng vaønh thöông A/ ><p laø moät tröôøng. 8. Moät3 Cho moät taäp E. Chöùng minh raèng ∈ a) ((92)E , +, • ) laø moät vaønh Boole, trong Em b) (P(E), ∆ , ∩ ) laø moät vaønh Boole, trong ñoù P(E) laø taäp caù ∆v c) Cho A laø moät taäp con cuûa E, ta kí hieäu χ A(x) : E → 92, ñöôïc xaùc ñònh ôûi b χ A(x) = ⎨⎧ ⎩ 0 1 A khi khi Ax x ∉ ∈ goïi laø haøm ñaëc tröng cuûa A. Khi ñoù aùnh xaï P(E) (92)E, A , laø moät ñaúng caáu vaønh. → a χ A Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 96 - CHÖÔNG 5: VAØNH ÑA THÖÙC Vaønh ña thöùc moät bieán 1 1.1 Ñònh nghóa • Giaû söû A laø moät vaønh giao hoùan vôùi phaàn töû ñôn vò laø 1 ≠ 0. Goïi M laø taäp hôïp caùc daõy (a1. a2, ….,an,….) trong ñoù caùc ai ∈ A vaø chæ coù moät soá höõu haïn trong chuùng laø khaùc 0. Treân M xaùc ñònh moät pheùp toùan coäng vaø moät pheùp toùan nhaân nhö (a , a , ….,a ….) + (b , b , ….,b ….) = (a + b , a1 +b1, ….,an +bn,….) (a0. a1, ….,an….).(b0. b1, ….,bn….) = (c0, c1 , ….,cn,….), ong ñoù ck = sau : 0 1 n 0 1 n 0 0 ∑ = tr + ki j ji ba , k = 0, 1, 2,…. a , vò laø (1, 0, ….,0,…). Ngoøai ra pheùp p toaùn + nhôø ñaúng thöùc : • Khi ñoù (M, +) laø moät nhoùm giao hoùan vôùi phaàn töû ñôn vò 0 = ( 0, 0, ….,0,…), phaàn töû nghòch ñaûo cuûa phaàn töû (a0, a1, ….,an….) laø (– a0, – a1, ….,– n….) vaø (M •) laø moät vò nhoùm giao hoùan vôùi phaàn töû ñôn toùan • cuõng phaân phoái ñoái vôùi pheù ∑ =+ + kji jji )cb(a = ∑=+ kji jiba + ∑=+ kji jica . Töø ñoù (M, +, •) laø moät vaønh giao hoaùn. {(a, 0,…,0,..), a • Neáu ñaët M’ = ∈ A } ⊂ M, thì (M’,+, • ) laø moät vaønh con cuûa M aø töø ñaúng caáu vaønh f : A M’, a (a,0,…,0,..), ta coù theå ñoàng nhaát moät ≅⎯ →⎯ av phaàn töû a∈ A vôùi daõy (a, 0, ….,0,…) ∈ M. Vì vaäy A cuõng ñöôïc xem nhö moät vaønh ta n Vì chæ coù moät soá höõu haïn caùc phaàn töû ai trong daõy (a0, a1, ….,an….) laø khaùc 0 heå qui öôùc vieát moãi phaàn töû khaùc 0 cuûa M döôùi daïng con cuûa M. • Neáu ta kyù hieäu x = (0, 1, 0,…,0,…) thì töø ñònh nghóa pheùp toùan • vaø + ñöôïc : x2 = (0, 0, 1, 0, 0,…,0,…) 3 x = (0, 0, 0, 1, 0,…,0,…) …..................................... x = (0,0,…,0, 1, 0,…,0…) Ta qui öôùc vieát x0 = (1, 0,0,…,0,…) = 1 • neân ta coù t Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 97 - (a0, a1, ….,an, 0,…), trong ñoù an ≠ 0 vaø am = 0 vôùi moïi m > n Theo qui öôùc caùch vieát ñoù, vaø töø ñònh nghóa pheùp toùan • vaø + treân M, moãi phaàn töû : 1,0, …) + … + (an, 0,…).(0, + an xn = = f(x) aùc phaàn töû f(x) = (a0, a1, ….,an, 0,…) ∈ M coù theå bieåu dieãn döôùi daïng (a0, a1, …, an, 0,..) = (a0, 0,….) + (a1,0,….).(0, …,0,1,0,..) ∑ = n 0i i i xa = a0 + a1 x + …. Vaønh (M,+, •) ñöôïc goïi laø vaønh ña thöùc cuûa bieán x treân A, kí hieäu laø A[x]. n • ∑C = ixa A [x] ñöôïc goïi laø moät ña thöùc cuûa bieán x. Caùc ai cuûa ña thöùc. Caùc aixi goïi laø caùc haïng töû cuûa ña thöùc, ñaêïc bieät 0x0 = a0 goïi laø haïng töû töï do. Neáu an ≠ 0 thì soá n ñöôïc goïi laø baäc cuûa ña thöùc f, h e , heä töû cao nhaát cuûa ña thöùc f(x). Ña th i b a thöùc khoâng. Ña thöùc baäc 0 laø moät phaàn töû h r g ta khoâng ñònh nghóa ∈ 0i i goïi laø caùc heä töû a vaø kí ieäu d g(f) = n coøn a ñöôïc goïi laø n öùc vôù caùc heä töû ñeàu aèng 0 goïi laø ñ cuûa vaønh A vaø noù coøn ñöôïc goïi laø ña thöùc haèng. C uù yù aèn baäc cuûa ña thöùc 0. 1.2 Ñònh lí Cho f(x) vaø g(x laø hai ña thöùc . Khi ño : ) ù 1) Neáu f(x) + g(x) ≠ 0 thì deg(f + g) ≤ max {deg(f), deg (g)}. Hôn nöõa neáu giaû ) = deg(f) = deg (g) thieát theâm deg(f) = deg(g) thì deg(f + g 2) Neáu f(x)g(x) ≠ 0 thì deg(f.g) ≤ eg(f) de (g). Hôn nöõa neáu giaû thieátd + g eâm A laø vaønh nguyeân thì deg(f.g) = deg(f) + deg(g). höùng minh: Giaû söû f = th C ∑ = ixia , g = n ∑m 0i = i i xb , vôùi an, bm ≠ 0, m = n + k, k 0. 0i r h ñaõ eâu trong ñònh lí. 1.3 Ñònh lí 0i Khi ñoù f + g = ∑ +n iii x)ba( + ∑ ii xb vaø f.g = a ≥ = += m 1ni 0b0 + …+ (a0bk + a1bk–1 +… akb0 )xk + …+ anbm xn+m Chuù yù raèng, neáu A laø vaønh nguyeân thì a b ≠ 0. Töø ñoù, suy a caùc khaúng ñònn m n Neáu A laø moät vaønh nguyeân thì A[x] cuõng laø moät vaønh nguyeân. Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 98 - Chöùng minh : Giaû söû f = , g = (vôùi an ,bm ≠ 0) laø hai ña thöùc khaùc khoâng baát kì. Khi ñoù f.g = a0b0 +….+ (a0bk +…+ akb0) xk + ….