Giải tích _ĐH KHTN-ĐH Quốc Gia Tp.HCM

PDF by 1 Chương 1 TẬP HỢP CÁC SỐ THỰC Để khảo sát hàm số thực theo một biến số thực, nghĩa là để khảo sát các ánh xạ → f : D , trong đó D là một tập con không rỗng của , ta cần nắm vững các tính chất căn bản của tập các số thực. Do đó, trong phần 1, chúng ta giới thiệu tập thông qua một hệ thống các tiên đề. Từ các tiên đề, ta chứng minh được các tính chất thường dùng trên tập số thực để từ đó xây dựng được hai cặp hàm sơ cấp cơ bản : hàm lũy thừa / căn thức và hàm mũ / lôgarít. Một số khái niệm khác liên quan đến khoảng, lân cận, các hàm sơ cấp cơ bản ... cũng được giới thiệu một cách có hệ thống trong phần 2 nhằm cung cấp các công cụ cần thiết trong việc khảo sát các hàm số trong suốt phần còn lại của giáo trình. 1. TẬP CÁC SỐ THỰC Tập các số thực, trên đó có trang bị hai phép toán, phép cộng và phép nhân, và một quan hệ thứ tự, ký hiệu ( )+ ⋅ ≤ , , , , thỏa các tiên đề sau, trong đó a, b, c là các số thực bất kỳ, 1.1. Tiên đề cho các phép toán i) các phép toán đều có tính giao hoán : + = +a b b a ; ⋅ = ⋅a b b a ii) các phép toán đều có tính kết hợp : ( ) ( )+ + = + +a b c a b c ; ( ) ( )⋅ ⋅ = ⋅ ⋅a b c a b c iii) phép cộng có phần tử trung hòa, ký hiệu 0 và phép nhân có phần tử trung hòa, ký hiệu 1 : + =a 0 a ; ⋅ =a 1 a . iv) mọi số thực x đều có số đối, ký hiệu −x , và mọi số thực ≠x 0 đều có số nghịch đảo, ký hiệu −1x : ( )+ − =x x 0; −⋅ =1x x 1 . PDF by 2 v) phép nhân có tính phân bố đối với phép cộng : ( )+ = +a b c ab ac . 1.2. Tiên đề cho quan hệ thứ tự vi) quan hệ thứ tự có tính phản xạ : ≤a a vii) quan hệ thứ tự có tính phản đối xứng : nếu ≤a b và ≤b a thì =a b viii) quan hệ thứ tự có tính bắc cầu (truyền) : nếu ≤a b và ≤b c thì ≤a c ix) quan hệ thứ tự có tính toàn phần : hoặc ≤a b, hoặc ≤b a x) quan hệ thứ tự bền đối với phép cộng : nếu ≤a b thì + ≤ +a c b c xi) quan hệ thứ tự bền đối với phép nhân các số dương : nếu ≤a b và ≤0 c thì ≤ac bc . ª Từ các tính chất nêu trên người ta suy ra mọi tính chất còn lại về phép toán cũng như quan hệ thứ tự trên tập các số thực. Ta liệt kê một số tính chất thường dùng sau xii) ⋅ =a 0 0 ; ( )− ⋅ = −1 a a ; xiii) nếu =ab 0 thì =a 0 hay =b 0; xiv) Phép trừ : phương trình + =x a b có nghiệm duy nhất ( )= + − ≡ −x b a b a ; xv) Phép chia : phương trình ⋅ =a x b , với ≠a 0, có nghiệm duy nhất −= ⋅ ≡1 bx b a a . Ngoài ra, do các phép toán đều có tính kết hợp, ta có thể định nghĩa tổng cũng như tích một số hữu hạn các số thực. 1.3. Định nghĩa. Với dãy các số thực 1a , 2a , ..., na , ... Tổng n số hạng đầu của dãy này, + + + +0 1 2 na a a ... a , được viết tắt bằng ký hiệu ∑ như sau = + + + =∑n1 2 n k k 1 a a ... a a PDF by 3 (đọc là “tổng các ka từ =k 1 đến =k n ”). Trong cách viết này, chỉ số k của ka được gọi là chỉ số câm, việc lựa chọn ký tự cho chỉ số câm không làm ảnh hưởng đến giá trị của tổng. Chẳng hạn = = = = = = + +∑ ∑ ∑3 3 3k i j 1 2 3 k 1 i 1 j 1 a a a a a a Hơn nữa, ta có thể thay đổi vùng giá trị của các chỉ số với điều kiện duy nhất là giá trị chỉ số đầu phải nhỏ hơn hay bằng giá trị của chỉ số cuối. Chẳng hạn = = + + +∑5 k 2 3 4 5 k 2 a a a a a nhưng ký hiệu = ∑2k 5 ka không được xác định. Tương tự, ta viết = ⋅ ⋅ ⋅ =∏ n 1 2 n k k 1 a a ... a a (đọc là “tích các ka từ =k 1 đến =k n ”). Ví dụ 1. = = + + + + =∑n k 1 k 1 2 3 ... n tổng n số nguyên tự nhiên đầu tiên; = = + + + +∑n k 1 1 1 1 11 ... k 2 3 n ; PDF by 4 = = + + + +∑n k 2 n k 0 q 1 q q ... q , với quy ước =0q 1 và =1q q ; = + = + + + + + =∑n k 0 (2k 1) 1 3 5 ... (2n 1) tổng +n 1 số nguyên lẻ đầu tiên; = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ≡∏ n k 1 k 1 2 3 ... n n! (đọc là “n giai thừa”); = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ≡∏ 1442443 n n n lầnk 1 x x x x ... x x . Chú ý : Tổng hữu hạn = ∑n k k 1 a và tích hữu hạn = ∏ n k k 1 a được định nghĩa bằng quy nạp trên n như sau : Với =n 1 , đặt = =∑1 k 1 k 1 a a ; = =∏ 1 k 1 k 1 a a và + + = = = +∑ ∑n 1 nk k n 1 k 1 k 1 a a a và + + = = ⎛ ⎞⎜ ⎟ = ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠ ∏ ∏ n 1 n k k n 1 k 1 k 1 a a a . Chẳng hạn, ta có = = =∑0 k 0 k 0 q q 1 và + + = = = +∑ ∑n 1 nk k n 1 k 0 k 0 q q q . Đặc biệt, PDF by 5 = = =∏ 1 k 1 1! k 1 và ( ) ( ) ( ) + = = ⎛ ⎞⎜ ⎟+ = = + = ⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠ ∏ ∏ n 1 n k 1 k 1 n 1 ! k k n 1 n! n 1 , = = =∏ 1 1 k 1 x x x và + + = = ⎛ ⎞⎜ ⎟ = = = ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠ ∏ ∏ n 1 n n 1 n k 1 k 1 x x x x x x . Nhắc lại rằng ta có quy ước =0! 1 và =0x 1, với mọi ∈ x , và với mọi ∈ n , =k 0,1,...,n , ta định nghĩa ( )= − k n n!C k! n k ! . 1.4. Mệnh đề. i) Nếu λ là số thực độc lập với các chỉ số của tổng hữu hạn, ta có = λ = λ∑n k 1 n ; = = λ = λ∑ ∑n nk k k 1 k 1 a a PDF by 6 ii) ( ) = = = + = +∑ ∑ ∑n n nk k k k k 1 k 1 k 1 a b a b ; ( ) = = = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⋅ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∏ ∏ ∏ n n n k k k k k 1 k 1 k 1 a b a b iii) = = = ⎡ ⎤⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎣ ⎦ ∑ ∑∑ 2n n n k i k k 