Giáo trình Cơ học thủy khí ứng dụng - Chương 5 Ðộng lực học chất lỏng thực

1 Chương V. ðỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG THỰC 1. PHƯƠNG TRÌNH NAVIER – STOKES Chất lưu thực chuyển ñộng luôn có ma sát, tức là luôn tính ñến ảnh hưởng của nhớt. Khi ñó, lực mặt tác dụng lên phần tử chất lưu gồm áp lực và lực nhớt theo phương tiếp tuyến (lực ma sát). Ứng suất tiếp của chất lỏng xác ñịnh qua công thức Newton I du dn τ µ= (a) Dạng vertor của phương trình chuyển ñộng – Phương trình Navier - Stokes ( )1 3 du F grad p grad divu u dt ν ν ρ = − + + ∆



(5.1) trong ñó µ ν ρ = – Hệ số nhớt ñộng học của chất lỏng 2 2 2 2 2 2 2x y z ∂ ∂ ∂ ∆ ≡ ∇ = + + ∂ ∂ ∂ – Toán tử Laplace. Dạng hình chiếu của phương trình Navier – Stokes. ( ) ( ) ( ) 1 3 1 3 1 3 x x x y y y z z z divudu p F u dt x x du divup F u dt y y divudu p F u dt z z ν ν ρ ν ν ρ ν ν ρ ∂∂ = − + + ∆ ∂ ∂ ∂∂ = − + + ∆ ∂ ∂ ∂∂ = − + + ∆ ∂ ∂


(5.2a) hay 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 1 3 1 3 yx x x x xz x y y y y yx z y yxz z z udu u u u up u F dt x x x y z x y z du u u u uup u F dt y y x y z x y z uudu p u F dt z z x y z ν ν ρ ν ν ρ ν ν ρ ∂   ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ = − + + + + + +  ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂     ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ = − + + + + + +    ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂    ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ = − + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂  2 2 2 2 2 z z zu u u x y z  ∂ ∂ + + ∂ ∂ ∂  (5.2b) ðối với chất lưu không nén ñược
div u = 0 , phương trình chuyển ñộng trở thành 2 1du F grad p u dt ν ρ = − + ∆


(5.3) 2. PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI 2.1 ðối với ñường dòng của chất lỏng thực Trường hợp chất lỏng không nén ñược, chuyển ñộng dừng dưới tác dụng của lực khối có thế là trọng lực. Chất lỏng thực có tính nhớt và khi nó chuyển ñộng sinh ra ma sát trong làm cản trở chuyển ñộng do ñó có sự tổn thất một phần năng lượng. Vì vậy, 2 2 u p z const g γ + + ≠ , mà giảm dọc theo chiều dòng chảy, nghĩa là: 2 2 1 1 2 2 1 22 2 u p u p z z g gγ γ + + > + + Ký hiệu 12h là tổn hao năng lượng của 1 ñơn vị trọng lượng chất lỏng trên một ñơn vị ñường dòng từ vị trí “1” ñến vị trí “2”, thì phương trình Bernulli trên một ñường dòng bất kỳ của chất lỏng thực chuyển ñộng dừng dưới tác dụng của trọng lực: 2 2 1 1 2 2 1 2 122 2 u p u p z z h g gγ γ + + = + + + (5.4) 2.2 Ý nghĩa thủy lực của phương trình Bernulli - Z là ñộ cao trọng tâm mặt cắt ướt nguyên tố ñối với mặt chuẩn ñược gọi là ñộ cao hình học hoặc cột nước vị trí - p γ cột nước áp suất - 2 2 u g cột nước lưu tốc - 2 2 v p z g α γ + + cột nước tổng – ñường năng 2.3 ðộ dốc thủy lực và ñộ dốc ño áp của dòng nguyên tố ðộ dốc thủy lực là tỉ số hạ thấp của ñường tổng cột nước, tức ñường năng, ñối với ñộ dài của ñoạn dòng nguyên tố trên ñó thực hiện dộ hạ thấp, ký hiệu J’: 2 ' 12 2 v p d z g dHdH J dl dl dl α γ   + +   = − = − = ðộ dốc ño áp là tỷ số hạ thấp xuống hoặc lên cao của ñường ño áp ñối với ñộ dài của dòng nguyên tố trên ñó thực hiện sự hạ thấp hoặc lên cao. ' p p d z J dl γ   +   = ± 3 2.4 Phương trình Bernulli cho toàn dòng chất lỏng thực chảy ổn ñịnh Dòng chảy ñổi dần là dòng chảy ổn ñịnh, các ñường dòng gần là ñường thẳng song song. Mặt cắt ướt của dòng ñổi dần ñược coi là mặt phẳng. Dòng ñổi dần lực quán tính không ñáng kể, lực tác dụng chỉ là trọng lực, do ñó áp suất thủy ñộng không có thành phần tiếp tuyến trên các mặt cắt ướt, sự phân bố áp suất thủy ñộng hoàn toàn giống sự phân bố áp suất thủy tĩnh. Do ñó: p z const γ + = trên cùng một mặt cắt ướt (5.5) Giả thiết toàn dòng chảy thực là dòng chảy ổn ñịnh gồm vô số dòng nguyên tố. Trên toàn dòng chảy tại hai mặt cắt 1-1 và 2-2 có diện tích 1ω và 2ω . Ta lấy một dòng nguyên tố tùy ý, viết phương trình Bernulli của dòng nguyên tố chất lỏng thực. 2 2 1 1 2 2 1 2 122 2 u p u p z z h g gγ γ + + = + + + 4 Gọi dQ – lưu lượng dòng nguyên tố. dQγ - trọng lượng tương ứng. Nhân các số hạng của phương trình trên với dQγ , sau ñó tích phân trên toàn mặt cắt 1ω và 2ω : 1 1 2 2 2 2 2 '1 1 2 2 1 22 2 w p u p u z dQ dQ z dQ dQ h dQ g gω ω ω ω ω γ γ γ γ γ γ γ     + + = + + +        ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Ta lần lượt giải quyết ba số hạng tích phân sau: 2 '; ; 2 w up z dQ dQ h dQ gω ω ω γ γ γ γ   +    ∫ ∫ ∫ - Tích phân thứ nhất: . p p p z dQ z dQ Q z ω ω γ γ γ γ γ γ       + = + = +            ∫ ∫ - Tích phân thứ hai: 2 . 2 u dQ gω γ∫ Gọi v là lưu tốc trung bình. Khi ñó vận tốc tại mỗi phần tử lưu chất: u v u= ± ∆ . Có dQ udω= ⇒ ( ) ( ) ( ) 32 2 33. 3 2 2 2 v uu dQ d v v u u d g g gω ω ω γ γ γ ω ω ± ∆  = = ± ∆ ± ∆ ∫ ∫ ∫ Có ( )3u∆ là vô cùng nhỏ bậc cao, nên: ( )3 0u d ω ω ± ∆ = ∫ Cuối cùng ta ñược: ( )22 3 2 3 1 2 2 u d u dQ v g g v ω ω ω γ γ ω ω  ∆   = +      ∫ ∫ ðặt ( )2 2 3 1 u d v ω ω α ω ∆ = + ∫ . Ta có: 2 2 3. 2 2 2 u v dQ v Q g g gω γ α γ α ω γ= =∫ α gọi là hệ số sửa chữa ñộng năng, còn gọi là hệ số Coriolit. Thường α lấy khoảng 1,05 ñến 1,10. - Tích phân thứ ba: Gọi hw là tổn thất năng lượng trung bình: ' .w wh dQ Qhγ γ=∫ Căn cứ vào kết qủa của ba tích phân trên, ta ñược 2 2 1 1 1 1 2 2 1 22 2 w p v p v Q z Q Q z Q Qh g g α α γ γ γ γ γ γ γ     + + = + + +        ⇒ 2 2 1 1 1 2 2 2 1 22 2 w v p v p z z h g g α α γ γ + + = + + + (5.6) Phương trình Bernulli của toàn dòng chảy ổn ñịnh của chất lỏng thực. 5 3. PHƯƠNG PHÁP ðỒNG DẠNG – TIÊU CHUẨN ðỒNG DẠNG THỦY ðỘNG HỌC. 1. Khái niệm Hai hiện tượng vật lý ñược gọi là ñồng dạng với nhau nếu chúng ñược mô tả bởi một phương trình hiện tượng (nếu có). Khi xác ñịnh một ñại lượng trong hiện tượng này thì có thể xác ñịnh ñại lượng tương ứng trong hiện tượng kia theo một quy luật xác ñịnh. Hay nói cách khác, các hiện tượng cùng bản chất vật lý gọi là ñồng dạng với nhau nếu như tất cả các ñại lượng ñặc trưng của chúng ñồng dạng, tức là: tạ các ñiểm tương ứng, trong các thời ñiểm tương ứng, tất cả các ñại lượng có hướng phải ñồng dạng hình học, tất cả các ñại lượng vô hướng phải tỷ lệ với nhau. 2. Phương pháp ñồng dạng Quá trình và hiện tượng vật lý có thể mô tả bằng những phương trình toán học. Gọi: - a là một ñại lượng ñặc trưng cho tính chất cơ học nào ñó của chất lỏng tại ñiểm khảo sát. - ta là ñại lượng a cho dòng thực tế. - ma là ñại lượng a cho dòng mô hình. - m t a a a = là tỷ số ñồng dạng của ñại lượng a. Trong cơ học chất lỏng (chất lưu nói chung), khái niệm ñồng dạng bao gồm 3 nội dung: a. ðồng dạng về hình học Hai hệ thống chất lỏng gọi là ñồng dạng hình học với nhau nếu các kích thước tương ứng của chúng tỷ lệ với nhau. - Tỷ số ñồng dạng ñộ dài: m m m t t t x y z x y z λ = = = - Tỷ số ñồng dạng diện tích: m t S S S = b. ðồng dạng ñộng học - ðồng dạng ñộng học nếu quỹ ñạo chuyển ñộng của các phần tử chất lỏng tương ứng của chúng ñồng dạng hình học với nhau. - Giá trị vận tốc và gia tốc tại các ñiểm tương ứng tại các thời ñiểm tương ứng tỷ lệ với nhau: Tỷ số ñồng dạng vận tốc ymm xm zm t xt yt zt uu u u u u u u u = = = = Tỷ số ñồng dạng thời gian m t t t t = 6 Nói cách khác, ñồng dạng ñộng học là ñồng dạng hình học của tam giác tạo bởi các vector vận tốc (gia tốc) tại các ñiểm tương ứng. c. ðồng dạng ñộng lực học Hai hệ thống chất lưu gọi là ñồng dạng ñộng lực học với nhau nếu: - tại các ñiểm tương ứng có những lực cùng loại tác dụng - tỷ lệ giá trị của các lực cùng loại tác dụng tại các ñiểm tương ứng là như nhau trong toàn bộ thể tích hệ thống, - lực tác dụng lên hệ thống thực ñịnh hướng thế nào thì tương ứng ở mô hình cũng phải ñịnh dướng như vậy. Một số tỷ số ñồng dạng - Tỷ số ñồng dạng áp suất m t p p p = - Tỷ số ñồng dạng lực khối * m t F F F =