+ an bm xn+m. Vì trong A khoâng coù öôùc cuûa 0 neân töø an ,bm ≠ 0 suy ra anbm ≠ 0, do ñoù f.g ≠ 0 1.4 Ñònh lí a xi i i n = ∑ 0 b xi i i m = ∑ 0 Neáu K laø moät tröôøng thì vaønh K[x] laø vaønh Euclide, vaø do ñoù noù cuõng laø vaønh chính, vaønh Gauss. Chöùng minh : Töø 1.3 suy ra K[x] laø moät vaønh nguyeân. Xeùt aùnh xaï deg : K[x]– {0} ∠ , f deg(f). Töø 1.2 suy ra deg(fg) = deg(f) + deg (g) deg(f). Baây giôø, vôùi moïi f, g K[x] vaø g ≠ 0, ta seõ chæ ra toàn taïi duy nhaát q, r K[x] sao cho f = qg + r vôùi r = 0 hoaëc deg(r ) < deg(g). . Toàn taïi. Neáu f = 0 thì ta laáy q = 0, r = 0. Neáu vôùi f ≠ 0 vaø deg(f) < deg(g) thì ta laáy q = 0, r = f. Vaäy chæ caàn xeùt tröôøng hôïp f ≠ 0 vaø deg(f) deg(g)). Ta chöùng minh baèng caùch qui naïp theo deg(f). → a ≥ ∈ ∈ ≥ - Vôùi deg(f) = 0, khi ñoù deg(g) = 0, töùc laø f, g ∈ K, g ≠ 0, töø ñoù chæ caàn choïn q = f.g–1 vaø r = 0. - Giaû söû khaúng ñònh ñuùng cho caùc ña thöùc vôùi baäc < deg(f), ta chæ ra khaúng ñònh ñuùng cho deg(f). Neáu f = , g = thì ñaët f1 = f – b an xn–m g. Khi ñoù f1 = 0 hoaëc deg(f1) < deg(f). Neáu f1 = 0 thì khaúng ñònh ñaõ ñöôïc chöùng minh. Neáu deg(f1) < deg(f) thì theo giaû thieát qui naïp toàn taïi q1, r1 a xi i i n = ∑ 0 b xi i i m = ∑ 0 1 m − ∈ K[x] sao cho f1 = q1. g + r1 , vôùi r1 = 0 hoaëc deg(r1 ) < deg(g). Töø ñoù f = f1 + b an xn–m g = q1g + r1 + b an xn–mg = (q1 + b an xn–m )g + r1. . Duy nhaát . Giaû söû coù f = qg + r = q’g + r’. Khi ñoù (q – q’)g = r – r’. Neáu r ≠ r’ thì (q – q’)g ≠ 0, suy ra deg(r – r’) = deg( q – q’) + deg(g) (maâu thuaån vì khi ñoù deg(g) deg (r – r') max {deg(r), deg(r')} < deg(g) ).Vaäy r = r’ vaø töø ñoù q = q'. • VÍ DUÏ: 1 m − 1 m − 1 m − ≤ ≤ Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 99 - 1) Thöïc hieän pheùp chia Euclide ña thöùc f = x5 + x2 + 1 cho g = x3 + 3x2 – 4 treân vaønh 3[x]. x5 + 0x4 + 0x3 + x2 + 0x + 1 x x 3 + 3x2 – 4 5 + 3x4 + – 4x2 . – 3x4 + + 5x2 + 1 x – 3x 2 – 3x + 9 4 – 9x3 +12x + 1 9x3 + 5x2 –12x + 1 9x3 + 27x2 – 36 – 22x2 – 12x + 37 Töø ñoù x5 + x2 + 1 = (x3 + 3x2 – 4)( x2 – 3x + 9) – 22x2 – 12x + 37 2) Thöïc hieän pheùp chia ña thöùc f = 1x5 + 1x2 + 1 cho g = 1x3 + 3x2 – 4 Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin treân vaønh 95[x]. 1x5 + 0 x4 + 0 x3 + 1x2 + 0 x + 1 1x3 + 3x2 – 4 1x5 + 3x4 – 4 x2 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––- 1x2 – 3x + 4 3x4 + 1 – – 3x4 – 4 x3 + 2 x ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 4 x3 – 2 x + 1 4 x3 + 2 x2 – 1 ––––––––––––––––––––––––––- – 2 x2 – 2 x + 2 Töø ñoù, 1x5 + 1x2 + 1 = (1x3 + 3x2 – 4 ) (1x2 – 3x + 4 ) – 2 x2 – 2 x + 2 1.5 Khoâng ñieåm cuûa ña thöùc Cho vaønh A , c laø moät phaàn töû cuûa A vaø f(x) = laø moät ña thöùc cuûa A[x] . Phaàn töû f(c) := seõ ñöôïc goïi laø giaù trò cuûa ña thöùc f(x) taïi c. Neáu f( c) = 0 thì ta noùi c laø moät khoâng ñieåm hay laø nghieäm cuûa f(x). Vieäc tìm taát caû caùc ghieäm cuûa f(x) trong A ñöôïc goïi laø giaûi phöông trình ñaïi soá baäc n = 0 trong A. ∑ = n 0i i i xa ∑ = n 0i i i ca ∑ = n 0i i i xa • n Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 100 - 1.6 Ñònh lí Giaû söû K laø moät tröôøng, c laø moät phaàn töû cuûa A vaø f(x) = laø moät ña thöùc cuûa K[x]. Khi ñoù c laø moät nghieäm cuûa f(x) khi vaø chæ khi (x - c) | f(x) Chöùng minh : Thöïc hieän pheùp chia Euclide f(x) = (x – c)g(x) + r. Töø ñoù suy ra r = f( c). Vaäy coù theå vieát f(x) = (x – c)g(x) + f(c). Khi ñoù khaúng ñònh laø roõ raøng. 1.7 Caáp cuûa khoâng ñieåm ∑ = n 0i i i xa Cho K laø moät tröôøng, c K, f(x) ∈ ∈ K[x] vaø m 1 laø moät soá töï nhieân. Ta noùi c laø nghieäm boäi caáp m cuûa f(x) neáu chia heát cho (x – c )m vaø khoäng chia heát cho (x – c )m+1. Neáu m = 1 ta coøn noùi c laø nghieäm ñôn, neáu m = 2 thì c ñöôïc goïi laø nghieäm a thöùc coù moät nghieäm boäi caáp m nhö moät ña thöùc coù m nghieäm truøng nhau. í ≥ keùp. Ta cuõng coù theå xem moät ñ 1.8 Ñònh l Giaû söû K laø moät tröôøng sao cho moïi ña thöùc khaùc haèng trong K[x] ñeàu coù nghieäm trong K. Khi ñoù vôùi moïi ña thöùc f ∈ K[x ] toàn taïi caùc phaàn töû a1, a2, …, an K vaø c K sao cho f(x) = c (x – a1)(x – a2) …(x – an). Chöùng minh : Giaû söû a1 laø moät nghieäm cuûa ña thöùc f(x). Theo ñònh lí 1.6 ta coù f(x) 2 f(x) = q1(x) (x – a1)(x – a2) Tieáp tuïc lí luaän nhö treân cho ñeán khi qn laø haèng thì ta seõ coù ñieàu caàn chöùng minh. • Moät tröôøng K coù tính chaát nhö ñònh lí 1.8, ñoù laø moïi ña thöùc khaùc haèng treân K eàu coù moät nghieäm treân K, ñöôïc goïi laø tröôøng ñoùng ñaïi soá. Cho duø K khoâng ñoùng ñaïi soá ta cuõng coù: 1.9 Ñònh lí ∈ ∈ = (x – a1)q(x) vôùi deg(q) = deg(f) –1. Neáu q laø khaùc haèng thì theo giaû thieát tìm ñöôïc moät nghieäm cuûa q(x) laø a vaø nhö theá ta coù ñ Moïi ña thöùc baäc n 1 treân