1 i 1 k 1 a a a iv) Với ( ) = = ij i 1,2,...,n j 1,2,...,m a là họ gồm ×n m số thực, ta có = = = = =∑∑ ∑∑n m m nij ij i 1 j 1 j 1 i 1 a a v) = =0 nn nC C 1 , với mọi ∈ n và − ++ = k k 1 k n n n 1C C C , với mọi ∈ n và =k 1,2,...,n . Chứng minh. Chú ý rằng tổng cũng như tích hữu hạn được định nghĩa bằng quy nạp trên n. Do vậy, một cách tự nhiên là ta chứng minh các tính chất trên bằng quy nạp. Chẳng hạn, với đẳng thức iii), khi =n 1 , ta có = = = ⎡ ⎤⎢ ⎥ = =⎢ ⎥⎣ ⎦ ∑ ∑∑ 21 1 1 2 k i k 1 k 1 i 1 k 1 a a a a , nghĩa là đẳng thức iii) đúng khi =n 1. Giả sử đẳng thức iii) đúng với một ∈ n , nghĩa là = = = ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎣ ⎦ ∑∑ ∑ 2n n n i k k i 1 k 1 k 1 a a a . Khi đó, ta có PDF by 7 + + + + = = = = ⎛ ⎞⎜ ⎟ = +⎜ ⎟⎝ ⎠ ∑∑ ∑ ∑n 1n 1 n 1 ni k i k i n 1 i 1 k 1 i 1 k 1 a a a a a a + + + + = = = ⎛ ⎞⎜ ⎟ = + + +⎜ ⎟⎝ ⎠ ∑ ∑ ∑n n ni k i n 1 n 1 k n 1 n 1 i 1 k 1 k 1 a a a a a a a a + + + = = = = = + + +∑∑ ∑ ∑n n n n 2i k n 1 i n 1 k n 1 i 1 k 1 i 1 k 1 a a a a a a a + + + = = ⎡ ⎤⎢ ⎥= + +⎢ ⎥⎣ ⎦ ∑ ∑ 2n 1 n 2 k n 1 k n 1 k 1 k 1 a 2a a a + + = = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ∑ ∑ 2 2n n 1 k n 1 k k 1 k 1 a a a , nghĩa là đẳng thức iii) cũng đúng cho +n 1 . Vậy do phép chứng minh quy nạp, đẳng thức iii) đúng với mọi ∈ n . Chứng minh các đẳng thức còn lại được coi như bài tập. ª 1.5. Định lý. Với ∈ a, b và ∈ n , ta có i) Công thức khai triển nhị thức Newton ( ) − = + =∑nn k n k kn k 0 a b C a b ii) ( ) − − = − = − ∑nn n n k k 1 k 1 a b a b a b Chứng minh. i) Quy nạp trên n. Khi =n 1, đẳng thức PDF by 8 ( ) − − − = + = + = + =∑n1 0 0 1 0 1 1 1 1 k k 1 k1 1 1 k 0 a b a b C a b C a b C a b đúng. Giả sử đẳng thức i) đúng với một ∈ n , nghĩa là ( ) − = + =∑nn k n k kn k 0 a b C a b . Khi đó, ta có ( ) ( ) ( ) ( )+ − = + = + + = + ∑nn 1 n k n k kn k 0 a b a b a b a b C a b ( ) ( − −= + + + +0 n 0 0 1 n 1 1n na b C a b C a b ... ( )− −− − − ⎞+ + ⎟⎠ n n 1n 1 n 1 n n n n n nC a b C a b ( )+ − −+ − + − − −= + + + +n 1 n 10 n 1 0 0 1 n 1 1 1 n 1 n 1n n nC a b C a b ... C a b + − − + − ++ + + +n n 1 n n 0 n 0 0 1 1 n 1 1 1n n nC a b C a b C a b ( )− −− − + − ++ + +n n 1n 1 n 1 1 n n n n 1n n... C a b C a b ( )+ − + −= + + + +0 n 1 0 0 1 0 n 1 1 1n n nC a b C C a b ... ( )− + − − ++ + +n n 1 n 1 n n n n n n 1n n nC C a b C a b + − + −+ += + + + 0 n 1 0 0 1 n 1 1 1 n 1 n 1C a b C a b ... ( )+ − ++ − + ++ ++ + n 1 n 1n n 1 n n n 1 n 1n 1 n 1C a b C a b PDF by 9 + + − + = =∑n 1 k n 1 k kn 1 k 0 C a b , nghĩa là đẳng thức i) cũng đúng cho +n 1 . ii) ( ) − − = − =∑n n k k 1 k 1 a b a b ( ) ( − − − −= − + + +n 1 1 1 n 2 2 1a b a b a b ... ( ) ( )− − − − − − ⎞+ + ⎟⎠ n n 1 n 1 1 n n n 1a b a b − − −= + + + +n n 1 2 n 2 n 1a a b ... a b ab ( )− − −− + + + +n 1 n 2 2 n 1 na b a b ... ab b = −n na b . ª Bằng cách viết ( )− = + −a b a b và ( )+ = − − nn n na b a b khi n là số nguyên lẻ, ta được 1.6. Hệ quả. Với ∈ a, b và ∈ n , ta có i) ( ) ( ) − = − = −∑nn k k n k kn k 0 a b 1 C a b . ii) Khi n là số lẻ, ta có ( ) ( ) − − − = + = + −∑n k 1n n n k k 1 k 0 a b a b 1 a b . 1.7. Định lý. i) Bất đẳng thức Cauchy : Với ∈ a, b , ≥a, b 0 , ta có PDF by 10 + ≥a b ab 2 . Tổng quát, với các số thực 1a , 2a , ..., ∈ na sao cho ≥1 2 na ,a ,...,a 0 , ta có + + + ≥ ⋅ ⋅ ⋅1 2 n n 1 2 n a a ... a a a ... a n . ii) Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz : Với các số thực 1a , 2a , ..., na , 1b , 2b , ..., ∈ nb , ta có ( ) ( ) ( )+ + + ≤ + + + + + +2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 na b a b ... a b a a ... a b b ... b . iii) Bất đẳng thức Bernoulli : Với ≥ −a 1, ta có ( )+ ≥ +n1 a 1 na , với mọi ∈ n . Chứng minh. i) Từ bất đẳng thức ( )− = − + ≥2a b a 2 ab b 0 , ta suy ra + ≥a b ab 2 . Giả sử bất đẳng thức + + + ≥ ⋅ ⋅ ⋅1 2 n n 1 2 n a a ... a a a ... a n đúng với mọi dãy hữu hạn số thực dương ≥1 2 na ,a ,...,a 0 . Với dãy + ≥1 2 n n 1a ,a ,..., a ,a 0 , ta chú ý rằng bất đẳng thức PDF by 11 + + + + + + ≥ ⋅ ⋅ ⋅1 2 n 1 n 1 1 2 n 1 a a ... a a a ... a n hiển nhiên đúng khi tồn tại một số hạng =ia 0 . Do đó, ta có thể giả sử + >1 2 n n 1a ,a ,..., a ,a 0. Khi đó, bằng cách đặt + + = ⋅ ⋅ ⋅ 1 1 n 1 1 2 n 1 a b a a ... a , + + = ⋅ ⋅ ⋅ 2 2 n 1 1 2 n 1 a b a a ... a , ... + + + + = ⋅ ⋅ ⋅ n 1 n 1 n 1 1 2 n 1 a b a a ... a , ta được ( ) − +⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =1 2 n 1 n n 1b b ... b b b 1 và do giả thuyết quy nạp, − ++ + + + ⋅ ≥1 2 n 1 n n 1b b ... b b b n . Từ đó suy ra ++ + + + =1 2 n n 1b b ... b b ( ) ( )+ += + + + − ⋅ − + ⋅1 2 n n 1 n n 1b b ... 1 b b 1 b b +≥ + + + ⋅ + = +1 2 n n 1b b ... b b 1 n 1 , nghĩa là + + + + + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 1 2 n 1 n 1 1 2 n 1 1 2 n 1 a a ... a a ... a a a ... a + + + + + + + ≥ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ n n 1 n 1 n 1 1 2 n 1 1 2 n 1 a a n 1 a a ... a a a ... a PDF by 12 và bất đẳng thức Cauchy cho trường hợp +n 1 số thực được chứng minh. ii) Dùng quy nạp trên n. Khi =n 2 , ta có ( ) ( ) ( ) + = + + ≤ + + + ≤ + + 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 a