- Tỷ số ñồng dạng khối lượng riêng m t ρ ρ ρ = - Tỷ số ñồng dạng nhớt ñộng lực m t ν ν ν = 3. Các tiêu chuẩn ñồng dạng ñộng lực học • Số Froude 2u Fr gL = - tỷ số lực quán tính và trọng lực (khi chỉ có trọng lượng tác dụng). • Reynolds Re uL ν = - tỷ lệ giữa lực quán tính và lực ma sát (khi chỉ có lực ma sát tác dụng). • Euler 2 p Eu uρ = - tỷ lệ giữa áp lực và lực quán tính. • Strukhan L Str uT = - tỷ lệ lực quán tính cục bộ, trong ñó L ñại lượng ñặc trưng cho ñộ dài của dòng. • Số Weber 2Lu W ρ σ = với σ là hệ số lực căng mặt ngoài. • Số Mach u M a = , với p a K ρ = là vận tốc âm, K là chỉ số ñoản nhiệt. 7 ðiều kiện cần cho hai dòng chất lỏng không nén ñược thực tế và mô hình ñồng dạng thủy lực là số Struhan, Froude, Euler, Reynolds bằng nhau tương ứng. ðối với chất lỏng nén ñược thì hệ số Euler của chất lỏng là 2 2 2 2 1 1 1p a Eu V K V K Mρ = = = Trong ñó: p a K ρ = - vận tốc âm p V C K C = - là chỉ số ñoản nhiệt V M a = - số Mach ðiều kiện cần cho hai dòng chất lỏng nén ñược thực tế và mô hình ñồng dạng thủy lực là số Struhan, Froude, Euler, Reynolds, Mach bằng nhau tương ứng. Khi có tính ñến lực căng mặt ngoài thì tính ñến hệ số Weber. Ví dụ 1. Dòng nước (ν=0,01cm2/s) chảy trong ống ñược nghiên cứu bằng mô hình tỷ lệ 1/10. Mô hình dùng không khí ở nhiệt ñộ và áp suất bình thường (ν=0,15cm2/s). Tìm tỷ số vận tốc. (HD: có hệ số nhớt ν - ma sát – dùng tiêu chuẩn Reynolds) Ví dụ 2. Máy thủy lực ñược ñặc trưng bởi: ñường kính bánh xe công tắc D. cột áp H, tốc ñộ quay n, lưu lượng QTìm tỷ số của tốc ñộ quay, lưu lượng của hai máy thủy lực ñồng dạng ñộng lực học. Biết hai máy ñều hoạt ñộng trong môi trường trọng lực như nhau. (HD: lực tác dụng chỉ là trọng lực – dùng tiêu chuẩn Froude)