Giải tích 1 - Chương 4: Phương trình vi phân cấp 1
Cách khác: Nghiệm tổng quát : u x y C ( , )
Với du x y P x y dx Q x y dy ( , ) ( , ) ( , )
( , ) u x y P x y dx g y ( , ) ( , ) ( )
Đạo hàm hai vế theo y (coi x là hằng)
uy P x y dx g y ( , ) ( ) 'y ' Q x y ( , )
g y '( ) g y ( ) u x y ( , )
55 trang |
Chia sẻ: nguyenlam99 | Lượt xem: 955 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Giải tích 1 - Chương 4: Phương trình vi phân cấp 1, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng
-------------------------------------------------------------------------------------
Giải tích 1
Chương 4: Phương trình vi phân cấp 1.
• Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (11/2008)
dangvvinh@hcmut.edu.vn
Nội dung
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
I – Định nghĩa.
1 – Phương trình vi phân tách biến
2 – Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1
3 – Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1
4 – Phương trình vi phân toàn phần
II – Các dạng phương trình vi phân:
5 – Phương trình Bernoulli
I. Các khái niệm cơ bản
Cho mạch điện như hình bên.
Điện thế tại nguồn E ở thời điểm t: E(t) volt
Điện trở R (Ohm), cuộn cảm L (Henry)
Dòng điện chạy qua ở thời điểm t là I(t) ampe
Theo định luật Ohm: dòng điện tại thời điểm t được
tính bởi công thức:
( )
( ) ( )
dI t
L RI t E t
dt
Ptrình vi phân cấp 1.
I. Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa
Phương trình chứa đạo hàm hay vi phân của một hoặc
một vài hàm cần tìm được gọi là phương trình vi phân.
Phương trình chứa đạo hàm của một biến độc lập gọi
là phương trình vi phân thường (Differential Equation)
Phương trình chứa đạo hàm riêng gọi là phương trình vi
phân đạo hàm riêng (Partial Differential equation PDE).
I. Các khái niệm cơ bản
phương trình vi phân cấp 3.
Định nghĩa
Cấp cao nhất của đạo hàm trong phương trình vi phân
gọi là cấp của phương trình vi phân.
3 2
2
3
3 x
d y d y
e
dxdx
'
'' ( ) 3 sin
y
y x x x
x
phương trình vi phân cấp 2
phương trình đạo hàm riêng cấp 2
2 2
2
1
u u
x yx
I. Các khái niệm cơ bản
Nếu giải ra được : ( ) ' ( 1)( , , ,..., )n ny x y y y ( )ny
Định nghĩa
Dạng tổng quát của phương trình vi phân cấp n
' ( )( , , ,..., ) 0 (1)nF x y y y
2 ' 3(3 ) ( 2 ) 0yy x e y y x Ví dụ:
2 2 22x xy dy x y dx Ví dụ:
Giải ra được:
2 2
'
2
2dy x y
y
dx x xy
I. Các khái niệm cơ bản
, y Cx C R
Định nghĩa
Nghiệm của phương trình (1) trên khoảng I là một hàm
xác định trên I sao cho khi thay vào (1) ta được
đồng nhất thức.
( )y x
Đồ thị của nghiệm gọi là đường cong tích phân ( )y x
Ví dụ: Phương trình vi phân có nghiệm là '
1
0y y
x
vì thỏa phương trình vi phân đã cho.
I. Các khái niệm cơ bản
Nếu giải ra được :
Định nghĩa
Dạng tổng quát của phương trình vi phân cấp 1
'( , , ) 0 (2)F x y y
' ( , ) (3)y x y'y
Ví dụ: Các phương trình vi phân cấp 1:
' xy y xe
2 2 2( ) ( ) 0y x dy xy y dx
2' '1y xy y
dạng (3)
dạng (3)
phương trình Clairaut, dạng (2)
I. Các khái niệm cơ bản
Bài toán Cauchy
Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm của phương
trình (2) hoặc (3) thỏa điều kiện ban đầu (điều kiện biên)
0 0( ) (4)y x y
Nghiệm của phương trình (2) hoặc (3) là họ đường cong
tích phân phụ thuộc hằng số C.
