Giáo trình Cơ sở toán học

.c la` i2 = −1. Ta muoˆ´n thu.. c hieˆ.n d¯u.o.. c mo. i phe´p toa´n coˆ.ng, tru`., nhaˆn, chia (cho ca´c soˆ´ kha´c 0) sau khi d¯a˜ ghe´p theˆm i va`o R. D- ie`ˆu na`y daˆ˜n ta to´.i vieˆ.c chaˆ´p nhaˆ.n ca´c “soˆ´ 126 mo´.i” da.ng a+ ib, trong d¯o´ a, b ∈ R. Taˆ.p ho.. p ca´c soˆ´ nhu. vaˆ.y d¯o´ng d¯oˆ´i vo´.i phe´p toa´n no´i treˆn. Thaˆ. t vaˆ.y, su.’ du. ng heˆ. thu´.c i2 = −1 ta co´: (a+ ib)± (c + id) = (a+ c)± i(b+ d), (a+ ib)(c+ id) = (ac− bd) + i(ad+ bc), (a+ ib) (c+ id) = (a+ ib)(c− id) c2 + d2 = ac+ bd c2 + d2 + i bc − ad c2 + d2 , vo´.i c+ id 6= 0, tu´.c la` c 6= 0 hoa˘.c d 6= 0. Tuy nhieˆn vaˆ˜n co`n caˆu ho’i: “Vaˆ. y i la` ca´i g`ı?”. D- eˆ’ tra´nh tru.`o.ng ho.. p kho´ xu.’ na`y ta ha˜y d¯o`ˆng nhaˆ´t a + ib vo´.i ca˘.p soˆ´ thu.. c (a, b). Nhu˜.ng phaˆn t´ıch o.’ treˆn daˆ˜n to´.i d¯i.nh ngh˜ıa sau d¯aˆy. 5.3.1.2. D- i.nh ngh˜ıa: Moˆ˜i ca˘.p soˆ´ thu .. c (a, b) d¯u.o.. c go. i la` moˆ. t soˆ´ phu´.c. Taˆ.p ho.. p taˆ´t ca’ ca´c soˆ´ phu´.c d¯u.o.. c ky´ hieˆ.u bo.’ i C: C = {(a, b) | a, b ∈ R}. Ta d¯i.nh ngh˜ıa ca´c phe´p toa´n coˆ.ng va` nhaˆn ca´c soˆ´ phu´.c nhu. sau: 1) Phe´p coˆ.ng: (a, b) + (c, d) = (a+ c, b + d). 2) Phe´p nhaˆn: (a, b)(c, d) = (ac− bd, ad+ bc). Hai soˆ´ phu´.c (a, b) va` (c, d) d¯u.o.. c go. i la` ba˘`ng nhau neˆ´u a = c va` b = d. 5.3.1.3. T´ınh chaˆ´t: 1) Phe´p coˆ.ng va` phe´p nhaˆn co´ t´ınh giao hoa´n, ngh˜ıa la` vo´.i mo. i z, u ∈ C, z + u = u+ z, zu = uz. 2) Phe´p coˆ.ng va` phe´p nhaˆn co´ t´ınh keˆ´t ho.. p, ngh˜ıa la` vo´.i mo. i z, u, v ∈ C, (z + u) + v = z + (u+ v), (zu)v = z(uv). 3) C vo´.i phe´p coˆ.ng co´ pha`ˆn tu.’ khoˆng va` vo´.i phe´p nhaˆn co´ pha`ˆn tu.’ d¯o.n vi., ngh˜ıa la` to`ˆn ta. i 0′ = (0, 0), 1′ = (1, 0) ∈ C sao cho vo´.i mo. i z ∈ C, z + 0′ = 0′ + z = z, z1′ = 1′z = z. 4) Mo. i soˆ´ phu´.c d¯e`ˆu co´ soˆ´ d¯oˆ´i, ngh˜ıa la` vo´.i mo. i z = (a, b) ∈ C, to`ˆn ta. i −z = (−a,−b) ∈ Z, z + (−z) = (−z) + z = 0′. 127 5) Mo.i soˆ´ phu´.c kha´c 0′ d¯e`ˆu co´ soˆ´ nghi.ch d¯a’o, ngh˜ıa la` vo´.i mo. i z ∈ C, z = (a, b) 6= 0′, to`ˆn ta. i z−1 = ( a a2 + b2 , −b a2 + b2 ) ∈ C, zz−1 = z−1z = 1′. 6) Phe´p nhaˆn co´ t´ınh phaˆn phoˆ´i d¯oˆ´i vo´.i phe´p coˆ.ng, ngh˜ıa la` vo´.i mo. i z, u, v ∈ C, z(u+ v) = zu+ zv, (u+ v)z = uz + vz. 7) Phe´p coˆ.ng co´ t´ınh gia’n u.´o.c, ngh˜ıa la` vo´.i mo. i z, u, v ∈ C, z + v = u+ v ⇒ z = u. 8) Phe´p nhaˆn co´ t´ınh gia’n u.´o.c, ngh˜ıa la` vo´.i mo. i z, u, v ∈ C, v 6= 0′, zv = uv ⇒ z = u. Chu´.ng minh: Keˆ´t qua’ de˜ˆ da`ng co´ d¯u.o.. c tu`. d¯i.nh ngh˜ıa. 5.3.1.4. Heˆ. qua’: Taˆ.p ho .. p C vo´.i phe´p coˆ.ng va` phe´p nhaˆn trong (5.3.1.2) ta.o tha`nh moˆ.t tru.`o.ng va` Char(C) = 0. 5.3.2. Da.ng d¯a. i soˆ´ cu’a soˆ´ phu´ .c: 5.3.2.1. Quan heˆ. giu˜ .a R va` C: Xe´t a´nh xa. f : R −→ C : a 7→ f(a) = (a, 0). Khi d¯o´ a´nh xa. f co´ ca´c t´ınh chaˆ´t sau: 1) f la` moˆ. t d¯o.n a´nh. Thaˆ. t vaˆ.y, vo´.i mo. i a, b ∈ R, f(a) = f(b), ta co´ (a, 0) = (b, 0), do d¯o´ a = b. 2) f ba’o toa`n ca´c phe´p toa´n. Thaˆ. t vaˆ.y, vo´.i mo. i a, b ∈ R, f(a+ b) = (a+ b, 0) = (a, 0) + (b, 0) = f(a) + f(b). f(ab) = (ab, 0) = (ab− 0.0, a.0 + 0.b) = (a, 0)(b, 0) = f(a)f(b). Ca´c t´ınh chaˆ´t treˆn cho bieˆ´t a´nh xa. f la` moˆ. t d¯o.n caˆ´u tru.`o.ng va` tu`. d¯o´ ta co´ theˆ’ d¯o`ˆng nhaˆ´t moˆ˜i soˆ´ thu.. c a vo´.i a’nh f(a) = (a, 0), thay cho ca´ch vieˆ´t z = (a, 0) ta vieˆ´t z = a va` moˆ˜i soˆ´ thu.. c a cu˜ng la` moˆ. t soˆ´ phu´.c. Nhu. vaˆ.y 0′ = (0, 0) = 0 va` 1′ = (1, 0). Ba˘`ng ca´ch d¯o´ R la` moˆ. t taˆ.p con cu’a C va` ca´c phe´p toa´n cu’a C thu he.p treˆn R tru`ng vo´.i ca´c phe´p toa´n treˆn R. Ta co`n no´i R la` moˆ. t tru.`o.ng con cu’a tru.`o.ng C. 128 5.3.2.2. D- i.nh ngh˜ıa: D- a˘. t i = (0, 1) ∈ C. Ta co´ i2 = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1. Ta go. i i la` d¯o.n vi. a’o. Moˆ˜i soˆ´ phu´.c z = (a, b) co´ theˆ’ vieˆ´t du.´o.i da.ng: z = (a, b) = (a, 0) + (0, 1)(b, 0) = a+ ib, trong d¯o´ a, b ∈ R, go. i la` da.ng d¯a. i soˆ´ cu’a soˆ´ phu´.c. Ta go. i a la` pha`ˆn thu.. c cu’a z, ky´ hieˆ.u a =Rez, co`n b la` pha`ˆn a’o cu’a z, ky´ hieˆ.u Imz. Soˆ´ phu´.c z ma` Imz = 0 ch´ınh la` moˆ. t soˆ´ thu.. c. Soˆ´ phu´.c z co´ Rez = 0 d¯u.o.. c go. i la` moˆ. t soˆ´ thua`ˆn a’o. 5.3.2.3. Chu´ y´: Treˆn ma˘.t pha˘’ ng xe´t moˆ.t heˆ. tru. c toa. d¯oˆ. Descartes vuoˆng go´c Oxy. Soˆ´ phu´.c z = a+ ib d¯u.o.. c bieˆ’u die˜ˆn treˆn ma˘.t pha˘’ ng bo.’ i d¯ieˆ’m M co´ toa. d¯oˆ. (a, b) hoa˘.c bo.’ i vecto. −→ OM d¯i tu`. d¯ieˆ’m goˆ´c toa. d¯oˆ. O to´.i d¯ieˆ’m M , go. i la` bieˆ’u die˜ˆn h`ınh ho.c cu’a z. Coˆ.ng ca´c soˆ´ phu´.c ch´ınh la` coˆ.ng ca´c vecto. tu.o.ng u´.ng vo´.i chu´ng. Ma˘.t pha˘’ ng toa. d¯oˆ. d¯u.o.. c go. i la` ma˘. t pha˘’ ng phu´.c. Ca´c soˆ´ thu.. c d¯u.o.. c bieˆ’u die˜ˆn treˆn tru. c Ox, d¯u.o.. c go. i la` tru. c thu.. c. Ca´c soˆ´ thua`ˆn a’o d¯u.o.. c bieˆ’u die˜ˆn treˆn tru. c Oy, d¯u.o.. c go. i la` tru. c a’o. 5.3.2.4. D- i.nh ngh˜ıa: Soˆ´ phu´ .c z = a − ib d¯u.o.. c go. i la` lieˆn ho.. p cu’a soˆ´ phu´.c z = a+ ib, trong d¯o´ a, b la` ca´c soˆ´ thu.. c. Ta de˜ˆ da`ng kieˆ’m tra la. i ra`˘ng: z + u = z + u, zu = z u. 5.3.3. Da.ng lu .o.. ng gia´c cu’a soˆ´ phu´ .c: 5.3.3.1. D- i.nh ngh˜ıa: Gia’ su .’ z = a+ ib 6= 0 (tu´.c la` a2 + b2 6= 0). Ta co´ z = √ a2 + b2( a√ a2 + b2 + i b√ a2 + b2 ). D- a˘. t r = √ a2 + b2 va` nhaˆ.n xe´t ra`˘ng to`ˆn ta. i go´c ϕ xa´c d¯i.nh sai kha´c 2kpi (k ∈ Z) sao cho cosϕ = a√ a2 + b2 , sinϕ = b√ a2 + b2 . Khi d¯o´ z = r(cosϕ+ i sinϕ) va` go. i la` da.ng lu.o.. ng gia´c cu’a soˆ´ phu´.c z. 5.3.3.2. D- i.nh ngh˜ıa: Soˆ´ thu .. c khoˆng aˆm r = √ a2 + b2 d¯u.o.. c go. i la` moˆd¯un cu’a soˆ´ phu´.c z = a + ib, ky´ hieˆ.u r = |z|, co`n go´c ϕ d¯u.o.. c go. i la` argument cu’a z, ky´ hieˆ.u ϕ =arg(z). Argument cu’a soˆ´ phu´.c z = 0 khoˆng d¯u.o.. c d¯i.nh ngh˜ıa. Th´ı du. : T`ım da.ng lu .o.. ng gia´c cu’a ca´c soˆ´ phu´.c z = i, z′ = 1 + i, z′′ = √ 3 + i. |z| = 1, cosϕ = 0, sinϕ = 1 tu´.c la` ϕ = pi 2 + 2kpi. 129 Do d¯o´ z = (cos pi 2 + i sin pi 2 ). |z′| = √2, cosϕ′ = 1√ 2 , sinϕ′ = 1√ 2 tu´.c la` ϕ′ = pi 4 + 2k′pi. Do d¯o´ z′ = √ 2(cos pi 4 + i sin pi 4 ). |z′′| = 2, cosϕ′′ = √ 3 2 , sinϕ′′ = 1 2 tu´.c la` ϕ′′ = pi 6 + 2k′′pi. Do d¯o´ z′′ = 2(cos pi 6 + i sin pi 6 ). 