Giải tích 1 - Chương 3: Tích phân

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng ------------------------------------------------------------------------------------- Giải tích 1 Chương 3: Tích phân • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (11/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn Nội dung --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 – Tích phân bất định. 2 – Tích phân xác định. 3 – Tích phân suy rộng. 4 – Ứng dụng của tích phân. Tài liệu: Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу, Том 2, 2003. I. Tích phân bất định Hai nguyên hàm sai khác nhau một hằng số. ( ) ( )f x dx F x C  Định nghĩa Hàm số y = F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm hàm trong [a,b], nếu y = F(x) liên tục, có đạo ( )y f x tại mọi điểm thuộc đoạn [a,b] và . ' ( ) ( )F x f x Tập hợp tất cả các nguyên hàm của y = f(x) được gọi là tích phân bất định của hàm y = f(x), ký hiệu I. Tích phân bất định   ' 1. ( ) ( )f x dx f x Tính chất  2. ( ) ( )d f x dx f x dx 3. Nếu f(x) là hàm khả vi, thì ' ( ) ( )f x dx f x C  4. Nếu f(x) là hàm khả vi, thì ( ) ( )df x f x C  5. ( ) ( ) f x dx f x dx    6. ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx     1. sinh coshxdx x c  Tích phân của một số hàm cơ bản 2 2. tanh cosh dx x c x   cosh sinhxdx x c  2 coth sinh dx x c x    2 2 1 3. arctan dx x c a ax a    2 2 4. arcsin arccos dx x x c c a aa x       2 22 25. ln dx x x a C x a      0a  Phương pháp đổi biến ' ( ) ( ( )) ( ) ( ) t x f x x dx f t dt        Nếu tồn tại hàm hợp và hàm liên tục ( ( ))f x ( )t x trên đoạn [a,b] và khả vi trong khoảng (a,b), thì Nếu tồn tại hàm hợp của hàm , thì ( )t x1( )x t 1 ' ( ) ( ) ( ( )) ( ) x t f t dt f x x dx        1 ' ( ) ( ) ( ( )) ( ) t x f x dx f t t dt        Ví dụ Tính sin dx I x   sin dx I x   2 sin sin xdx x   1 2 1 1 dt dt t t           Ví dụ Tính 2 ln(arccos ) 1 arccos x dx I x x     2 cos 1 cos d x x    21 dt t    1 ln tan 2 2 x C        1 cos 1 ln 2 cos 1 x C x        ln(arccos )t x 21 arccos dx dt x x     2 ln(arccos ) 1 arccos x dx I x x     2 2 t tdt C     21 ln arccos 2 x C  Phương pháp tích phân từng phần. Giả sử hai hàm liên tục trên đoạn [a,b] ( ), ( )u u x v v x  và khả vi trong khoảng (a,b). Nếu tồn tại , thì tồn tại . Ngoài ra: 'v u dx 'u v dx ' 'u v dx u v v u dx      u dv u v v du       Phương pháp tích phân từng phần.  ( ) lnnP x ax dx đặt  ln dx u ax du x    ( ) ( )n ndv P x dx v P x dx    ( ) axnP x e dx  ( ) cosnP x ax dx  ( ) sinnP x ax dx  đặt ( )nu P x dv  phaàn coøn laïi. ( ) arcsinnP x ax dx  ( ) arccosnP x ax dx  ( ) arctannP x ax dx   ( ) arccotnP x ax dx  Ví dụ Tính 2arccosI xdx  arccosu x 21 dx du x     Đặt 2 2 2arccos arccos 1 xdx u x du x      dv dx v x   2 2 2 arccos arccos 1 x x I x x dx x       2 1arccosx x I  2 1 1 arccosI x x dx     21 xdx dv x   2 2 1 1 xdx v x C x         2 21 arccosx x x C     Tích phân của hàm hữu tỷ ( ) ( ) n m P x dx Q x các đa thức