Giáo trình các tập hợp số

o thứ tự từ lớn đến bé là 2000 2003 ; 127 130 ; 71 75 ; 9 13 . HOẠT ĐỘNG. TÌM HIỂU TẬP SỐ HỮU TỈ KHÔNG ÂM VÀ PHÂN SỐ NHIỆM VỤ Sinh viên tự đọc SGK Toán 4 và 5, thông tin cơ bản ở nhà. Trên lớp thảo luận theo nhóm 3, 4 người để thực hiện các nhiệm vụ dưới đây. Sau đó đại diện nhóm trình bày và giáo viên tổng kết theo từng nhiệm vụ: NHIỆM VỤ 1: Phân tích nội dung dạy phân số trong trường Tiểu học. NHIỆM VỤ 2: CÁC TẬP HỢP SỐ 141 Phân tích các dạng toán về phân số ở Tiểu học. Xây dựng hai ví dụ để minh hoạ phương pháp giải mỗi dạng toán đó. ĐÁNH GIÁ 1. Đúng ghi là Đ, sai ghi là S vào ô trống: a) 5 0,1 là phân số F b) 6 1 là phân số F c) +× 4 3 2 7 là phân số F d) 0,3 0,7 là phân số F e) 0 7 là phân số F f) 1 1 là phân số F g) 0 là phân số F h) 1 là phân số F 2. Tích của tử số và mẫu số của một phân số lớn hơn 1 bằng 200, nếu chia cả tử và mẫu cho 5 ta được phân số tối giản. Tìm phân số đó. 3. Khi nhân cả tử và mẫu của một phân số tối giản với 4 ta được một phân số có tổng của tử và mẫu bằng 12. Tìm phân số tối giản đó. 4. Khi nhân cả tử và mẫu của một phân số tối giản với 5 ta được một phân số có tích của tử và mẫu bằng 100. Tìm phân số tối giản đó. 5. Tìm một phân số bằng 5 3 , biết rằng phân số đó có tổng của tử và mẫu bằng 184. 6. Tích của tử số và mẫu số của một phân số lớn hơn 1 bằng 210. Tổng của tử số và mẫu số bằng 29. Tìm phân số đó. 7. Khi cộng thêm vào cả tử và mẫu của phân số 11 5 với cùng một số tự nhiên, ta được một phân số bằng 21 19 . Tìm số tự nhiên đó. 8. Điền dấu > ; < ; = vào ô trống: 23 49 F 24 47 181818 454545 F 2 5 4 91 F 3 97 CÁC TẬP HỢP SỐ 142 9. Điền các phân số 7 8 và 61 62 vào ô trống thích hợp: 99 100 > F > 11 12 > F CÁC TẬP HỢP SỐ 143 TIỂU CHỦ ĐỀ 3.5. TẬP SỐ THẬP PHÂN KHÔNG ÂM THÔNG TIN CƠ BẢN 3.5.1. Phân số thập phân Các phân số 7 10 ; 124 100 ; 12 1000 . . . . . . . . . . . . . . đều có mẫu số là luỹ thừa của 10 với số mũ tự nhiên. Các phân số dạng này ta thường gặp trong các phép đo đại lượng. Chẳng hạn: + Chiều dài cạnh bàn là 1m25cm hay 1m 25 100 m + Gói hàng nặng 560g hay 560 1000 kg Để tiện lợi trong tính toán và sử dụng, người ta đưa ra một cách biểu diễn riêng cho các phân số loại này. Định nghĩa 5.1: Phân số a b gọi là phân số thập phân, nếu mẫu số b là luỹ thừa của 10 với số mũ tự nhiên (b = 10n, n ∈ N). Ví dụ 5.1: Các phân số 17 10 ; 8 100 ; 6 1 . . . . . . . . là phân số thập phân. Phân số 3 4 không phải là phân số thập phân nhưng 3 4 = 75 100 là phân số thập phân. Ta gọi 3 4 là phân số biểu diễn được dưới dạng thập phân. Vậy phân số a b gọi là biểu diễn được dưới dạng thập phân nếu nó bằng một phân số thập phân nào đấy. Chẳng hạn, 1 2 ; 8 25 ; 3 20 . . . . . . . là những phân số biểu diễn được dưới dạng thập phân. Các phân số 1 3 ; 5 7 ; 2 11 . . . . . . . không biểu diễn được dưới dạng thập phân. 3.5.2. Số thập phân không âm Số hữu tỉ r gọi là số thập phân không âm, nếu nó có một đại diện là phân số thập phân (hay nói cách khác, phân số đại diện của nó biểu diễn được dưới dạng thập phân). Tập tất cả các số thập phân không âm ta kí hiệu là Q+10. CÁC TẬP HỢP SỐ 144 Từ các ví dụ trên ta rút ra nhận xét: Các số thập phân 3 10 ; 1 2 ; 8 25 ; 147 100 . . . . đều tối giản và mẫu số của chúng chỉ chứa ước nguyên tố là 2 hoặc 5. Các phân số 1 3 ; 5 7 ; 2 11 . . . . đều tối giản và mẫu số của chúng có những ước nguyên tố khác 2 và 5. Liệu điều này sẽ đúng cho trường hợp tổng quát? Giả sử mẫu số phân số tối giản a b chỉ có ước nguyên tố là 2 hoặc 5. Vậy b = 2n5k. Giả sử n ≥ k. Ta có a b = n k a 2 5 = −n k n n a5 2 5 = −n k n a5 10 Vậy nó biểu diễn được dưới dạng thập phân. Đảo lại, giả sử phân số tối giản a b biểu diễn được dưới dạng thập phân, tức là a b = n m 10 . Suy ra a10n = mb. Giả sử p là ước nguyên tố khác 2 và 5 của b. Suy ra p | a10n hay p | a.2n.5n. Vì p ≠ 2 và p ≠ 5 nên p | a. Suy ra p là ước chung của a và b, mà (a, b) = 1 nên p = 1. Thành thử b chỉ có ước nguyên tố là 2 hoặc 5. Từ các kết quả trên ta có: Phân số tối giản a b biểu diễn được dưới dạng thập phân khi và chỉ khi mẫu số b của nó không có ước nguyên tố khác 2 và 5. Vận dụng dấu hiệu trên, khi muốn kiểm tra một phân số a b có phải là số thập phân hay không, ta tiến hành như sau: – Rút gọn phân số đó (để nhận được phân số tối giản a' b' ). – Kiểm tra mẫu số b’ có chứa ước nguyên tố khác 2 và 5 hay không, nếu có thì a b ∉ Q+10, ngược lại a b ∈ Q+10 Ví dụ 5.2: 8 125 ∈ Q+10 vì 125 = 53; 740 ∈ Q+10 vì 40 = 2 3.5 CÁC TẬP HỢP SỐ 145 8 21 ∉ Q+10 vì 21 = 3.7; 875∉ Q+10 vì 75 = 3.5 2 15 24 ∈ Q+10 vì 1524 = 5 8 ∈ Q+10; 2835 ∈ Q+10 vì 28 35 = 4 5 ∈ Q+10 (mặc dù 24 = 23.3 và 35 = 5.7). 3.5.3. Dạng thu gọn của phân số thập phân Như chúng ta đã biết: mỗi số thập phân có một cách biểu diễn là phân số thập phân. Cách biểu diễn này có nhược điểm là cồng kềnh, không tiện lợi trong thực hành tính toán. Vì vậy, ta thường biểu diễn các số thập phân dưới dạng thu gọn: +) 351 100 = 3,51 (đọc là ba đơn vị nguyên, năm mươi mốt phần một trăm của đơn vị hoặc ba phẩy năm mươi mốt). +) 8 10 = 0,8 (đọc là không đơn vị nguyên, tám phần mười của đơn vị hay không phẩy tám). +) 49 1000 = 0,049 (đọc là không phẩy không bốn chín). Vậy dạng thu gọn của số thập phân là dạng viết không có mẫu số của phân số thập phân theo quy tắc: – Bỏ mẫu số đồng thời dùng dấu phẩy phân chia các chữ số của tử số thành hai nhóm: nhóm thứ nhất đứng bên phải dấu phẩy, có số chữ số bằng số chữ số 0 ở mẫu số; nhóm thứ hai gồm các chữ số còn lại của tử số, đứng bên trái dấu phẩy. – Nếu số chữ số của tử số ít hơn hay bằng số chữ số 0 ở mẫu số thì ta viết thêm những chữ số 0 vào trước tử số trước khi dùng dấu phẩy phân chia. Số đứng bên trái dấu phẩy gọi là phần nguyên, nhóm các chữ số đứng bên phải dấu phẩy gọi là phần thập phân của số thập phân đó. Chẳng hạn, số thập phân 35,0048 có phần nguyên là số 35, phần thập phân là nhóm các chữ số 0048. Như vậy, mỗi số thập phân có hai cách biểu diễn: dạng phân số và dạng thu gọn. 3.5.4. Các phép toán trên số thập phân Mỗi số thập phân là một số hữu tỉ. Vì vậy, xây dựng