b a b a b a b 2a b a b a b a b a b a b a a b b Giả sử bất đẳng thức ( ) ( ) ( )+ + + ≤ + + + + + +2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 na b a b ... a b a a ... a b b ... b đúng với mọi 1a , 2a , ..., na , 1b , 2b , ..., ∈ nb . Khi đó, với 1a , 2a , ..., na , +n 1a , 1b , 2b , ..., nb , + ∈ n 1b , ta có ( )+ ++ + + + 21 1 2 2 n n n 1 n 1a b a b ... a b a b ( )= + + + +21 1 2 2 n na b a b ... a b ( ) + + + ++ + + + + 2 21 1 2 2 n n n 1 n 1 n 1 n 12 a b a b ... a b a b a b ( ) ( )≤ + + + + + + +2 2 2 2 2 21 2 n 1 2 na a ... a b b ... b ( ) ( )+ + + ++ + + + + +2 2 2 2 2 2 2 21 n 1 1 n 1 2 n 1 2 n 1a b b a a b b a ... ( )+ + + ++ + +2 2 2 2 2 2n n 1 n n 1 n 1 n 1a b b a a b ( ) ( )≤ + + + + + + +2 2 2 2 2 21 2 n 1 2 na a ... a b b ... b ( ) ++ + + + +2 2 2 21 2 n n 1a a ... a b ( ) + + ++ + + + +2 2 2 2 2 21 2 n n 1 n 1 n 1b b ... b a a b PDF by 13 ( ) ( )+ += + + + + + + + +2 2 2 2 2 2 2 21 2 n n 1 1 2 n n 1a a ... a a b b ... b b iii) Cũng dùng quy nạp trên n. Bất đẳng thức đúng khi =n 1 do ( )+ = + ≥ + ⋅11 a 1 a 1 1 a . Giả sử bất đẳng thức ( )+ ≥ +n1 a 1 na đúng với một ∈ n . Ta suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) ( )++ = + + ≥ + +n 1 n1 a 1 a 1 a 1 a 1 na ( ) ( )= + + + ≥ + +21 n 1 a na 1 n 1 a . Vậy, do phép chứng minh quy nạp, bất đẳng thức Bernoulli đúng với mọi số nguyên ∈ n . ª Với tập các số hữu tỷ, ta đã biết rằng không tồn tại ∈ x sao cho =2x 2 . Một cách trực giác, tồn tại các “lỗ hổng” giữa các số hữu tỷ. Cụ thể, với ( ) ( ){ }= ∈ > ∧ < 2A x x 0 x 2 và ( ) ( ){ }= ∈ > ∧ > 2B x x 0 x 2 , ta có cả hai đều là những tập con không rỗng của thỏa ∀ ∈ ∈ ≤x A, y B, x y nhưng không tồn tại ∈ a giữa A và B. Điều này có nghĩa là có một “lỗ hổng” giữa A và B. Ngược lại với , ta có tiên đề sau, gọi là tiên đề đầy đủ, cho tập các số thực như sau PDF by 14 1.8. Tiên đề đầy đủ. Cho A và B là hai tập con không rỗng của sao cho ∀ ∈ ∈ ≤x A, y B, x y . Khi đó, tồn tại số thực α sao cho ∀ ∈ ∈ ≤ α ≤x A, y B, x y . Với tiên đề đầy đủ này, người ta có thể biểu diễn tập các số thực bằng một đường thẳng, gọi là đường thẳng thực : Mỗi điểm biểu diễn một số thực và ngược lại, mỗi số thực được biểu diễn bằng một điểm trên đường thẳng thực. Chẳng hạn, xét ( ) ( ){ }= ∈ > ∧ < 2A x x 0 x 2 và ( ) ( ){ }= ∈ > ∧ > 2B x x 0 x 2 . Chúng là những tập con không rỗng của thỏa ∀ ∈ ∈ ≤x A, y B, x y và do đó, dùng tiên đề đầy đủ, tồn tại số thực α ∈ sao cho ∀ ∈ ∈ ≤ α ≤x A, y B, x y . Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng rằng α =2 2 . Nếu α 0 sao cho ( )α + ε <2 2 . Như vậy α + ε ∈ A và ta nhận được điều vô lý do ∀ ∈ ≤ αx A, x . Ngược lại, nếu α >2 2 , ta có thể chọn ε > 0 sao cho α − ε > 0 và ( )α − ε >2 2 . Điều này vô lý vì ∀ ∈ α ≤y B, y . Tóm lại, ta phải có α =2 2 và ta ký hiệu α ≡ ∈ 2 . ª Tổng quát, PDF by 15 1.9. Định lý. Cho ∈ x , >x 0 và ∈ n . Tồn tại duy nhất số thực ∈ y , >y 0 , sao cho =ny x và ta ký hiệu ≡ ny x . Chứng minh. Đặt ( ) ( ){ }= ∈ > ∧ < nA a a 0 a x và ( ) ( ){ }= ∈ > ∧ > nB a a 0 a x . Chúng là những tập con không rỗng của thỏa ∀ ∈ ∈ ≤x A, y B, x y . Do tiên đề đầy đủ, tồn tại (duy nhất) ∈ y , >y 0, sao cho ∀ ∈ ∈ ≤ ≤a A,b B,a y b . Nếu 0 sao cho ( )+ ε <ny x , ta được + ε ∈y A . Điều này vô lý vì ∀ ∈ ≤a A,a y . Ngược lại, nếu >ny x , thì bằng cách chọn ε > 0 sao cho − ε >y 0 và ( )− ε >ny x , ta nhận được điều vô lý do ∀ ∈ ≤b B, y b. Từ đó suy ra =ny x và định lý được chứng minh. ª Nhận xét : Định lý 1.9 cho thấy hai hàm số ( ) ( )+∞ → +∞ a n f : 0, 0, x x và PDF by 16 ( ) ( )+∞ → +∞ a n g : 0, 0, x x với ∈ n , là cặp hàm ngược của nhau, ∀ > = ⇔ = nnx, y 0, x y y x . ª Bây giờ, xét các tập con của , ( )⎧ ⎫⎪ ⎪= + ∈⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭ n1 n A 1 n ; ( ) +⎧ ⎫⎪ ⎪= + ∈⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭ n 11 n B 1 n . Dễ dàng chứng minh được rằng ∀ ∈ ∈ ≤x A, y B, x y . Do tiên đề đầy đủ, tồn tại số thực, ký hiệu là e, sao cho ∀ ∈ ∈ ≤ ≤x A, y B,x e y , và điều này có nghĩa là, với mọi ∈ n , ( ) ( ) ++ ≤ ≤ +n n 11 1n n1 e 1 . Chú ý rằng số e là duy nhất do khoảng cách giữa e và na luôn nhỏ hơn ( ) ( ) ( )++ − + = + ≤n 1 n n1 1 1 1 4n n n n n1 1 1 mà đại lượng này sẽ có thể nhỏ tùy ý khi n đủ lớn. Do đó, ta gọi e là giới hạn của dãy số ( )na khi n tăng ra vô cùng, ký hiệu →∞ = nn e lim a (xem chương 2). Ta được định nghĩa cho số Néper PDF by 17 1.10. Định nghĩa. ( ) →∞ = + n1 nn e lim 1 . Tiếp theo, với >a 1 và ∈ x , = m n x , trong đó ∈ m , ∈ n , ta có thể định nghĩa = np ma a . Khi ∈ x \ , với { }= ∈ <pA a p ,p x và { }= ∈ >pB a p ,p x , ta có ∀ ∈ ∈ ≤a A,b B,a b . Do tiên đề đầy đủ, tồn tại (duy nhất) α ∈ sao cho ∀ ∈ ∈ ≤ α ≤a A,b B,a b , và ta có thể định nghĩa = αxa . Như vậy, hàm số → a x f : x a được hoàn toàn xác định. Ngược lại, với >x 0, { }= sB a s x , ta có A và B là các tập con không rỗng của thỏa ∀ ∈ ∈ ≤s A, t B,s t . Cũng do tiên đề đầy đủ, tồn tại (duy nhất) α ∈ sao cho ∀ ∈ ∈ ≤ α ≤s A, t B,s t , mà ta dễ dàng chứng minh rằng α =a x . Đặt α = alog x và do vậy, hàm số PDF by 18 ( )+∞ → a a f : 0, x log x