5.3.3.3. Meˆ.nh d¯e`ˆ: 1) |zu| = |z||u| vo´.i mo. i z, u ∈ C. 2) arg(zu) =arg(z)+arg(u), vo´.i mo. i z, u ∈ C ma` z 6= 0 va` u 6= 0. Chu´.ng minh: 1) Vo´.i z = a+ ib va` u = c + id, ta co´ |zu| = √ (ac− bd)2 + (ad+ bc)2 = √ a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2 = √ (a2 + b2)(c2 + d2) = √ a2 + b2 √ c2 + d2 = |z||u|. 2) Gia’ su.’ z = |z|(cosϕ+ i sinϕ), u = |u|(cosψ+ i sinψ) (vo´.i z 6= 0, u 6= 0). Khi d¯o´ zu = |z||u|(cosϕ cosψ − sinϕ sinψ) + (sinϕ cosψ + sinψ cosϕ)) = |z||u|(cos(ϕ+ ψ) + i sin(ϕ+ ψ)). Nhu. vaˆ. y arg(zu) =arg(z)+arg(u). 5.3.3.4. Heˆ. qua’: Neˆ´u z = |z|(cosϕ+ i sinϕ) va` n la` moˆ. t soˆ´ tu.. nhieˆn th`ı ta co´ zn = |z|n(cosnϕ + i sinnϕ). D- a˘.c bieˆ.t, khi |z| = 1 ta co´ coˆng thu´.c Moivre: (cosϕ+ i sinϕ)n = cosnϕ + i sinnϕ. Chu´.ng minh: Keˆ´t qua’ co´ ngay tu`. meˆ.nh d¯e`ˆ treˆn. 5.3.3.5. D- i.nh ngh˜ıa: Cho n la` moˆ. t soˆ´ nguyeˆn du .o.ng va` z la` moˆ. t soˆ´ phu´.c. Soˆ´ phu´.c u d¯u.o.. c go. i la` ca˘n baˆ.c n cu’a z neˆ´u un = z. 5.3.3.6. Meˆ.nh d¯e`ˆ: Neˆ´u z = |z|(cosϕ + i sinϕ) 6= 0 va` n la` moˆ. t soˆ´ nguyeˆn du.o.ng th`ı co´ d¯u´ng n ca˘n baˆ.c n cu’a soˆ´ phu´.c z: uk = n √ |z|(cos ϕ + 2kpi n + i sin ϕ+ 2kpi n ), 130 trong d¯o´ k = 0, 1, . . . , n− 1. Chu´.ng minh: Vo´.i u = |u|(cos θ + i sin θ), un = z ⇔ |u|n(cosnθ + i sinnθ) = |z|(cosϕ + i sinϕ) ⇔ { |u|n = |z|, nθ = ϕ+ 2kpi (k ∈ Z). ⇔  |u| = n √|z| (ca˘n soˆ´ ho.c), θ = ϕ+ 2kpi n (k ∈ Z). Nhu. vaˆ. y, co´ d¯u´ng n ca˘n baˆ.c n cu’a moˆ˜i soˆ´ phu´.c z 6= 0, u´.ng vo´.i ca´c gia´ tri. k = 0, 1, . . . , n− 1. Ca´c ca˘n na`y laˆ.p neˆn n d¯ı’nh cu’a moˆ.t d¯a gia´c d¯e`ˆu n ca.nh vo´.i taˆm ta. i goˆ´c toa. d¯oˆ. . Th´ı du. : 1) T`ım ca´c ca˘n baˆ.c 3 cu’a i. Ta co´ i = cos pi 2 + i sin pi 2 , neˆn co´ 3 ca˘n baˆ.c 3 cu’a i la` uk = cos( pi 2 +2kpi 3 ) + i sin( pi 2 +2kpi 3 ) vo´.i k = 0, 1, 2. Cu. theˆ’ la` u0 = cos pi 6 + i sin pi 6 = √ 3 2 + 1 2 i u1 = cos 5pi 6 + i sin 5pi 6 = − √ 3 2 + 1 2 i u2 = cos 3pi 2 + i sin 3pi 2 = −i. 2) T`ım ca´c ca˘n baˆ.c 4 cu’a 1 + i. Ta co´ 1 + i = √ 2(cos pi 4 + i sin pi 4 ), neˆn co´ 4 ca˘n baˆ.c 4 cu’a 1 + i la`: u0 = 8 √ 2(cos pi 16 + i sin pi 16 ) u1 = 8 √ 2(cos 9pi 16 + i sin 9pi 16 ) u2 = 8 √ 2(cos 17pi 16 + i sin 17pi 16 ) u3 = 8 √ 2(cos 25pi 16 + i sin 25pi 16 ). 131 BA`I TAˆ. P CHU . O . NG V 1. Cho a la` moˆ. t soˆ´ hu˜.u tı’ va` k la` moˆ. t soˆ´ tu.. nhieˆn kha´c khoˆng. Chu´.ng minh ra˘`ng co´ moˆ. t soˆ´ nguyeˆn duy nhaˆ´t m sao cho mk ≤ a < (m + 1)k. 2. Cho da˜y soˆ´ (xn) thoa’ ma˜n x1 = 1 va` xn+1 = x2n + 2 2xn . Chu´.ng to’ ra˘`ng (xn) la` moˆ. t da˜y Cauchy hu˜.u tı’ nhu.ng khoˆng hoˆ. i tu. trong Q. 3. Cho n la` moˆ. t soˆ´ tu.. nhieˆn. Chu´.ng minh ra˘`ng: 1) To`ˆn ta. i duy nhaˆ´t soˆ´ tu.. nhieˆn mn sao cho:(mn 2n )2 ≤ 2 < (1 +mn 2n )2 . 2) Vo´.i xn = mn 2n va` yn = 1 +mn 2n , ca´c da˜y (xn) va` (yn) la` nhu˜.ng da˜y Cauchy khoˆng hoˆ. i tu. trong Q. 4. Cho hai soˆ´ thu.. c c va` d sao cho c < d. Chu´.ng to’ ra˘`ng to`ˆn ta. i soˆ´ nguyeˆn m va` soˆ´ nguyeˆn du.o.ng n sao cho c < (m n )3 < d. 5. Xa´c d¯i.nh pha`ˆn thu.. c va` pha`ˆn a’o cu’a ca´c soˆ´ phu´.c sau: 1) z = 1 + i 1− i , 2) u = −1 + 2i (1 + i)(1− 3i) , 3) v = (1 + 2i)6. 6. Ha˜y bieˆ’u die˜ˆn ca´c soˆ´ phu´.c sau du.´o.i da.ng lu.o.. ng gia´c: 1) z = −1− i, 2) u = 1 + i √ 3, 3) v = −2 + 2i. 7. T´ınh i77, i99, i−57, in, (1 + i)n vo´.i n ∈ Z. 8. Chu´.ng minh ca´c d¯a˘’ ng thu´.c: (1 + i)8n = 24n, (1 + i)4n = (−1)n22n, (n ∈ Z). 9. Chu´.ng minh ra`˘ng neˆ´u z + z−1 = 2 cosϕ trong d¯o´ ϕ ∈ R th`ı zn + z−n = 2 cosnϕ, vo´.i mo. i n ∈ N. 132 10. T´ınh: 1) (1− i)n (1− i√3)n , 2) (1 + i √ 3)n (1 + i)n+1 . 11. 1) T`ım da.ng lu.o.. ng gia´c cu’a soˆ´ phu´.c: 1 + itgϕ 1− itgϕ . 2) Treˆn ma˘.t pha˘’ ng phu´.c, t`ım taˆ.p ho.. p ca´c d¯ieˆ’m tu.o.ng u´.ng vo´.i {z = 1 + it 1− it | t ∈ R}. 12. 1) T`ım ca´c ca˘n baˆ.c ba cu’a 1− i √ 3, 1 + i√ 2 . 2) T`ım ca´c ca˘n baˆ.c n cu’a 1− i va` 1 + i √ 3. 13. Go. i 0, 1, . . . , 9 la` ca´c ca˘n baˆ.c 10 cu’a d¯o.n vi., ngh˜ıa la` k = cos 2kpi 10 + i sin 2kpi 10 va` n la` moˆ. t soˆ´ nguyeˆn du.o.ng. T´ınh toˆ’ng S = n0 +  n 1 + · · ·+ n9 . 14. Gia’i phu.o.ng tr`ınh: (z + i)7 + (z − i)7 = 0. 133 TRA’ LO` . I VA` HU . O´ . NG DA˜ˆN GIA’ I BA`I TAˆ. P CHU . O . NG V 1. Taˆ.p ho.. p A = {n ∈ Z | n ≤ a k } la` moˆ. t taˆ.p con kha´c roˆ˜ng cu’a Z va` bi. cha˘.n treˆn, neˆn A co´ soˆ´ lo´.n nhaˆ´t la` m (m ch´ınh la` pha`ˆn nguyeˆn cu’a a k ). Do d¯o´ ta co´: m ≤ a k < m+ 1 hay mk ≤ a < (m + 1)k. 2. Ba˘`ng quy na.p, ta co´ xn > 0. Tu`. d¯o´ suy ra xn+1 − 1 = (xn − 1) 2 + 1 2xn > 0 hay xn+1 > 1. Ngoa`i ra, ta co`n co´ x2n+1 − 2 = (x2n − 2)2 4x2n > 0. 0 < x2n+1 − 2 = (x2n − 2)2 4x2n ≤ (x 2 n − 2)2 4 Ba˘`ng quy na.p, ta co´ 0 < x2n − 2 < 1. Tu`. d¯o´ suy ra |x2n+1 − 2| ≤ (x2n − 2)2 4 ≤ |x 2 n − 2| 4 ≤ · · · ≤ 1 4n . Vı` vaˆ.y ta co´ da˜y (x2n) hoˆ. i tu. d¯eˆ´n 2 va` la` da˜y Cauchy, do d¯o´ ∀ > 0, ∃n0 ∈ N, ∀m,n > n0, |xm − xn| = |x 2 m − x2n| xm + xn < 2 2 . Tu`. d¯o´ suy ra da˜y (xn) la` moˆ. t da˜y Cauchy. Da˜y na`y khoˆng hoˆ. i tu. trong Q, v`ı neˆ´u lim n→∞xn = q ∈ Q th`ı ta co´ q 2 = 2 va` d¯ie`ˆu na`y daˆ˜n to´.i voˆ ly´. 3. 