Giáo trình Cơ học thủy khí ứng dụng - Chương 2 Thủy tĩnh

1 Chương 2 THỦY TĨNH Nội dung chính: Nghiên cứu chất lưu (chất lỏng và chất khí) ở trạng thái cân bằng là trạng thái không có chuyển ñộng tương ñối giữa các phần tử chất lưu và sự tương tác giữa chất lưu cần bằng với vật thể rắn ñặt trong nó. 1. ÁP SUẤT THỦY TĨNH 1.1 ðịnh nghĩa. Áp suất thủy tĩnh là lực pháp tuyến tác dụng lên một ñơn vị diện tích. • Kí hiệu: p
0 lim A F p A∆ → ∆ = ∆

• ðơn vị: N/m2= Pa (Pascal), at. (1at =1kG/cm2 =9.81.104 N/m2) Bản mẫu: ðơn vị áp suất ðơn vị áp suất pascal (Pa) bar (bar) atmôtphe kỹ thuật (at) atmôtphe (atm) torr (Torr) pao (áp suất) trên một insơ vuông (psi) 1 Pa ≡ 1 N/m2 10−5 1.0197×10−5 9.8692×10−6 7.5006×10−3 145,04×10−6 1 bar 100000 ≡ 106 dyn/c m2 1,0197 0,98692 750,06 14,504 1 at 98.066,5 0,980665 ≡ 1 kgf/cm2 0,96784 735,56 14,223 1 atm 101.325 1,01325 1,0332 ≡ 1 atm 760 14,696 1 torr 133,322 1,3332×1 0−3 1,3595×10−3 1,3158×10−3 ≡ 1 Torr; ≈ 1 mmHg 19,337×10−3 1 psi 6.894.76 68,948×1 0−3 70,307×10−3 68,046×10−3 51,715 ≡ 1 lbf/in2 Ví dụ: 1 Pa = 1 N/m2 = 10−5 bar = 10,197×10−6 at = 9,8692×10−6 atm, v.v. 1.2 Tính chất của áp suất thủy tĩnh - Áp suất thủy tĩnh tác dụng thẳng góc với diện tích chịu lực và hướng vào bên trong diện tích ấy. 2 - Trị số áp suất tại một ñiểm bất kỳ không phụ thuộc vào hướng ñặt của diện tích chịu lực tại ñiểm này. 1.3 Phân biệt các loại áp suất Áp suất tuyệt ñối là tổng áp suất gây ra bởi cả khí quyển và cột chất lỏng tác dụng lên ñiểm trong lòng chất lỏng Kí hiệu: p Công thức tính: ap p hγ= + Áp suất tương ñối, còn gọi là áp suất dư là áp suất gây ra chỉ do trọng lượng của cột chất lỏng. Áp suất tương ñối là hiệu giữa áp suất tuyệt ñối và áp suất khí quyển. Nếu áp suất tuyệt ñối nhỏ hơn áp suất khí quyển thì ta ñược áp suất chân không (là ñộ ño chênh áp suất so với một trị số áp suất gốc nào ñó, thường trị số áp suất gốc là áp suất khí trời) Kí hiệu: ptñ, pdư Công thức tính: du ap p p= − , ck ap p p= − ðặt: ckck p h γ = : gọi là ñộ cao chân không. Trong thực tế kỹ thuật, người ta lấy: pa=98100 (N/m 3) hay pa=1at=1kG/cm 2 = 735mmHg 2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CƠ BẢN CỦA CHẤT LƯU Xét chất lưu ở trạng thái cân bằng có thể tích V và giới hạn bởi diện tích A. Ta có tổng lực tác dụng lên khối chất lưu bằng không, nghĩa là tổng lực mặt và lực khối tác dụng lên khối chất lưu bằng 0, ta có: 3 0 V A FdV pdAρ + =∫∫∫ ∫∫