được hoàn toàn xác định. Như vậy, do định nghĩa, hai hàm số ( )→ +∞ a x f : 0, x a và ( )+∞ → a a g : 0, x log x cũng là một cặp hàm ngược, ∀ ∈ > = ⇔ = xax , y 0, log y x a y . ª 2. TẬP HỢP ( )+ ⋅ , , , 2.1. Hàm giá trị tuyệt đối . Giá trị tuyệt đối của số thực x được xác định bởi { }= −x max x, x , nghĩa là ⎧ ≥ = ⎨ − <⎩ x khi x 0x x khi x 0 Từ định nghĩa, ta suy ra =x 0 nếu và chỉ nếu =x 0; ≤x a nếu và chỉ nếu − ≤ ≤a x a ; PDF by 19 ≥x a nếu và chỉ nếu ≥x a hay ≤ −x a . 2.2. Mệnh đề. Với mọi số thực x và y, i) = ⋅xy x y ii) + ≤ +x y x y iii) − ≤ −x y x y Chứng minh. i) Từ tính chất ⎧ ≥ = ⎨ − <⎩ x khi x 0x x khi x 0 ta chứng minh được đẳng thức i) bằng cách xem xét bốn trường hợp xảy ra trên dấu của x và y. Chẳng hạn, khi ≥x 0 và <y 0, ta có ( )= − = ⋅ − = ⋅xy xy x y y x . ii) Dễ thấy rằng ∀ ∈ ≤x , x x và − ≤x x , mà từ đó, ta được các bất đẳng thức x x y y x y x y ≤ ≤ + ≤ + và ( ) − ≤ − ≤ − + ≤ + x x y y x y x y Điều này cho thấy +x y lớn hơn mọi phần tử của ( ){ }+ − +x y, x y . Do đó PDF by 20 ( ){ }+ = + − + ≤ +x y max x y, x y x y . iii) Bằng cách viết ( )= − +x x y y , do ii), ta suy ra ≤ − +x x y y và do đó − ≤ −x y x y . Tương tự, ta cũng có − ≤ − = − − = − ⋅ − = −y x y x ( 1)(x y) 1 x y x y . Tóm lại, ta được − ≤ −x y x y ( )− − ≤ −x y x y và do đó − ≤ −x y x y . ª 2.3. Khoảng trong và lân cận của một điểm Các tập con sau của , gọi là các khoảng, đóng một vai trò quan trọng trong phép tính vi tích phân. Với ∈ a, b , ( ) { }= ∈ < <a, b x a x b gọi là khoảng mở với các cận a và b; { }⎡ ⎤ = ∈ ≤ ≤⎣ ⎦ a, b x a x b , gọi là khoảng đóng, hay đoạn, với các cận a và b; ) { }⎡ = ∈ ≤ <⎣ a, b x a x b ; ( { }⎤ = ∈ < ≤⎦ a, b x a x b ; ( ) { }+∞ = ∈ <a, x a x ; ) { }⎡ +∞ = ∈ ≤⎣ a, x a x ; ( ) { }−∞ = ∈ <, a x x a ; ( { }⎤−∞ = ∈ ≤⎦ ,a x x a ; PDF by 21 ( )−∞ +∞ = , . Chú ý i) Dễ thấy rằng ( ) ( )⎤ ⎡= = = ∅⎦ ⎣a,a a,a a,a và { }⎡ ⎤ =⎣ ⎦a,a a . Ngoài ra, nếu <b a , thì ( ) ( )⎤ ⎡ ⎡ ⎤= = = = ∅⎦ ⎣ ⎣ ⎦a, b a, b a, b a, b . ii) Chín loại khoảng của nêu trên có thể đặc trưng bằng một tính chất chung như sau : Cho I là một tập con của . Ta có I là một khoảng của nếu và chỉ nếu ( )∀ ∈ ⊂a, b I, a, b I iii) Các khoảng mở của gồm ( )a, b , ( )+∞a, , ( )−∞,a và ( )−∞ +∞, . Các khoảng đóng của gồm ⎡ ⎤⎣ ⎦a, b , )⎡ +∞⎣a, , ( ⎤−∞ ⎦,a và ( )−∞ +∞, . Khi I là một khoảng mở của , ta có ( )∀ ∈ ∃α > − α + α ⊂x I, 0, x , x I, trong đó ( )− α + αx , x được gọi là khoảng mở tâm a, bán kính α > 0 . Dễ thấy rằng tính chất này không đúng cho khoảng đóng ⎡ ⎤⎣ ⎦a, b vì với =x a , không có khoảng ( )− α + αx , x nào có thể chứa trong ⎡ ⎤⎣ ⎦a, b . 