1) Ky´ hieˆ.u M = { z ∈ N | ( z 2n )2 ≤ 2 } . Ta co´ M 6= ∅ v`ı cha˘’ ng ha.n 0 ∈ M, M la. i bi. cha˘.n treˆn v`ı cha˘’ ng ha.n z < 2n+1 vo´.i mo. i z ∈ M , do d¯o´ M co´ soˆ´ lo´.n nhaˆ´t mn va` 1 +mn /∈M , neˆn ta co´ (1) (mn 2n )2 ≤ 2 < (1 +mn 2n )2 . Gia’ su.’ ta co`n co´ m∗n thoa’ ma˜n d¯ie`ˆu kieˆ.n (1). Khi d¯o´ ca´c baˆ´t d¯a˘’ ng thu´ .c treˆn cho ta m∗n < 1 +mn do d¯o´ m ∗ n ≤ mn va` mn < 1 +m∗n do d¯o´ mn ≤ m∗n. 134 Tu`. d¯o´ suy ra mn = m∗n. 2) Theo ca´ch xa´c d¯i.nh xn, yn ta co´ x2n = (mn 2n )2 = ( 2mn 2n+1 )2 ≤ 2 < (2(1 +mn) 2n+1 )2 = (1 +mn 2n )2 = y2n va` x2n+1 = (mn+1 2n+1 )2 ≤ 2 < (1 +mn+1 2n+1 )2 = y2n+1. Tu`. d¯o´ suy ra 2mn ≤ mn+1 < 1 +mn+1 ≤ 2(1 +mn). Do d¯o´ ta co´ xn ≤ xn+1 < yn+1 ≤ yn, hay no´i ca´ch kha´c (xn) la` moˆ. t da˜y khoˆng gia’m va` (yn) la` moˆ. t da˜y khoˆng ta˘ng. Vı` vaˆ. y vo´.i mo. i m,n ∈ N, m ≥ n th`ı ta co´ 0 ≤ xm−xn < yn−xn = 1 2n va` d¯ie`ˆu na`y cho bieˆ´t (xn) la` moˆ. t da˜y Cauchy treˆn Q. Tu.o.ng tu.. ta cu˜ng d¯u.o.. c (yn) la` moˆ. t da˜y Cauchy treˆn Q. Vı` lim n→∞ (yn−xn) = 0, cho neˆn neˆ´u moˆ.t trong ca´c da˜y (xn) hoa˘.c (yn) hoˆ. i tu. trong Q th`ı da˜y kia cu˜ng hoˆ. i tu. trong Q va` ta co´ lim n→∞xn = limn→∞yn, do d¯o´ lim n→∞x 2 n = lim n→∞y 2 n. Nhu.ng v`ı vo´.i mo. i n ∈ N ta co´ x2n ≤ 2 < y2n, cho neˆn ta se˜ pha’i co´ lim n→∞x 2 n = lim n→∞y 2 n = 2. D- o´ la` d¯ie`ˆu khoˆng xa’y ra d¯u.o.. c v`ı trong Q khoˆng co´ soˆ´ na`o ma` b`ınh phu.o.ng ba`˘ng 2. Vaˆ.y (xn) va` (yn) la` nhu˜.ng da˜y Cauchy ma` khoˆng hoˆ. i tu. trong Q. 4. – Tru.`o.ng ho.. p 0 ≤ c < d: Theo t´ınh chaˆ´t Archime`de, to`ˆn ta. i soˆ´ tu.. nhieˆn p sao cho p > d va` hieˆ’n nhieˆn p3 > d. Cu˜ng theo t´ınh chaˆ´t archime`de, to`ˆn ta. i soˆ´ tu.. nhieˆn n sao cho n > 3p3 d− c . Xe´t taˆ.p ho .. p M = { k ∈ N∗ ∣∣∣ (kp n )3 > c } . Do M 6= ∅ cho neˆn M co´ soˆ´ nho’ nhaˆ´t la` k0 vo´.i k0 ≤ n va` ta co´ 0 ≤ ( (k0 − 1)p n )3 ≤ c. Ma˘. t kha´c, ta co´(k0p n )3 − ( (k0 − 1)p n )3 = p n [k2p2 n2 + k0(k0 − 1)p2 n2 + (k0 − 1)2p2 n2 ] ≤ p n 3p2 = 3p3 n < d− c. Do d¯o´ c < (k0p n )3 < c+ d− c = d. – Tru.`o.ng ho.. p c < 0 < d: Cho.n m = 0 va` n = 1, ta co´ baˆ´t d¯a˘’ ng thu´.c ca`ˆn chu´.ng minh. – Tru.`o.ng ho.. p c 0 sao cho −d < (m n )3 < −c. Khi d¯o´ c < (−m n )3 < d. 135 5. 1) z = 1 + i 1− i = (1 + i)2 (1 + i)(1− i) = 1 + 2i+ i2 2 = i. Do d¯o´ Rez = 0 va` imz = 1. 2) u = −1 + 2i (1 + i)(1− 3i) = −1 + 2i 1− 3i+ i− 3i2 = −1 + 2i 4− 2i = (−1 + 2i)(4 + 2i) (4− 2i)(4 + 2i) = −4− 2i+ 8i+ 4i2 16− 4i2 = −4 + 3i 10 . Do d¯o´ Reu = −2 5 va` imu = 3 10 . 3) v = (1+2i)6 = ((1+2i)2)3 = (1+4i+4i2)3 = (−3+4i)3 = −27+108i− 144i2 + 64i3 = 117 + 44i. Do d¯o´ Rev = 117 va` imv = 44. 6. 1) z = −1− i = √2(− 1√ 2 − 1√ 2 i) = √ 2(cos 5pi 4 + i sin 5pi 4 ). 2) u = 1 + i √ 3 = 2( 1 2 + √ 3 2 i) = 2(cos pi 3 + i sin pi 3 ). 3) v = −2 + 2i = 2√2(− 1√ 2 + 1√ 2 i) = 2 √ 2(cos 3pi 4 + i sin 3pi 4 ). 7. i77 = (i2)38i = (−1)38i = i. i99 = (i2)49i = (−1)49i = −i. i−57 = 1 (i2)28i = 1 (−1)28i = 1 i = −i. in =  (i2)2k neˆ´u n = 4k, (i2)2ki neˆ´u n = 4k + 1, (i2)2k+1 neˆ´u n = 4k + 2, (i2)2k+1i neˆ´u n = 4k + 3. =  1 neˆ´u n = 4k, i neˆ´u n = 4k + 1, −1 neˆ´u n = 4k + 2, −i neˆ´u n = 4k + 3. (1 + i)n =  ((1 + i)2)4k neˆ´u n = 8k, ((1 + i)2)4k(1 + i) neˆ´u n = 8k + 1, ((1 + i)2)4k+1 neˆ´u n = 8k + 2, ((1 + i)2)4k+1(1 + i) neˆ´u n = 8k + 3, ((1 + i)2)4k+2 neˆ´u n = 8k + 4, ((1 + i)2)4k+2(1 + i) neˆ´u n = 8k + 5, ((1 + i)2)4k+3 neˆ´u n = 8k + 6, ((1 + i)2)4k+3(1 + i) neˆ´u n = 8k + 7. 136 = 24k neˆ´u n = 8k, 24k(1 + i) neˆ´u n = 8k + 1, 24k+1i neˆ´u n = 8k + 2, 24k+1(−1 + i) neˆ´u n = 8k + 3, −24k+2 neˆ´u n = 8k + 4, −24k+2(1 + i) neˆ´u n = 8k + 5, −24k+3i neˆ´u n = 8k + 6, 24k+3(1− i) neˆ´u n = 8k + 7. 8. (1 + i)8n = ((1 + i)2)4n = (2i)4n = 24n((i)2)2n = 24n(−1)2n = 24n. (1 + i)4n = ((1 + i)2)2n = (2i)2n = 22n(i2)n = (−1)n22n. 9. z + z−1 = 2 cosϕ⇔ z2 − 2z cosϕ + 1 = 0 (∆′ = cos2 ϕ− 1 = (i sinϕ)2). Do d¯o´ z = cosϕ+ i sinϕ hoa˘.c z = cosϕ−−i sinϕ. Tu`. d¯o´ ta d¯u.o.. c:{ z = cosϕ+ i sinϕ z−1 = cos(−ϕ) + i sin(−ϕ) hoa˘.c { z = cos(−ϕ) + i sin(−ϕ) z−1 = cosϕ+ i sinϕ ⇒ { zn = cosnϕ + i sinnϕ z−n = cos(−nϕ) + i sin(−nϕ) hoa˘.c { zn = cos(−nϕ) + i sin(−nϕ) z−n = cos nϕ+ i sinnϕ ⇒zn + z−n = 2 cosnϕ. 10. 1) 1− i = √2( 1√ 2 − 1√ 2 i) = √ 2(cos 7pi 4 + i sin 7pi 4 ). 1− i√3 = 2(1 2 − √ 3 2 i) = 2(cos 5pi 3 + i sin 5pi 3 ). (1− i)n (1− i√3)n = ( 1− i 1− i√3 )n = √ 2 n 2n (cos 7pi 4 + i sin 7pi 4 cos 5pi 3 + i sin 5pi 3 )n = 1√ 2 n (cos( 7pi 4 − 5pi 3 ) + i sin( 7pi 4 − 5pi 3 )) = 1√ 2 n (cos pi 12 + i sin pi 2 ). 2) 1 + i √ 3 = 2( 1 2 + √ 3 2 i) = 2(cos pi 3 + i sin pi 3 ). (1 + i √ 3)n = 2n(cos npi 3 + i sin npi 3 ). 1 + i = √ 2( 1√ 2 + 1√ 2 i) = √ 2(cos pi 4 + i sin pi 4 ). 137 (1 + i)n+1 = ( √ 2)n+1(cos (n + 1)pi 4 + i sin (n+ 1)pi 4 ). (1 + i √ 3)n (1 + i)n+1 = 2n ( √ 2)n+1 cos npi 3 + i sin npi 3 cos (n+ 1)pi 4 + i sin (n+ 1)pi 4 = ( √ 2)n−1(cos( npi 3 − (n+ 1)pi 4 ) + i sin( npi 3 − (n + 1)pi 4 )) = ( √ 2)n−1(cos (n− 3)pi 12 + i sin (n − 3)pi 12 ). 11. 1) 1 + itgϕ 1− itgϕ = 1 + i sinϕ cosϕ 1− i sinϕ cosϕ = cosϕ+ i sinϕ cos(−ϕ) + i sin(−ϕ) = cos(ϕ− (−ϕ)) + i sin(ϕ − (−ϕ)) = cos 2ϕ+ i sin 2ϕ. 2) {z = 1 + it 1− it | t ∈ R} = {z = 1 + itgϕ 1− itgϕ | − pi 2 < ϕ < pi 2 } = {z = cos 2ϕ+ i sin 2ϕ | − pi < 2ϕ < pi}. Vaˆ.y taˆ.p ho.. p ca`ˆn t`ım la` d¯u.`o.ng tro`n taˆm o.’ goˆ´c toa. d¯oˆ. O, ba´n k´ınh ba`˘ng 1 va` khoˆng keˆ’ d¯ieˆ’m (−1, 0). 12. 1) z = 1− i√3 = 2(cos 5pi 3 + i sin 5pi 3 ). Do d¯o´ ca´c ca˘n baˆ.c 3 cu’a z la`: uk = 3 √ 2(cos 5pi 3 + 2kpi 3 + i sin 5pi 3 + 2kpi 3 ) (k = 0, 1, 2). u0 = 3 √ 2(cos 5pi 9 + i sin 5pi 9 ), u1 = 3 √ 2(cos 11pi 9 + i sin 11pi 9 ), u2 = 3 √ 2(cos 17pi 9 + i sin 17pi 9 ). z′ = 1 + i√ 2 = 1√ 2 + 1√ 2 i = cos pi 4 + i sin pi 4 . Do d¯o´ ca´c ca˘n baˆ.c 3 cu’a z la`: u′k = cos pi 4 + 2k′pi 3 + i sin pi 4 + 2k′pi 3 (k = 0, 1, 2). u′0 = cos pi 12 + i sin pi 12 = √ 2 + √ 3 2 + √ 2−√3 2 i. 138 u′1 = cos 9pi 12 + i sin 9pi 12 = − 1√ 2 + 1√ 2 i, u′2 = cos 17pi 12 + i sin 17pi 12 = √ 2(1−√3) 4 − √ 2(1 + √ 3) 4 i. 2) z = 1− i = √2( 1√ 2 − 1√ 2 i) = √ 2(cos 7pi 4 + i sin 7pi 4 ). Do d¯o´ ca´c ca˘n baˆ.c n cu’a z la`: uk = 2n √ 2(cos 7pi 4 + 2kpi n + i sin 7pi 4 + 2kpi n ) (k = 0, 1, . . . , n− 1). z′ = 1 + i √ 3 = 2( 1 2 + √ 3 2 i) = 2(cos pi 3 + i sin pi 3 ). Do d¯o´ ca´c ca˘n baˆ.c n cu’a z′ la`: u′k = n √ 2(cos pi 3 + 2kpi n + i sin pi 3 + 2kpi n ) (k = 0, 1, . . . , n− 1). 13. 1 = cos 0 + i sin 0. Do d¯o´ 1 co´ n ca˘n baˆ.c n la`: k = cos 2kpi 10 + i sin 2kpi 10 (k = 0, 1, . . . , 9). + n la` boˆ. i cu’a 10: Khi d¯o´ nk = cos 2knpi 10 + i sin 2knpi 10 = 1 (k = 0, 1, . . . , 9). Vı` vaˆ.y S = n0 +  n 1 + · · ·+ n9 = 10. + n khoˆng la` boˆ. i cu’a 10: Khi d¯o´ k = (cos 2pi 10 + i sin 2pi 10 )k = k1 (k = 0, 1, . . . , 9), o.’ d¯aˆy n1 = cos 2npi 10 + i sin 2npi 10 6= 1. Vı` vaˆ.y S = (01) n + (11) n + (21) n + · · ·+ (91)n = 1 + n1 + (n1 )2 + · · ·+ (n1 )9 = 1− (n1 )10 1− n1 = 1− (101 )n 1− n1 = 1− 1 1− n1 = 0. 