Nghiệm của bài toán Cauchy là đường cong tích phân
đi qua điểm cho trước
0 0( , )x y
nghiệm của phương trình là họ đương cong tích phân:
I. Các khái niệm cơ bản
3, y Cx C R
Ví dụ: Phương trình vi phân '
3
0y y
x
Xét bài toán Cauchy '
3
0, (1) 3 y y y
x
Ta có 33 1C 3C
Nghiệm của bài toán Cauchy 33y x
I. Các khái niệm cơ bản
Đường cong tích phân trong vài trường hợp
33y x
3y x
3y x
32y x
Nghiệm của bài toán
Cauchy là đường
cong màu đỏ.
Đường cong qua
điểm (1,3).
I. Các khái niệm cơ bản
Nếu hàm y = f(x) liên tục trong miền mở , thì
Định lý (tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy)
với mọi điểm , bài toán Côsi (3) với điều kiện
(4) có nghiệm xác định trong lân cận của x0.
0 0,x y D
2D R
Ngoài ra nếu đạo hàm riêng cũng liên tục trong D, thì
f
y
nghiệm này là duy nhất.
Nghiệm của phương trình cấp 1 phụ thuộc hằng C.
I. Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa
Nghiệm tổng quát của phương trình cấp 1: ( , )y x C
Nghiệm riêng là nghiệm thu được từ nghiệm tổng quát
bằng cách cho C hằng số cụ thể ( ví dụ nghiệm bài toán
Côsi).
Nghiệm kỳ dị là nghiệm không thể thu được từ nghiệm
tổng quát cho dù C lấy bất kỳ giá trị nào.
Giải phương trình vi phân là tìm ra các nghiệm của nó.
I. Các khái niệm cơ bản
Trong chương trình này, ta giải phương trình theo
cách không đầy đủ, không chặt chẽ (ví dụ: khi chia
cho y không biết y có triệt tiêu không).
Để khảo sát nghiệm một cách đầy đủ, các em có thể
tham khảo sách Jean – Marie Monier, giải tích tập 2 và 4
II.1 Phương trình vi phân tách biến
Dạng ( ) ( ) 0f x dx g y dy
Cách giải: tích phân hai vế ta được
( ) ( )f x dx g y dy C
Ví dụ Giải pt 2 2 01 1
dy dx
y x
2 21 1
dy dx
C
y x
arctan arctany x C Nghiệm của phương trình:
arctan arctany x C
arctan arctany x C
Các dạng có thể đưa về phương trình vi phân tách biến
Cách giải: Có thể đưa về phương trình tách biến
Dạng 1
1 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) 0f x g y dx f x g y dy
Nếu tại y = b, thì y = b là một nghiệm riêng. 1( ) 0g y
Nếu tại x = a, thì x = a là một nghiệm riêng. 2 ( ) 0f x
Nếu , chia hai vế cho
2 1( ) ( ) 0f x g y 2 1( ) ( ) 0f x g y
Phương trình tách biến 1 2
2 1
( ) ( )
0
( ) ( )
f x g y
dx dy
f x g y
II.1 Phương trình vi phân tách biến
Ví dụ Giải pt 2 2tan sin cos cot 0x ydx x ydy
2 2
tan cot
0
cos sin
x y
dx dy
x y
2 2
tan cot
cos sin
x y
dx dy C
x y
2 2tan cotx y C Nghiệm của phương trình:
Ví dụ Giải pt 2 2(1 ) (1 ) 0x x dy y dx
2 2
0
1 (1 )
dy dx
y x x
2 21 (1 )
dy dx
C
y x x
21arctan ln | | ln(1 )
2