2.4. Biểu diễn tham số cho khoảng ( )a, b Xét khoảng ( )a, b , <a b. Ta có ( )∈ ⇔ < < ⇔ < − < −x a, b a x b 0 x a b a ( )− −⇔ < < ⇔ = λ ∈ − − x a x a0 a 0,1 b a b a ( )⇔ = λ + − λx b 1 a , ( )λ ∈ 0,1 PDF by 22 ( )⇔ = μ + − μx a 1 b , ( )μ ∈ 0,1 ⇔ = α + βx a b , ( )α β ∈, 0,1 , α + β = 1 Từ tính chất nêu trên, người ta gọi cách viết ( ) ( ) ( ){ }= μ + − μ μ ∈a, b a 1 : 0,1 là biểu diễn tham số của khoảng ( )a, b . Điều này có nghĩa là mọi phần tử ( )∈x a, b đều có thể viết dưới dạng ( )= μ + − μx a 1 b , với ( )μ ∈ 0,1 . Tương tự, mọi phần tử ⎡ ⎤∈ ⎣ ⎦x a, b đều có thể viết dưới dạng ( )= μ + − μx a 1 b , ⎡ ⎤μ ∈ ⎣ ⎦0,1 . 2.5. Bất phương trình − 0 Bất phương trình dạng này xuất hiện nhiều trong phép tính vi tích phân. Dễ dàng tìm thấy rằng : x thỏa bất phương trình − < εx a nếu và chỉ nếu ( )∈ − ε + εx a ,a . Giá trị −x a còn được gọi là khoảng cách giữa x và a. 2.6. Lân cận của một điểm trong Trong phép tính vi tích phân, người ta thường phát biểu rằng một tính chất nào đó là “đúng trên một lân cận của điểm ∈ a ”. Phát biểu này được phát biểu lại một cách chính xác như sau : “tồn tại α > 0 sao cho tính chất đó đúng trên khoảng mở ( )− α + αa ,a ”. Chẳng hạn, ta nói hàm số ≡a ex ln x log x xác định trên một lân cận của − = 3a 10 do nó được hoàn toàn xác định trên khoảng mở ( )− −− +4 4a 10 ,a 10 ; hàm số ax x không xác định trên một lân cận của =a 0 do với bất kỳ α > 0 , hàm số này không xác định trên khoảng mở ( )−α α, ; Hàm số ax ln x xác định trên một lân cận của =a 0 nhưng không xác định tại =a 0 ; chẳng hạn nó xác định trên ( ) { }−1,1 \ 0 ; hàm số − a 1 x 2 x xác định trên một lân cận của =a 2 nhưng không xác định tại =a 2 . PDF by 23 Bài tập 1. Chứng minh các đẳng thức sau a) = =0 nn nC C 1 , với mọi ∈ n ; b) − ++ = k k 1 k n n n 1C C C , với mọi ∈ n , =k 1,...,n ; c) − − − − − = + +k k 2 k 1 kn n 2 n 2 n 2C C 2C C , với mọi ∈ n , = −k 2,...,n 2 ; d) −+ + + + =0 1 n 1 n nn n n nC C ... C C 2 ; e) − −− + + − + − =0 1 n 1 n 1 n nn n n nC C ... ( 1) C ( 1) C 0. 2. Cho a, b là hai số thực bất kỳ. Chứng tỏ a) ⋅ ≤ +2 22 ab a b b) + ≤ + ≤ +2 2 2 2a b a b 2 a b c) { } + + += a b a bmax a, b 2 d) { } + − += a b a bmin a, b 2 3. Chứng minh mệnh đề 1.4. 4. Cho >a 1. Chứng minh rằng a) với mọi ∈ n , ( )− ≥ −na 1 n a 1 . b) với mọi ∈ n , ( )− ≥ −1/na 1 n a 1 . PDF by 24 5. Cho ( )= + n1n na 1 và ( ) += + n 11n nb 1 , ∈ n . a) Chứng tỏ rằng +≤n n 1a a và + ≤n 1 nb b , với mọi ∈ n . b) Chứng minh ≤n ma b , với mọi ∈ m,n .