các phép toán về số thập phân bằng cách ta đưa về phép toán tương ứng với số hữu tỉ. Chẳng hạn: Ví dụ 5.3: Cho r = 1,78; s = 1,5. Tìm tổng của r + s. CÁC TẬP HỢP SỐ 146 Ta có 1,78 = 178 100 và 1,5 = 15 10 ; 178 100 + 15 10 = +178 150 100 = 328 100 = 3,28 Vậy 1,78 + 1,5 = 3,28. Nhận xét: Xây dựng phép cộng các số thập phân theo quy trình trên đây có ưu điểm là đảm bảo tính hệ thống và chặt chẽ về phương diện lí thuyết, nhưng có nhược điểm là cồng kềnh và dài dòng trong thực hành tính toán. Vì vậy, khi thực hành phép cộng các số thập phân ta thường áp dụng quy tắc dưới đây. Quy tắc: Muốn cộng một số thập phân với một số thập phân ta làm như sau: 1) Làm cho số chữ số ở phần thập phân của chúng bằng nhau (bằng cách viết thêm chữ số 0 vào hàng còn thiếu); 2) Viết số nọ dưới số kia sao cho các dấu phẩy thẳng cột; 3) Cộng như cộng hai số tự nhiên; 4) Đặt dấu phẩy ở tổng thẳng cột với dấu phẩy của các số hạng. Ta trở lại ví dụ 1,78 + 1,5 Bước 1: Ta viết 1,5 = 1,50 Bước 2: Đặt phép tính 1,78 + 1,50 Bước 3: Bỏ dấu phẩy ta được phép cộng hai số tự nhiên, thực hiện phép cộng hai số tự nhiên ta được kết quả 328. Bước 4: Đặt dấu phẩy ở tổng thẳng cột với dấu phẩy của các số hạng ta được kết quả 3,28. Cũng tương tự như trên ta có quy tắc thực hành phép trừ Muốn trừ một số thập phân với một số thập phân ta làm như sau: 1) Làm cho số chữ số ở phần thập phân của chúng bằng nhau (bằng cách viết thêm chữ số 0 vào hàng còn thiếu); 2) Viết số trừ dưới số bị trừ sao cho các dấu phẩy thẳng cột; 3) Trừ như trừ hai số tự nhiên; 4) Đặt dấu phẩy ở hiệu thẳng cột với dấu phẩy của số bị trừ và số trừ. Quy tắc thực hành phép nhân Muốn nhân một số thập phân với một số thập phân ta làm như sau: 1) Nhân như nhân hai số tự nhiên; CÁC TẬP HỢP SỐ 147 2) Ta đếm xem trong phần thập phân của cả hai thừa số có bao nhiêu chữ số rồi dùng dấu phẩy tách ra ở tích bấy nhiêu chữ số kể từ phải sang trái. Ví dụ 5.4: Tính 4,15 × 3,8 Ta làm như sau: 4,15 × 3,8 3320 1245 15,770 Trước hết ta thực hiện phép nhân: 415 × 38 = 15770 Vì cả hai thừa số có tất cả ba chữ số ở phần thập phân nên ta dùng dấu phẩy tách ra ở tích ba chữ số kể từ bên phải. Quy tắc thực hành phép chia Muốn chia một số thập phân cho một số thập phân ta làm như sau: 1) Bỏ dấu phẩy ở số chia đồng thời dời dấu phẩy ở số bị chia từ trái qua phải số chữ số bằng số chữ số ở phần thập phân của số chia (trường hợp số chữ số ở phần thập phân của số chia nhiều hơn số bị chia thì ta viết thêm chữ số 0 vào hàng còn thiếu); 2) Chia như chia hai số tự nhiên, khi chia hết chữ số ở phần nguyên của số bị chia, đặt dấu phẩy ở thương rồi tiếp tục chia; 3) Khi chia hết các chữ số ở phần thập phân của số bị chia, nếu còn dư, ta viết thêm chữ số 0 vào bên phải số dư rồi tiếp tục chia. Ví dụ 5.5: Tính 4,025 : 1,25 4†02, 5 1,25 275 3,22 250 0 Số chia 1,25 có hai chữ số ở phần thập phân nên khi bỏ dấu phẩy ta được số 125. Lùi dấu phẩy của số bị chia hai chữ số ta được 402,5. Thực hiện phép chia 402 cho 125 được 3 dư 27. Trước khi hạ tiếp 5 ở phần thập phân của số bị chia, ta đặt dấu phẩy ở thương rồi thực hiện phép chia 275 cho 125 được kết quả ở phần CÁC TẬP HỢP SỐ 148 thập phân là 2 (dư 25). Muốn tìm thêm chữ số ở phần thập phân của thương ta thêm 0 vào bên phải 25 được số 250, đem chia cho 125 được 2. Vậy 4,025 : 1,25 = 3,22 Ví dụ 5.6: Tính 3,7 : 0,03 Ta đặt phép tính 3,70 0,03 07 123,3 10 10 1 Vậy 3,7 : 0,03 = 123,3 dư 0,001. 3.5.5. Quan hệ thứ tự trong tập số thập phân Mỗi số thập phân là một số hữu tỉ không âm. Vì vậy, xây dựng quan hệ thứ tự trên tập Q+10 ta đưa về so sánh các số hữu tỉ không âm. Chẳng hạn: Ví dụ 5.7: Cho r = 9,63 ; s = 12,1. Hãy so sánh r và s. Ta có 9,63 = 963 100 và 12,1 = 121 10 . Vì 963 100 < 121 10 nên 9,63 < 12,1. Tương tự như đối với phép cộng, xây dựng quan hệ thứ tự trong tập số thập phân theo cách trên có ưu điểm về phương diện lí thuyết nhưng có nhược điểm trong thực hành so sánh. Vì vậy, khi so sánh các số thập phân người ta thường vận dụng một trong hai quy tắc sau: Quy tắc 1: Muốn so sánh một số thập phân với một số thập phân ta làm như sau: 1) Làm cho số chữ số ở phần thập phân của chúng bằng nhau (bằng cách viết thêm chữ số 0 vào hàng còn thiếu); 2) Bỏ dấu phẩy, ta nhận được hai số tự nhiên; 3) So sánh hai số tự nhiên vừa nhận được, số nào lớn hơn thì số thập phân ứng với nó sẽ lớn hơn. Nếu hai số tự nhiên đó bằng nhau thì hai số thập phân cũng bằng nhau. Quy tắc 2: Muốn so sánh hai số thập phân ta làm như sau: 1) So sánh phần nguyên với phần nguyên, số nào có phần nguyên lớn hơn sẽ lớn hơn; 2) Nếu phần nguyên của chúng bằng nhau thì ta so sánh chữ số phần mười, số nào có chữ số phần mười lớn hơn sẽ lớn hơn; CÁC TẬP HỢP SỐ 149 3) Nếu phần mười của chúng bằng nhau thì ta so sánh chữ số phần trăm và cứ tiếp tục như trên cho đến khi gặp hàng lớn hơn; 4) Nếu phần nguyên và các chữ số ở phần thập phân của chúng đều bằng nhau thì hai số đó bằng nhau. Ví dụ 5.8: So sánh hai số 9,63 và 12,1. Cách 1: Vì 12,1 = 12,10 và 963 < 1210 nên 9,63 < 12,1 Cách 2: Vì 9 < 12 nên 9,63 < 12,1. 3.5.6. Số thập phân vô hạn tuần hoàn Trong các mục trước, chúng ta đã biết rằng với mỗi số hữu tỉ r = a b ( a b tối giản) có hai khả năng: - Nếu mẫu số b không chứa ước nguyên tố khác 2 và 5 thì r là một số thập phân. - Nếu mẫu số b chứa ước nguyên tố khác 2 và 5 thì r không phải là số thập phân. Trong trường hợp này, ta có thể xấp xỉ r bởi một số thập phân với sai số nhỏ tuỳ ý. Trong mục này, chúng ta sẽ chỉ ra rằng số hữu tỉ như vậy có thể biểu diễn bởi một số thập phân theo nghĩa rộng. Trước hết ta bắt đầu bằng bài toán cụ thể. Tìm các số thập phân là xấp xỉ của số hữu tỉ r = 13 11 . Ta có: – Nếu sai số không vượt quá 1 100 thì ta được số 1,18 – Nếu sai số không vượt quá 1 1000 thì ta được số 1,181 Nếu sai số không vượt quá 10–6 thì ta được số 1,181818 Cứ tiếp tục quá trình trên đây ta đi đến kết quả sau: – Không bao giờ được một số thập phân “xấp xỉ” mà lại bằng 13 11 . Thành thử, cứ tiếp tục mãi ta nhận được số thập phân có vô số chữ số ở phần thập phân. - Các chữ số ở phần thập