y x x C Nghiệm của phương trình:
Ví dụ Giải phương trình
3 2( 1) ( 2) 0x dy y dx
Phương trình trên được viết lại:
2 3
0
( 2) ( 1)
dy dx
y x
Tích phân hai vế 2 3( 2) ( 1)
dy dx
C
y x
2 3( 2) ( 2) ( 1) ( 1)y d y x d x C
2
1 1 1
2 2 ( 1)
C
y x
Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là:
Ví dụ Giải phương trình ' 0xy x y y
Phương trình trên được viết lại:
1 0dyx y y
dx
Tích phân hai vế
1y dx
dy C
y x
1/ 2 1/ 21y dy x dx C
y
2 ln | | 2y y x C
Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là:
1
0
y dx
dy
y x
2 ln | | 2y y x C
Ví dụ Giải phương trình 2 '2 3 0x y x y y
Phương trình trên được viết lại:
22 3
0
3 2
x y
x y
dy
dx
Tích phân hai vế
1y dx
dy C
y x
2
18
3
x
ydx dy C
2/3 18
ln 2 /3 ln(18)
x y
C
Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là:
2
18 0
3
x
ydx dy
Các dạng có thể đưa về phương trình vi phân tách biến
Cách giải:
Dạng 2
' ( ), 0, 0 y f ax by c b a
Đặt u ax by c ' 'u a by
' ( )u a b f u
( )
du
dx
a b f u
' ( )u a b f u
Nếu , giải tìm . Kiểm tra có phải là nghiệm( ) 0a b f u u
Nếu , chia hai vế cho ( ) 0a b f u ( )a bf u
Đây là phương trình tách biến
(biến u riêng, biến x riêng)
Ví dụ Giải phương trình
' 1 2 3
4 6 5
x y
y
x y
' 2 3 1
2( 2 3 1) 3
x y
y
x y
Thay vào pt đã cho
Nghiệm của phương trình vi phân là
2 3 1u x y ' '2 3u y
' 2
3 2 3
u u
u
' 3 2
2 3
u
u
u
6
2 3
u
du dx
u
2 3
6
u
du dx
u
2 3
6
u
du dx
u
2 9ln | 6 |u u x C
2( 2 3 1) 9ln | 2 3 7 |x y x y x C
Ví dụ Giải phương trình
' 2 3
4 6 5
x y
y
x y
Bỏ số 1 ở tử ta vẫn được phương trình vi phân dạng
đang xét.
Ví dụ Giải phương trình
' 1 2 3
2 6 5
x y
y
x y
Thay số 4 bởi một số khác (số 2) thì phương trình
này không có dạng phương trình vi phân đang xét.
Chú ý:
II.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1
( ) ( )( )p x dx p x dxy e q x e dx C
Dạng ' ( ) ( )y p x y q x
Cách giải: Nhân hai vế cho ( )p x dxe
' ( ) ( ) ( )( ) ( )p x dx p x dx p x dxy e p x y e q x e
'( ) ( )( )p x dx p x dxy e q x e
( ) ( )( )p x dx p x dxy e q x e dx C
Ví dụ Giải phương trình
' cot siny y x x
( ) cot , ( ) sinp x x q x x
( ) ( )( )p x dx p x dxy e q x e dx C
cot cotsinxdx xdxy e x e dx C
cos cos
sin sinsin
x x
dx dx
x xy e x e dx C
sin
sin
sin
x
y x dx C
x
sin x x C
Chú ý: Chỉ lấy một nguyên hàm của ( )p x dx
Ví dụ Giải phương trình
2 '( 1) 4 3x y xy
2 2
4 3
( ) , ( )
1 1
x
p x q x
x x
( ) ( )( )p x dx p x dxy e q x e dx C
2 22ln( 1) 2ln( 1)
2
3
1
x xy e e dx C
x
Chia hai vế cho 2 1 0x
'
2 2
4 3
1 1
x
y y
x x
2
2
4
( ) 2ln( 1)
1
xdx
p x dx x
x
22
2 2 2
1 3
1
( 1) 1
y x dx C
