Giáo trình Cơ học thủy khí ứng dụng - Chương 4 Ðộng lực học chất lỏng lý tưởng

1 Chương IV ðỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG LÝ TƯỞNG ðộng lực học chất lỏng nghiên cứu cơ sở lý thuyết chuyển ñộng của chất lỏng và xây dựng các phương trình vi phân mô tả chuyển ñộng này trong mối quan hệ với các ngoại lực tác dụng. Chất lỏng lý tưởng khi bỏ qua sự ảnh hưởng của tính nhớt, có nghĩa là hệ số nhớt 0µ = . 1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ðỘNG - PHƯƠNG TRÌNH EULER. Xuất phát từ nguyên lý biến thiên ñộng lượng: Ngoại lực tác dụng lên một hệ thống chất lỏng bằng tốc ñộ thay ñổi ñộng lượng của khối chất lỏng ñó. Ta có: 1 du F grad p dtρ − =

(4.1) Chiếu lên các trục tọa ñộ, phương trình (1.1) trở thành: 1 1 1 x x y y z z dup F x dt dup F y dt dup F z dt ρ ρ ρ ∂ − = ∂ ∂ − = ∂ ∂ − = ∂ (4.2) Phương trình (4.1) và (4.2) gọi là phương trình vi phân chuyển ñộng Euler của chất lỏng lý tưởng dạng vector và hình chiếu tương ứng. 2. BÀI TOÁN ðỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG LÝ TƯỞNG Trong trường hợp chất lỏng lý tưởng, không nén ñược, hệ phương trình Euler có 4 ẩn , ,x y zu u u và áp suất p. ðể giải hệ phương trình này ta sử dụng thêm phương trình liên tục: 0yx z uu u divu x y z ∂∂ ∂ = + + = ∂ ∂ ∂
(4.3) ðể tích phân hệ 4 phương trình trên, ta thêm vào ñiều kiện ñầu và ñiều kiện biên của nó: • ðiều kiện ñầu là ñiều kiện xác ñịnh các thành phần vận tốc và áp suất tại thời ñiểm ban ñầu t=0: 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 4 0 , , 0 , , 0 , , 0 , , x y z u f x y z u f x y z u f x y z p f x y z        = = = = (4.4) • ðiều kiện biên là ñiều kiện xác ñịnh biên giới môi trường lỏng ñang xét và biểu thị bằng ñiều kiện cho trên mặt vật và ñiều kiện khá xa vật rắn (coi ở ∞ ). ðiều kiện biên trên mặt vật rắn phải thỏa mãn ñiều kiện hạt lỏng không xuyên qua hoặc tách rời khỏi mặt vật rắn. - Khi vật rắn S ñứng yên, dòng chất lỏng lý tưởng chuyển ñộng từ vô cùng ñến bao quanh vật ta có: 0 n nS Su v u ∞    = = (4.5) - Khi vật rắn S chuyển ñộng trong chất lỏng lý tưởng với vận tốc v
trong chất lỏng ñược coi là ñứng yên ở vô cùng, ta có: 0n Su u u∞ ∞  =  = (4.6) 3. DẠNG LAMB – GROMECO CỦA PHƯƠNG TRÌNH EULER Sau khi sắp xếp trên phương x, ta ñược ( ) ( ) 22 2 2 1 2 2 2 2 y yx x x x xz z x z y x z yy z u udu u u u uu up F u u x dt t x z y x y u u u rot u u rot u t x ρ                       ∂∂ ∂ ∂∂∂ ∂ − = = + + + + − − − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + − ∂ ∂ (4.7) Ta biến ñổi tương tự cho phương y và z. Cuối cùng ta ñược dạng Lamb – Gromeco của phương trình Euler: ( ) 21 2 du u u F grad p grad rot u u dt tρ       ∂ − = = + + ∧ ∂





(4.8) Tính chất ñặc biệt của phương trình vi phân chuyển ñộng của chất lỏng lý tưởng dưới dạng Gromeco là tồn tại dạng hiển của vector xoáy của vận tốc. 4. PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI CHO DƯỜNG DÒNG Trong trường hợp tổng quát, phương trình vi phân chuyển ñộng của chất lỏng lý tưởng không tích phân ñược. ðể tích phân ñược, ta xét một số trường hợp ñặc biệt. a. Tích phân Lagrange – Cauchy với chuyển ñộng có thế Xét chất lỏng không nén ñược, chuyển ñộng không xoáy dưới tác dụng của lực có thế, nghĩa là 3 0 const rot u u grad F grad U ρ ϕ =  =  =  =


