Giáo trình Cơ học thủy khí ứng dụng - Chương 3 Ðộng học chất lỏng

1 Chương III. ðỘNG HỌC CHẤT LỎNG ðộng học chất lỏng nghiên cứu tính chất chung của sự chuyển ñộng của môi trường chất lỏng, không tính ñến nguyên nhân gây ra chuyển ñộng. I. HAI PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU ðỘNG HỌC CHẤT LỎNG 1. Phương pháp Lagrange Khảo sát chuyển ñộng của mọi hạt lỏng một cách riêng biệt; nghĩa là quan tâm ñến các ñại lượng cơ học gắn với từng chất ñiểm theo thời gian. Vị trí của hạt lỏng: Xác ñịnh bởi: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , , , , , , , , , , , , , x x x y z t r r r t r x y z t y y x y z t z z x y z t  =  = ≡ ≡ =  =



(3.1) với ( )0 0 0 0, ,r x y z=
là vector vị trí của hạt lỏng ở thời ñiểm ban ñầu t=0. (3.1) là phương trình chuyển ñộng của hạt lỏng (luật chuyển ñộng). ðặc trưng ñộng học Vận tốc : x y z x u t y u u t z u t ∂ = ∂  ∂ = ∂ ∂ = ∂
(1.2a) Gia tốc 2 2 2 2 2 2 : x y z x W t y W W t z W t  ∂ = ∂ ∂ = ∂  ∂ = ∂
(3.2b) Các tham số ( )0 0 0 0, ,r x y z=
, t gọi là các biến Lagrange. 2. Phương pháp Euler Quan tâm ñến thông số ñộng học của các phần tử chất lỏng cùng qua một ñiểm nào ñó trong miền chuyển ñộng. Trong một hệ tọa ñộ xác ñịnh, chuyển ñộng của chất lỏng ñược mô tả bằng vận tốc của các phần tử chất lỏng tại mỗi vị trí không gian theo thời gian. 2 ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , , , , , , , , , x x y y z z u u x y z t u u x y z t u u x y z t u u x y z t  = = ≡ =  =

(3.3a) Gia tốc du W dt =

(3.3b) hay ( )x y z u u u u u W u u u u u t x y z t ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + + ≡ + ∇ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂







Các tham số x, y, z, t gọi là các biến số Euler. II. PHÂN TÍCH CHUYỂN ðỘNG CỦA HẠT LỎNG 1. Phân tích Vận tốc chuyển ñộng của một hạt lỏng bất kỳ coi như là tổng hình học của ba vận tốc: vận tốc tịnh tiến, vận tốc quay tương ñối quanh trục tức thời ñi qua ñiểm cực và vận tốc biến dạng. 0M M bd u u uω ρ= + ∧ +



(3.4) với 1 2 1 2 1 2 yz x x z y y x z uu y z u u rot u z x u u x y ω ω ω ω ∂ ∂ = − ∂ ∂  ∂ ∂ = = − ∂ ∂  ∂ ∂ = − ∂ ∂ 

(3.5) 3 Vận tốc biến dạng : bdx xx xy xz bd bdy yx yy yz bdz zx zy zz u dx dy dz u u dx dy dz u dx dy dz ε ε ε ε ε ε ε ε ε  = + +  = + +  = + +
(3.6) với ; ;yx z xx yy zz uu u x y z ε ε ε ∂∂ ∂ = = = ∂ ∂ ∂ là các suất biến dạng dài và 1 2 1 2 1 2 yz zy yz xz xz zx yx xy yx uu y z uu x z uu y x ε ε ε ε ε ε ∂ ∂ = = + ∂ ∂  ∂∂ = = + ∂ ∂  ∂ ∂ = = + ∂ ∂  là các suất biến dạng góc. 2. Phân loại chuyển ñộng của chất lỏng Một dòng chảy ñược gọi là xác ñịnh về mặt ñộng học nếu ta xác ñịnh ñược trường vận tốc ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , , , , , , , , , x x y y z z u u x y z t u u x y z t u u x y z t u u x y z t  =  = ≡ =  =