moät tröôøng K coù nhieàu nhaát laø n nghieäm keå caû boäi. Chöùng minh : Giaû söû ña thöùc f(x) coù k nghieäm phaân bieät a1, a2, …, ak vôùi boäi töông öùng laø m1, m2, …, mk thì bôûi pheùp chia Euclide ta coù phaân tích f(x) = (x – a1 (x – a2 …(x – an q(x) ≥ ) 1m ) 2m ) km Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 101 - Töø ñoù suy ra m1 + m2 +…+ mk ≤ deg (f) = n. 1.10 Ñònh lí Cho K laø moät tröôøng voâ haïn, vaø f(x) = , g(x) = laø hai ña thöùc trong K[x]. Khi ñoù neáu f(c) = g(c) vôùi moïi c ∑ = n 0i i i xa ∑= n 0i i i xb ∈ K thì f = g, töùc laø ak = bk vôùi moïi k = 0, 1, …, n. Chöùng minh : Xeùt ña thöùc f(x) – g(x) = , khi ñoù theo giaû thieát moãi haàn töû cuûa K laø moät nghieäm cuûa ña thöùc naøy. Töø ñoù, bôûi ñònh lí 1.9, phaûi coù ak = bk vôùi moïi k = 0, 1, …, n. 1.11 Haøm ña thöùc ∑ = −n 0i i ii x)ba( p • Vôùi moïi ña thöùc f(x) = ∑n = ixa ∈ 0i i K[x] ta xaùc ñònh moät aùnh xaï nhö sau (c) = vaø goïi laø haøm ña thöùc töông öùng vôùi f. • CHUÙ YÙ: Xeùt aùnh xaï : K[x] KK = {aùnh xaï: K K}, f , vaø coù theå kieåm tra deã daøng raèng ñoù laø moät ñoàng caáu vaønh. Ta seõ khaûo saùt tính ñôn aùnh cuûa Giaû söû K = {t1, t2, …,tN} höõu haïn vaø xeùt f = ∧ f : K → K, ∧ f ∑ = n 0i i ica ϕ → → a ∧f ϕ . ∏ = −N 1k k )tx( ∈a) K[x] . Khi ñoù ta coù f ≠ 0 vì deg(f) = N 1 nhöng roõ raøng = 0 vì (c) = 0 vôùi moïi c K. Nhö vaäy ta coù f ≠ 0 maø (f) = (0) = 0. Töø ñoù ≥ ∧f ∧f ∈ ϕ ϕ ϕ laø khoâng ñôn aùnh. b) Giaû söû K voâ haïn. Khi ñoù laø ñôn aùnh vì töø ϕ ϕ (f) = ϕ (g) suy ra (c) = (c) vôùi moïi c K, hay f(c) = g(c) vôùi moïi c ∧ f ∧ g ∈ ∈ K, vaø theo ñònh lí 1.10, f = g. Nhö vaäy laø moät ñôn caáu vaønh khi vaø chæ khi tröôøng K laø voâ haïn. Töø ñoù, neáu K laø 3 vaø ∀ ) thì ta coù theå ñoàng nhaát f vôùi , töùc laø xem ña thöùc f nhö laø moät haøm xaùc ñònh treân K. • Baây giôø ta söû duïng caùc keát quûa ñaõ thu ñöôïc veà vaønh chính vaø vaønh Euclide ñeå nghieân cöùu vaønh ña thöùc K[x] vôùi K laø moät tröôøng. Tröôùc heát chuù yù raèng : ϕ voâ haïn (Chaúng haïn ∧ f Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 102 - 1) Phaàn töû khaû nghòch trong K[x] laø caùc phaàn töû a ∈ K = K – {0} . ) Ña thöùc lieân keát vôùi ña thöùc f(x) laø caùc ña thöùc coù daïng af(x) vôùi a K . 3) Phaàn töû baát khaû qui trong K[x] laø caùc ña thöùc p(x) coù baäc 1, maø öôùc cuûa noù chæ coù theå laø caùc ña thöùc haèng ( caùc phaàn töû thuoäc K ) vaø caùc ña thöùc coù daïng c p(x) vôùi c K*. Roõ raøng caùc ña thöùc baäc 1 : ax + b laø baát khaû qui . Chuùng coù nghieäm laø – a–1b trong K. Caùc ña thöùc baát khaû qui khaùc töùc laø caùc ña thöùc baát khaû qui coù baäc > 1 laø voâ nghieäm trong K. Thaät vaây, neáu p(x) laø moät ña thöùc baát khaû qui coù baäc > 1 vaø coù nghieäm c K thì p(x) = (x – c ).q(x) vôùi deg(q) 1. Do ñoù ( x – c) laø öôùc thöïc söï cuûa p(x), ñieàu naøy traùi vôùi p(x) laø baát khaû qui. 1.12 Ñònh lí * ∈ *2 ≥ * ∈ ∈ ≥ moät tröôøng vaø p(x) =Cho K laø n i ∑ = i xa ( n >1) laø moät ña thöùc baát moät tröôøng T duy nhaát (theo nghóa sai khaùc T 0i khaû qui treân vaønh K [x]. Khi ñoù toàn taïi nhau moät ñaúng caáu) sao cho : 1) K laø moät tröôøng con cuûa T. 2) p(x) coù moät nghieäm u trong 3) Moïi phaàn töû z∈T ñeàu vieát ñöôïc duy nhaát döôùi daïng z = ∑−1n = ]/ I . Khi ñoù T f(x) khoâng phaûi laø boäi uûa p(x) neân ( f(x), p(x)) = 1. Töø ño ù toàn taïi r(x), s(x) 0i i iub , bi ∈ K. Chöùng minh : . Ñaët I = laø ideal sinh bôûi p(x) , vaø xeùt vaønh thöông T = K[x cuõng laø moät tröôøng. Thaät vaäy, xeùt f(x) + I ≠ 0 + I, khi ñoù vì c ∈ K[x ] sao cho f.r + p.s = 1, suy ính taéc ra f.r ∈ 1 + I. Vaäy ta coù (f(x) + I).(r(x) + I) = f(x).r(x) + I = 1 + I. töùc laø f(x) + I khaû nghòch. . Baây giôø xeùt toøan caáu ch π : K[x] K[x] / I, f f + I, vaø thu heïp cuûa noù eân K : K K [x] / I , vaø ta coù theå deã kieåm tra → a π | → π |K laø moät ñôn caáu. Töø ñoù coù tr K theå ñoàng nhaát caùc phaàn töû a∈ K vôùi π |K (a) ∈ K [x] / I = T vaø xem K laø moät öôøng con cuûa T. Neáu ñaët u = (x), thì ta coù theå vieát πtr Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 103 - π (p(x)) = i)x()a( = ∑n iua . ∑ ππn = i 0i i =0i Vì π (p(x)) = p(x) + I = 0 + I neân ta coù ∑ = Cuoái cuøng laáy z baát kì thuoäc T, khi ñoù toàn taïi f n 0i i iua = 0 + I (phaàn töû khoâng trong T), ñieàu naøy coù nghóa laø u laø nghieäm trong T cuûa ña thöùc p(x). . ∈ K[x] sao cho z = (f). Chia f f(x) = p(x) g(x) + r(x), vôùi r(x) = π cho p(x) ta ñöôïc ∑− = i i xb (b 1n i∈ 0i K vaø khoâng nhaát thieát ≠ 0). Töø