14. (z + i)7 + (z − i)7 = 0 ⇔ (z + i z − i )7 = −1. D- a˘. t u = z + i z − i , phu .o.ng tr`ınh tro.’ tha`nh: u7 = −1 = cospi + i sinpi. 139 Do d¯o´ no´ co´ ca´c nghieˆ.m la` ca´c ca˘n baˆ.c 7 cu’a −1: uk = cos pi + 2kpi 7 + i sin pi + 2kpi 7 (k = 0, 1, . . . , 6). D- a˘. t ϕk = pi + 2kpi 7 . Ta co´ uk = z + i z − i ⇔ ukz − uki = z + i⇔ z(uk − 1) = i(uk + 1) ⇔ z = i(uk + 1) uk − 1 = i(cosϕk + i sinϕk + 1) cosϕk + i sinϕk − 1 140 CHU . O . NG VI: D- A THU´ . C 6.1. D- A THU´ . C VA` HA`M D- A THU´ . C. 6.1.1. D- i.nh ngh˜ıa: Cho F la` moˆ. t tru.`o.ng. Bieˆ’u thu´.c h`ınh thu´.c f(x) = a0 + a1x+ · · ·+ anxn, trong d¯o´ a0, a1, . . . , an ∈ F, d¯u.o.. c go. i la` moˆ. t d¯a thu´.c bieˆ´n x laˆ´y heˆ. soˆ´ treˆn F. Ta co´ theˆ’ vieˆ´t f(x) du.´o.i da.ng f(x) = anxn + · · ·+ a1x+ a0. Neˆ´u an 6= 0 th`ı ta no´i f(x) co´ baˆ.c n, ky´ hieˆ.u deg(f(x)) = n; co`n an d¯u.o.. c go. i la` heˆ. soˆ´ daˆ˜n d¯a`ˆu cu’a f(x). D- a˘.c bieˆ.t, neˆ´u an = 1 th`ı ta no´i f(x) la` moˆ. t d¯a thu´.c d¯o.n heˆ. . Neˆ´u a0 = a1 = · · · = an = 0 th`ı f(x) d¯u.o.. c go. i la` d¯a thu´.c khoˆng, ky´ hieˆ.u 0; ta quy u.´o.c d¯a thu´.c 0 co´ baˆ.c ba˘`ng −∞. Taˆ.p ho.. p ca´c d¯a thu´.c bieˆ´n x laˆ´y heˆ. soˆ´ treˆn F d¯u.o.. c ky´ hieˆ.u la` F[x]. Ta trang bi. cho taˆ.p ho.. p na`y hai phe´p toa´n coˆ.ng va` nhaˆn nhu. sau: ∀f(x) = a0 + a1x+ · · ·+ anxn, g(x) = b0 + b1x+ · · ·+ bmxm ∈ F[x], (khoˆng maˆ´t t´ınh toˆ’ng qua´t, co´ theˆ’ xem n ≤ m) f(x)+g(x) = (a0+b0)+(a1+b1)x+· · ·+(an+bn)xn+bn+1xn+1+· · ·+bmxm, f(x)g(x) = c0 + c1x+ · · ·+ cn+mxn+m, trong d¯o´ ck = ∑ i+j=k aibj . 6.1.2. Meˆ.nh d¯e`ˆ: F[x] cu`ng vo´.i hai phe´p toa´n no´i treˆn ta.o tha`nh moˆ.t va`nh giao hoa´n, co´ d¯o.n vi., khoˆng co´ u.´o.c cu’a khoˆng vo´.i d¯a˘. c soˆ´ Char(F[x]) = Char(F). Chu´.ng minh: Nhaˆ.n xe´t ra˘`ng d¯oˆ´i vo´.i ca´c d¯a thu´.c f(x) va` g(x), ta co´ deg(f(x)g(x)) = deg(f(x)) + deg(g(x)). T´ınh chaˆ´t na`y daˆ˜n to´.i su.. kieˆ.n F[x] khoˆng co´ u.´o.c cu’a khoˆng. Ca´c kha˘’ ng d¯i.nh co`n la. i cu’a meˆ.nh d¯e`ˆ d¯e`ˆu de˜ˆ kieˆ’m tra. Va`nh F[x] d¯u.o.. c go. i la` va`nh d¯a thu´.c (bieˆ´n x). Tuy nhieˆn, va`nh d¯a thu´.c khoˆng nhaˆ´t thieˆ´t d¯u.o.. c xa´c d¯i.nh treˆn tru.`o.ng F ma` co´ theˆ’ treˆn va`nh giao hoa´n co´ d¯o.n vi. baˆ´t ky` R va` khi d¯o´ R[x] co´ theˆ’ co´ u.´o.c cu’a khoˆng. 6.1.3. D- i.nh ngh˜ıa: A´nh xa. ϕ : F −→ F d¯u.o.. c go. i la` moˆ. t ha`m d¯a thu´.c neˆ´u to`ˆn ta. i d¯a thu´.c f(x) = a0+a1x+· · ·+anxn ∈ F[x] sao cho ϕ(c) = a0+a1c+· · ·+ancn. Khi d¯o´ ta co´ theˆ’ vieˆ´t f(c) thay cho ϕ(c). Theo d¯i.nh ngh˜ıa, moˆ˜i d¯a thu´.c xa´c d¯i.nh moˆ.t ha`m d¯a thu´.c va` moˆ˜i ha`m d¯a thu´.c d¯u.o.. c xa´c d¯i.nh bo.’ i ı´t nhaˆ´t moˆ. t d¯a thu´.c. 141 Cha˘’ ng ha.n, vo´.i soˆ´ nguyeˆn toˆ´ p, hai d¯a thu´.c xp−x va` 0 trong Zp[x] xa´c d¯i.nh cu`ng moˆ.t ha`m d¯a thu´.c - ha`m d¯o`ˆng nhaˆ´t khoˆng. Thaˆ. t vaˆ. y, theo d¯i.nh ly´ Fermat, mp ≡ m (mod p), vo´.i mo. i m ∈ Z (co´ theˆ’ chu´.ng minh ba`˘ng quy na.p theo m ∈ N vo´.i lu.u y´ ra`˘ng heˆ. soˆ´ toˆ’ ho.. p Ckp ≡ 0 (mod p), 1 ≤ k ≤ p − 1 va` khi m < 0 keˆ´t qua’ co´ tu`. (−m)p ≡ (−m) (mod p)), cho neˆn cp = c vo´.i mo. i c ∈ Zp. 6.1.4. Meˆ.nh d¯e`ˆ: Cho f(x) ∈ F[x] va` c ∈ F. Khi d¯o´ f(x) chia heˆ´t cho x− c khi va` chı’ khi f(c) = 0. O.’ d¯aˆy caˆu no´i “f(x) chia heˆ´t cho x − c” co´ ngh˜ıa f(x) = (x − c)g(x) vo´.i g(x) ∈ F[x], ky´ hieˆ.u f(x) ... x− c. Chu´.ng minh: Gia’ su.’ f(x) = a0 + a1x+ · · ·+ anxn. Ta co´ f(x)− f(c) = n∑ k=0 akx k − n∑ k=0 akc k = n∑ k=0 ak(xk − ck) = n∑ k=0 ak(x− c)(xk−1 + cxk−2 + · · ·+ ck−1). Do d¯o´ neˆ´u f(c) = 0 th`ı f(x) = (x− c)g(x), trong d¯o´ g(x) = n∑ k=0 ak(xk−1 + cxk−2 + · · ·+ ck−1) ∈ F[x]. D- a’o la. i, neˆ´u f(x) = (x−c)g(x) vo´.i g(x) ∈ F[x] th`ı thay x bo.’ i c ta d¯u.o.. c f(c) = 0. 6.1.5. D- i.nh ngh˜ıa: Pha`ˆn tu .’ c ∈ F d¯u.o.. c go. i la` moˆ. t nghieˆ.m cu’a d¯a thu´.c f(x) ∈ F[x] neˆ´u f(c) = 0 va` no´ d¯u.o.. c go. i la` moˆ. t nghieˆ.m boˆ. i k (vo´.i k la` moˆ. t soˆ´ nguyeˆn du.o.ng) cu’a f(x) neˆ´u f(x) chia heˆ´t cho (x − c)k, nhu.ng khoˆng chia heˆ´t cho (x− c)k+1 trong F[x]. 6.1.6. Heˆ. qua’: Neˆ´u d¯a thu´ .c f(x) ∈ F[x] co´ baˆ.c n th`ı f(x) co´ nhie`ˆu nhaˆ´t n nghieˆ.m trong F. Lu.u y´ ra`˘ng pha´t bieˆ’u treˆn khoˆng co`n d¯u´ng neˆ´u F la` moˆ. t va`nh co´ u.´o.c cu’a khoˆng. 6.1.7. Meˆ.nh d¯e`ˆ: Neˆ´u tru .`o.ng F la` voˆ ha.n th`ı hai d¯a thu´.c kha´c nhau trong F[x] xa´c d¯i.nh hai ha`m d¯a thu´.c kha´c nhau treˆn F. Chu´.ng minh: Gia’ su.’ f(x), g(x) ∈ F[x] va` f(x) 6= g(x). Neˆ´u f(x) va` g(x) xa´c d¯i.nh cu`ng moˆ.t ha`m d¯a thu´.c th`ı f(c) = g(c) vo´.i mo. i c ∈ F. Ma˘. t kha´c, r(x) = f(x) − g(x) la` d¯a thu´.c kha´c 0 trong F[x] neˆn co´ hu˜.u ha.n nghieˆ.m trong F. D- ie`ˆu na`y maˆu thuaˆ˜n vo´.i r(x) co´ voˆ soˆ´ nghieˆ.m trong F, do F la` voˆ ha.n. Vaˆ.y, neˆ´u F la` voˆ ha.n th`ı ca´c kha´i nieˆ.m d¯a thu´.c va` ha`m d¯a thu´.c la` tu.o.ng d¯u.o.ng (tho thuaˆ.t ngu˜. chuyeˆn moˆn, va`nh ca´c d¯a thu´.c d¯a˘’ ng caˆ´u vo´.i va`nh ca´c ha`m d¯a thu´.c). Khi d¯o´ ta se˜ d¯u.o.. c phe´p queˆn d¯i su.. kha´c nhau giu˜.a ca´c d¯a thu´.c va` ca´c ha`m d¯a thu´.c. 142 Th´ı du. : 1) Cho f(x) = 1 + 4x+ 2x 2, g(x) = 2 + x+ 3x2 ∈ Z5[x]. Ta co´: f(x)g(x) = 1.2 + (1 + 4.2)x+ (1.3 + 4.1 + 2.2)x2 + (4.3 + 2.1)x3 + 2.3x4 = 2+ 4x+ x2 + 4x3 + x4. 2) Cho f(x) = x+ 4x2 + 2x3, g(x) = 2 + 3x+ 3x2 ∈ Z6[x]. Ta co´: f(x)g(x) = 2x+ 5x2 + x3. Va`nh Z6[x] co´ u.´o.c cu’a khoˆng; cha˘’ ng ha.n, 2x va` 3 + 3x la` hai d¯a thu´.c kha´c khoˆng nhu.ng 2.(3 + 3x) = 0. 3) Trong va`nh Q[x], d¯a thu´.c f(x) = (x+ 1)2n − x2n − 2x− 1 chia heˆ´t cho 2x+ 1, x+ 1, x. Thaˆ. t vaˆ. y, f(−1 2 ) = (−1 2 +1)2n−(−1 2 )2n−2(−1 2 )−1 = 0 ⇒ f(x)... x+1 2 ⇒ f(x)... 2x+1, f(−1) = (−1 + 1)2n − (−1)2n − 2(−1)− 1 = 0 ⇒ f(x)... x+ 1, f(0) = (0 + 1)2n − 02n − 2.0− 1 = 0 ⇒ f(x)... x. 4) Cho d¯a thu´.c baˆ.c hai f(x) = 14 + x2 ∈ Z15[x]. Khi d¯o´ co´ 4 nghieˆ.m trong Z15 la` 1, 14 = −1, 4, 11 = −4 (ngoa`i ra khoˆng co`n nghieˆ.m na`o kha´c). D- a thu´.c baˆ.c hai g(x) = 20 + x2 ∈ Z21[x] co´ d¯u´ng 4 nghieˆ.m trong Z21 la` 1, 20, 8, 13. 