. - Chuyển ñộng dừng (yên ñịnh): 0 u t ∂ = ∂
. - Chuyển ñộng không dừng: 0 u t ∂ ≠ ∂
. - Chuyển ñộng xoáy: 0rot uΩ = ≠
- Chuyển ñộng không xoáy: 0rotuΩ = =
Chuyển ñộng không xoáy còn gọi là chuyển ñộng có thế, nghĩa là tồn tại hàm thế vận tốc sao cho: u gradϕ=
III. MỘT SỐ KHÁI NIỆM THƯỜNG DÙNG 1. Quỹ ñạo: Là ñường ñi của một phần tử chất lỏng trong không gian theo thời gian. Phương trình quỹ ñạo: x y z dx dy dz t u u u = = = (3.7) 4 2. ðường dòng (Lưu tuyến). a. ðường dòng: Là ñường cong trong trường dòng chảy, ở thời ñiểm t bất kỳ, tiếp xúc với với vector vận tốc tại mọi ñiểm của nó. Phương trình ñường dòng: x y z dx dy dz u u u = = (3.8) Chú ý. - Tại mỗi ñiểm trong không gian, ở mỗi vị trí chỉ có một ñường dòng ñi qua, nghĩa là các ñường dòng không cắt nhau. - Ta phải phân biệt ñường dòng với quỹ ñạo. Quỹ ñạo ñặc trưng cho sự biến thiến vị trí của các phần tử chất lỏng theo thời gian, còn ñường dòng biểu thị phương của các phần tử chất lỏng tại mỗi thời ñiểm. Trong chuyển ñộng dừng, ñường dòng trùng với quỹ ñạo. b. Ống dòng: Là một mặt, trong trường dòng chảy, tạo bởi các ñường dòng ñi qua tất cả các ñiểm trên một ñường cong kín. c. Dòng nguyên tố: Tập hợp tất cả các ñường dòng ñi qua các ñiểm trên một vi phân diện tích nhỏ dA. d. Dòng chảy: tập hợp các dòng nguyên tố ñi qua một diện tích hữu hạn. 3 Mặt cắt ướt. Mặt cắt thẳng góc với tất cả các ñường dòng. Ký hiệu diện tích mặt cắt ướt: S. 5 4. Chu vi ướt ( χ ). Là phần chu vi của mặt cắt ướt tiếp xúc với thành rắn. 5. Bán kính thủy lực (R) là tỷ số giữa diện tích mặt cắt ướt với chu vi ướt. S R χ = (3.9) 6. Lưu lượng thể tích: Là thể tích chất lỏng ñi qua mặt cắt ướt tính trên một ñơn vị thời gian = ∫∫ n S Q u dS (m3/s, l/s) (3.10) 7. Lưu tốc: Vận tốc trung bình theo mặt cắt ướt 1 = ∫∫tb n S V u dS S (3.11) vậy . tb Q V S= (3.12) IV. PHƯƠNG TRÌNH LIÊN TỤC Chất lỏng chuyển ñộng một cách liên tục, nghĩa là trong môi trường chất lỏng chuyển ñộng không hình thành những vùng không gian trống không không chứa chất lỏng. Tính chất liên tục này của chất lỏng ñược biểu thị bởi phương trình toán học gọi là phương trình liên tục. Phương trình liên tục là một dạng của ñịnh luật bảo toàn khối lượng: Khối lượng m của hệ cô lập không thay ñổi trong suốt quá trình chuyển ñộng: 0 dm dt = - Phương trình liên tục dạng vi phân: ( ) 0V t ρ ρ ∂ +∇ ⋅ = ∂
(3.13) 6 - Dạng tạo ñộ Descartes ( ) ( ) ( )ρ ρ ρ ρ∂ ∂ ∂ ∂+ + + = ∂ ∂ ∂ ∂x y z u u u const t x y z (3.14) - Trường hợp chất lỏng không nén ñược constρ = , phương trình liên tục trở thành 0 0 ∂∂ ∂ ∇ ⋅ = ⇔ + + = ∂ ∂ ∂
yx z uu u u x y z (3.15) - Trong ống dòng hữu hạn phương trình liên tục là Q const= , lưu lượng qua các mặt cắt như nhau trong ống dòng hữu hạn. 1 2 1 1 2 2Q Q u S u S= ⇔ = Ví dụ: 1. Chuyển ñộng của một chất lưu không nén ñược xác ñịnh bởi: ; 2 ; 5 x y z u x u y u z= − = = − a. Chuyển ñộng có thực hay không? b. Xác ñịnh phương trình ñường dòng ñi qua ñiểm A(2,1,1). 2. Nước chảy qua ống rẽ như hình vẽ trên. ðoạn AB có ñường kính 1 50d mm= , ñoạn BC có 2 75d mm= , vận tốc trung bình 2 2 /V m s= . ðoạn ống CD có 3 1.5 /V m s= ñoạn ống CE có 4 30d mm= . Biết rằng lưu lượng dòng chảy trong CD bằng hai lần lưu lượng dòng chảy trong ñoạn CE. Tìm lưu lượng và vận tốc trung bình trong từng ñoạn ống và d3 của ñoạn ống CD.