(a) Dùng phép biến ñổi Guass – Ostrogaski và tính chất của áp lực thủy tĩnh trên từng trục tọa ñộ Descartes cho (a), ta thu ñược phương trình vi phân cơ bản của chất lưu ( ) 1 0 1 1 0 0 1 0 x y z p F x p F F grad p y p F z ρ ρ ρ ρ  ∂ − = ∂  ∂ − = ⇔ − = ∂  ∂ − = ∂
(2.1) Phương trình (2.1) biểu thị qui luật phụ thuộc của áp suất thủy tĩnh vào tọa ñộ, nghĩa là ( ), ,p p x y z= . 3. TĨNH HỌC TUYỆT ðỐI (CHẤT LƯU CÂN BẰNG TRONG TRƯỜNG TRỌNG LỰC) 3.1 Phương trình thủy tĩnh Ta tiến hành như sau: 1 0 1 1 0 0 1 0 ρ ρ ρ ρ  ∂ − = × ∂  ∂ − = × + ⇒ + + − = ∂  ∂ − = × ∂ x y x y z z p F dx x p F dy F dx F dy F dz dp y p F dz z (a) Xét chất lỏng cân bằng trong hệ tọa ñộ gắn liền với trái ñất. Khi ñó, lực khối tác dụng lên chất lỏng chỉ là trọng lực, nghĩa là 0,x y zF F F g= = = − . Thế F
vào (a), ta ñược: 1 0gdz dp ρ + = (b) Khi chất lỏng không nén ñược ( constρ = ), tích phân phương trình (b), ta ñược p gz const ρ + = hay p gz constρ+ = (2.2a) hoặc p z const γ + = (2.2b) (2.2a,b) là phương trình thủy tĩnh. Chú ý: Áp suất p trong phương trình thủy tĩnh là áp suất tuyệt ñối hoặc áp suất dư. 4 Ý nghĩa năng lượng của phương trình thủy tĩnh là: - z – tỷ vị năng: thế năng vị trí của một ñơn vị trọng lượng chất lỏng. - p γ – tỷ áp năng: khả năng áp suất p có thể ñưa 1 ñơn vị trọng lượng chất lưu lên ñộ cao z. - p H z γ = + – tỷ thế năng. Ý nghĩa hình học của phương trình thủy tĩnh: - z – ñộ cao hình học của ñiểm khảo sát so với mặt chuẩn. - p γ – ñộ cao ño áp. - p H z γ = + – cột áp thủy tĩnh Xét hai ñiểm A, B trong một chất lỏng cân bằng (như hình vẽ). Khi ñó, hay p p hB A ABγ= + (2.3) 3.2 Mặt ñẳng áp Mặt ñẳng áp là mặt trên ñó tại mọi ñiểm áp suất ñều bằng nhau ( p const= ). Phương trình mặt ñẳng áp: 0x y zF dx F dy F dz+ + = (2.4) Từ phương trình (2.2), ta thấy, mặt ñẳng áp của chất lỏng trong trường trọng lực là mặt phẳng nằm ngang. Nếu có nhiều chất lỏng khác nhau, trọng lượng riêng khác nhau và không trộn lẫn vào nhau thì mặt phân chia là mặt ñẳng áp. 3.3 Phương trình khí tĩnh (Phương trình tĩnh học cơ bản của lưu chất nén ñược) ðối với lưu chất nén ñược, khối lượng riêng ( ),p tρ ρ= , p, t là áp suất và nhiệt ñộ của lưu chất. Phương trình trạng thái của khí lý tưởng là: 5 p RT ρ = , R là hằng số khí lý tưởng. Áp dụng phương trình (2.1) với lực khối là trọng lực, ta có: 2 1 2 1 z z p p gdzρ− = −∫ (2.5) Trị số áp suất tại một vị trí z sẽ ñược xác ñịnh khi ta biết quan hệ giữa khối lượng riêng ρ và gia tốc trọng trường g và gia tốc trọng trường g theo ñộ cao z. 3.4 Ứng dụng phương trình thủy tĩnh a. Các áp kế Ống ño áp Là một ống thủy tinh, ñầu dưới nối với nơi