x x
3
2 2
3
( 1)
x x C
x
Ví dụ Giải phương trình , y(2) = 1. '(1 )( ) xx y y e
( ) 1, ( )
1
xe
p x q x
x
( ) ( )( )p x dx p x dxy e q x e dx C
1
x
x xee e dx C
x
( )p x dx dx x
ln |1 |xy e x C
'
1
xe
y y
x
Với điều kiện y(2) = 1: 21 ln |1 2 |e C 2C e
Nghiệm của phương trình:
2ln |1 |xy e x e
2ln |1 |x xe x e
II.3 Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1
Dạng '
y
y f
x
Cách giải: Đặt
y
u
x
y xu ' 'y u x u
Khi đó: ' ( )u x u f u ' ( )x u f u u
Nếu , thì giải pt này ta có các nghiệm riêng. ( ) 0f u u
Nếu ( ) 0 :f u u ( )
du
x f u u
dx
( )
du dx
f u u x
là phương trình tách biến
Ví dụ Giải phương trình
' ln
x
y x y y
y
' lnu x u u u u
Đặt /u y x
' 'y u x u
ln
du
x u u
dx
ln
du dx
u u x
ln
du dx
C
u u x
ln | ln | || ln | | lnu x C
ln
ln | | ln
u
C
x
lnu C x 1C xu e
' ln
y y y
y
x x x
'ln
y y y
y
x x x
1C xy xe
kết hợp
điều kiện
Ví dụ Giải phương trình , (-1) 1 xdy ydx ydy y
'
1
u
u x u
u
Đặt /u y x
' 'y u x u
1
du u
x u
dx u
2
(1 )u du dx
xu
2
(1 )u du dx
C
xu
1
ln | | ln | |u x C
u
1
ln | |xu C
u
( )x y dy ydx '
dy y
y
dx x y
/
1 /
y x
y x
2
1
u
u
ln | |x y C y
1 ln1C
1C
nghiệm pt: (1 ln | |)x y y
II.3 Các dạng đưa về phương trình đẳng cấp
là hàm đẳng cấp bậc 0.
Dạng ' ,y f x y
với là hàm đẳng cấp bậc 0 ( ) ( , )f x y ( , ) ( , )t f tx ty f x y
2
2
2
( , )
x xy
f x y
xy y
2
2
2
( , )
tx tx ty
f tx ty
tx ty ty
2
2
2
( , )
x xy
f x y
xy y
Ví dụ Giải phương trình
2 2( ) 2 0x y dx xydy
2 2
'
2
dy x y
y
dx xy
2
' 1
2
u
u x u
u
2
1 /
2 /
y x
y x
Đặt /u y x ' 'y u x u
2 21 1
2 2
du u u
x u
dx u u
2
2
1
udu dx
xu
2
2
1
udu dx
C
xu
2ln |1 | ln | | lnu x C
2ln | (1 ) | lnx u C
2(1 )x u C
2
1(1 )x u C C
hàm đẳng cấp bậc 0.
II.3 Các dạng đưa về phương trình đẳng cấp
Dạng
' 1 1 1a x b y cy f
ax by c
Trường hợp 1:
' 1 0 1 0 1
0 0
( ) ( ) )
( ) ( )
a X x b Y y c
Y f
a X x b Y y c
1 1 1 0
0
a x b y c
ax by c
có duy nhất
nghiệm 0 0( , )x y
Đổi biến:
0 0, - X x x Y y y
' 'y Y
1 1a X bYf
aX bY
1 1' /
/
a b Y X
Y f
a b Y X
là phương trình đẳng cấp.
II.3 Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1
Trường hợp 2: 1 1 0
a b
a b
Đổi biến: u ax by ' 'u a by
' 1k u cu a b f
u c
phương trình tách biến
1 1a b k
a b
Giả sử
' 1 1 1a x b y cy f
ax by c
' 1 1 1a x b y cb y b f
ax by c
1du k u ca b f
dx u c
Ví dụ Giải phương trình (1 ) ( 3) 0x y dy x y dx
' 3
1
dy x y
y
dx x y
1 1 1a x b y cf
ax by c
Giải hệ:
3 0
1 0
x y
x y
0 0, 2,1x y
Đổi biến: 2, -1 X x Y y
' 'y Y
' ( 2) ( 1) 3
1 ( 2) ( 1)
X Y
Y
X Y
X Y
X Y
1 /
1 /
Y X
Y X
Đây là phương trình vi phân đẳng cấp.