phân lặp lại một cách tuần hoàn, trong đó mỗi chu kì gồm hai chữ số “18”. Trong trường hợp này ta viết: 13 11 = 1,181818... CÁC TẬP HỢP SỐ 150 hay 13 11 = 1,(18) và gọi là số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn với chu kì bằng 18 (số viết trong dấu ngoặc để chỉ chu kì của số thập phân đó). Tiếp theo ta xét bài toán tương tự đối với số hữu tỉ 285 22 . Ta nhận được kết quả sau: - Nếu sai số không vượt quá 10–3 thì ta được số 12,954 - Nếu sai số không vượt quá 10–5 thì ta được số 12,95454 Vậy: 285 22 = 12,95454... Ta nhận được số thập phân vô hạn tuần hoàn, nhưng chu kì (là 54) không bắt đầu ngay từ chữ số thập phân thứ nhất (bằng 9) mà bắt đầu từ chữ số thập phân thứ hai. Những số như thế ta gọi là số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp. Trong trường hợp này ta viết: 285 22 = 12,9(54) Một cách tổng quát, giả sử số hữu tỉ a b không phải là số thập phân. Ta thực hiện liên tiếp phép chia a cho b (bằng cách thêm chữ số 0 vào bên phải số dư sau mỗi phép chia và lại tiếp tục chia). Ta sẽ thấy rằng sau một số bước (tối đa là b bước) ta sẽ gặp lại số dư r nào đó mà ta đã gặp ở bước trước đó. Khi đó quá trình sẽ lặp lại. Các thương bộ phận sẽ lặp lại một cách tuần hoàn. Số thập phân nhận được có vô số chữ số ở phần thập phân, trong đó có một nhóm chữ số ở phần thập phân lặp đi lặp lại một cách tuần hoàn. Nhóm chữ số lặp lại đó được gọi là chu kì của số thập phân vô hạn tuần hoàn. HOẠT ĐỘNG. TÌM HIỂU KHÁI NIỆM SỐ THẬP PHÂN NHIỆM VỤ Sinh viên tự đọc SGK Toán 5 và thông tin cơ bản ở nhà. Trên lớp thảo luận theo nhóm 3, 4 người để thực hiện các nhiệm vụ dưới đây. Sau đó, đại diện nhóm trình bày và giáo viên tổng kết theo từng nhiệm vụ: NHIỆM VỤ 1: CÁC TẬP HỢP SỐ 151 Phát biểu định nghĩa các khái niệm: phân số thập phân, phân số biểu diễn được dưới dạng thập phân, số thập phân Phát biểu tiêu chuẩn để một phân số là số thập phân. NHIỆM VỤ 2: Trình bày các phương pháp biểu diễn một số thập phân. Nêu ưu điểm và hạn chế của nó. NHIỆM VỤ 3: Phát biểu định nghĩa và quy tắc thực hành phép cộng, phép trừ, phép nhân, phép chia các số thập phân. Minh hoạ qua các ví dụ cụ thể. NHIỆM VỤ 4: Phát biểu định nghĩa và nêu quy tắc thực hành so sánh các số thập phân. Minh họa qua các ví dụ. NHIỆM VỤ 5: Tìm hiểu khái niệm về số thập phân vô hạn tuần hoàn. Xây dựng ba ví dụ về số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn, ba ví dụ về số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp. ĐÁNH GIÁ 1) Điền dấu ∈ hoặc ∉ vào ô trống: a) 963 100 F Q+10 b) 963100 F Q+10 c) 963 100 F Q+10 d) 963100 F Q+10 e) 963 100 F Q+10 f) 963100 F Q+10 g) 963 100 F Q+10 h) 963100 F Q+10 2. Điền theo mẫu: a) 3 4 = 75 100 = 0,75 b) 1703 1000 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . CÁC TẬP HỢP SỐ 152 c) 27 125 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . . . . . d) 51 24 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . . . . . e) 3 375 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Điền theo mẫu: a) 1,5 = 15 10 = 3 2 b) 1,875 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c) 0,06875 = . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d) 1,0496 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Điền Đ (đúng) hoặc S (sai) vào ô trống: F Tổng của hai số thập phân là một số thập phân. F Hiệu của hai số thập phân (nếu phép trừ thực hiện được) là một số thập phân. F Tích của hai số thập phân là một số thập phân. F Thương của một số thập phân với một số thập phân khác 0 là một số thập phân. F Thương của hai số thập phân là một số thập phân. 5. Chứng minh rằng xen giữa hai số thập phân khác nhau tồn tại vô số các số thập phân khác nằm giữa chúng. 6. Nêu cơ sở toán học của các quy tắc thực hành bốn phép tính về số thập phân. Nêu cơ sở toán học của quy tắc thực hành so sánh các số thập phân. 7. Nêu cơ sở toán học của quy tắc thực hành so sánh các số thập phân. 8. Biểu diễn số hữu tỉ sau dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn: a) 30 7 b) 40 11 c) 17 572 d) 229 99 . 9. Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng số hữu tỉ không âm: a) 0,(7) b) 10,(09) c) 5,(243) d) 1,4(72) e) 23,00(54) f) 2,11(6). CÁC TẬP HỢP SỐ 153 TIỂU CHỦ ĐỀ 3.6. SỐ THẬP PHÂN TRONG CHƯƠNG TRÌNH MÔN TOÁN Ở TIỂU HỌC THÔNG TIN CƠ BẢN Số thập phân được trình bày trong lớp cuối của bậc Tiểu học với các nội dung: – Hình thành khái niệm số thập phân; – So sánh các số thập phân; – Bốn phép tính về số thập phân gồm: hình thành ý nghĩa phép toán, giới thiệu tính chất và quy tắc thực hành bốn phép tính, rèn kĩ năng thực hành bốn phép tính; – Giới thiệu các quy tắc tính nhẩm; – Giải toán về số thập phân. 3.6.1. Hình thành khái niệm số thập phân Thông qua thao tác cụ thể, khái niệm “số thập phân” được hình thành cho học sinh thông qua hai con đường: – Số thập phân là cách viết không có mẫu số của phân số thập phân. Chẳng hạn: 1 10 = 0,1 7 100 = 0,07 9 1000 = 0,009 ... – Số thập phân là cách viết thu gọn thay cho cách biểu diễn số đo của các phép đo đại lượng bằng đơn vị đo phức hợp. Chẳng hạn: 2m7dm = 2,7m 18m5dm6cm = 18,56m = 185,6dm 1kg86g = 1,086kg Thông qua các ví dụ về số thập phân, sách giáo khoa rút ra cho học sinh nhận xét: mỗi số thập phân có hai phần, phần nguyên là một số đứng bên trái dấu phẩy, phần thập phân là một nhóm các chữ số đứng bên phải dấu phẩy. Phần nguyên và phần thập phân được phân cách bởi dấu phẩy. Chẳng hạn 12,048 (12 là phần nguyên, 048 là phần thập phân) và đọc là mười hai phẩy không bốn tám CÁC TẬP HỢP SỐ 154 3.6.2. So sánh số thập phân Tương tự như đối với phân số, khi so sánh hai số thập phân ta hướng tới hai tình huống: – Rút ra kết luận số này lớn hơn (hoặc bé hơn) số kia – Rút ra kết luận hai số đó bằng nhau bằng cách sử dụng quy tắc. Muốn so sánh hai số thập phân ta có thể làm như sau: – So sánh các phần nguyên của hai số đó như so sánh hai số tự nhiên, số thập phân nào có phần nguyên lớn hơn thì lớn hơn; – Nếu phần nguyên của hai số đó bằng nhau thì so sánh phần thập phân, lần lượt từ hàng phần mười, hàng phần trăm, hàng phần