6.2. THUAˆ. T TOA´N CHIA. 6.2.1. D- i.nh ly´ (Phe´p chia Euclid vo´ .i du.): Cho f(x), g(x) ∈ F[x] vo´.i g(x) 6= 0. Khi d¯o´ to`ˆn ta. i duy nhaˆ´t ca´c d¯a thu´.c q(x), r(x) ∈ F[x] sao cho f(x) = g(x)q(x) + r(x), trong d¯o´ deg(r(x)) < deg(g(x)). Ta no´i f(x) la` d¯a thu´.c bi. chia, g(x) la` d¯a thu´.c chia, q(x) la` d¯a thu´.c thu.o.ng va` r(x) la` d¯a thu´.c du.. Chu´.ng minh: 1) T´ınh duy nhaˆ´t: Gia’ su.’ f(x) = g(x)q(x) + r(x) = g(x)q1(x) + r1(x), trong d¯o´ q(x), q1(x), r(x), r1(x) ∈ F[x] vo´.i deg(r(x)), deg(r1(x)) < deg(g(x)), tu`. d¯o´ suy ra deg(r(x)−r1(x)) < deg(g(x)). Khi d¯o´ r(x)−r1(x) = g(x)[q1(x)−q(x)]. Neˆ´u r(x) 6= r1(x) th`ı r(x) − r1(x) va` q1(x) − q(x) la` hai d¯a thu´.c kha´c 0 trong F[x] va` deg(r(x) − r1(x)) = deg(g(x)) + deg(q1(x)− q(x)) ≥ deg(g(x)). D- ie`ˆu voˆ ly´ na`y cho bieˆ´t r(x) = r1(x) va` khi d¯o´ q(x) = q1(x). Su.. to`ˆn ta. i: Neˆ´u deg(f(x)) < deg(g(x)) th`ı f(x) = g(x)q(x)+r(x), vo´ .i q(x) = 0 va` r(x) = f(x). Neˆ´u deg(f(x)) ≥ deg(g(x)), vo´.i f(x) = a0 + a1x + · · · + anxn, g(x) = b0+b1x+· · ·+bmxm (m ≤ n), ta laˆ´y h(x) = an bm xn−m va` f1(x) = f(x)−g(x)h(x) 143 th`ı ta co´ f(x) = g(x)h(x) + f1(x), vo´.i deg(f1(x)) < deg(f(x)). Tu.o.ng tu.. , ta co´ bieˆ’u die˜ˆn f1(x) = g(x)h1(x) + f2(x), vo´.i deg(f2(x)) < deg(f1(x)). Tieˆ´p tu. c nhu. vaˆ. y ta d¯u.o.. c da˜y f1(x), f2(x), . . . , fk(x) sao cho deg(fk(x)) < deg(g(x)). Khi d¯o´ f(x) = g(x)q(x) + r(x) vo´.i q(x) = h(x) + h1(x) + · · ·+ hk−1(x) va` r(x) = fk(x). Lu.u y´ ra˘`ng neˆ´u r(x) = 0 th`ı f(x) = g(x)q(x) va` ta no´i f(x) chia heˆ´t cho g(x) hay g(x) la` moˆ. t u.´o.c cu’a f(x), ky´ hieˆ.u f(x) ... g(x). 6.2.2. Heˆ. qua’: Cho f(x) ∈ F[x] va` c ∈ F. Khi d¯o´ du. cu’a phe´p chia f(x) cho x− c la` f(c). Chu´.ng minh: Ta co´ f(x) = (x− c)q(x) + r(x), vo´.i deg(r(x)) < deg(x− c) = 1, cho neˆn r(x) = r ∈ F. Thay x = c, ta co´ r = f(c). 6.2.3. D- i.nh ngh˜ıa: Cho f(x), g(x) ∈ F[x] la` hai d¯a thu´.c khoˆng d¯o`ˆng tho`.i ba˘`ng d¯a thu´.c 0. D- a thu´.c d(x) d¯u.o.. c go. i la` u.´o.c chung lo´.n nhaˆ´t cu’a f(x) va` g(x) neˆ´u no´ la` moˆ. t u.´o.c chung cu’a f(x) va` g(x) va` mo. i u.´o.c chung cu’a f(x) va` g(x) d¯e`ˆu la` u.´o.c cu’a d(x), ky´ hieˆ.u d(x) = UCLN(f(x), g(x)) hay d¯o.n gia’n la` d(x) = (f(x), g(x)). Khi d(x) la` ha`˘ng soˆ´ kha´c khoˆng th`ı f(x) va` g(x) d¯u.o.. c go. i la` nguyeˆn toˆ´ cu`ng nhau, ky´ hieˆ.u (f(x), g(x)) = 1. Nhu. vaˆ. y, f(x) va` g(x) nguyeˆn toˆ´ cu`ng nhau khi va` chı’ khi f(x) va` g(x) khoˆng cu`ng chia heˆ´t cho d¯a thu´.c na`o co´ baˆ.c ≥ 1. Neˆ´u d1(x) va` d2(x) la` hai u.´o.c chung lo´.n nhaˆ´t cu’a f(x) va` g(x) trong F[x] th`ı to`ˆn ta. i u(x), v(x) ∈ F[x] sao cho d1(x) = u(x)d2(x), d2(x) = v(x)d1(x). Khi d¯o´ d1(x) = u(x)v(x)d1(x) hay u(x)v(x) = 1. Do d¯o´ u(x) = c, v(x) = d ∈ F va` cd = 1. Tu`. d¯o´ suy ra d1(x) = cd2(x), vo´.i c ∈ F, c 6= 0. Tu`. d¯i.nh ngh˜ıa ve`ˆ u.´o.c chung lo´.n nhaˆ´t cu’a hai d¯a thu´.c, ta de˜ˆ da`ng suy ra meˆ.nh d¯e`ˆ du.´o.i d¯aˆy. 6.2.4. Meˆ.nh d¯e`ˆ: Cho ca´c d¯a thu´ .c f(x), g(x), q(x), r(x) ∈ F[x] thoa’ ma˜n f(x) = g(x)q(x) + r(x), vo´.i f(x) va` g(x) khoˆng d¯o`ˆng tho`.i ba`˘ng d¯a thu´.c 0. Khi d¯o´ UCLN(f(x), g(x)) =UCLN(g(x), r(x)). 6.2.5. Chu´ y´ (Thuaˆ. t toa´n Euclid t`ım UCLN): Cho hai d¯a thu´ .c f(x), g(x) ∈ F[x], vo´.i g(x) 6= 0. Theo d¯i.nh ly´ ve`ˆ phe´p chia vo´.i du., ta co´ f(x) = g(x)q1(x) + r1(x), vo´.i deg(r1(x)) < deg(g(x)). Neˆ´u r1(x) = 0 th`ı UCLN(f(x), g(x)) = g(x). Neˆ´u r1(x) 6= 0, la. i su.’ du. ng phe´p chia vo´.i du., ta d¯u.o.. c da˜y: f(x) = g(x)q1(x) + r1(x), 0 6= deg(r1(x)) < deg(g(x)), g(x) = r1(x)q2(x) + r2(x), 0 6= deg(r2(x)) < deg(r1(x)), . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , rk−2(x) = rk−1(x)qk(x) + rk(x), 0 6= deg(rk(x)) < deg(rk−1(x)), rk−1(x) = rk(x)qk+1(x) + c, c ∈ F. 144 Theo (6.2.4), UCLN(f(x), g(x)) =UCLN(g(x), r1(x)) =UCLN(r1(x), r2(x)) = · · · =UCLN(rk−1(x), rk(x)) =UCLN(rk(x), c). Neˆ´u c = 0 th`ı UCLN(f(x), g(x)) = rk(x). Neˆ´u c 6= 0 th`ı f(x) va` g(x) nguyeˆn toˆ´ cu`ng nhau. 6.2.6. Meˆ.nh d¯e`ˆ: Hai d¯a thu´ .c f(x), g(x) ∈ F[x] nguyeˆn toˆ´ cu`ng nhau khi va` chı’ khi to`ˆn ta. i r(x), s(x) ∈ F[x] sao cho f(x)r(x) + g(x)s(x) = 1. Chu´.ng minh: D- ie`ˆu kieˆ.n d¯u’ : Neˆ´u to`ˆn ta. i r(x), s(x) ∈ F[x] sao cho f(x)r(x) + g(x)s(x) = 1 th`ı tu`. d(x) la` u.´o.c chung baˆ´t ky` cu’a f(x) va` g(x) ta suy ra d(x) la` u.´o.c cu’a 1, tu´.c la` d(x) la` d¯a thu´.c baˆ.c 0. Nhu. vaˆ. y, f(x) va` g(x) khoˆng co´ u.´o.c chung na`o la` d¯a thu´.c co´ baˆ.c ≥ 1, do d¯o´ f(x) va` g(x) nguyeˆn toˆ´ cu`ng nhau. D- ie`ˆu kieˆ.n ca`ˆn: Gia’ su .’ f(x) va` g(x) nguyeˆn toˆ´ cu`ng nhau. Ta chı’ ca`ˆn xe´t tru.`o.ng ho.. p ca’ hai d¯a thu´.c d¯e`ˆu kha´c khoˆng. Thu.. c hieˆ.n thuaˆ.t toa´n Euclid o.’ (6.2.5) ta d¯u.o.. c c 6= 0. Ta nhaˆ.n thaˆ´y c t´ınh d¯u.o.. c theo rk−1(x), rk(x), ro`ˆi rk(x) t´ınh d¯u.o.. c theo rk−1(x) va` rk−2(x), . . . , r1(x) t´ınh d¯u.o.. c g(x) va` f(x). Do d¯o´ c t´ınh d¯u.o.. c theo f(x) va` g(x) du.´o.i da.ng c = f(x)r˜(x) + g(x)s˜(x). Vı` c 6= 0 neˆn ta co´ f(x)r(x) + g(x)s(x) = 1, vo´.i r(x) = c−1r˜(x), s(x) = c−1s˜(x). Th´ı du. : 1) Ha˜y xa´c d¯i.nh soˆ´ nguyeˆn p d¯eˆ’ du . cu’a phe´p chia d¯a thu´.c x3 + px+5 cho x2 + 5x+ 6 trong Z7[x] ba`˘ng 0. Thu.. c hieˆ.n phe´p chia Euclid trong Z7[x] d¯a thu´.c x3+px+5 cho x2+5x+6, ta nhaˆ.n d¯u.o.. c thu.o.ng la` d¯a thu´.c x + 2 va` du. la` d¯a thu´.c (p − 6− 3)x. D- eˆ’ cho (p− 6− 3) = 0 ta pha’i co´ p ≡ 2 (mod 7), hay p co´ da.ng 7k + 2 vo´.i k ∈ Z. 2) T`ım u.´o.c chung lo´.n nhaˆ´t cu’a f(x) = x5 + x3 + x2 + x + 1 va` g(x) = x3 + 2x2 + x+ 1 trong Q[x]. f(x) = g(x)q1(x) + r1(x), q1(x) = x2 − 2x+ 4, r1(x) = −6x2 − x− 3, g(x) = r1(x)q2(x) + r2(x), q2(x) = −16x− 11 36 , r2(x) = 7 36 x+ 1 12 , r1(x) = r2(x)q3(x)r3(x), q3(x) = −2167 x+ 396 49 , r3(x) = −18049 . Vaˆ.y u.´o.c chung lo´.n nhaˆ´t cu’a f(x) = x5 + x3 + x2 + x + 1 va` g(x) = x3 + 2x2 + x+ 1 la` 1 hay (f(x), g(x)) = 1. 