II.4 Phương trình vi phân toàn phần
Cách giải: Nghiệm tổng quát của phương trình: ( , )u x y C
Dạng ( , ) ( , ) 0P x y dx Q x y dy
trong đó
Q P
x y
0 0
0( , ) ( , ) ( , )
yx
x y
u x y P x y dx Q x y dy C Với
trong đó là một điểm tùy ý mà P, Q liên tục. 0 0,x y
II.4 Phương trình vi phân toàn phần
Cách khác: Nghiệm tổng quát : ( , )u x y C
( , ) ( , ) ( , )du x y P x y dx Q x y dy Với
( , ) ( , ) ( )u x y P x y dx g y ( , )
( , )
u
P x y
x
u
Q x y
y
Đạo hàm hai vế theo y (coi x là hằng)
'
'
( , ) ( )
y
u
P x y dx g y
y
( , )Q x y
' ( )g y ( )g y ( , )u x y
Ví dụ Giải phương trình 2(2 3) (2 3 ) 0y dx x y dy
Đây là phương trình vi phân toàn phần.
( , ) 2 3P x y y 2
P
y
2( , ) 2 3Q x y x y 2
Q
x
2Q Px y
Nghiệm tổng quát: ( , )u x y C
0 0
( , ) ( , ) (0, )
yx
u x y P x y dx Q y dy
2
0 0
(2 3) 3
yx
y dx y dy
3( , ) 2 3u x y xy x y
Nghiệm tổng quát: 32 3xy x y C
Ví dụ Giải phương trình 2 2 3(3 7) 2 0x y dx x ydy
Đây là phương trình vi phân toàn phần.
2 2( , ) 3 7P x y x y
26
P
x y
y
2( , ) 2 3Q x y x y 26
Q
x y
x
26Q P x yx y
Nghiệm tổng quát: ( , )u x y C
0 0
( , ) ( , ) (0, )
yx
u x y P x y dx Q y dy
2 2
0 0
(3 7) 0
yx
x y dx dy
3 2( , ) 7u x y x y x
Nghiệm tổng quát: 3 2 7x y x C
Phương trình vi phân toàn phần.
xy xyP e xye
y
xy xyQ e xye
x
Nghiệm tổng quát: ( , )u x y C
0
0
0
( , ) (2 ) (1 )0
yx
xy yu x y x ye dx e dy 2 00
x yxyx e y
Nghiệm tổng quát: 2 xyx e y C
Ví dụ Giải (2 ) (1 ) 0
xy xyx ye dx xe dy (0) 1y
Điều kiện 2 .10 10 e C 2C
Nghiệm thỏa điều kiện ban đầu: 2 2xyx e y
Phương trình vi phân toàn phần.
/
2
x yP x e
y y
/
2
x yQ x e
x y
Nghiệm tổng quát: ( , )u x y C
0 1
/( , ) ( ) 1
yx
x yu x y x e dx dy
2
/
1
0
2
x
yx yx ye y
Nghiệm tổng quát:
2
/
2
x yx ye y y C
Ví dụ Giải
/ /( ) (1 ) 0x y x y
x
x e dx e dy
y
(0) 2y
Điều kiện 02 2/0 2e C 2C
Nghiệm thỏa điều kiện ban đầu:
2
/ 2
2
x yx ye
II.5 Phương trình vi phân Bernoulli
Dạng ' ( ) ( ) , 1, 0 y p x y q x y
Cách giải: Chia hai vế cho :y
'
1
1
(1 ) (1 ) ( ) (1 ) ( )
y
p x q x
y y
1z y Đặt
'
' ' (1 )(1 ) .
y
z y y
y
' (1 ) ( ) (1 ) ( )z p x z q x
Đây là phương trình vi phân tuyến tính với hàm z(x).