nghìn,... đến cùng một hàng nào đó mà số thập phân nào có hàng tương ứng lớn hơn thì lớn hơn; – Nếu phần nguyên và phần thập phân của hai số đó bằng nhau thì hai số đó bằng nhau. Đồng thời sách giáo khoa cũng giới thiệu quy tắc: – Nếu viết thêm (hoặc xóa đi) chữ số 0 ở bên phải phần thập phân của một số thập phân thì được một số thập phân bằng nó. 3.6.3. Các phép toán về số thập phân Khi dạy bốn phép tính về số thập phân, sách giáo khoa Toán 5 đều sử dụng cách trình bày thống nhất: từ một bài toán thực tế, hình thành cho học sinh ý nghĩa phép toán. Qua phân tích trên các thao tác đối với bài toán nêu trên, rút ra cho học sinh quy tắc thực hành phép tính. Chẳng hạn, xuất phát từ bài toán: “May áo hết 1,54m vải, may quần hết 1,72m vải. Hỏi may cả áo và quần hết bao nhiêu mét vải?” Sách giáo khoa đã dẫn dắt học sinh đến với ý nghĩa của phép cộng số thập phân. Từ phân tích lời giải của bài toán rút ra cho học sinh quy tắc (xem [1]). Muốn cộng hai số thập phân: – Ta viết số hạng này dưới số hạng kia sao cho các chữ số cùng một hàng đơn vị đặt thẳng cột với nhau; – Cộng như cộng hai số tự nhiên; – Đặt dấu phẩy ở tổng thẳng cột với dấu phẩy của các số hạng. Muốn trừ hai số thập phân: – Ta viết số trừ dưới số bị trừ sao cho các chữ số cùng hàng thì thẳng cột với nhau. – Trừ như trừ hai số tự nhiên. – Đặt dấu phẩy ở hiệu thẳng cột với dấu phẩy của số bị trừ và số trừ. Phép nhân số thập phân được hình thành theo hai bước: – Nhân một số thập phân với một số tự nhiên. CÁC TẬP HỢP SỐ 155 – Nhân một số thập phân với một số thập phân. Phép chia số thập phân được hình thành theo bốn bước: – Chia một số thập phân cho một số tự nhiên. – Chia một số tự nhiên cho một số tự nhiên với thương tìm được là một số thập phân. – Chia một số tự nhiên cho một số thập phân. – Chia một số thập phân cho một số thập phân. Tương tự như đối với phân số, các tính chất giao hoán, kết hợp, phân phối,... của bốn phép tính về số thập phân, sách giáo khoa dành cho học sinh tự rút ra thông qua những bài tập cụ thể. Chẳng hạn thông qua bài tập: Tính rồi so sánh giá trị của biểu thức (a + b) × c và a × c + b × c a b c (a + b) x c a x c + b x c 2, 4 3, 8 1, 2 6, 5 2, 7 0, 8 8, 2 1, 8 14, 7 Cho học sinh rút ra nhận xét: (a + b) × c = a × c + b × c 3.6.4. Giới thiệu các quy tắc tính nhẩm – Nhân một số thập phân với 10, 100, 1000, ... – Chia một số thập phân cho 10, 100, 1000 ... 3.6.5. Giải toán về số thập phân Các bài toán về số thập phân ở Tiểu học có thể phân ra thành mấy dạng cơ bản: – Các bài toán về cấu tạo số thập phân (tìm một số thập phân khi cho biết một số điều kiện về số đó). – Các bài toán về so sánh số thập phân. – Các bài toán rèn kĩ năng thực hành bốn phép tính về số thập phân (tính giá trị biểu thức bằng cách hợp lí hoặc tìm thành phần chưa biết của phép tính...). – Điền chữ số thay cho các chữ trong phép tính về số thập phân. – Toán về tỉ số phần trăm. Dạng 1: Các bài toán về cấu tạo số thập phân Khi giải các bài toán dạng này, ta có thể dùng phương pháp liệt kê, phương pháp thử chọn, phương pháp tìm hai số khi biết hiệu và tỉ hoặc tổng và tỉ số của chúng. Ngoài ra, có thể bổ sung thêm một số tính chất sau: Tính chất 6.1: Khi rời dấu phẩy của một số thập phân từ trái sang phải một, hai, ba,... hàng thì số đó tăng gấp 10, 100, 1000,... lần. CÁC TẬP HỢP SỐ 156 Tính chất 6.2: Khi rời dấu phẩy của một số thập phân từ phải qua trái một, hai, ba,... hàng thì số đó giảm đi 10, 100, 1000,... lần. Ví dụ 6.1: Hãy viết các số thập phân từ ba chữ số 0, 1, 2 sao cho mỗi chữ số đã cho xuất hiện đúng một lần. Giải: Các số đó là: 0,12; 0,21; 1,20; 1,02; 2,10; 2,01; 10,2; 12,0; 21,0; 20,1. Ví dụ 6.2: Khi bỏ quên dấu phẩy của một số thập phân có một chữ số ở phần thập phân thì số đó tăng thêm 888,3 đơn vị. Tìm số thập phân đó. Giải: Khi bỏ quên dấu phẩy của một số thập phân có một chữ số ở phần thập phân thì số đó tăng gấp 10 lần. Theo đề bài ta có sơ đồ: Số cần tìm Số mới Số cần tìm là 888,3 : (10 – 1) = 98,7. Ví dụ 6.3: Các chữ số phần mười, phần trăm và phần nghìn của số thập phân có ba chữ số ở phần thập phân theo thứ tự là ba số chẵn liên tiếp. Tích các chữ số ở phần thập phân bằng phần nguyên của số đó. Các chữ số ở phần nguyên và phần thập phân đều khác nhau. Tìm số thập phân đó Giải: Phần thập phân của số thập phân có thể là: 024; 246; 468; 420; 642; 864 Ta có bảng sau: Phần thập phân Phần nguyên Số thập phân Kết luận 024 0 0,024 Loại 246 48 48,246 Loại 468 192 192,468 Chọn 420 0 0,420 Loại 642 48 48,642 Loại 864 192 192,864 Chọn Vậy số thập phân cần tìm là 192,468 và 192,864. Dạng 2: Các bài toán về so sánh số thập phân 888,3 10 phần ? 1 phần CÁC TẬP HỢP SỐ 157 Khi giải các bài toán dạng này, ta thường vận dụng các quy tắc về so sánh số thập phân đã nêu ở phần trên. Ví dụ 6.4: Viết 5 số thập phân xen giữa hai số 1,2 và 1,3. Giải: Ta có 1,2 = 1,20 và 1,3 = 1,30 Năm số thập phân cần tìm là: 1,20 < 1,21 < 1,22 < 1,23 < 1,24 < 1,25 < 1,30. Ví dụ 6.5: Thay a bởi chữ số thích hợp 2,36 < 2,3a8 < 2,375. Giải: Để 2,36 < 2,3a8 thì a phải bằng 6, 7, 8 hoặc 9 Để 2,3a8 < 2,375 thì a phải bằng 0, 1, 2, 3, 4, 5 hoặc 6 Vậy để 2,36 < 2,3a8 < 2,375 thì a phải bằng 6. Thử lại: 2,36 < 2,368 < 2,375. Ví dụ 6.6: Viết tất cả các số thập phân có 4 chữ số (gồm cả phần nguyên và phần thập phân) mà các chữ số của chúng đều bằng 9. Sau đó: a) Sắp xếp các số theo thứ tự từ bé đến lớn. b) Từ lớn đến bé. Giải: Các số thiết lập được là: 9,999; 99,99; 999,9 a) Xếp các số theo thứ tự từ bé đến lớn 9,999; 99,99; 999,9 b) Xếp theo thứ tự từ lớn đến bé 999,9; 99,99; 9,999. Dạng 3: Các bài toán rèn kĩ năng thực hành bốn phép tính về số thập phân Khi giải các bài toán dạng này, ta thường vận dụng các quy tắc thực hành bốn phép tính, các tính chất của bốn phép tính, quy tắc tìm thành phần chưa biết của phép tính và các quy tắc nhân, chia nhẩm,... Ngoài các quy tắc nhân, chia nhẩm với 10; 100; 1000;... ta có thể bổ sung thêm: CÁC TẬP HỢP SỐ 158 – Quy tắc nhân (hoặc chia) một số với 0,5 – Quy tắc nhân (hoặc chia) một số với 0,25. Ví dụ 6.7: Tính giá trị biểu thức sau bằng cách nhanh nhất × × + × + × + + + + − 3 5 40,5 0,3 1635 26,8 15 3 6 9 .......... 