bậc n và m với hệ số thực. ,n mP Q 1. Chia tử cho mẫu, đưa về tích phân phân thức đúng. 2. (Đại số). Mẫu là đa thức với hệ số thực, phân tích ra thừa số bậc nhất và bậc hai.       11 2 21 1 1( ) ... k t tss m k v vQ x x a x a x p x q x p x q        Tích phân của hàm hữu tỷ. 3. Phân tích:     11 21 1 1 ( ) ( ) ( ) n n ts m P x P x Q x x a x p x q           1 1 1 2 2 1 1 1 s s AA A x a x a x a               1 1 1 1 1 2 2 22 2 2 1 1 1 1 1 1 t t t B x CB x C B x C x p x q x p x q x p x q              4. Qui đồng, đồng nhất hai vế, giải tìm các hệ số. 5. Đưa tích phân cần tính về các tích phân cơ bản sau. Tích phân của hàm hữu tỷ.    1 1 , 1 ( ) 1. 1 n n dx C n x a n x a           2 2 2 2 2 2 2 . Mx n dx M x p Mp dx dx N x px q x px q x px q                    2 2 3. n n dx I x a     2 2 1 n u x a     12 2 2 n nxdx du x a      dv dx v x       2 12 2 2 2 2n n n x x dx I n x a x a       Tích phân của hàm hữu tỷ.       2 2 2 12 2 2 2 2n n n x a a dxx I n x a x a               2 12 2 2 2 2 2 2 2n n n n x dx dx I n na x a x a x a            2 1 2 2 2 2n n nn x I nI na I x a     Hệ thức truy hồi:    1 2 2 2 1 2 1 2 n nn x I n I na x a            1 2 2 1 arctan dx x I C a ax a     Ví dụ Tính 3( 2) dx I x   3 ( 2) ( 2) d x I x    3( 2) ( 2)x d x     3 1 2 1 1 2 2 2( 2) x C C x           2 2( 1) 2 dx I x      2 2 1 ( 1) 2 d x x     Ví dụ Tính 2 2 5 dx I x x    1 1 arctan 2 2 x C    Ví dụ Tính ( 4) ( 2)( 1) x dx I x x     4 ( 2)( 1) 2 1 x A B x x x x        2 2 1 dx dx I x x      Qui đồng, đồng nhất hai vế, tìm được A = 2, B = -1. 2ln( 2) ln( 1)x x C     2( 2) ln 1 x C x     Chú ý. Cách tìm hệ số A, B trong (*) nhanh: (*) Để tìm A, nhân hai vế (*) cho (x – 2) rồi thay x = 2 vào. Để tìm B, nhân hai vế (*) cho (x +1) rồi thay x = -1 vào. Ví dụ Tính 3 2 2 2 2 5 1 ( 3)( 1) x x x I dx x x x        3 2 2 2 2 2 2 5 1 ( 3)( 1) 3 1 x x x Ax B Cx D x x x x x x              Qui đồng, đồng nhất, tìm có: A = 0, B = 1, C = 2, D = 0. 2 2 2 3 1 dx xdx I x x x       21 2 2 1arctan ln( 1) arctan 3 3 3 3 x x x x C          2 2 2 1 1 3 1 xdx dx x x x         Ví dụ Tính 2 2 2 2 4 8 ( 1) ( 1) x x I dx x x         2 2 2 2 2 22 ( ) 1( 1) ( 1) 11 1 P x A B Cx D Ex F xx x xx x           Tìm được: A = 2, B = -1, C = -2, D = -1, E = -2, F = 4.       2 2 22 2 2 ( 2 4) 2 4 1 1 1 x dx xdx dx x x x              2 22 4 1 dx I x   Dùng hệ thức truy hồi, tính qua 1.I (*) Thay x = -1, cân bằng phần thực, ảo: E = -2, F = 4. Để tìm các hệ số A, B, C, nhanh, có thể sử dụng khai triển Heaviside: tham khảo bài giảng Hàm phức toán tử, giảng viên Đặng Văn Vinh. Từ , ta có: (*) 2 2 2 2 24 8 ( 1)( 1) ( 1)x x A x x B x       2 2 2( )( 1) ( 1) ( )( 1)Cx D x x Ex F x       Thay x = 1, tìm được B = -1. Đạo hàm 2 vế, chỉ quan tâm số hạng khác 0 khi x = i Thay x = i, tìm được C= -2, D = -1. Tích phân của hàm hữu tỷ: Phương pháp Ostrogradskii 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P x P x P x dx dx Q x Q x Q x    đa thức chỉ có nghiệm đơn là nghiệm của Q(x), 2 ( )Q x 1 2 ( ) ( ) ( ) Q x Q x Q x  là hai đa thức với các hệ 1 2( ), ( )P x P x số cần tìm, có bậc tương ứng nhỏ 1 2( ), ( ).Q x Q xhơn bậc của Để tìm các hệ số của , đạo hàm hai vế (*), 1 2( ), ( )P x P x (*) Qui đồng, đồng nhất hai vế, tìm các hệ số. Ví dụ Tính 2 2 2 2 4 8 ( 1) ( 1) x x I dx x x     Sử dụng phương pháp Ostrogradskii 2 1 2 2 2 2 1 2 4 8 ( 1) ( 1) x x P P I dx dx Q Qx x        2 2 ( 1)( 1)Q x x   2 2P ax bx c    bậc nhỏ hơn bậc Q2 2 1 2( 1)( 1) /Q x x Q Q    2 1P Ax Bx C    (*) Đạo hàm hai vế (*) '2 1 2 2 2 2 1 2 4 8 ( 1) ( 1) x x P P Q Qx x          Đồng nhất hai vế, tìm A, B, C, a, b, c. Tích phân của hàm vô tỷ 1 2 1 2, , , p p q qax b ax b R x dx cx d cx d                       Cách giải: đổi biến ,n ax b t cx d    n là Bội số chung nhỏ nhất của 1 2, ,...q q Ví dụ Tính 42 1 2 1 dx I x x      Đổi biến: 42 1x t  32 4dx t dt  3 2 2t dt I t t   22 1 t dt t   1 2 1 1 t dt t         2 2 ln | 1|t t t C     Ví dụ Tính 2 63 3 1 ( 1) 1 ( 1)(1 1) x x x I dx x x           Đổi biến: 61x t  56dx t dt  6 4 5 6 2 ( ) 6 (1 ) t t t t dt I t t     3 2 6 6 1 dt t dt t     3 2 63 6arctan 2 x x C   Tích phân của hàm vô tỷ: Tích phân Euler 2,R x ax bx c dx     Cách giải: Đổi biến Euler 20 :a ax bx c ax t      20, 4 0a b ac   20 :c ax bx c xt c      2 1( )ax bx c x x t     Trong đó x1 là một nghiệm thực của 2 0ax bx c   Ví dụ Tính 2 2 1 1 1 x x I dx x x x        Tích phân Euler: Đổi biến: 2 2 21 2 1x x t x tx       2 22 1 2 1 t t dx dt t      2 2 1 1 t x t     2 2 1 t I dt t    2ln 1 t C   21 1x x tx    2 2 2 1 1 1 t t x x t       21 1 x x t x       2 21 1 ln 1 x x C x             Tích phân của hàm vô tỷ: Tích phân Trêbưsev   p m nx ax b dx a, b: số thực, m, n, p: hữu tỷ, tất cả các số khác 0. Trường hợp 1: là số nguyên. p Đặt , với N là BSC nhỏ nhất của mẫu của m và n Nx t Đặt , với s là mẫu của p. n sax b t  Trường hợp 2: là số nguyên. 1m n  Đặt , với s là mẫu của p. n sa bx t  Trường hợp 3: là số nguyên. 1m p n   Ví dụ Tính 2 3 53 ( 2) dx I x x    Tích phân Trêbưsev:   5/ 32 3 2I x x dx   2, 3, 5 /3m n p     1 2 1 5 2 3 3 m p Z n           Đổi biến: 3 31 2x t  4 26 3x dx t dt   5 3 5/33 2 4 42. . x I x x x x x x d           3 4 5/ 33 3 2. x x dx x x            23 51 2 2 tt t dt      3 1 1 4 t dt    Ví dụ Tính  3 61 dx I x x    Tích phân Trêbưsev:   11/ 3 1/ 61I x x dx   1/ 3, 1/ 6, 1m n p     p Z  Đổi biến: 6x t 56dx t dt    12 5. 1 6I t t t dt   3 6 1 t dt t   BSCNN của mẫu m, n là 6  2 16 1 6 1 t t dt dt t       Ví dụ Tính 3 41 x I dx x    Tích phân Trêbưsev:   1/31/ 2 1/ 41I x x dx  1/ 2, 1/ 4, 1/3m n p    1 1/ 2 1 2 1/ 4 m Z n        Đổi biến: 1/ 4 31 x t  3/ 4 2 1 3 4 x dx t dt  BSCNN của mẫu m, n là 4   1/ 31/ 2 13/ 4 3/4 4/1I x x x dxx       1/ 4 3 1x t     1/ 31/ 4 1/ 4 3/ 41 xx x dx   3 24 1 3I t t t dt     6 34 3 3t t dt  Tích phân của hàm lượng giác  sin ,cosR x x dx Cách giải chung: đặt 2arctanx t   tan , , 2 x t x           