où z = (f) = (p.g) + (r) = 0 + π π π π (r) = ∑−1n = i iub . ieåu dieãn cuûa z laø duy nhaát . Thaät vaäy ñ 0i B Giaû söû z = ∑− 0i= 1n i iub = ∑ − 0i . i ñ 0i i ii u)cb = = 1n i iuc Kh où : ∑ 1n ( − = − π ( ∑− = −1n 0i i ii x)cb( ) = 0 , töùc laø ∑− = 1n ix I , suy ra laø boäi cuûa p(x), ñieàu naøy chæ moät ñaúng caáu. Giaû söû coù moät tröôøng T' ∈ ∑− = −1n 0i i ii x)cb(− 0i ii )cb( xaûy ra khi bi = ci (do baäc cuûa p(x) lôùn hôn ). . Baây giôø ta chæ ra T laø duy nhaát sai khaùc cuõng coù caùc tính chaát nhö T. Goïi u' laø nghieäm cuûa p(x) trong T'. Xeùt ñoàng caáu ϕ : K [x] → T', f(x) a f(u'). Coù theå chæ ra ϕ laø toøan caáu vaø Kerϕ = I. Töø ñoù theo ñònh lí ñoàng caáu vaønh : T' = Im ≅ K[x ]/ Kerϕ ϕ = K [x] / I = T . • AÙP DUÏNG : AÙp duïng ñònh lí 1.12 cho tröôøng hôïp K = 3 laø taäp caùc soá thöïc vaø p(x) = x2 + 1 thì tröôøng T luùc naøùy seõ laø 3[x] = {a +b.i; a,b / >+< 1x2 ∈ 3 vaø i laø nghieäm cuûa x2 + 1 = 0} = ∀ . Nhö vaäy ta tìm laïi ñöôïc tröôøng soá phöùc quen thuoäc. 1.13 Ñònh lí Cho K laø moät tröôøng, f(x) K[x] laø ña thöùc coù baäc n > 1. Khi ñoù toàn taïi moät tröôøng T môû roäng cuûa K sao cho f( x) coù ñuùng n nghieäm. Chöùng minh : Neáu caùc nhaân töû baát khaû qui trong phaân tích cuûa f ñeàu laø baäc 1 thì ñaõ chöùng minh xong. Giaû söû coù p(x) laø moät nhaân töû baát khaû qui vôùi baäc > 1. Ta xaây öïng tröôøng T ñeå p(x) coù nghieäm trong T. Neáu f(x) chöa coù n nghieäm thì noù phaûi coù daïng : ∈ d Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 104 - f(x) = (x –a)r…..(x – b)s.f1(x), trong ñoù a,…,b ∈ T vaø f1(x) ∈ T[x ], 1 < deg(f1) < deg(f) Tieáp tuïc môû roäng tröôøng T thaønh T1 ñeå f1(x) coù nghieäm trong T1. Vì baäc cuûa ña thöùc laø höõu haïn neân sau moät soá höõu haïn böôùc ta seõ tìm ñöôïc tröôøng môû roäng Tk thoûa 2. Vaønh ña thöùc nhieàu bieán yeâu caàu . 2.1 Ñònh nghóa • Giaû söû A laø moät vaønh giao hoùan vôùi ñôn vò 1. Ta ñaët : A1 = A[x1 ] , A2 = A1[x2 ], …, A n = An-1 [xn ]. Khi ñoù vaønh A n = An-1 [xn] , ñöôïc kí hieäu laø A[x1, x2, ….,xn], seõ ñöôïc goïi laø vaønh ña thöùc cuûa n bieán treân A. Moãi phaàn töû cuûa A[x1, x2, ….,xn] ñöôïc goïi laø moät ña thöùc cuûa n bieán x1, x2, ….,xn , vaø vieát f(x1, x2, ….,xn ) ∈ A[x1, x2, ….,xn]. Baây giôø ta tìm caùch bieåu dieãn caùc phaàn töû cuûa vaønh A[x1, x2, ….,xn] . Tröôùc heát xeùt caùc ña thöùc hai bieán f(x,y) ∈ A[x,y] = A[x][y]. Noù coù theå vieát döôùi daïng : f(x,y) = a0(x) + a1(x)y + ....+ an (x)yn vôùi ai(x) = ∑ = im 0k k ik xb ∈ A[x] Vì A [x, y] laø vaønh neân pheùp nhaân phaân phoái ñoái vôùi pheùp coäng , do ñoù f(x,y) coù theå vieát f(x,y) = , vôùi c∑ jii mmmjm yxc jimm ∈ A. Baèng qui naïp ta thaáy ña thöùc bieán coù theå vieát döôiù daïng : f(x1, x2, ….,xn ) = , vôùi c A, (1) ….x vôùi a ∑ nini mnm1m.....m x......xc ni m...m ∈ Moãi haïng töû g = ax1 1m n nm ∈ A goïi laø moât ñôn thöùc, neáu a ≠ 0 thì +…+ mn ñöôïc goïi laø baäc cuûa ñôn thöùc g, vaø kíù hieäu laø deg(g). Ta cuûa moät ña thöùc f baát kì vieát döôùi daïng (1) laø deg(f) = max { m1 + m2 +…+ mn : c 0} toång m1 + m2 ñònh nghóa baäc ni m...m ≠ Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 105 - 2.2 Caùch saép xeáp ña thöùc theo loái töï ñieån • Xeùt vò nhoùm coäng giao hoaùn ∠ = ∠0 × ∠0 × …× ∠0 vôùi pheùp coäng ñöôïc xaùc ñònh bôûi (a1, a2, …,an) + (b1, b2, …,b ) = (a1 + b1, a2 + b2, …, an + bn). Treân ∠ xaùc ònh moät quan heä > nhö sau : (a1, a2, …,an) > (b1, b2, …,bn) neáu vaø chæ neáu toàn taïi i {1, 2, …, n} sao cho a1 = b1, a2 = b2, …, ai–1 = bi–1 vaø ai > bi . VÍ DUÏ: Treân ∠ , (2, 1, 1) > (1, 2, 3) > (0, 4, 1) > (0, 3, 9) Coù theå kieåm tra deã daøng raèng (∠ , >) laø moät vò nhoùm ñöôïc saép thöù töï toøan phaàn. • Saép xeáp ña thöùc f(x1, x2, ….,xn) = theo loái töø ñieån laø caùch saép xeáp caùc haïng töû cuûa ña thöùc naøy theo thöù töï giaûm daàn hoaëc taêng daàn cuûa soá muõ (m1, m2, …, mn) ( theo quan heä thöù töï ôû treân vaø neáu trong haïng töû thieáu bieán xi thì ta xem mi = 0 ). Haïng töû vôùi soá muõ lôùn nhaát ñöôïc goïi laø haïng töû cao nhaát cuûa ña thöùc. VÍ DUÏ : Trong ña thöùc f(x1, x2, x3) = 4x + 2x – 3x + x ta coù (3,1,1) > (2,4,0) > (1,0,5) > (0,5,1) neân coù daïng saép xeáp loái töø ñieån laø f(x1, x2, x3) = – 3x x + 4x + 2x + x KÍ HIEÄU: Neáu x = (x1, x2, ….,xn), m = (m1, m2, ….,mn) thì ta vieát xm = x x …x 2.3 Ñònh lí n 0 n n 0 ñ ∈ 3 0 n 0 ∑ n1n1 mnm1m.....m x......xc 2 1 x 4 2 1 x 5 3 3 1 x 2 x 3 5 2 x 3 3 1 x 2 3 2 1 x 4 2 1 x 5 3 5 2 x 3 . 