Phương trình Bernoulli.
Đặt , ta có: 1z y
Ví dụ Giải
' 2 ln , (1) 1 xy y y x y
1
(1) 1
(1)
z
y
Điều kiện 0C
Nghiệm pt: ln 1z x
' 21 ln xy y y
x x
Chia hai vế cho
2 :y
'
1
2
1 lny x
y
x xy
' 1 ln xz z
x x
Giải pt tuyến tính:
ln 1
ln 1
x
z x C x Cx
x x
1
1 ln
y
x
Ví dụ Giải
' 2 5 2 2 / 39 3( ) , (0) 1 y x y x x y y
Nghiệm tổng quát pt đã cho:
' 2 / 3 '1
3
z y y
Có phương trình tuyến tính:
3 3 3 3
3 3
2
3 3
x x x xx xz e e C e Ce
Phương trình Bernoulli 2/3.
Đặt
1 1 2 /3 1/ 3z y y y
' 2 5 23z x z x x
3 3
3
1/3 2
3
x xxy e Ce
Điều kiện y(0) = 1, suy ra C = 1.
3 3
3
1/3 2
3
x xxy e e Nghiệm bài toán Côsi:
Đường cong tích phân thỏa bài toán Côsi: y(0) = 1
Bài tập. Nhận dạng và giải các phương trình vi phân
'1) cosh( ) y x y
' 32) 0 xy y xy
2 ' 23) 0 x y xy y
2 26) 1 1 0 y dx y x dy
2
'
2
1
4) , (0) 1
1
y
y y
x
3 ' 2 25) ( ) x y y x y
'7) sin ln 0, ( / 2) y x y y y e
8) sin cos cos sin , (0) / 4 y xdy y xdx y
2 ' 29) 0 x y xy y
'11)
x y
y
x y
2 2 ' '12) y x y xyy
2 210) ) ( ) 0 (xy x dx y x y dy
2 2 213) (3 3 ) ( 2 ) y xy x dx x xy dy
' 2 214) xy y x y
2 215) 3 2 0, (0) 1 y x dy xy y
2 2
'
2 2
2
16) , (1) 1
2
y xy x
y y
y xy x
2'17) 2 xy xy xe
218) 2 ( 6 ) 0 ydx y x dy
' 219) ( ) ( 1) xy y x x e
'20) , (1) 0
1
y
xy x y
x
2 2 221) 1 ( ) , (1) / 4 x x dy y yx x dx y
2 2
'
2 2
2
22) , (1) 1
2
y xy x
y y
y xy x
2
'
2
1
24)
(1 )
y
y
xy x
'23) sin sin
2 2
x y x y
y
325) ( ) ydx y x dy
' 226) ( ) y x y
2 227) 2 0 x xy y dy y dx
2 2 2
28)
2
dx dy
x xy y y xy
'
29) tan
xy y y
x x
'
'
30) 2, (1) 1
y xy
y
x yy
'2
31) 1 , (0) 1
1
y
y x y
x
'32) (1 ) , (0) 0 x ye yy e y
' 2 5 233) 3 , (0) 1 y x y x x y
' 2 534)
2 4
y x
y
x y
3 1
35)
2 1
' y
x y
x y
236) 0
1
' y
y
y
x
' 237) 4 0 xy y x y
'
2
22
38)
cos
yy
y
x x
' 239) ln xy y y x
'40) ( 1) ( 1) (3 2 ) 0 x x xe y e y e
2 441) 0' y
y
x y
x
' 2 342) 2 2 0 xy y x y
3 2 3 243) (2 ) (2 ) 0 x xy dx y x y dy
2 2 2 2
44)
xdy ydx
dx
x y x y
45) ( 2 ) 0 y ye dx xe y dy
22 2
46)
xdx ydy ydx xdy
xx y
2 2
2
47) ' y
y xy x
y
2 2 2 248) 1 1 0 x x y dx x y ydy
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- a3_c3chuong_8_phuongtrinhviphancap1_5319.pdf