(a) với ϕ là hàm thế vận tốc, U là hàm thế lực khối ñơn vị. Khi ñó: ( )u grad grad t t t ϕ ϕ ∂ ∂ ∂ = =  ∂ ∂ ∂ 
(b) ( )1 pgradp grad ρ ρ   =     (c) Thế (a), (b) và (c) vào phương trình (4.8), ta thu ñược 2 0 2 u p grad U t ϕ ρ  ∂ + + − = ∂  (4.9) Tích phân (1.9) cho ta ( ) 2 2 u p U C t t ϕ ρ ∂ + + − = ∂ (4.10) với ( )C t xác ñịnh từ ñiều kiện biên. b. Tích phân Euler Khi chất lỏng chuyển ñộng dừng, (4.10) có dạng 2 2 u p U Const ρ + − = (4.11) Khi lực khối là trọng lực, U gz= − , (4.11) trở thành 2 2 u p z Const g γ + + = (4.12) Gọi 2 2 u p H z g γ = + + – ñộ cao thủy lực trong toàn miền chất lỏng. 2 2 u g – ñộ cao ño tốc. p γ – ñộ cao ño áp. z– ñộ cao ño mức. c. Phương trình Bernulli cho ñường dòng Xét chất lỏng lý tưởng không nén ñược, chuyển ñộng dừng dưới tác dụng của lực có thế là trọng lực. Khi ñó ta có phương trình Bernulli cho một ñường dòng như sau: 4 2 2 u p z C const g γ + + = = (4.13) Ý nghĩa của năng lượng Bernulli 2 2 u g – Tỷ ñộng năng: ñộng năng của 1 ñơn vị trọng lượng chất lỏng. p γ – Tỷ áp năng: khả năng áp suất có thể ñưa một ñơn vị trọng lượng chất lưu lên ñộ cao p γ so với mặt phẳng xy. z – Tỷ vị năng. Tổng ba ñại lượng gọi là tỷ năng. Xét hai ñiểm khác nhau trên 1 ñường dòng, ta có 2 2 1 1 2 2 1 22 2 u p u p z z g gγ γ + + = + + (4.14) ðây chính là ñịnh luật bảo toàn năng lượng của chất lỏng lý tưởng 5. ðỊNH LÝ ðỘNG LƯỢNG – ðỊNH LÝ MOMEN ðỘNG LƯỢNG Xét một thể tích hữu hạn V ñược bao quanh bởi mặt kín S trong chất lỏng ñang chuyển ñộng. Mặt kín S bao quanh thể tích hữu hạn gọi là mặt kiểm soát. Thể tích V gọi là thể tích kiểm soát. a. ðịnh lý ñộng lượng ñối với thể tích chất lỏng hữu hạn ðộng lượng của khối chất lỏng chuyển ñộng: V K udVρ= ∫∫∫

ðịnh lý 1 n e k kV d udV F dt ρ = =∑∫∫∫

(4.15) ⇒ ( ) 1 n e n k kV S u dV uu dS F t ρ ρ = ∂ + = ∂ ∑∫∫∫ ∫∫


 nu là hình chiếu của u
lên phương pháp tuyến ngoài của mặt S tại ñiểm khảo sát. d x z y 0 r
S 5 b. ðịnh lý mômen ñộng lượng ñối với thể tích chất lỏng hữu hạn Mômen ñộng lượng ñối với tâm 0: ( )0 V L r u dVρ= ∧∫∫∫


ðịnh lý ( ) ( )0 1 n e k kV d r u dV m F dt ρ = ∧ =∑∫∫∫



(4.16) 6. VÍ DỤ Ví dụ 1. ðể ño vận tốc của dòng nước, người ta ñặt vào một ống pito AD hình chữ U có chứa thủy ngân (hình vẽ) sao cho ñầu A hướng về dòng tới của dòng chảy và ñầu B hướng vuông góc với dòng tới. Người ta ño ñộ chênh cột thủy ngân trong ống là h. Ví dụ 2. Bỏ qua tổn thất năng lượng, xác ñịnh ñường kính d2 của mặt cắt co hẹp của ống ñể khi cho một lưu lượng nước qua ống là 8.8 /Q l s= thì nước trong ống ñặt tại mặt cắt co hẹp sẽ ñược hút lên một ñộ cao H=55cm. ðường kính ống tại 6 mặt cắt 1 là 1 100d mm= và áp suất tại ñó là 2 1 103920 /p N m= . Nước có trọng lượng riêng là 3 39,81.10 /N mγ = .