6.3. D- A THU´ . C BA´ˆT KHA’ QUY. 6.3.1. D- i.nh ngh˜ıa: D- a thu´ .c f(x) ∈ F[x] d¯u.o.. c go. i la` baˆ´t kha’ quy treˆn F hay trong F[x] neˆ´u no´ co´ baˆ.c du.o.ng va` neˆ´u no´ khoˆng thu`.a nhaˆ.n moˆ.t phaˆn t´ıch na`o co´ da.ng f(x) = g(x)h(x), trong d¯o´ ca´c d¯a thu´.c g(x), h(x) ∈ F[x] d¯e`ˆu co´ baˆ.c nho’ 145 ho.n deg(f(x)). Moˆ. t d¯a thu´.c d¯u.o.. c go. i la` kha’ quy treˆn F neˆ´u no´ khoˆng baˆ´t kha’ quy treˆn F. No´i ca´ch kha´c, d¯a thu´.c f(x) ∈ F[x] la` baˆ´t kha’ quy treˆn F neˆ´u no´ co´ baˆ.c du.o.ng va` chı’ chia heˆ´t cho ca´c d¯a thu´.c baˆ.c du.o.ng co´ da.ng cf(x) ∈ F[x], trong d¯o´ c ∈ F \ {0}. Th´ı du. : 1) Mo.i d¯a thu´ .c baˆ.c nhaˆ´t trong F[x] d¯e`ˆu baˆ´t kha’ quy treˆn F. 2) Mo. i d¯a thu´.c baˆ´t kha’ quy treˆn F baˆ.c lo´.n ho.n 1 d¯e`ˆu voˆ nghieˆ.m trong F. D- ie`ˆu ngu.o.. c la. i khoˆng d¯u´ng. Cha˘’ ng ha.n, f(x) = (x2 + x+1)(x2 +2x+3) ∈ R[x] voˆ nghieˆ.m trong R nhu.ng la. i kha’ quy treˆn R. 3) Cho f(x) ∈ F[x] co´ deg(f(x)) = 2 hoa˘.c 3. Khi d¯o´ neˆ´u f(x) kha’ quy th`ı trong F[x] co´ phaˆn t´ıch f(x) = g(x)h(x) va` g(x) hoa˘.c h(x) la` baˆ.c nhaˆ´t, do d¯o´ no´ co´ nghieˆ.m. Vı` vaˆ.y, trong tru.`o.ng ho.. p na`y, f(x) la` baˆ´t kha’ quy treˆn F khi va` chı’ khi f(x) voˆ nghieˆ.m trong F. Chu´ng ta thu`.a nhaˆ.n d¯i.nh ly´ sau d¯aˆy, no´i ve`ˆ t´ınh d¯o´ng d¯a. i soˆ´ cu’a tru.`o.ng soˆ´ phu´.c C. 6.3.2. D- i.nh ly´ (D- i.nh ly´ co . ba’n cu’a D- a. i soˆ´ ho.c): Mo. i d¯a thu´ .c baˆ.c du.o.ng vo´.i heˆ. soˆ´ phu´.c d¯e`ˆu co´ nghieˆ.m phu´.c. No´i ca´ch kha´c, moˆ. t d¯a thu´.c heˆ. soˆ´ phu´.c la` baˆ´t kha’ quy treˆn C khi va` chı’ khi no´ la` moˆ. t d¯a thu´.c baˆ.c nhaˆ´t. Nhu. vaˆ. y, neˆ´u f(x) ∈ C[x] co´ baˆ.c n th`ı no´ thu`.a nhaˆ.n phaˆn t´ıch f(x) = an(x− z1) . . . (x− zn), trong d¯o´ an 6= 0 la` heˆ. soˆ´ daˆ˜n d¯a`ˆu cu’a f(x) va` z1, . . . , zn la` ca´c soˆ´ phu´.c na`o d¯o´. Cho to´.i nay, mo. i chu´.ng minh d¯a˜ bieˆ´t cu’a d¯i.nh ly´ na`y d¯e`ˆu mang ba’n sa˘´c Toˆpoˆ, Hı`nh ho.c hoa˘.c Gia’i t´ıch. Chu.a co´ moˆ. t chu´.ng minh thua`ˆn tuy´ d¯a. i soˆ´ na`o cho d¯i.nh ly´ na`y. Nha˘´c la. i ra˘`ng tam thu´.c baˆ.c hai heˆ. soˆ´ thu.. c ax2 + bx + c khoˆng co´ nghieˆ.m thu.. c khi va` chı’ khi bieˆ.t thu´.c cu’a no´ ∆ = b2 − 4ac < 0. Moˆ.t u´.ng du. ng cu’a d¯i.nh ly´ co. ba’n cu’a d¯a. i soˆ´ ho.c la` kha˘’ ng d¯i.nh sau d¯aˆy. 6.3.3. D- i.nh ly´: Moˆ.t d¯a thu´ .c heˆ. soˆ´ thu.. c la` baˆ´t kha’ quy treˆn R khi va` chı’ khi no´ hoa˘.c la` moˆ. t d¯a thu´.c baˆ.c nhaˆ´t hoa˘.c la` moˆ. t d¯a thu´.c baˆ.c hai vo´.i bieˆ.t thu´.c aˆm. Ho.n nu˜.a, mo. i d¯a thu´.c f(x) ∈ R[x] d¯e`ˆu thu`.a nhaˆ.n phaˆn t´ıch f(x) = an(x− x1)k1 . . . (x− xr)kr (x2 + b1x+ c1)l1 . . . (x2 + bsx+ cs)ls , trong d¯o´ an la` heˆ. soˆ´ daˆ˜n d¯a`ˆu cu’a f(x), r∑ i=1 ki+ s∑ j=1 lj = n = deg(f(x)), x1, . . . , xr la` ca´c soˆ´ thu.. c va` ca´c tam thu´.c baˆ.c hai heˆ. soˆ´ thu.. c (x2 + bix+ ci) d¯e`ˆu khoˆng co´ nghieˆ.m thu.. c. 146 Chu´.ng minh: Ro˜ ra`ng mo. i d¯a thu´.c heˆ. soˆ´ thu.. c baˆ.c nhaˆ´t hoa˘.c baˆ.c hai vo´.i bieˆ.t thu´.c aˆm d¯e`ˆu baˆ´t kha’ quy treˆn R. Kha˘’ ng d¯i.nh ngu.o.. c la. i d¯u.o.. c bao ha`m trong phaˆn t´ıch ca`ˆn t`ım cho mo. i d¯a thu´.c f(x) no´i trong d¯i.nh ly´. Go. i x1, . . . , xr la` taˆ´t ca’ ca´c nghieˆ.m thu.. c cu’a f(x) vo´.i boˆ. i tu.o.ng u´.ng ba`˘ng k1, . . . , kr. Ta co´ f(x) = an(x− x1)k1 . . . (x− xr)krP (x), trong d¯o´ P (x) la` moˆ. t d¯a thu´.c heˆ. soˆ´ thu.. c nhu.ng khoˆng co´ nghieˆ.m thu.. c. Gia’ su.’ z1 la` moˆ. t nghieˆ.m phu´.c cu’a P (x), khi d¯o´ z1 cu˜ng la` moˆ. t nghieˆ.m cu’a P (x). Thaˆ. t vaˆ. y, P (x) co´ da.ng P (x) = dmxm + · · ·+ d1x+ d0, trong d¯o´ dm, . . . , d0 la` ca´c soˆ´ thu.. c, tu´.c la` di = di. De˜ˆ thaˆ´y ra˘`ng 0 = P (z1) = dmzm1 + · · ·+ d1z1 + d0 = dm.zm1 + · · ·+ d1.z1 + d0 = dmzm1 + · · ·+ d1z1 + d0 = P (z1). Do d¯o´ P (x) = (x − z1)(x − z1)Q(x), trong d¯o´ Q(x) la` moˆ. t d¯a thu´.c. Nhaˆ.n xe´t ra`˘ng (x− z1)(x− z1) = x2 − (z1 + z1)x+ z1z1 = x2 − 2Re(z1)x+ |z1|2 la` moˆ. t tam thu´.c baˆ.c hai heˆ. soˆ´ thu.. c nhu.ng khoˆng co´ nghieˆ.m thu.. c. Do t´ınh duy nhaˆ´t cu’a phe´p chia d¯a thu´.c P (x) cho d¯a thu´.c x2 − 2Re(z1)x + |z1|2 trong ca´c va`nh R[x] va` C[x], ta co´ Q(x) cu˜ng la` moˆ. t d¯a thu´.c heˆ. soˆ´ thu.. c. No´ khoˆng co´ nghieˆ.m thu.. c v`ı P (x) cu˜ng vaˆ.y. La˘.p la. i nhu˜.ng laˆ.p luaˆ.n o.’ treˆn vo´.i Q(x) thay cho P (x). Bo.’ i v`ı deg(Q(x)) < deg(P (x)), cho neˆn ta nhaˆ.n d¯u.o.. c phaˆn t´ıch cu’a f(x) nhu. no´i trong d¯i.nh ly´ ba`˘ng ca´ch quy na.p theo deg(P (x)). 6.3.4. Meˆ.nh d¯e`ˆ: Neˆ´u d¯a thu´ .c baˆ.c du.o.ng f(x) = a0 + a1x+ · · ·+ anxn ∈ Z[x] co´ moˆ. t nghieˆ.m hu˜.u tı’ th`ı nghieˆ.m hu˜.u tı’ d¯o´ co´ da.ng r s , vo´.i r|a0 va` s|an. Chu´.ng minh: Gia’ su.’ f(x) co´ moˆ. t nghieˆ.m hu˜.u tı’ c = p q . Khi d¯o´ p = rd, q = sd, vo´.i d la` u.´o.c chung lo´.n nhaˆ´t cu’a p va` q va` c = r s , vo´.i (r, s) = 1 (tu´.c la` r va` s nguyeˆn toˆ´ cu`ng nhau). Do f(c) = 0, ta co´ a0sn + a1rsn−1 + · · · + an−1rn−1s + anr n = 0, do d¯o´ s|anrn va` r|a0sn. Tu`. (s, rn) = 1 va` (r, sn) = 1 ta suy ra r|a0 va` s|an. Chu´ng ta thu`.a nhaˆ.n d¯i.nh ly´ sau d¯aˆy, moˆ.t d¯ie`ˆu kieˆ.n d¯u’ cu’a t´ınh baˆ´t kha’ quy treˆn Q. 6.3.5. D- i.nh ly´ (Tieˆu chuaˆ’n baˆ´t kha’ quy Eisenstein): Cho d¯a thu´ .c f(x) = a0 + a1x+ · · ·+ anxn ∈ Z[x] (n > 1). Khi d¯o´ neˆ´u to`ˆn ta. i soˆ´ nguyeˆn toˆ´ p sao cho p|a0, p|a1, . . . , p|an−1, p 6 |an, p2 6 |a0 th`ı f(x) la` baˆ´t kha’ quy treˆn Q. 147 BA`I TAˆ. P CHU . O . NG VI 1. T`ım taˆ´t ca’ ca´c d¯a thu´.c heˆ. soˆ´ thu.. c P (x) thoa’ ma˜n d¯ie`ˆu kieˆ.n P (0) = 0 va` d¯o`ˆng nhaˆ´t thu´.c: P (x) = 1 2 (P (x+ 1) + P (x− 1)), ∀x ∈ R. 2. 1) Cho f(x) la` d¯a thu´.c baˆ.c n vo´.i heˆ. soˆ´ thu.. c va` f ′(x) la` d¯a.o ha`m cu’a f(x). Bieˆ´t ra`˘ng f(x) co´ n nghieˆ.m thu.. c x1, x2, . . . , xn. Chu´.ng minh ra`˘ng neˆ´u soˆ´ thu.. c a khoˆng pha’i la` nghieˆ.m cu’a f(x) th`ı 1 a− x1 + 1 a− x2 + · · ·+ 1 a− xn = f ′(a) f(a) . 