cần ñể ño áp suất, ñầu trên ñể hỏ thông với khí quyển (ñể ño áp suất dư) hoặc kín ñược hút hết không khí ra ñể ño áp suất tuyệt ñối (hình 2.3). Khi nối ống ño áp vào nơi cần ño, chất lỏng sẽ dâng lên trong ống với ñộ cao nhất ñịnh ta sẽ xác ñịnh ñược áp suất tại ñiểm ñó: dp hγ= và ' tp hγ= . Dùng ống ño áp ñể ño áp suất nhỏ cần có ñộ chính xác cao, do ñó người ta thường dùng ống ño áp trong các phòng thí nghiệm. Áp kế thủy ngân Là một ống thủy tinh hình chữ U ñựng thủy ngân (hình 2.4) ở nhánh trái của ống nơi nối với chỗ cần ño áp suất có một bầu lớn mục ñích ñể khi ño thủy ngân di chuyển trong ống thì mức thủy ngân ở bầu hầu như không thay ñổi. Áp suất dư tại A ñược xác ñịnh: d Hgp h aγ γ= − . Chân không kế thủy ngân. Cấu tạo như hình (2.5). Áp suất chân không tại A: ckA Hgp h aγ γ= − Hình 2.3. Ống ño áp Hình 2.4: Áp kế thủy ngân kiểu chậu 6 Áp kế ño chênh Hình 2.6: Áp kế ño chênh Nó là áp kế hình chữ U (hình 2.6) - Trong nhiều trường hợp ta chỉ cần biết hiệu số ñộ cao ño áp giữa hai ñiểm A, B (ño ñộ chênh lệch về áp suất tại 2 ñiểm): A B A B P P h z z γ γ     = + − +        . A, B thuộc khối chất lỏng chuyển ñộng. Chất lỏng ở giữa A, M tĩnh nên ta có: A A M Mp gz p gzρ ρ+ = + Tương tự giữa B và N B B N Np gz p gzρ ρ+ = + Từ ñó ta có: 1 A B A B P P h z z h γ γ     = + − + =        Áp kế ño chênh có hai chất lỏng Khi ñộ chênh h quá nhỏ hoặc quá lớn ta dùng áp kế ño chênh có hai chất lỏng. Từ phương trình thủy tĩnh ta có: Hình 2.5: Chân không kế thủy ngân 7 A A M M B B N N M M N N p gz p gz p gz p gz p gz p gz ρ ρ ρ ρ ρ ρ + = + + = + + = + Từ ñây ta suy ra: 2 1 1 1 A B A B P P h z z h γ γ γ γ γ     − = + − + =        Lưu ý: Ngoài thủy ngân, ta có thể dùng các chất lỏng khác trong áp kế, chân không kế như cồn, nước b. ðịnh luật Pascal ðộ tăng áp suất sẽ ñược truyền ñi nguyên vẹn ñến mọi ñiểm trong môi trường chất lỏng cân bằng. 3.5 Biểu ñồ phân bố áp suất tĩnh a. Biểu ñồ áp suất thủy tĩnh tác dụng lên mặt phẳng nghiêng b. Biểu ñồ áp suất thủy tĩnh tác dụng lên mặt trụ tròn 8 c. Áp suất thủy tĩnh lên một mặt cong bất kỳ 4. TĨNH HỌC TƯƠNG ðỐI Chất lỏng chuyển ñộng so với hệ tọa ñộ cố ñịnh. Lực khối trong trường hợp này là trọng lực và lực quán tính của chuyển ñộng theo. Xét hai dạng cân bằng tương ñối của chất lỏng thường gặp trong thực tế: 4.1 Bình chứa chất lỏng chuyển ñộng thẳng ngang với gia tốc a không ñổi Chọn hệ trục tọa ñộ như hình vẽ. Biểu thức lực khối trong trường hợp này là: 0 x y z F a F F g = −  =  = − Mặt ñẳng áp: Phương trình mặt ñẳng áp