99 183 Tính giá trị của tử thức: 3 × 5 × 40,5 + 0,3 × 1635 + 26,8 × 15 = 15 × 40,5 + 0,3 × 5 × 327 + 26,8 × 15 = 1,5 × 405 + 1, 5 × 327 + 1,5 × 268 = 1,5 × (405 + 327 + 268) = 1,5 × 1000 = 1500 Tính giá trị của mẫu thức: 3 + 6 + 9 + . . . . . . . . . + 99 – 183 = (3 + 99) × 33 : 2 – 183 = 1683 – 183 = 1500 Vậy × × + × + ×+ + + + − 3 5 40,5 0,3 1635 26,8 15 3 6 9 .......... 99 183 = 1500 1500 = 1. Ví dụ 6.8: Tính giá trị biểu thức sau đây bằng cách nhanh nhất × × × × × − × × × (1250: 0,75+ 47,3 2004) 0,17 71,3 47,3 (0,75 3: 4) 2,001 20,02 200,3 2004 Giải: Ta nhận xét: 0,75 – 3 : 4 = 0,75 – 0,75 = 0 Vậy × × × × × −× × × (1250: 0,75+ 47,3 2004) 0,17 71,3 47,3 (0,75 3: 4) 2,001 20,02 200,3 2004 = 0. Ví dụ 6.9: Tìm số dư trong phép chia, nếu lấy hai chữ số thập phân ở thương 3,87 : 1,3 Giải: Thực hiện phép chia: 3,87 1,3 1 27 2,97 100 9 CÁC TẬP HỢP SỐ 159 Vậy 3,87 : 1,3 = 2,97 dư 0,009. Thử lại: 1,3 × 2,97 + 0,009 = 3,87. Ví dụ 6.10. Tìm X sao cho: X : 6 × 0,72 + 0,13 × X + X : 2 + 15 = 19,95 Giải: Áp dụng tính chất của số thập phân ta có: X : 6 × 0,72 + 0,13 × X + X : 2 + 15 = (X × 0,72) : 6 + X × 0,13 + X × 0,5 + 15 = X × (0,72 : 6) + X × 0,13 + X × 0,5 + 15 = X × 0,12 + X × 0,13 + X × 0,5 + 15 = X × (0,12 + 0,13 + 0,5) + 15 = X × 0,75 + 15. Vậy ta có: X × 0,75 + 15 = 19, 95 X × 0, 75 = 19, 95 – 15 X × 0, 75 = 4, 95 X = 4, 95 : 0,75 X = 6,6. Dạng 4: Các bài toán về điền số vào phép tính Các bài toán dạng này thường gặp hai loại: – Vận dụng quy tắc thực hành bốn phép tính để giải. – Dùng phân tích cấu tạo số để giải. Ví dụ 6.11: Thay mỗi chữ trong phép tính sau bởi chữ số thích hợp bdd,bc – ab,cd = a,bc Giải: Ta lần lượt biến đổi − =bddbc abcd abc 100 100 100 − =bddbc abcd abc 100 100 Suy ra: − =bddbc abcd abc CÁC TẬP HỢP SỐ 160 Ta viết lại phép tính như sau: abcd + abc bddbc Theo cách đặt phép tính thỡ phộp cộng hàng trăm có nhớ (nhớ 1). Vậy phép cộng ở hàng nghỡn là: a + 1 = bd . Suy ra a = 9, b = 1 và d = 0. Thay vào ta có: 91c0 + 91c 1001c Xột phộp cộng ở hàng chục: c + 1 = 1. Suy ra c = 0. Vậy phộp tớnh cần tỡm là: 100,10 – 91,00 = 9,10. Ví dụ 6.12: Thay mỗi chữ trong phộp tớnh sau bởi chữ số thớch hợp: 98,697 – 0,0abc = ab ,cabc Giải: Tương tự ví dụ trên, ta đưa phép tính về dạng 986970 – abc = abcabc Biến đổi ta được: ×abc 1002 = 986970 abc = 985. Vậy phộp tớnh cần tỡm là 98,697 – 0,0985 = 98,5985. Ví dụ 6.13: Thay mỗi chữ trong phộp tớnh sau bởi chữ số thớch hợp: × × =0,ab c,c ab,c ab,cabc Giải: Tương tự, ta đưa phép tính về dạng × × =ab cc abc abcabc × × = ×ab cc abc 1001 abc ×ab cc = 1001 CÁC TẬP HỢP SỐ 161 Từ đó suy ra =ab 91 thỡ = =cc 11; ab 13 thỡ =cc 77. Cỏc phộp tớnh cần tỡm là 0,91 × 1,1 × 91,1 = 91,1911 0,13 × 7,7 × 13,7 = 13,7137. Dạng 5: Toán về tỉ số phần trăm Các bài toán dạng này ta thường gặp mấy loại sau: – Cho hai số a và b. Tỉm tỉ số phần trăm của a và b. – Cho b và tỉ số phần trăm của a và b. Tìm a. – Cho a và tỉ số phần trăm của a và b. Tìm b. – Một số nội dung phối hợp. Ví dụ 6.14: Trường Tiểu học Điện Biên có 1040 học sinh trong đó có 546 học sinh nam. Hỏi số học sinh nam chiếm bao nhiêu phần trăm số học sinh của toàn trường? Giải: Số phần trăm học sinh nam chiếm so với tổng số học sinh của toàn trường là: 546 : 1040 = 52,5% Đáp số: 52,5% Ví dụ 6.15: Lãi suất tiết kiệm là 0,65% một tháng. Cô Thuỷ gửi tiết kiệm 12 000 000 đồng. Hỏi sau một tháng cô có tất cả bao nhiêu tiền lãi và tiền gửi? Giải: Số tiền lãi cô Thuỷ có sau một tháng là: 12 000 000 : 100 × 0,65 = 78 000(đ) Số tiền gửi và tiền lãi cô Thuỷ có là: 12 000 000 + 78 000 = 12 078 000(đ) Đáp số: 12 078 000 đồng. Ví dụ 6.16: Tỉ lệ muối trong nước muối chiếm 0,5%. Hỏi khi pha 12kg muối thì ta sẽ nhận được bao nhiêu kilôgam nước muối? CÁC TẬP HỢP SỐ 162 Giải: Số nước muối nhận được là: 12 : 0,5 × 100 = 2400(kg) Đáp số: 2400kg. Ví dụ 6.17: Một bình đựng 120g nước muối chứa 15% muối. Hỏi phải đổ thêm vào bình đó bao nhiêu gam nước để nhận được một bình nước muối chứa 10% muối? Giải: Số muối có trong 120g nước muối là: 120 × 15 : 100 = 18(g) Số nước muối loại 10% muối pha được từ 18g muối là: 18 × 100 : 10 = 180(g) Số nước cần đổ thêm là: 180 – 120 = 60(g) Đáp số: 60g nước. HOẠT ĐỘNG. TÌM HIỂU NỘI DUNG DẠY SỐ THẬP PHÂN Ở TIỂU HỌC NHIỆM VỤ Sinh viên tự đọc SGK Toán 5 và thông tin cơ bản ở nhà để thực hiện các nhiệm vụ dưới đây. Trên lớp giáo viên cử đại diện trình bày rồi tổng kết theo từng nhiệm vụ: NHIỆM VỤ 1: Phân tích nội dung dạy số thập phân ở Tiểu học. NHIỆM VỤ 2: Phân tích những yêu cầu cần đạt tới khi dạy mỗi nội dung: hình thành khái niệm số thập phân, so sánh số thập phân và các phép toán về số thập phân ở Tiểu học. NHIỆM VỤ 3: So sánh các quy tắc thực hành so sánh và thực hành bốn phép tính về số thập phân ở Tiểu học và ở Cao đẳng. NHIỆM VỤ 4: Xây dựng các ví dụ để minh hoạ phương pháp giải năm dạng toán về số thập phân ở Tiểu học CÁC TẬP HỢP SỐ 163 ĐÁNH GIÁ 1. Điền vào chỗ chấm: a) Số 18,403 có phần nguyên là ............................. và phần thập phân là .................................. b) Số 0,90 có phần nguyên là ................................. và phần thập phân là .................................. c) Số 140,0041 có phần nguyên là ............................. và phần thập phân là ............................... 2. Điền vào chỗ chấm theo mẫu: a) Số 30,42 có hàng chục là 3, hàng đơn vị là 0, hàng phần mười là 4 và phần trăm là 2 b) Số 102,408 có ......................................................................................................................... c) Số 0,0024 có ........................................................................................................................... d) Số 7,200 có ............................................................................................................................. e) Số 0,007 có ............................................................................................................................. 