1m 1 2m 2 nm n Neáu A laø vaønh nguyeân thì A[x1, x2, ….,xn] cuõng laø vaønh nguyeân Chöùng minh: Giaû söû f = vaø g = laø hai ña thöùc khaùc 0 vaø ñöôïc saép xeáp theo loái töø ñieån, töùc laø n > n – 1 > … > 0 , m > m – 1 > … > 0, vaø caùc haïng ùc heä töû laàn löôït laø an ≠ 0, bm ≠ 0. ù f.g = , i = 1, 2, …, n vaø j = 1, 2, …, m. Töø ñoù heä töû cuûa haïng töû cao nhaát trong f.g laø anbm . Vì A laø vaønh nguyeân neân anbm ≠ 0, vaø do vaäy f.g ≠ 0. ∑ = n 0k k k xa ∑= m 0k k k xb töû cao nhaát cuûa chuùng coù ca Khi ño ∑ + j,i ji ji xba Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 106 - CHUÙ YÙ: Vaønh ña thöùc K[x1, x2, ….,xn] treân tröôøng K khoâng phaûi laø vaønh chính vôùi n 2. Chaúng haïn ideal khoâng phaûi laø moät ideal chính. 2.4 Ña thöùc ñoái xöùng ≥ • Cho A laø moät vaønh giao hoùan vôùi ñôn vò 1 ≠ 0, A[x1, x2, ….,xn ] laø vaønh ña thöùc n bieán . Moät ña thöùc f A[x1, x2, ….,xn ] goïi laø ñoái xöùng neáu , ….,x ) vôùi moïi hoùan vò Sn. • VÍ ∈ f(x1, x2, ….,xn ) = f(x )1(σ , x )n(σ σ ∈)2(σ DUÏ: Caùc ña thöùc sau ñaây : 1σ = x1 + x2 + …. +xn 2σ = x1x2 + x1x3 …. + xn-1 xn . . . . . . . . . . . . kσ = iii k21 x....xx . . . . . . . . . . . . . . ∑ ≤≤ ni,..,i1 k1 nσ = x1x2 ….xn ña thöùc ñoái xöùng cô baûn. 2.5 Ñònh lí laø ñoái xöùng vaø goïi laø caùc Caùc ña thöùc ñoái xöùng cô baûn laø ñoäc laäp ñaïi soá treân A, töùc laø, neáu f( , … , ) = 0 vôùi f A[x1, x2, ….,xn ] thì f = 0. Chöùng minh: Ta chöùng minh baèng qui naïp theo n. Tröôøng hôïp n = 1 laø taàm thöôøng. Giaû söû ñònh lí ñuùng vôùi n –1, ta seõ chæ ra noù cuõng ñuùng vôùi n. Thaät vaäy, giaû söû f σ 1,σ 2 σ n ∈ ∈ A[x1, x2, ….,xn] laø ña thöùc khaùc 0 vaø coù caáp beù nhaát sao cho f(σ 1,σ 2, … , ) = 0. Ta vieát ña thöùc f(x1, x2, …., xn) nhö moät ña thöùc moät bieán xn : f = f0(x1, x2, …., xn–1) + f1(x1, x2, …., xn–1)xn + … + fs(x1, x2, …., xn–1)x trong ñoù fi(x1, x2, …., xn–1) A[x1, x2, ….,xn–1]. Haïng töû f0(x1, x2, …., xn–1) ≠ 0 vì neáu khoâng thì f = xn g, töø ñoù 0 = f( σ n s n ∈ σ 1,σ 2, …,σ n) = σ ng(σ 1,σ 2, … , ) = 0, vaø do ñoù g( , … , ) = 0, nhöng ñieàu naøy maâu thuaån vôùi f laø coù caáp nhoû nhaát thoûa f( , … , σ n σ 1,σ 2 σ n σ 1,σ 2 σ n) = 0. Baây giôø ta coù 0 = f0 , …, n–1) + f1(σ 1,σ 2 σ (σ 1,σ 2, … ,σ n–1)σ n + … + fs(σ 1,σ 2, … , n–1 Veá phaûi taát nhieân laø moät ña thöùc n bieán x1, x2, ….,xn vaø neáu thay xn = 0 vaøo thì σ )σ sn Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 107 - do (x1, x2, …,xn–1, xn) = x1 x2 ….xn–10 = 0 neân ta coù f0σ n (ω 1,ω 2, …, n–1) = 0 trong où = (x1, x2, …, xn–1, 0) laø ña thöùc ñoái xöùng cô baûn n – 1 bieán. Keát hôïp vôùi f0(x1, x2, …., xn–1) ≠ 0 seõ daãn ñeán maâu thuaån vôùi giaû thieát qui naïp. 2.6 Ñònh lí ω ω i σ iñ Ñoái vôùi moãi ña thöùc ñoái xöùng f∈ A[x1, x2, ….,xn] toàn taïi duy nhaát moät ña thöùc g ∈ A[x1, x2, ….,xn] sao cho f(x1, x2, …., xn) = g(σ 1, σ 2, ….,σ n). Chöùng minh: • Söï toàn taïi. . Ta saép xeáp f(x1, x2, …., xn) theo loái töø ñieån vaø giaû söû ax … x laø haïng töû cao nhaát cuûa noù. Khi ñoù ta phaûi coù a a2 … an. Thaät vaäy, giaû söû toàn taïi i sao cho ai > ai–1. Vì f ñoái xöùng neân f phaûi chöùa haïng töû ax …x … x coù ñöôïc töø ax … x baèng caùch thay xi bôûi xi–1 vaø xi–1 bôûi xi . Do ai > ai–1 neân (a1, …, ai–2, ai, ai-1 n) > (a1, …, ai–2, ai–1, ai ,…, an), vaäy ax … x khoâng laø haïng töû cao nhaát, vaø ñieàu naøy daãn ñeán maâu thuaån. . Xeùt ña thöùc a 1a 1 x 2a 2 na n 1≥ ≥ ≥ 1a 1 ia 1i− x 1i a i − na n 1a 1 x 2a 2 na n ,…, a 1a1 x 2a 2 na n σ 21 aa1 − σ 32 aa2 − … σ nan 1a 1 x vaø deã kieåm tra raèng ñoù cuõng laø ña thöùc ñoái xöùng vaø coù haïng töû cao nhaát laø ax … x . Ñaët f1 = f – a … 2a 2 na n . σ 21 aa1 − σ 32 aa2 − σ nan ( roõ raøng noù laø ña thöùc ñoái xöùng) - Neáu f1 = 0 ( ñaõ chöùng minh xong) - Neáu f1 ≠ 0, thì ta laïi saép xeáp noù theo loái töø ñieån vaø giaû söû haïng töû cao nhaát cuûa noù laø bx … x , ñeå yù raèng luùc naøy (a1, a2,…, an) > (b1, b2,…, bn), vaø do ñoù a1 b1. . Ñaët f2 = f1 – a … 1b 1 x 2b 2 nb n ≥ σ 21 bb1 − σ 32 bb2 − σ nbn - Neáu f2 = 0 ( ñaõ chöùng minh xong) - Neáu f2 ≠ 0, thì ta laïi saép xeáp noù theo loái töø ñieån vaø giaû söû haïng töû cao nhaát cuûa noù laø cx … x , ñeå yù raèng luùc naøy (b1, b2,…, bn) > (c1, c2,…, cn), vaø do ñoù b1 c1. . . . . . . . . . . Quaù trình treân seõ chaám döùt sau moät soá höõu haïn böôùc vì töông öùng vôùi noù ta coù daõy caùc soá töï nhieân giaûm daàn a1 b1 c1 … 0. • Söï duy nhaát. Giaû söû coù g vaø g1 1c 1 x 2c 2 nc n ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ∈ A[x1, x2, ….,xn] sao cho Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 108 - f(x1, x2, …., xn) = g , (σ 1 σ 2, ….,σ n) = g1(σ 1, σ 2, ….,σ n). Khi ñoù (g – g1) ( , …, ) = 0, töø ñoù g = g1 do ñònh lí 2.5. ùng minh söï toàn taïi trong ñònh lí cung caáp moät phöông phaùp ñeå tìm g sao cho f(x1, x2, …., xn) = g( , σ 1,σ 2 σ n CHUÙ YÙ: Pheùp chö σ 1 σ 2, ….,σ n), töùc laø phöông phaùp bieåu thò moät ña thöùc ñoái xöùng qua caùc ña thöùc ñoái xöùng cô baûn. VÍ DUÏ: Bieåu thò ña thöùc ñoái xöùng sau qua caùc ña thöùc ñoái xöùng cô baûn f(x1, x2, x3) = x + x + x + x + x + x Giaûi: Haïng töû cao nhaát cuûa f laø x Laäp haøm f1 = f – 2 1 x 2 1 x 2 2 2 1 x 3 1 x 2 3 2 2 x 3 2 x 2 3 2 1 x 2 . σ 121− σ 012− σ 03 = f – σ 1 σ 2 = x + x +x + x + x + x – (x1 + x2 + x3)( x1 x2 + x1x3 + x2x3) = – 3 x1 x2 x3 Laäp haøm f2 = f1 + 3 2 1 x 2 1 x 2 2 2 1 x 3 1 x 2 3 2 2 x 3 2 x 2 3 σ 111− σ 112− σ 13 = f1 + 3σ 3 = 0 Töø ñoù f = f1 + = – 3σ 1σ 2 σ 3 + σ 1σ 2. 3. Caùc ña thöùc treân tröôøng soá 3.1 Ñònh lí (d' Alermbert) Tröôøng soá phöùc ∀ laø ñoùng ñaïi soá, töùc laø moïi ña thöùc f ∈ ∀[x] coù baäc 1 ñeàu coù nghieäm trong ∀. höùng minh: (xem phaàn phuï luïc) ≥ C 3.2 Ñònh lí a) Caùc ña thöùc baát khaû qui treân ∀[x] laø caùc ña thöùc baäc 1 : p(x) = ax + b. – Caùc ña thöùc baäc 1 : p(x) = ax + b ña th x2 b) Caùc ña thöùc baát khaû qui trong 3 [x] bao goàm : – Caùc öùc baäc 2 : p(x) = a + bx + c vôùi ∆ = b – 2 4ac < 0. Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 109 - Chöùng minh: a) suy r tra öïc tieáp töø ñònh lí 3.1. Ta chöùng minh b). Giaû söû p(x) thuoäc [x] laø baát khaû qui vaø deg(p) 2. Vì p(x) cuõng thuoäc ∀[x] neân theo ñònh lí 3.1 p(x) 3 . Vì ≥3 coù ít nhaát moät nghieäm z ∈ ∀ vaø do p baát khaû qui trong 3 [x] neân z ∉ z cuõng ø nghieäm cuûa p(x) neân (x – z)(x –T = zla ) laø moät öôùc cuûa p(x) trong ∀[x], nhöng T = x2 – 2Re(z)x + 3 [x] neân T cuõng laø öôùc cuûa p(x) trong 3[x]. Do p baát khaû a.T, vôùi a z ∈ ∈ qui neân T phaûi lieân keát vôùi p, töùc laø p = 3*. Vaäy p(x) laø moät tam thöùc â raøng caùc ña thöùc baäc 1 laø baát khaû qui, vaäy, vì neáu khoâng thì noù phaûi coù moät ôùc laø ña thöùc baäc 1 vaø ñieàu naøy maâu thuaån vôùi giaû thieát voâ nghieäm cuûa ña thöùc ñoù. aån Eisenstein) baäc 2 khong coù nghieäm thöïc. Ngöôïc laïi roõ caùc ña thöùc baäc 2 khoâng coù nghieäm thöïc cuõng ö 3.3 Ñònh lí ( tieâu chu eáu f(x) = anx + an–1xn–1 + … + a0 nN ∈ 9[x] vaø p laø moät soá nguyeân toá thoûa maõn an ≠ 0( mod p), ai 0(mod p) vôùi moïi i < n, vaø a0 ≠ 0 (mod p ) 0k k 0k k k x ; r, s > 0 vaø r + s = n. Vì o p nguyeân toá thoûa p | a0 neân suy ra b0 2 ≡ thì f(x) laø ña thöùc baát khaû qui trong Θ[x]. Chöùng minh: Giaû söû f =g.h, vôùi g = ∑r kxb , h ∑s c = = a0 = b0 c0 vaø d ≡ 0(mod p) hoaëc c0 ≡ 0(mod p). Chuù yù raèng neáu b0 0(mod p) thì c0 ≠ 0(mod p) vì neáu khoâng thì a0 =b0 co 0(mod p2). Giaû söû b0 0(mod p). Ta cuõng ñeå yù raèng khoâng phaûi moïi heä soá ≡ ≡ ≡ cuûa g(x) ñeàu laø boäi cuûa p vì neáu khoâng thì an = br cs ≡ 0(mod p), vaø ñieàu naøy tra vôùi giaû thieát. Goïi b ùi r < n). Khi où töø ai = bic0 + bi–1c1 + … + b0ci suy ra bic0 i laø heä soá ñaàu tieân cuûa g khoâng chia heát cho p (0 < i ≤ ≡ñ 0(mod p) nhöng do p nguyeân toá eân p |bi hoaëc p | c0, vaø ñieàu naøy daãn ñeán maâu thuaån. m – p laø ña thöùc baát khaû qui. n VÍ DUÏ: Neáu p laø nguyeân toá thì f(x) = x Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 110 - BAØI TAÄP 1. Treân vaønh 9 [x] xeùt ña thöùc f(x) = xp. Haõy xaùc ñònh haøm ña thöùc töôn 2. Cho p laø soá nguyeân toá vaø ña thöùc f(x) = xp – 1 ∧ f p g öùng vôùi f. ∈ 9p[x]. Chöùng minh raèng f(x) = (x –1)p. 3. Trong vaønh ña thöùc 95[x] haõy thöïc hieän caùc pheùp toùan : a) ( 2 x2 + 4 x2 + 1 ) (3x2 + 1x + 2 ) b) (– 2 x2 + 4 x + 3)2 c) Pheùp chia (– 1x3 + 2 x2 + 2 x + 1 ) cho (– 2 x2 + 2 x –1 ) 4. Trong vaønh 96[x] haõy thöïc hieän pheùp nhaân ( 2 x3 + 4 x2 + 1x) (3x2+ 3x + 2 ) 5. Trong vaønh 97[x] haõy xaùc ñònh p ñeå dö cuûa pheùp chia (1x3 + p x + 5 ) cho (1x2 5 x + 6 + ) laø baèng 0. 7. Chöùng toû ña thöùc 6. Trong vaønh Θ[x] chöùng minh raèng ña thöùc (x+1)2n – x2n – 2x –1 chia heát cho caùc ña thöùc 2x + 1, x + 1 vaø x. 1x2 + 14 ∈ 915[x] coù 4 nghieäm trong 915. 