trong trường hợp này có dạng: 0adx gdz+ = (a) Tích phân phương trình (a), ta ñược: a z x C g = − + (2.6) Phương trình (2.6) là họ phương trình mặt ñẳng áp của chất lỏng. Mặt ñẳng áp là mặt nghiêng một góc α so với phương ngang với a tg g α = − . Sự phân bố áp suất tại mọi ñiểm trong chất lỏng 9 Có 1 0x y zF dx F dy F dz dpρ + + − = , thế biểu thức lực khối và lấy tích phân, ta ñược: p a z x const gγ + + = (2.7) Xét hai ñiểm A, B nằm trên ñường thẳng ñứng, ta có: B A ABp p ghρ− = Lưu ý: Ứng dụng trường hợp trên ñể xác ñịnh mực nước dâng lên cao bao nhiêu khi xe chở chất lỏng chuyển ñộng. Tính những biện pháp cần thiết ñể ñảm bảo việc cung cấp nhiên liệu ñược ñiều hòa ở bộ chế hòa khí ở ô tô hoặc máy bay 4.2 Bình chứa chuyển ñộng quay quanh trục cố ñịnh với vận tốc gốc không ñổi ω Chọn hệ trục tọa dộ như hình vẽ. Lực khối tác dụng lên một ñơn vị lưu chất là trọng lực và lực quán tính ly tâm: 2 2, ,x y zF x F y F gω ω= = = − . Mặt ñẳng áp Phương trình mặt ñẳng áp trong trường hợp này là: 2 2 0x dx y dy gdzω ω+ − = Tích phân phương trình này, ta ñược: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 z x y C r C g g ω ω = + + = + (2.8) với r là khoảng cách ñiểm khảo sát ñến trục quay. Vậy mặt ñẳng áp trong trường hợp này là mặt paraboloit tròn xoay quay quanh trục quay Oz thẳng ñứng. Sự phân bố áp suất tại mọi ñiểm trong chất lỏng ( )2 2 2 2 21 1 2 2 p x y gz C r gz Cρω ρ ρω ρ= + − + = − + (2.9) 10 Nếu xét hai ñiểm A, B nằm trên cùng một ñường thẳng, ta cũng có: B A ABp p ghρ− = Lưu ý: Dựa trên hiện tượng này người ta chế tạo các máy ño vòng quay, các hệ thống bôi trơn ở trục, ñúc các bánh xe, các ống gang, thép 5. ÁP LỰC CHẤT LỎNG TĨNH LÊN VẬT RẮN Trong nhiều trường hợp, ta chỉ cần biết lực toàn phần và mômen toàn phần tác dụng trên phần kết cấu do áp suất gây ra (áp lực P) khi bề mặt tiếp xúc với chất lỏng. Giả sử một vật rắn có mặt giới hạn với diện tích S ñặt ngập trong chất lỏng cân bằng, ta xác ñịnh phương chiều, trị số và ñiểm ñặt của áp lực chất lỏng lên bề mặt vật rắn ñó. Chọn hệ trục tọa ñộ như hình vẽ với trục Ox nằm trên giao tuyến của bề mặt phẳng S với mặt thoáng của chất lỏng, Oy nằm trong mặt phẳng chứa hình phẳng ñang xét. Tổng quát: - Phương chiều: P vuông góc và hướng vào mặt tác dụng. - Trị số và ñiểm ñặt: Áp dụng ñịnh lý Varinhông ñể tính hợp lực và ñiểm ñặt của hợp lực. 5.1 Xác ñịnh áp lực chất lỏng lên thành phẳng - Trị số: CP p S= Trong kỹ thuật, ta chỉ tính áp lực do áp suất dư tác dụng lên bề mặt, do ñó C CP p S h Sγ= = (2.10) với: Ch - ñộ sâu trọng tâm thành phẳng. Cp - áp suất tại trọng tâm thành phẳng 11 - ðiểm ñặt của áp lực D (tâm áp lực) ñược xác ñịnh như sau: ' ' Cx D C C x y D C C J y y y S J x x y S = + = + (2.11) với: CJ - Momen quán tính của S so với trục song song với Ox qua C. ' 'x yJ - Momen quán tính ly tâm của S ñối với hệ trục Cx’y’z’. Chú ý - Trường hợp thành phẳng S có trục ñối xứng, ta có D Cx x= , ta chỉ cần xác ñịnh Dy là ñủ. - Trường hợp ñặt thẳng ñứng trong chất lỏng tĩnh, khi ñó ta cần xác ñịnh ñộ sâu của tâm áp lực CD C C J h h h S = + (2.12) - Xét trường hợp ñặc biệt, thành phẳng là hình chữ nhật có ñáy nằm ngang. • Trị số áp lực 2 2 A B C C A B C h h p h h h P p S ab γ γ γ + = =     + ⇒ = =     với a là ñộ dài AB, b là ñộ dài cạnh ñáy. • Tâm áp lực D: CD C C J y y y S = + Với 3 2 12 6C D C C ba a J y y y = ⇒ = + Khoảng cách từ D ñến B: 2 3 B A B A h h a BD h h + = + 5.5 Xác ñịnh áp lực chất lỏng lên thành cong Xét áp lực tác dụng lên bề mặt cong diện tích S nằm trong chất lỏng. Chọn hệ trục tọa ñộ như hình vẽ, hai trục x,y nằm trên mặt tự do của chất lỏng. 12 Áp lực P tác dụng lên diện tích S có các thành phần trên ba trục tương ứng là: : x Cx x y Cy y z P p S P P p S P Vγ =  =  = (2.13a) trong ñó: ,x yS S : là hình chiếu của diện tích S lên mặt phẳng vuông góc với trục Ox, Oy tương ứng. ,Cx Cyp p : áp suất tại trọng tâm các diện tích ,x yS S tương ứng. V là thể tích hình trụ có ñáy dưới là hình cong S, ñáy trên là hình chiếu của S lên mặt tự do của chất lỏng và có ñường sinh thẳng ñứng. • Trị số áp lực: 2 2 2x y zP P P P= + + (2.13b) • Phương của P
so với hệ trục tọa ñộ 0xyz ñược xác ñịnh bằng: ( ) ( ) ( ) cos ,0 cos ,0 cos ,0 x y z P P x P P P y P P P z P  =   =   = 


(2.13c) • Trường hợp ñặc biệt, mặt S là một phần mặt trụ tròn hay mặt cầu: Áp lực P ñi qua tâm của các mặt trụ tròn hay mặt cầu ñó. • Trường hợp mặt cong phức tạp, ta chia thành nhiều mặt cong sao cho hình chiếu của nó là hình chiếu ñơn. 13 6. ðỊNH LUẬT ARCHIMÉDE – ðIỀU KIỆN CÂN BẰNG CỦA VẬT RẮN TRONG CHẤT LỎNG TĨNH. 6.1 ðịnh luật Archimede Một vật chìm trong chất lỏng chịu một lực ñẩy của chất lỏng hướng thẳng ñứng từ dưới lên trên và có trị số bằng trọng lượng của thể tích chất lỏng bị vật choán chỗ và gọi là lực ñẩy Archimede. ðiểm ñặt của lực ñẩy ( )dP là trọng tâm của khối chất lỏng bị choán chỗ gọi là tâm ñẩy. Thông thường thì tâm ñẩy không trùng với trọng tâm của vật, chỉ có trọng tâm của vật rắn ñồng chất mới trùng với tâm ñẩy. 6.2 ðiều kiện cân bằng ổn ñịnh của vật