2) Cho d¯a thu´.c ϕ(x) = x3 + x2 − 4x+ 1 co´ 3 nghieˆ.m thu.. c x1, x2, x3. T´ınh A = 1 x21 − 3x1 + 2 + 1 x22 − 3x2 + 2 + 1 x23 − 3x3 + 2 , B = 1 x21 − 2x1 + 1 + 1 x22 − 2x2 + 1 + 1 x23 − 2x3 + 1 . 3. Chu´.ng minh ra˘`ng vo´.i mo. i soˆ´ tu.. nhieˆn n, d¯a thu´.c (x+ 1)2n+1 + xn+2 chia heˆ´t cho d¯a thu´.c x2 + x+ 1. 4. Cho k va` n la` hai soˆ´ nguyeˆn du.o.ng, r la` du. cu’a phe´p chia Euclid k cho n. Chu´.ng minh ra˘`ng du. cu’a phe´p chia Euclid xk cho xn − 1 la` xr. 5. Cho n la` moˆ. t soˆ´ nguyeˆn du.o.ng va` ϕ la` moˆ. t soˆ´ thu.. c. T`ım du. cu’a phe´p chia Euclid (x sinϕ+ cosϕ)n cho x2 + 1 trong C[x]. 6. Treˆn tru.`o.ng Q ca´c soˆ´ hu˜.u tı’, t`ım u.´o.c chung lo´.n nhaˆ´t cu’a f(x) = 2x4 − x3 + x2 + 3x+ 1, g(x) = 2x3 − 3x2 + 2x+ 2 va` sau d¯o´ bieˆ’u thi. no´ nhu. la` toˆ’ ho.. p tuyeˆ´n t´ınh cu’a ca´c d¯a thu´.c d¯a˜ cho. 7. Treˆn tru.`o.ng Z3, t`ım u.´o.c chung lo´.n nhaˆ´t cu’a f(x) = x5 + x3 + x2 + x+ 1, g(x) = x3 + 2x2 + x+ 1. 8. Cho A,B,C thuoˆ.c F [x], F la` moˆ. t tru.`o.ng. Chu´.ng minh ra`˘ng neˆ´u A,B,C nguyeˆn toˆ´ cu`ng nhau tu`.ng d¯oˆi moˆ. t th`ı AB+BC+CA va` ABC nguyeˆn toˆ´ cu`ng nhau. 148 9. Chu´.ng minh ra˘`ng trong R[x] ca´c d¯a thu´.c A = x4 + 1 va` B = x3 − 1 nguyeˆn toˆ´ cu`ng nhau va` t`ım moˆ.t ca˘.p U, V ∈ R[x] thoa’ ma˜n: AU +BV = 1. 10. Du`ng tieˆu chuaˆ’n Eisenstein d¯eˆ’ chu´.ng minh ca´c d¯a thu´.c sau la` baˆ´t kha’ quy trong Q[x]: 1) x4 − 13x3 + 45x2 − 61x+ 25. 2) x4 + x3 + x2 + x+ 1. 11. 1) Du`ng tieˆu chuaˆ’n Eisenstein d¯eˆ’ chu´.ng minh d¯a thu´.c sau la` baˆ´t kha’ quy trong Q[x]: x3 − 3x+ 1. 2) Trong va`nh Q[x], chu´.ng minh ra`˘ng d¯a thu´.c f(x) = x3 − 3n2x+ n3 vo´.i n la` moˆ. t soˆ´ nguyeˆn du.o.ng, la` moˆ. t d¯a thu´.c baˆ´t kha’ quy. 12. Cho n la` moˆ. t soˆ´ nguyeˆn du.o.ng, a va` b la` hai soˆ´ thu.. c kha´c nhau. T`ım hai d¯a thu´.c U va` V trong R[x] sao cho{ U(x− a)n + V (x− b)n = 1, deg(U) ≤ n− 1, deg(V ) ≤ n − 1. 13. T`ım d¯ie`ˆu kieˆ.n ca`ˆn va` d¯u’ d¯eˆ’ d¯a thu´.c f(x) = x4 + px2 + q ∈ Q[x] la` baˆ´t kha’ quy treˆn Q. 14. Gia’ su.’ f(x) = (x − a1)(x − a2) . . . (x− an) − 1 vo´.i ai la` nhu˜.ng soˆ´ nguyeˆn phaˆn bieˆ.t, i = 1, . . . , n. Chu´.ng minh ra˘`ng f(x) la` baˆ´t kha’ quy treˆn Q. 149 TRA’ LO` . I VA` HU . O´ . NG DA˜ˆN GIA’ I BA`I TAˆ. P CHU . O . NG VI 1. Ro˜ ra`ng P (0) = 0P (1). Gia’ su.’ P (k) = kP (1) vo´.i 0 ≤ k ≤ n. Khi d¯o´ P (n+ 1) = 2P (n)− P (n− 1) = 2nP (1)− (n− 1)P (1) = (n+ 1)P (1). Vaˆ. y theo nguyeˆn ly´ quy na.p ta co´ P (n) = nP (1), ∀n ∈ N. Do d¯o´ d¯a thu´.c P (x)−xP (1) co´ voˆ soˆ´ nghieˆ.m, neˆn P (x)− xP (1) la` d¯a thu´.c khoˆng. D- a˘. t a = P (1), ta co´ P (x) = ax. 2. 1) Ta co´ f(x) = c(x− x1)(x− x2) . . . (x− xn) vo´.i c ∈ R, c 6= 0. Khi d¯o´ f ′(x) = c[(x − x2)(x− x3) . . . (x− xn) + (x− x1)(x− x3) . . . (x− xn) + · · · +(x− x1)(x− x2) . . . (x− xn−1)]. Tu`. d¯aˆy suy ra f ′(a) f(a) = 1 a− x1 + 1 a− x2 + · · ·+ 1 a− xn . 2) A = 1 (2− x1)(1− x1) + 1 (2− x2)(1− x2) + 1 (2− x3)(1− x3) = ( 1 1− x1 + 1 1− x2 + 1 1− x3 )− ( 1 2− x1 + 1 2− x2 + 1 2− x3 ) = ϕ′(1) ϕ(1) − ϕ ′(2) ϕ(2) . Ta co´ ϕ(1) = −1, ϕ(2) = 5, ϕ′(1) = 1, ϕ′(2) = 12. Vaˆ. y A = −175 . Laˆ´y d¯a.o ha`m 2 veˆ´ cu’a 1 x− x1 + 1 x− x2 + 1 x− x3 = ϕ′(x) ϕ(x) , ta co´ −( 1 (x− x1)2 + 1 (x− x2)2 + 1 (x− x3)2 ) = ϕ(x)ϕ′′(x)− ϕ′(x)2 ϕ(x)2 . Do d¯o´ B = 1 (1− x1)2 + 1 (1− x2)2 + 1 (1− x3)2 = ϕ′(1)2 − ϕ(1)ϕ′′(1) ϕ(1)2 = 9. 3. Chu´.ng minh quy na.p theo n. Ro˜ ra`ng meˆ.nh d¯e`ˆ d¯u´ng khi n = 0. Gia’ su.’ meˆ.nh d¯e`ˆ d¯u´ng d¯eˆ´n n. Khi d¯o´ (x+ 1)2n+3 + xn+3 = (x+ 1)2(x+ 1)2n+1 + x.xn+2 = (x2 + 2x+ 1)(x+ 1)2n+1 + x.xn+2 = (x2 + x+ 1)(x+ 1)2n+1 + x((x+ 1)2n+1 + xn+2). 150 Soˆ´ ha.ng thu´. nhaˆ´t chia heˆ´t cho x2+x+1, soˆ´ ha.ng thu´. hai chia heˆ´t cho x2+x+1 theo gia’ thieˆ´t quy na.p. Vaˆ. y meˆ.nh d¯e`ˆ d¯u.o.. c chu´.ng minh. 4. xk = xqn+r = (xqn − 1)xr + xr = (xn − 1) (q−1∑ j=0 xjn+r ) + xr, trong d¯o´ deg(xr) = r < n = deg(xn− 1). Do d¯o´ du. cu’a phe´p chia Euclid xk cho xn− 1 la` xr. 5. Theo phe´p chia Euclide (x sinϕ + cosϕ)n cho x2 + 1, to`ˆn ta. i q(x) ∈ C[x] va` a, b ∈ C sao cho (x sinϕ + cosϕ)n = (x2 + 1)q(x) + ax+ b. Thay x bo.’ i i va` −i, ta co´ { ai+ b = cos(nϕ) + i sin(nϕ), −ai+ b = cos(−nϕ) + i sin(−nϕ). . Tu`. d¯o´ du. ca`ˆn t`ım la` x sin(nϕ) + cos(nϕ). 6. Su.’ du. ng phe´p chia Euclid: f(x) = (x+ 1)g(x) + (2x2 − x− 1), g(x) = (x− 1)(2x2 − x− 1) + (2x+ 1), 2x2 − x− 1 = (x− 1)(2x+ 1). Do d¯o´ 2x+ 1 la` u.´o.c chung lo´.n nhaˆ´t cu’a f(x) va` g(x). Ta co´ 2x+ 1 = g(x)− (x− 1)(2x2 − x− 1) = g(x)− (x− 1)(f(x)− (x+ 1)g(x)) = g(x) + (x2 − 1)g(x)− (x− 1)f(x) = x2g(x)− (x− 1)f(x). 7. Su.’ du. ng phe´p chia Euclid: f(x) = (x2 + x+ 1)g(x) + 2x, g(x) = 2x(2x2 + x) + x+ 1, 2x = 2(x+ 1) + 1. Do d¯o´ 1 la` u.´o.c chung lo´.n nhaˆ´t cu’a f(x) va` g(x). 8. Gia’ su.’ AB + BC + CA khoˆng nguyeˆn toˆ´ cu`ng nhau vo´.i ABC. Khi d¯o´ to`ˆn ta. i d¯a thu´.c baˆ´t kha’ quy D ∈ F [x] sao cho D | (AB + BC + CA) va` D | ABC. Do D baˆ´t kha’ quy neˆn D | A hoa˘.c D | B hoa˘.c D | C. Gia’ su.’ D | A. Vı` D | A va` D | (AB +BC +CA) neˆn D | BC va` do D baˆ´t kha’ quy neˆn D | B hoa˘.c D | C. Gia’ su.’ D | B. Vaˆ. y D | A va` D | B. Maˆu thuaˆ’n vo´.i d¯ie`ˆu kieˆ.n (A,B) = 1. 9. Thu.. c hieˆ.n lieˆn tieˆ´p phe´p chia Euclid, ta d¯u.o.. c (A,B) = 1. Vo´.i U = 1 2 (x2 − x+ 1), V = −1 2 (x3 − x2 + x+ 1), ta co´ AU +BV = 1. 10. 1) Thay x ba`˘ng x+ 1, ta co´ (x+ 1)4 − 13(x+ 1)3 + 45(x+ 1)2 − 61(x+ 1) + 25 = x4 − 9x3 + 12x2 − 6x− 3. 151 D- a thu´.c na`y baˆ´t kha’ quy trong Q[x] theo tieˆu chuaˆ’n Eisenstein vo´.i p = 3. 2) Thay x ba`˘ng x+ 1, ta co´ (x+ 1)4 + (x+ 1)3 + (x+ 1)2 + (x+ 1) + 1 = x4 + 5x3 + 10x2 + 10x+ 5. D- a thu´.c na`y baˆ´t kha’ quy trong Q[x] theo tieˆu chuaˆ’n Eisenstein vo´.i p = 5. 11. 1) Thay x ba`˘ng x+ 2, ta co´ (x+ 2)3 − 3(x+ 2) + 1 = x3 + 6x2 + 9x+ 3. D- a thu´.c na`y baˆ´t kha’ quy trong Q[x] theo tieˆu chuaˆ’n Eisenstein vo´.i p = 3. 2) f(x) co´ baˆ.c 3 trong Q[x] neˆn f(x) la` baˆ´t kha’ quy trong Q[x] khi va` chı’ khi f(x) voˆ nghieˆ.m trong Q. Gia’ su.’ f(x) co´ nghieˆ.m hu˜.u tı’ la` q ∈ Q. Khi d¯o´ q3 − 3n2q + n3 = 0 hay( q n )3 − 3 ( q n ) +1 = 0. Nhu. vaˆ.y q n la` nghieˆ.m cu’a d¯a thu´.c x3− 3x+1. D- ie`ˆu na`y maˆu thuaˆ’n vo´.i 1). 