8. Cho caùc ña thöùc f(x) = – x3 – 7x2 + 2x – 4 g(x) = – 2x2 + 2x – 1. a) Tìm ÖCLN cuûa f(x) vaø g(x) trong Θ[x] b) Tìm ÖCLN cuûa f(x) vaø g(x) trong 911[x] 9. Xeùt taäp Θ( 2 ) = {a + b 2 : a, b ∈ Θ}. Chöùng minh raèng a) Θ( 2 ) laø moät tröôøng vôiù pheùp coäng vaø nhaân thoâng thöôøng caùc soá. b) Θ( 2 ) ≅ Θ[x] / 10. Xeùt taäp 3 >−< 2x2 ( 3− ) = {a + b 3− : a, b ∈ 3}. Chöùng minh raèng : Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 111 - a) 3 ( 3− ) laø moät tröôøng vôiù pheùp coäng vaø nhaân thoâng thöôøng caùc so b) 3 ( 3− ) ≅ 3[x] / 11. Haõy bieåu dieãn caùc ña thöùc sau qua caùc ña thöùc ñoái xöùng cô baûn 1) x3 + y3 + z3 – 3xyz 2) x2 y + x y2 + x2 z + x z 2+ y2 z + y z2 . 3) – 2 x2 z2 – 2 y2 z2 . 4) x y + x y + x z + x2 z 5+ y5 z2 + y2 z5 . 12. Xaùc ñònh tính baát khaû qui cuûa caùc ña thöùc sau treân tröôøng soá höõu tæ 1) x4 – 8x3 + 12x2 – 6x –2 2) x5 – 12x3 + 36x –12 3) x4 – x3 + 2x +1 13. Chöùng minh raèng ña thöùc thuoäc 3[x] coù baäc 3 ñeàu khoâng baát khaû qui. 14. Cho f(x) = xn + … + a0 9[x] vôùi n 1. Chæ ra raèng neáu f coù nghieäm höõu tæ thì ghieäm ñoù laø nghieäm nguyeân vaø laø öôùc cuûa a0. 5. Tìm taát caû caùc nghieäm höõu tæ cuûa caùc ña thöùc sau: a) x7 –1 b) 2x4 – 4x + 3 c) x5 + x4 – 6x3 – 14x2 – 11x – 3 16. Cho p laø soá nguyeân toá. Ñaët f(x) = xp + xp–1 + … + 1. Chöùng toû raèng f(x) laø baát khaû qui treâa Θ [x] >+< 3x2 . x4 + y4 + z4 – 2x2 y2 5 2 2 5 5 2 ≥ ∈ ≥ n 1 Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 112 - PHUÏ LUÏC . Tröôøng soá thöïc 1 1.1 Laùt caét höõu tæ • Giaû söû K laø moät tröôøng treân ñoù ñaõ xaùc ñònh quan heä thöù töï toøan phaàn '' beù hôn '' < . Ta goïi moät laùt caét treân tröôøng K laø moät caëp (A1, A2) goàm hai taäp con cuûa K thoûa maõn caùc tính chaát : 1) A1 ≠ ∅ , A2 ≠ ∅ . 2) A A = ∅, A ∪ A = K. 1 2 1 2 2) x < y vôùi moïi x ∈ A ∩ 1, vôùi moïi y ∈ A2 . • Ta thaáy moãi laùt caét (A1, A2) chæ coù theå thuoäc moät trong boán loïai sau ñaây: 1) A1 coù phaàn töû lôùn nhaát, A2 coù phaàn töû beù nhaát. 2) A1 coù phaàn töû lôùn nhaát, A2 khoâng coù phaàn töû beù nhaát. 3) A1 khoâng coù phaàn töû lôùn nhaát, A2 coù phaàn töû beù nhaát. nhaát. Laùt caét loïai 1 goïi laø laùt caét coù böôùc nhaûy, loïai 2 vaø 3 goïi laø laùt caét coù bieân, loïai 4 goïi laø laùt caét khoâng bieân. • Moät tröôøng saép thöù töï toøan phaàn K goïi laø lieân tuïc neáu moïi laùt caét treân K ñeàu coù bieân. Tröôøng soá höõu tæ Θ laø moät tröôøng khoâng lieân tuïc. • Goïi 3 laø taäp hôïp taát caû caùc laùt caét treân tröôøng soá höõu tæ Θ. Chuù yù raèng laùt caét treân tröôøng höõu tæ khoâng theå coù böôùc nhaûy. 1.2 Caùc quan heä treân 3 . 4) A1 khoâng coù phaàn töû lôùn nhaát, A2 khoâng coù phaàn töû beù Cho hai laùt caét =(A1, A2), =(B1, B2) α β ∈ 3 • Hai laùt caét vaø goïi laø baèng nhau, vaø vieát α β α = β , neáu vaø chæ neáu A1 – {phaàn töû lôùn nhaát} = B1 – {phaàn töû lôùn nhaát} hoaëc A2 – {phaàn töû beù nhaát} = B2 – {phaàn töû beù nhaát} ùt caét coù bieân =(A1, A2) vôùi A2 khoâng coù phaàn töû beù nhaát. • Ta noùi raèng beù hôn , vaø vieát Ta qui öôùc vieát la α α β α < β , neáu A 1 ⊂ B1 vaø A 1 ≠ B1. Vôùi quan heä <, 3 laø moät taäp ñöôïc saép thöù töï toaøn phaàn. Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 113 - 1.3 Pheùp coäng (A1, A2) + (B1, B2) = (C1, C2) trong ñoù, C2 = {(a2 + b2) , a2 ∈ A2, b2 ∈ B2} vaø C1 = Θ – C2. Ñoái vôùi pheùp coäng phaàn töû ñôn vò laø 0 = (O1, O2), trong ñoù O1 laø taäp caùc soá höõu tæ khoâng döông vaø O2 = (A1, A2) laø – = (A'1, A'2), trong ñoù A'2 ={– r : r laø taäp caùc soá höõu tæ döông, phaàn töû nghòch ñaûo cuûa α α ∈ A1} vaø A'1 = Θ – A'2. 1.4 Pheùp nhaân a) Neáu = (A1, A2), = (B1, B2) > 0, thì pheùp nhaân ñöôïc xaùc ñònh bôûi α β α .β = (A1, A2).(B1, B2) = (C1, C2), ôû ñaây C2 := {a2.b2 : a2 A2, b2 ∈ ∈ B2 } vaø C1 = Θ – C2. b) Neáu > 0, 0 thì pheùp nhaân ñöôïc xaùc ñònh bôûi = (– ) = (–α .β α β α )β . aân ñöôïc xaùc ñònh bôûi c ) Neáu α > 0, β < 0 thì pheùp nh α .β = (– ).(– α β ) d) Neáu = 0 hoaëc = 0 thì pheùp nhaân ñöôïc xaùc ñònh bôûi α β α .β = 0. = .0 = 0 Ñoái vôùi pheùp nhaân phaàn töû ñôn vò coù daïng E = (E1, E2), trong ñoù E1 laø taäp caùc soá höõu tæ khoâng lôùn hôn 1 vaø E2 laø taäp caùc soá höõu tæ lôùn hôùn 1, phaàn töû nghòch ñaûo cuûa = (A1, A2) > 0 laø –1 = (A'1, A'2), trong ñoù taäp A'2 = {r –1 : r β α α α ∈ A 1, r > 0 } vaø A'1 = Θ – A'2, coøn phaàn töû nghòch ñaûo cuûa α < 0 laø α –1 = (–α )–1. 2. Tröôøng soá phöùc 2.1 Xaây döïng soá phöùc • Ta xeùt taäp hôïp ∀ = 3 ×3 laø taäp taát caû caùc caëp soá thöïc (a, b) maø treân ñoù quan heä baèng nhau, pheùp toùan coäng, pheùp toùan nhaân ñöôïc xaùc ñònh nhö sau : (a, b) = (c, d ) ⇔ a = b vaø c = d. (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) . (c, d) = (a c – b d, a d + b c). Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 114 - • Ñoái vôùi pheùp coäng phaàn töû ñôn vò laø 0 = (0, 0), phaàn töû nghòch ñaûo cuûa z = (a, b) laø – z = (– a, – b). Ñoái vôùi pheùp nhaân phaàn töû ñôn vò laø 1 =(1, 0), phaàn töû nghòch ñaûo cuûa z =(a, b)≠ 0 laø z–1 = ( 2222 ba b, ba a + − + ). ôùi pheùp coäng vaø pheùp nhaân ñaõ ñöôïc ñònh nghóa thì (∀,+,•) laø moät tröôøng, goïi laø tröôøng soá phöùc, moãi phaàn töû goïi laø moät soá phöùc. • Neáu ñaët ∀0 = {(a, 0): a 3 } ⊂ ∀ thì ( ∀, +, •) laø moät tröôøng vaø töø ñaúng caáu : 3 ∀0, a (a, 0), ta coù theå ñoàng nhaát 3 vôùi ∀0, töùc laø moãi soá thöïc x 3 ñoàng nhaát vôùi soá phöùc (x, 0) ∀ , ñaëc bieät 1 ≡ (1, 0), vaø 0 ≡ (0, 0). Vôùi moãi soá phöùc z = (a, b) ∀, ta coù theå vieát : (a, b) = (a, 0) + (b, 0).(0, 1) vaø neáu ñaët i = (0, 1) thì soá phöùc z coù daïng z = a + bi, goïi laø daïng ñaïi soá cuûa soá phöùc. Soá a ñöôïc goïi laø phaàn thöïc cuûa soá phöùc z, kí hieäu a = Rez, vaø soá b ñöôïc goïi laø phaàn aûo cuûa soá phöùc z, kí hieäu b = Im z. Ta goïi soá phöùc V ∈ ϕ → a ∈ ∈ ∈ • z = a – bi laø soá phöùc lieân hôïp cuûa soá phöùc z = a + bi. Vieäc tính toaùn caùc soá phöùc vieát döôùi daïng ñaïi soá nhö tính toaùn treân soá thöïc vôùi chuù yù raèng i2 = i. i = (0, 1).(0, 1) = ( –1, 0) ≡ –1 • Neáu treân maët phaúng toïa ñoä Oxy ta ñaët töông öùng moãi soá phöùc z = a + bi vôùi ñieåm M(a,b) Oxy hoaëc vôùi vectô = (a, b) ∈ → OM ∈ mpOxy thì ta ñöôïc moät song aùnh töø ∀ leân mpOxy. Ñieåm M(a,b) hoaëc vectô = (a,b) ñöôïc goïi laø bieåu dieãn hình hoïc cuûa soá phöùc z. Maët phaúng toïa ñoä Oxy coøn ñöôïc goïi laø maët phaúng phöùc, truïc Ox goïi laø truïc thöïc, Oy laø truïc aûo. • Baây giôø giaû söû z = a + bi laø moät soá phöùc baát kì ñöôïc bieåu dieãn bôûi vectô treân mp Oxy. Ta goïi r = = → OM → OM | → OM | 22 ba + laø modul cuûa soá phöùc z, vaø kí hieäu | z |. Goùc ñònh höôùng (Ox, ) goïi laø argument cuûa cuûa soá phöùc z, kí hieäu arg z. Ta thaáy raèng soá 0 coù modul laø 0 vaø argument tuøy yù, coøn moãi soá phöùc khaùc 0 coù modul ñònh sai khaùc nhau moät boäi nguyeân cuûa 2 • Neáu soá phöùc z = (a,b) ≠ 0 coù → OM laø moät soá thöïc döông vaø argument ñöôïc xaùc π. z = r vaø arg z = ϕ (hoaëc toång quaùt arg z = ϕ +k2 ) thì ta coù moät bieåu dieãn khaùc cuûa soá phöùc nhö sau (goïi laø bieåu dieãn löôïng giaùc ) z = (a,b) = a + bi = r (cos π ϕ + isinϕ ) Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin - 115 - • Vôùi z = r (cosϕ + isinϕ ), ta coù caùc coâng thöùc zn = [r(cosϕ + isinϕ )]n = rn (cosnϕ + isinnϕ ) n z = n r (cos n k2 π+ϕ + isin n k2 π+ϕ ), k = 0, 1, 2, …, n –1. 2.2 Ñònh lí (d' Alermbert) Tröôøng soá phöùc ∀ laø ñoùng ñaïi soá, töùc laø moïi ña thöùc f∈ ∀[z] coù baäc ≥ 1 ñeàu coù nghieäm trong ∀. Chöùng minh: Coù nhieàu pheùp chöùng minh ñònh lí d'Alermbert vaø thöôøng phaûi söû duïng ñeán keát quaû cuûa giaûi tích. Sau ñaây laø moät. Ta seõ chöùng minh baèng phöông phaùp phaûn chöùng: Giaû söû toàn taïi moät ña thöùc f(z) = ∑ = n 0i i iza ∈ ∀[x] khaùc haèng vaø khoâng coù nghieäm naøo trong ∀. Xeùt haøm | f | : ∀ → ∀, x a | f(z)| Vì | f |→ ∞ khi | z | → ∞ neân toàn taïi R > 0 sao cho | f(z) | > | f(0) | vôùi moïi z ∈ {| z | > R}. Vì | f | lieân tuïc treân compact {| z | ≤ R } neân toàn taïi zB0B∈∀ sao cho | f(zB0B) | = Rz min≤ | f(z) |. Nhöng vì | f (z)| >| f(0) | ≥ | f(z B0B) | vôùi moïi z ∈ {| z | > R} neân ta coù | f(zB0B) | = Cz min∈ | f(z) |. Ta coù coâng thöùc Taylor ñoái vôùi f f(zB0B + h) = f(zB0B) + h f '(zB0B) + … + !n h n f (n)(z B0B) Ta chöùng minh raèng, coù theå choïn h sao cho | f(z B0B +h) | < | f(z B0B) | vaø töø ñoù suy ra maâu thuaån. Tröôùc heát ñeå yù raèng, coù ít nhaát moät ñaïo haøm caáp cao cuûa f taïi zB0 B laø khaùc 0, cuï theå laø f (n)(z B0B) = n!a BnB ≠ 0. Goïi k ≥ 1 laø soá nguyeân beù nhaát sao cho f (k)(z B0B) ≠ 0. Nhö vaäy ta coù )z(f )hz(f 0 o + = 1 + hk )z(f!k )z(f 0 o )k( + … + hn )z(f!n )z(f 0 o )n( = 1 + hk )z(f!k )z(f 0 o )k( + hk+1 g(h), vôùi g(h) ∈ ∀[h] naøo ñoù. Ñaïi Soá Ñaïi Cöông Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin - 116 - Goïi w laø soá phöùc sao cho wk = – )z(f!k )z(f 0 o )k( , khi ñoù ta coù )z(f )z(f 0 w t o + = 1 – tk + tk+1w– k–1 g(tw–1). Vì haøm moät bieán fB1B(t) = | w– k–1 g(tw–1)| lieân tuïc treân [0, 1]) neân toàn taïi C > 1 sao cho vôùi moïi t ∈ [0, 1] ta coù | w– k–1 g(tw–1)| < C , vaø töø ñoù )z(f )z(f 0 w t o + ≤ 1 – tk + C tk+1 . Baây giôø chæ caàn choïn t sao cho 0 < t < C 1 < 1 thì ta coù 0 < 1 – tk + C tk+1 < 1. hay | f(z B0B + wt ) | < | f(z B0B) |