3. Đúng ghi Đ, sai ghi S vào ô trống: a) 17 là số thập phân F b) 0,17 là số thập phân F c) 0,17 100 là số thập phân F d) 132 100 là số thập phân F e) 3 4 là số thập phân F f) 0,75 là số thập phân F 4. Cho bốn chữ số 0, 1, 2, 3. Hãy viết các số thập phân lớn hơn 12, sao cho mỗi chữ số đã cho xuất hiện trong cách viết đúng một lần. Sau đó xếp chúng theo thứ tự từ bé đến lớn. 5. Cho năm chữ số 0, 4, 5, 6, 9. Hãy viết các số thập phân nhỏ hơn 50, sao cho mỗi chữ số đã cho xuất hiện trong cách viết đúng một lần. Sau đó xếp chúng theo thứ tự từ lớn đến bé. 6. Khi lùi dấu phẩy của một số thập phân từ phải qua trái một hàng thì số đó giảm đi 11,07 đơn vị. Tìm số thập phân đó. 7. Khi bỏ quên dấu phẩy của một số thập phân có hai chữ số ở phần thập phân thì số đó tăng lên 537,57 đơn vị. Tìm số thập phân đó. CÁC TẬP HỢP SỐ 164 8. Các chữ số phần mười và phần trăm của một số thập phân có hai chữ số ở phần thập phân theo thứ tự là hai số lẻ liên tiếp viết theo thứ tự tăng dần. Tích các chữ số ở phần thập phân bằng phần nguyên của số đó. Các chữ số ở phần thập phân và phần nguyên đều khác nhau. Tìm số thập phân đó. 9. Phần nguyên của một số thập phân là số có hai chữ số có tổng các chữ số bằng 9. Bớt phần nguyên đi 1 ta được số có hai chữ số giống nhau. Đọc các chữ số của số thập phân theo thứ tự ngược lại (từ phải sang trái) thì số đó không thay đổi. Tìm số thập phân đó. 10. Điền chữ số thích hợp thay cho * 0,06 < 0,0*9 < 0,071. 11. Tính giá trị biểu thức bằng cách hợp lí: a) × + × + ×+ + + + + 250 1,80 25 12,8 292 2,5 1 5 9 .......... 97 225 b) × − × +× × + × 20,2 5,1 30,3 3,4 14,58 7,29 540 2 14,58 460 . 12. Tìm số dư trong phép chia: a) 2,43 : 7 nếu lấy đến ba chữ số ở phần thập phân b) 14,23 : 0,6 nếu lấy đến hai chữ số thập phân. 13. Tìm X biết rằng: a) 4,25 × (X + 41,53) – 125 = 53,5 b) 2 × 1,58 : (X × 0,4) = 7,9 14. Thay mỗi chữ trong phép tính sau bởi chữ số thích hợp: a) − =8ab,a d41,c c14,d b) − =a,bcaa b,dbc c,baba c) 4,896 – =a,bab 0,0ab d) 41,ab a,b 2,6.= × 15. Có một bình đựng 80g nước muối loại 8% muối. Phải đổ thêm vào bình đó bao nhiêu gam nước để được một bình nước muối chứa 5% muối? 16. Có một bình đựng 150g nước muối loại 10% muối. Phải đổ thêm vào bình đó bao nhiêu gam muối để được một bình nước muối chứa 20% muối? CÁC TẬP HỢP SỐ 165 TIỂU CHỦ ĐỀ 3.7. TẬP SỐ HỮU TỈ THÔNG TIN CƠ BẢN 3.7.1. Sự cần thiết phải xây dựng tập số hữu tỉ Trong các chủ đề trước, chúng ta đã mở rộng tập số tự nhiên N để được tập số hữu tỉ không âm Q+. Nếu dừng lại ở tập số hữu tỉ không âm: – Nhiều phép trừ không thực hiện được, chẳng hạn 3 – 5, 1 4 – 4,... – Biểu diễn số đo của hai phép đo đại lượng ngược chiều nhau sẽ gặp khó khăn, chẳng hạn, độ cao và chiều sâu, lỗ và lãi, nhiệt độ trên 00C và dưới 00C,... Do nhu cầu phát triển của toán học và các ngành khoa học kĩ thuật khác, người ta mở rộng tập số hữu tỉ không âm Q+ thêm những số mới để khắc phục hạn chế nêu trên. 3.7.2. Xây dựng tập số hữu tỉ Trên tích Đê-các Q+ × Q+ ta định nghĩa quan hệ hai ngôi như sau: Với (r; s) và (r'; s') ∈ Q+ × Q+ ta định nghĩa (r; s) ~ (r'; s'), nếu r + s' = r' + s. Từ định nghĩa ta dễ dàng suy ra "~" là một quan hệ tương đương xác định trên tập Q+ × Q+. Áp dụng định lí về tập thương, ta có thể phân chia tập Q+ × Q+ theo quan hệ tương đương "~" và nhận được tập thương Q+ × Q+ / ~. Ta sẽ gọi tập thương Q+ × Q+ / ~ là tập các số hữu tỉ và kí hiệu là Q. Mỗi phần tử của tập Q ta gọi là một số hữu tỉ. Giả sử α ∈ Q. Như vậy α được xác định bởi một lớp tương đương có phần tử đại diện là (r; s) ∈ Q+ × Q+. Hay α = (r; s) ∈ Q = Q+ × Q+ / ~. Ta dễ dàng chỉ ra rằng mỗi số hữu tỉ (r; s) được xác định một cách duy nhất bởi một phần tử đại diện thuộc một trong ba dạng sau: (p; 0) hoặc (0; p) (với p ∈ Q+) hoặc (0; 0). Để cho tiện, ta quy ước: a) Nếu số hữu tỉ α xác định bởi lớp tương đương dạng α = (r; 0) trong đó r ≠ 0 thì ta sẽ viết α = +r hay α = r và gọi là số hữu tỉ dương. b) Nếu số hữu tỉ α xác định bởi lớp tương đương dạng α = (0; r) với r ≠ 0 thì ta sẽ viết α = –r và gọi là số hữu tỉ âm. c) Nếu số hữu tỉ α xác định bởi lớp tương đương dạng α = (0; 0) thì ta sẽ viết α = 0 và gọi là số hữu tỉ không hay số 0. CÁC TẬP HỢP SỐ 166 d) Số –r gọi là số đối của số r. e) Đặc biệt, ta viết 1 = (1; 0) . Như vậy, tập số hữu tỉ Q được phân tích thành ba tập rời nhau: Q = Q+ ∪ Q– ∪ {0}, trong đó Q+ là tập các số hữu tỉ dương, Q– là tập các số hữu tỉ âm. 3.7.3. Các phép toán trong tập số hữu tỉ Giả sử α và β là hai số hữu tỉ, trong đó α = (r; s) và β = (r '; s') . Ta định nghĩa: a) Tổng của hai số hữu tỉ α và β là một số hữu tỉ γ, kí hiệu γ = α + β, được xác định bởi quy tắc: γ = + +(r r '; s s') . Quy tắc cho tương ứng mỗi cặp số hữu tỉ α, β với một số hữu tỉ γ nói trên ta gọi là phép cộng các số hữu tỉ. b) Tích của hai số hữu tỉ α và β là một số hữu tỉ δ, kí hiệu δ = αβ, được xác định bởi quy tắc: δ = ( )+ +rr ' ss'; rs' r's . Quy tắc cho tương ứng mỗi cặp số hữu tỉ α, β với một số hữu tỉ δ nói trên ta gọi là phép nhân các số hữu tỉ. c) Ta gọi hiệu của hai số hữu tỉ α và β là một số hữu tỉ ρ, kí hiệu là ρ = α – β, được xác định bởi quy tắc: ρ = α + (–β), trong đó –β là số đối của β. Quy tắc cho tương ứng mỗi cặp số hữu tỉ α, β với một số hữu tỉ ρ nói trên ta gọi là phép trừ các số hữu tỉ. d) Ta nói β là số hữu tỉ nghịch đảo của số hữu tỉ α, kí hiệu là β = α–1, nếu: αβ = 1. Với hai số hữu tỉ α và β, trong đó β ≠ 0, ta định nghĩa: thương của α chia cho β là số hữu tỉ ε, kí hiệu ε = α : β hay ε = αβ ; trong đó: ε = αβ–1. Quy tắc cho tương ứng mỗi cặp số hữu tỉ α, β (β ≠ 0), với một số hữu tỉ ε nói trên ta gọi là phép chia các số hữu tỉ. Ví dụ 7.1: CÁC TẬP HỢP SỐ 167 Cho α = 3 4 , β = 1 5 . Tìm tổng, hiệu, tích, thương của α và β. Ta có: α + β = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3 1 3 1; 0 ; 0 ; 0 4 5 4 5 = +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 15 4 19 19; 0 ; 0 20 20 20 α – β = α + (–β) = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3 1; 0 0; 4 5 = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3 1 11 11; ; 0 4 5 20 20 αβ = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3 1 3 1; 0 . ; 0 . ; 0 4 5 4 5 = ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ 3 3; 0 20 20 α : β = αβ–1 = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3 5; 0 . ; 0 4 1 = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3 5 15 15 . ; 0 ; 0 4 1 4 4 . Ví dụ 7.2: Cho α = 5 2 ; β = −11 3 . Tìm tổng, hiệu, tích, thương của α và β. α + β = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 5 11 5 11; 0 0; ; 2 3 2 3 = ⎛ ⎞=−⎜ ⎟⎝ ⎠ 7 70; 6 6 α – β = α + (–β) = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 5 11; 0 ; 0 2 3 = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 5 11 37 37; 0 ; 0 2 3 6 6 CÁC TẬP HỢP SỐ 168 αβ = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 5 11 5 11; 0 . 