12. (b−a)2n−1 = ((x−a)−(x−b))2n−1 = 2n−1∑ k=0 Ck2n−1(−1)k(x−a)2n−1−k(x−b)k = (n−1∑ k=0 Ck2n−1(−1)k(x− a)n−1−k(x− b)k ) (x− a)n+ + (2n−1∑ k=n Ck2n−1(−1)k(x−a)2n−1−k(x− b)k−n ) (x− b)n. Tu`. d¯o´ ta co´ U(x− a)n + V (x− b)n = 1, trong d¯o´ U = 1 (b− a)2n−1 n−1∑ k=0 Ck2n−1(−1)k(x− a)n−1−k(x− b)k, V = 1 (b− a)2n−1 n−1∑ l=0 Cn+l2n−1(−1)n+l(x− a)n−1−l(x− b)l. 13. Gia’ su.’ f(x) la` kha’ quy treˆn Q. Khi d¯o´ f(x) co´ theˆ’ phaˆn t´ıch d¯u.o.. c tha`nh t´ıch cu’a hai d¯a thu´.c baˆ.c hai: x4 + px2 + q = (x2 + ax+m)(x2 + bx+ n). So sa´nh heˆ. soˆ´ o.’ hai veˆ´, ta suy ra a+ b = 0, m+ n + ab = p, an+ bm = 0, mn = q. 152 Neˆ´u a = 0 th`ı b = 0 va` { m + n = p, mn = q. Khi d¯o´ m va` n la` nghieˆ.m cu’a phu.o.ng tr`ınh x2 − px + q = 0. Phu.o.ng tr`ınh na`y co´ nghieˆ.m hu˜.u tı’ khi va` chı’ khi ∆ = p2 − 4q la` b`ınh phu.o.ng cu’a moˆ.t soˆ´ hu˜.u tı’. Neˆ´u a 6= 0 th`ı m = n va`  a = −b, 2n − a2 = p, n2 = q. Vı` a va` n la` nhu˜.ng soˆ´ hu˜.u tı’ neˆn q, 2 √ q − p pha’i la` b`ınh phu.o.ng cu’a nhu˜.ng soˆ´ hu˜.u tı’. Tu`. ca´c keˆ´t qua’ treˆn suy ra ra˘`ng d¯a thu´.c x4 + px2 + q la` baˆ´t kha’ quy treˆn Q khi va` chı’ khi q, p2 − 4q va` 2√q− p khoˆng pha’i la` b`ınh phu.o.ng cu’a nhu˜.ng soˆ´ hu˜.u tı’. 14. Gia’ su.’ f(x) = (x − a1)(x − a2) . . . (x− an) − 1 vo´.i ai la` nhu˜.ng soˆ´ nguyeˆn phaˆn bieˆ.t, i = 1, . . . , n, khoˆng pha’i la` baˆ´t kha’ quy treˆn Q. Khi d¯o´ to`ˆn ta. i hai d¯a thu´.c g(x) va` h(x) trong Z[x] sao cho (1) f(x) = g(x)h(x), vo´.i 0 < deg(g(x)), deg(h(x)) < deg(f(x)). Tu`. d¯a˘’ ng thu´.c (1) suy ra f(ai) = g(ai)h(ai) = −1, vo´.i i = 1, . . . , n. Vı` g(ai), h(ai) ∈ Z neˆn g(ai) = −h(ai), vo´.i i = 1, . . . , n. D- a˘. t k(x) = g(x) + h(x). Neˆ´u k(x) = 0 th`ı ta co´ g(x) = −h(x), nhu. vaˆ.y f(x) = −(g(x))2. Heˆ. soˆ´ daˆ˜n d¯a`ˆu cu’a f(x) ba`˘ng 1, co`n heˆ. soˆ´ daˆ˜n d¯a`ˆu cu’a −(g(x))2 luoˆn aˆm. D- ie`ˆu na`y khoˆng theˆ’ xa’y ra. Neˆ´u k(x) 6= 0 th`ı deg(k(x)) < n, nhu.ng k(ai) = g(ai) + h(ai) = 0, i = 1, . . . , n. Vaˆ.y k(x) co´ n nghieˆ.m phaˆn bieˆ.t, maˆu thuaˆ˜n vo´.i deg(k(x)) < n. 153 TA`I LIEˆ. U THAM KHA ’ O [1] G. Birkhoff va` S. MacLane, Toˆ’ng quan ve`ˆ d¯a. i soˆ´ hieˆ.n d¯a. i (Ba’n di.ch tieˆ´ng Vieˆ. t), NXB D- H & THCN, Ha` Noˆ. i, 1979. [2] Nguye˜ˆn Gia D- i.nh, Gia´o tr`ınh Toa´n cao caˆ´p 1 (Pha`ˆn D- a. i soˆ´), NXB Gia´o du. c, Ha` Noˆ. i, 2005. [3] Nguye˜ˆn Gia D- i.nh, Ba`i taˆ.p D- a. i soˆ´ (Taˆ.p 1), NXB Gia´o du. c, Ha` Noˆ. i, 2004. [4] Bu`i Duy Hie`ˆn, Ba`i taˆ.p D- a. i soˆ´ d¯a. i cu.o.ng, NXB Gia´o du. c, Ha` Noˆ. i, 2001. [5] Tra`ˆn Dieˆn Hieˆ’n, Nguye˜ˆn Va˘n Ngo.c, Gia´o tr`ınh Toa´n cao caˆ´p I, NXB Gia´o du. c, Ha` Noˆ. i, 1997. [6] Nguye˜ˆn Hu˜.u Vieˆ. t Hu.ng, D- a. i soˆ´ d¯a. i cu.o.ng, NXB Gia´o du. c, Ha` Noˆ. i, 1998. [7] Ngoˆ Theˆ´ Phieˆ.t, Gia´o tr`ınh d¯a. i soˆ´ (Taˆ.p 1), Tru.`o.ng D- a. i ho.c Toˆ’ng ho.. p Hueˆ´, Hueˆ´, 1977. [8] D- oa`n Quy`nh, Khu Quoˆ´c Anh, Nguye˜ˆn Anh Kieˆ.t, Ta. Maˆn, Nguye˜ˆn Doa˜n Tuaˆ´n, Gia´o tr`ınh Toa´n d¯a. i cu.o.ng, NXB D- a. i ho.c Quoˆ´c Gia Ha` Noˆ. i, Ha` Noˆ. i, 1998. [9] Helena Rasiowa, Co. so.’ cu’a toa´n ho.c hieˆ.n d¯a. i (Ba’n di.ch tieˆ´ng Vieˆ. t), NXB Khoa ho.c va` Ky˜ thuaˆ.t, Ha` Noˆ. i, 1978. [10] Kenneth H. Rosen, Toa´n ho.c ro`.i ra.c u´.ng du. ng trong tin ho.c (Ba’n di.ch tieˆ´ng Vieˆ. t), NXB Khoa ho.c va` Ky˜ thuaˆ. t, Ha` Noˆ. i, 1997. [11] Hoa`ng Xuaˆn S´ınh, D- a. i soˆ´ d¯a. i cu.o.ng, NXB Gia´o du. c, Ha` Noˆ. i, 1995. 154 MU. C LU. C Lo`.i no´i d¯a`ˆu Chu.o.ng I: Loˆgic toa´n va` taˆ.p ho . . p . . . . . . . . . . . . 1 1.1. Loˆgic toa´n . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Taˆ.p ho.. p . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Ba`i taˆ.p Chu.o.ng I . . . . . . . . . . . . . . . 17 Tra’ lo`.i va` hu.´o.ng daˆ˜n gia’i ba`i taˆ.p Chu.o.ng I . . . . . . . . 22 Chu.o.ng II: A´nh xa. . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.1. A´nh xa. . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2. Gia’i t´ıch toˆ’ ho.. p . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3. Lu.. c lu.o.. ng cu’a taˆ.p ho.. p . . . . . . . . . . . . . 41 2.4. Nho´m va`nh va` tru.`o.ng . . . . . . . . . . . . . 43 Ba`i taˆ.p Chu.o.ng II . . . . . . . . . . . . . . . 47 Tra’ lo`.i va` hu.´o.ng daˆ˜n gia’i ba`i taˆ.p Chu.o.ng II . . . . . . . 53 Chu.o.ng III: Quan heˆ. . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.1. Quan heˆ. va` ca´c t´ınh chaˆ´t cu’a no´ . . . . . . . . . 66 3.2. Quan heˆ. tu.o.ng d¯u.o.ng va` quan heˆ. thu´. tu.. . . . . . . . 69 Ba`i taˆ.p Chu.o.ng III . . . . . . . . . . . . . . . 76 Tra’ lo`.i va` hu.´o.ng daˆ˜n gia’i ba`i taˆ.p Chu.o.ng III . . . . . . . 81 Chu.o.ng IV: Soˆ´ tu.. nhieˆn va` soˆ´ nguyeˆn . . . . . . . . . 89 4.1. Soˆ´ tu.. nhieˆn . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.2. Soˆ´ nguyeˆn . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Ba`i taˆ.p Chu.o.ng IV . . . . . . . . . . . . . . . 102 Tra’ lo`.i va` hu.´o.ng daˆ˜n gia’i ba`i taˆ.p Chu.o.ng IV . . . . . . . 104 Chu.o.ng V: Soˆ´ hu˜.u tı’, soˆ´ thu.. c va` soˆ´ phu´ .c . . . . . . . . 110 5.1. Soˆ´ hu˜.u tı’ . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 5.2. Soˆ´ thu.. c . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 5.3. Soˆ´ phu´.c . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Ba`i taˆ.p Chu.o.ng V . . . . . . . . . . . . . . . 130 Tra’ lo`.i va` hu.´o.ng daˆ˜n gia’i ba`i taˆ.p Chu.o.ng V . . . . . . . 132 155 Chu.o.ng VI: D- a thu´.c . . . . . . . . . . . . . . . 139 6.1. D- a thu´.c va` ha`m d¯a thu´.c . . . . . . . . . . . . 139 6.2. Thuaˆ.t toa´n chia . . . . . . . . . . . . . . . 141 6.3. D- a thu´.c baˆ´t kha’ quy . . . . . . . . . . . . . 143 Ba`i taˆ.p Chu.o.ng VI . . . . . . . . . . . . . . . 146 Tra’ lo`.i va` hu.´o.ng daˆ˜n gia’i ba`i taˆ.p Chu.o.ng VI . . . . . . . 148 Ta`i lieˆ.u tham kha’o . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Mu.c lu. c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 156