rắn trong chất lỏng tĩnh. a. ðiều kiện nổi của một vật Căn cứ vào tương quan giữa lực ñẩy Archimede dP ñặt tại tâm ñẩy D và trọng lượng G của vật ñặt tại trọng tâm C, ta có 3 trường hợp sau: • Nếu G>Pd: Vật chìm xuống ñáy. • Nếu G=Pd: Vật lơ lửng trong chất lỏng. • Nếu G<Pd: Vật bị ñẩy nổi lên mặt chất lỏng ñến khi nào trọng lượng phần thể tích ngập trong chất lỏng bằng trọng lượng vật thì thôi. Hình: ðiều kiện nổi của vật b. Tính ổn ñịnh của vật: Khả năng khôi phục lại vị trí cân bằng của vật khi làm thay ñổi vị trí của vật. Áp dụng ñiều kiện cân bằng của hệ lực gồm hai lực: Pd và G, ta thấy rằng một vật nổi trong chất lỏng muốn cân bằng thì G=Pd và trọng tâm C và tâm ñẩy D phải nằm trên cùng một ñường thẳng. Vật rắn lơ lửng trong chất lỏng. Thực tế có thể có những ngoại lực tác dụng lên vật lơ lửng trong chất lỏng làm vật mất trạng thái cân bằng, vật bị nghiêng ñi. Ta thấy, vật có 3 trạng thái cân bằng sau: 14 Trường hợp trọng tâm C thấp hơn tâm ñẩy D (hình a) thì vật cân bằng ổn ñịnh: Khi ngoại lực làm vật lệch khỏi vị trí cân bằng với ñộ lệch nhỏ và vận tốc ñủ nhỏ thì vật có khả năng khôi phục lại vị trí cân bằng như cũ. Trường hợp trọng tâm C cao hơn tâm ñẩy D (hình b) thì vật cân bằng không ổn ñịnh: Nếu vật dịch khỏi vị trí cân bằng thì dưới tác dụng của ngẩu lực ( ),dp G làm cho vật bị mất cân bằng thêm với ñộ lệch và vận tốc lớn hơn. Trường hợp trọng tâm C ≡D (hình c) thì vật ở trạng thái cân bằng phiếm ñịnh: Ở bất kỳ trạng thái nào vật cũng cân bằng. c. Vật rắn nổi trên mặt tự do của chất lỏng. Nếu C ở dưới D: Vật rắn cân bằng ổn ñịnh. Nếu C ở trên D. ðịnh nghĩa: - ðường mớn nước: Giao tuyến của vật nổi với mặt tự do của chất lỏng. - Mặt nổi: Giao diện giữa vật nổi và mặt tự do của chất lỏng. mặt nổi là tiết diện phẳng có chu vi là ñường mớn nước. Gọi A là là diện tích của mặt nổi. - Trục nổi: Trục vuông góc với mặt nổi và ñi qua trọng tâm C của vật nổi. Giả sử vật nổi có mặt phẳng ñối xứng 0yz, khi vật bị lệch vật lắc quay 0y. Thành ở khu vực nổi là thành phằng. M – Tâm ñịnh khuynh. 15 yJMD V ρ = = – Bán kính ñịnh khuynh. Với V là thể tích của chất lỏng bị vật chiếm chỗ, yJ mô men quán tính tĩnh của mặt nổi S với trục quay 0y. CD – ðộ lệch tâm của vật nổi Mh CDρ= − – ñộ cao tâm ñịnh khuynh (ñộ cao tâm nghiêng). Trạng thái cân bằng của vật trong chất lỏng tĩnh. Khi M cao hơn C , nghĩa là Mh >0, vật ở trạng thái cân bằng ổn ñịnh. Khi M trùng với C, Mh =0, vật ở trạng thái cân bằng phiếm ñịnh. Khi M thấp hơn C, Mh <0, vật cân bằng không ổn ñịnh.