0; 0; . 2 3 2 3 = ⎛ ⎞ = −⎜ ⎟⎝ ⎠ 55 550; 6 6 α : β = αβ–1 = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 5 3; 0 . 0; 2 11 = ⎛ ⎞ = −⎜ ⎟⎝ ⎠ 15 150; 22 22 . Ví dụ 7.3: Cho α = – 4 7 ; β = – 5 3 . Tìm tổng, hiệu, tích và thương của α và β. Ta có: α + β = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4 5 4 50; 0; 0; 7 3 7 3 = ⎛ ⎞ = −⎜ ⎟⎝ ⎠ 47 470; . 21 21 α – β = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4 5 5 40; ; 0 ; 7 3 3 7 = ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ 23 23; 0 21 21 α: β = αβ–1 = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4 30; . 0; 7 5 = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4 3 12 12. ; 0 ; 0 7 5 35 35 . Từ định nghĩa ta dễ dàng suy ra tập Q cùng với hai phép toán cộng và nhân nói trên là một trường. Ta gọi là trường các số hữu tỉ. 3.7.4. Quan hệ thứ tự trong tập số hữu tỉ Cho α, β ∈ Q. Ta nói: a) α nhỏ hơn β, kí hiệu là α < β, nếu β – α là một số hữu tỉ dương. b) α nhỏ hơn hoặc bằng β, kí hiệu là α ≤ β, nếu α < β hoặc α = β. CÁC TẬP HỢP SỐ 169 c) α lớn hơn β, kí hiệu là α > β, nếu β < α. d) α lớn hơn hoặc bằng β, kí hiệu là α ≥ β, nếu β ≤ α. Các quan hệ α β, α ≥ β ta gọi chung là các bất đẳng thức, trong đó α < β và α > β ta gọi là các bất đẳng thức nghiêm ngặt hay bất đẳng thức chặt. Ví dụ 7.4: Cho α = 6 7 và β = 8 9 . Hãy so sánh α và β: Ta có: β – α = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 8 6 8 6; 0 ; 0 ; 0 0; 9 7 9 7 = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 8 6 2 2; ; 0 9 7 63 63 ∈ Q+. Vậy α < β. 3.7.5. Xây dựng tập số nguyên trong Q Ta gọi: a) Mỗi số hữu tỉ xác định bởi lớp tương đương: α = ( )n; 0 , trong đó n là số tự nhiên khác 0, là một số nguyên dương, viết là α = n. b) Mỗi số hữu tỉ xác định bởi lớp tương đương: α = ( )0; n , trong đó n là số tự nhiên khác 0, là một số nguyên âm, viết là α = –n. Các số nguyên dương, nguyên âm hoặc số 0 ta gọi chung là số nguyên. Tập tất cả các số nguyên ta kí hiệu là Z. Như vậy: Z = {n ∈ Q ⏐ n ∈ N hoặc –n ∈ N}. 3.7.6. Số thập phân (trong Q) Trong các tiểu chủ đề trước chúng ta đã xây dựng tập số thập phân không âm Q+10 (là tập con của Q+). Như vậy, mỗi số thập phân không âm r cũng là một số hữu tỉ, ta có r ∈ Q hay Q+10 ⊂ Q. Từ đó ta mở rộng khái niệm số thập phân trong tập số hữu tỉ Q như sau: Số hữu tỉ α gọi là số thập phân, nếu α ∈ Q+10 hoặc –a ∈ Q+10. Tập tất cả các số thập phân ta kí hiệu là Q10. Chẳng hạn: 4,017 và –4,017 là các số thập phân. CÁC TẬP HỢP SỐ 170 HOẠT ĐỘNG 1. XÂY DỰNG TẬP SỐ HỮU TỈ Q NHIỆM VỤ NHIỆM VỤ 1: Tìm hiểu nguyên nhân phải mở rộng tập số hữu tỉ không âm Q+. NHIỆM VỤ 2: Trình bày xây dựng tập số hữu tỉ Q, khái niệm số hữu tỉ dương, số hữu tỉ âm. HOẠT ĐỘNG 2. TÌM HIỂU CÁC PHÉP TOÁN VÀ QUAN HỆ THỨ TỰ TRONG Q NHIỆM VỤ NHIỆM VỤ 1: Phát biểu định nghĩa các phép toán cộng, trừ, nhân và chia các số hữu tỉ. NHIỆM VỤ 2: Phát biểu định nghĩa các quan hệ: , ≥ trong tập Q. HOẠT ĐỘNG 3. TÌM HIỂU ĐỊNH NGHĨA SỐ NGUYÊN VÀ SỐ THẬP PHÂN TRONG Q NHIỆM VỤ NHIỆM VỤ 1: Phát biểu định nghĩa số nguyên, tập số nguyên. NHIỆM VỤ 2: Phát biểu định nghĩa số thập phân trong Q. ĐÁNH GIÁ 1. Tìm tổng, hiệu, tích, thương của α và β, biết rằng: CÁC TẬP HỢP SỐ 171 a) α = 5 6 và β = 3 8 ; b) α = 4 7 và β = − 5 3 ; c) α = − 5 8 và β = 3 7 ; d) α = − 9 5 và β = − 7 10 . 2. Chứng minh rằng: a) Tổng của hai số hữu tỉ dương là một số hữu tỉ dương; b) Tổng của hai số hữu tỉ âm là một số hữu tỉ âm; c) Tích của hai số hữu tỉ cùng dấu là một số hữu tỉ dương; d) Tích của hai số hữu tỉ trái dấu là một số hữu tỉ âm. 3. Chứng minh rằng: a) Tích của hai số nguyên bằng 1 khi và chỉ khi hai số đó đều bằng 1 hoặc –1. b) Tích của hai số nguyên bằng –1 khi và chỉ khi một trong hai số đó bằng 1 và số thứ hai bằng –1. 4. Viết các số thập phân sau dưới dạng thu gọn: a) α = − 3 4 b) β = −15 4 c) γ = −127 40 . 5. Viết các số thập phân sau dưới dạng số hữu tỉ: a) α = –4,08, b) β = –6,09 c) γ = –13,15. CÁC TẬP HỢP SỐ 172 TIỂU CHỦ ĐỀ 3.8. TẬP SỐ THỰC THÔNG TIN CƠ BẢN 3.8.1. Sự cần thiết phải xây dựng tập số thực Cho đến nay, chúng ta đã mở rộng các tập hợp số theo sơ đồ sau N Q+ Q Nếu dừng lại ở tập số hữu tỉ Q thì: +) Nhiều phép khai căn không thực hiện được. Ta sẽ chứng minh không tồn tại số hữu tỉ là 2 . Thật vậy, giả sử 2 = p q , trong đó (p, q) = 1. Suy ra p2 = 2q2. Vậy p là số chẵn. Giả sử p = 2k với k ∈ N. Thay vào ta được q2 = 2k2. Suy ra q là số chẵn. Điều này vô lí vì (p, q) = 1. Ta có điều phải chứng minh. Tương tự 4 2 , 5 , 6 , ... đều không thể là số hữu tỉ. +) Nhiều phương trình không tìm được nghiệm hữu tỉ, chẳng hạn: x2 – 3 = 0 hoặc x4 – 4 = 0 v.v... +) Số đo của nhiều phép đo đại lượng không biểu diễn được, chẳng hạn, số đo của đường chéo một hình vuông có cạnh bằng 1 đơn vị độ dài; số đo của đường chéo hình chữ nhật có chiều dài là 2 đơn vị độ dài, chiều rộng là 1 đơn vị độ dài đều không phải là số hữu tỉ. – Vì những lí do trên đây, ta phải mở rộng tập số hữu tỉ Q thêm những số mới để đáp ứng yêu cầu phát triển của toán học và các ngành khoa học khác. 3.8.2. Xây dựng tập số thực Có nhiều cách xây dựng tập số thực, dưới đây ta trình bày cách xây dựng tương đối đơn giản: mở rộng tập số thập phân để được tập số thực. Trong các tiểu chủ đề trước, chúng ta đã xét hai loại số thập phân: số thập phân (có hữu hạn chữ số ở phần thập phân) và số thập phân vô hạn tuần hoàn. Ngoài hai loại số thập phân nói trên, ta còn gặp một loại “số thập phân” thứ ba: đó là những số thập phân có vô số chữ số ở phần thập phân, các chữ số ở phần thập phân không lặp đi lặp lại theo bất kì một quy luật nào. Mỗi số thập phân như thế ta gọi là số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Mỗi số thập phân vô hạn không tuần hoàn ta gọi là một số vô tỉ. Tập tất cả các số vô tỉ ta kí hiệu là I. Tập tất cả các số hữu tỉ và các số vô tỉ tạo thành tập các số thực, kí hiệu là R. Như vậy: R = Q ∪ I Ví dụ 8.1: +) 0,712; –4,008; 13,9 là các số thập phân CÁC TẬP HỢP SỐ 173 +) 3,9545454. . . = 3,9(54) hoặc –2,(18) là các số thập phân vô hạn tuần hoàn +) 0,4142135. . . . . . hoặc –2,6457513. . . . . . . . là các số thập phân vô hạn không tuần hoàn (hay còn gọi là các số vô tỉ) +) Mỗi số 0,72; –4,008; 13,9; 3,9(54); –2,(18); 0,4142135…; –2,6457513… là một số thực. 3.8.3. Các phép toán trong tập số thực Theo định nghĩa trên đây, mỗi số thực x có dạng x = a,x1x2x3 .................. xn .................. trong đó a là một số nguyên, xk ∈ {0, 1, 2,..., 9}. Giả sử x và y là hai số thực, trong đó: x = a,x1x2x3 .................. xn .................. và y = b,y1y2y3 .................. yn .................. Ta gọi a) Tổng gần đúng cấp k của x và y là số: s = a,x1x2x3. . . . . . . . . xk + b,y1y2y3. . . . . . . . . yk b) Hiệu gần đúng cấp k của x và y là số: u = a,x1x2x3. . . . . . . . xk – b,y1y2y3. . . . . . . . . . yk c) Tích gần đúng cấp k của x và y là số: p = a,x1x2x3. . . . . . . . xk x b,y1y2y3. . . . . . . . . . yk lấy gần đúng đến k chữ số thập phân d) Thương gần đúng cấp k của x và y là số: d = a,x1x2x3. . . . . . . . xk : b,y1y2y3. . . . . . . . . . yk lấy gần đúng đến k chữ số thập phân. Ví dụ 8.2: Cho x = 2,47 và y = 11,3. Tìm tổng, hiệu, tích và thương gần đúng cấp hai của x và y. Ta có: x + y = 2,47 + 11,30 = 13,77 x – y = 2,47 – 11,30 = –8,83 xy = 2,47 × 11,30 = 27,911 ≈ 27,91 x : y = 2,47 : 11,30 = 0,218584 ≈ 0,22. Ví dụ 8.3: CÁC TẬP HỢP SỐ 174 Cho x = 0,9545454. . . . . . . . và y = –7,2 Tìm tổng, hiệu, tích và thương gần đúng cấp 3 của x và y. Ta có x + y ≈ 0,954 – 7,200 = – 6,246 x – y ≈ 0,954 + 7,200 = 8,154 xy ≈ 0,954 × (–7,200) = – 6,8688 ≈ – 6,869 x : y ≈ 0,954 : (–7,200) = – 0,1325 ≈ – 0,133 Ví dụ 8.4: Cho x = – 2 và y = 1,603 Tìm tổng, hiệu, tích và thương gần đúng cấp 1 của x và y. Ta có – 2 = –1,4142135. . . . . . . . . x + y ≈ –1,4 + 1,6 = 0,2 x – y ≈ –1,4 – 1,6 = –3 xy ≈ –1,4 x 1,6 = –2,24 ≈ –2,2 x : y ≈ –1,4 : 1,6 = – 0,875 ≈ – 0, 9 Ví dụ 8.5: Cho x = – 3 và y = – 5 . Tìm tổng, hiệu, tích và thương gần đúng cấp 3 của x và y. Ta có – 3 = –1,7320508. . . . . . . . . và – 5 = –2,2360679. . . . . . . . . . . . x + y ≈ –1,732 – 2,236 = –3,968 x – y ≈ –1,732 + 2,236 = 0,504 xy ≈ (–1,732) × (–2,236) = 3,872752 ≈ 3,873 x: y ≈ (–1,732) : (–2,236) = 0,7745974 ≈ 0,775 CÁC TẬP HỢP SỐ 175 HOẠT ĐỘNG 1. XÂY DỰNG TẬP SỐ THỰC R NHIỆM VỤ NHIỆM VỤ 1: Nêu các nguyên nhân phải mở rộng tập số hữu tỉ Q. NHIỆM VỤ 2: Xây dựng tập số thực R trên cơ sở mở rộng tập số thập phân Q10. HOẠT ĐỘNG 2. TÌM HIỂU BỐN PHÉP TOÁN CỘNG, TRỪ, NHÂN VÀ CHIA TRONG TẬP SỐ THỰC R NHIỆM VỤ NHIỆM VỤ 1: Định nghĩa bốn phép toán cộng, trừ, nhân, chia trong tập số thực R. NHIỆM VỤ 2: Cho bốn ví dụ về thực hành bốn phép tính trong R. ĐÁNH GIÁ 1. Tìm tổng, hiệu, tích và thương gần đúng cấp 1 của hai số thực x và y, biết rằng: a, x = –5,008 và y = 0,15 b, x = –4,(027) và y = –2,6(3) c, x = 2 và y = – 3 d, x = 5 và y = – 3 2. Tìm tổng, hiệu, tích và thương gần đúng cấp 2 của x và y trong bài 1 3. Đúng ghi Đ, sai ghi S vào ô trống: (i) Tổng của hai số vô tỉ là một số vô tỉ (ii) Tổng của hai số vô tỉ cùng dấu là một số vô tỉ (iii) Tích của hai số vô tỉ là một số vô tỉ (iv) Tích của một số hữu tỉ với một số vô tỉ là một số vô tỉ (v) Tích của một số hữu tỉ khác 0 với một số vô tỉ là một số vô tỉ CÁC TẬP HỢP SỐ 176 THÔNG TIN PHẢN HỒI CHO CHỦ ĐỀ 3 TIỂU CHỦ ĐỀ 3.1. 1. a) S b) S c) Đ d) Đ 2. a) r = { }3 6 9; ; ;...5 10 12 b) r = ⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭7 14 21; ; ;...4 8 12 c) r = ⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭ 0 0 0; ; ;... 1 2 3 d) r = { 1 2 3; ; ;... 1 2 3 } TIỂU CHỦ ĐỀ 3.2. HOẠT ĐỘNG 1. 1. r + s có phân số đại diện là 29 41 rs có phân số đại diện là 1 9 . 2. a) Gợi ý: nhóm các phân số có cùng mẫu số với nhau trước khi cộng. Các câu b, c cũng tương tự. 3. a) ⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + +⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦ 13 1 1 1C C . 35 35 7 5 Các câu b, c cũng tương tự. HOẠT ĐỘNG 2. 1. a) r – s có phân số đại diện là 24 41 b) s – r không thực hiện được c) r : s có phân số đại diện là 9 1 . 2. Tương tự bài 2, hoạt động 1. TIỂU CHỦ ĐỀ 3.3 CÁC TẬP HỢP SỐ 177 1. Điền dấu a) = b) > c) = d) 2. Đ 4. >1 1. r s TIỂU CHỦ ĐỀ 3.4. 1. a) S b) Đ c) S d) S e) Đ f) Đ g) S h) S. 2. 40 5 3. 1 2 hoặc 2 1 4. 4 1 hoặc 1. 4 Tương tự, các bài 5, 6, 7 xem ví dụ mẫu. 8. > > >99 61 11 7. 100 62 12 8 TIỂU CHỦ ĐỀ 3.5. 4. a) Đ; Đ; Đ; S; S. TIỂU CHỦ ĐỀ 3.6. 3. a) S b) Đ c) S d) Đ e) Đ f) Đ. 4. 12,03; 12, 30; 20,13; 20,31; 21,03; 21,30; 23,01; 23,10; 30,12; 30,21; 31,02; 31,20; 32,01; 32,10; 102,3; 103,2; 120,3; 123,0; 201,3; 203,1; 210,3; 230,1; 301,2; 302,1; 310,2; 320,1. 5. Tương tự bài 4. CÁC TẬP HỢP SỐ 178 8. 63,79 9. Tương tự bài 8. 12. a) Dư 0,001 Câu b tương tự. 15. 48g nước. 16. 18,75g muối. TIỂU CHỦ ĐỀ 3.8. 1 và 2. Xem ví dụ mẫu. 3. (i) S (ii) S (iii) S (iv) S (v) Đ. CÁC TẬP HỢP SỐ 179 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Phan Hữu Chân – Nguyễn Tiến Tài. Số học và lôgíc toán. NXB Giáo dục, 1996. 2. Trần Diên Hiển – Nguyễn Tiến Tài – Nguyễn Văn Ngọc. Giáo trình Lí thuyết số. NXB ĐHSP, 2003. 3. Trần Diên Hiển – Nguyễn Văn Ngọc. Giáo trình Toán cao cấp 1. NXB ĐHSP, 2003. 4. Trần Diên Hiển – Nguyễn Xuân Liêm. Cơ sở lí thuyết tập hợp và lôgíc toán. (Sắp xuất bản). 5. Đỗ Đình Hoan và tập thể tác giả. Toán 1, 2, 3, 4, 5. NXB Giáo dục, 2003.