2 2 1 dt dx t      2 2 2 2 2 1 sin ,cos 2 , 1 1 1 t t dt R x x dx R t t t            2 2 2 2 1 sin ,cos 1 1 t t x x t t      Tích phân hàm hữu tỷ Trong nhiều trường hợp, cách giải trên rất cồng kềnh. Trong đó: R(u,v) là hàm hữu tỷ theo biến u, v. Ví dụ Tính 3sin 4cos 5 dx I x x    Đổi biến:  tan( / 2), , t x x     2 2 2 6 4(1 ) 5(1 ) dt I t t t      2 2 1 dt dx t    2 2 2 2 1 sin ,cos 1 1 t t x x t t      2 2 6 9 dt t t    22 ( 3) ( 3)t d t   2 3 C t     2 tan( / 2) 3 C x     Tích phân của hàm lượng giác  sin ,cosR x x dx )    sin ,cos sin ,cosR x x R x x   đặt cos , , 2 2 t x x         )    sin , cos sin ,cosR x x R x x   đặt  sin , 0,t x x   )    sin , cos sin ,cosR x x R x x   đặt tan , , 2 2 t x x         4) sin cos p qx x dx  đặt hoặc sint x cost x Hoàn toàn tương tự cho các hàm Hyperbolic: coshx, sinhx Ví dụ Tính 2 3 (2sin 3cos ) sin cos 9cos x x dx I x x x    Đổi biến:  tan( ), / 2, / 2 t x x     2 (2 tan 3) (tan ) tan 9 x d x I x    2ln( 9) arctan 3 t t C       sin , cos sin ,cosR x x R x x   2cos dx dt x   Chia tử và mẫu cho 3cos x 2 2 3 9 t dt t    2 2 2 2 3 9 3 t dt dt t t      2 tanln(tan 9) arctan 3 x x C    Đổi biến: Ví dụ Tính 3 8cos sinI x xdx  sint x cosdt xdx   2 8cos sin cosI x x xdx     2 81 sin sin cosx x xdx  2 8(1 )t t dt  9 11 9 11 t t C   9 11sin sin 9 11 x x C   Ví dụ Tính 2sin cos dx I x x    2 2 2 sin cos sin cos x x dx I x x    2 sin sincos xdx dx xx    2 2 (cos ) (cos ) cos 1 cos d x d x x x      1 1 1 cos ln cos 2 1 cos x C x x      Ví dụ Tính 2 3(sinh cosh )I x x dx  Đổi biến: sinh( )t x 2 2(sinh cosh )(cosh )I x x xdx     sinh , cosh sinh ,coshR x x R x x    coshdt xdx  2 2( 1)t t dt  6 3 6 3 t t C   2 2(sisinh (cosh )nh 1)xx xdx  6 3sinh sinh 6 3 x x C   Tích phân của hàm lượng giác 1 1sin cos sin cos a x b x I dx a x b x    Phân tích     ' 1 1sin cos sin cos sin cosa x b x A a x b x B a x b x     Đồng nhất hai vế: ( )cos ( )sinAa Bb x Ab aB x    1 1 Ab aB a Aa Bb b      giải tìm A, B. '( sin cos ) sin cos A a x b x dx I Bdx a x b x      ln( sin cos )A a x b x Bx C    Ví dụ Tính (2sin 3cos ) sin 4cos x x dx I x x    Phân tích: 2sin 3cos (sin 4cos ) (sin 4cos )x x A x x B x x     2sin 3cos ( 4 )sin (4 )cosx x A B x A B x     4 2 4 3 A B A B      1 1/ 4 A B      (sin 4cos ) (sin 4cos ) ' sin 4cos sin 4cos A x x B x x I dx dx x x x x        (sin 4c sin 4c o o s s )x xBd I A dx x x        ln sin 4cosAx B x x C    Tích phân của hàm lượng giác 1 1 1sin cos sin cos a x b x c I dx a x b x c      Phân tích    '1 1 1sin cos sin cos sin cosa x b x c A a x b x c B a x b x c C         Đồng nhất hai vế:  ( )cos ( )sinAa Bb x Ab aB x Bc C      1 1 1 Ab aB a Aa Bb b Bc C c         giải tìm A, B, C. ln( sin cos ) sin cos Cdx I A a x b x c Bx a x b x c        Tích phân cuối tính bằng cách đổi biến chung: t = tan(x/2 Ví dụ Tính (2sin cos 3) 3sin 4cos 5 x x dx I x x      Phân tích: '2sin cos 3 (3sin 4cos 5) (3sin 4cos 5)x x A x x B x x C         2sin cos 3 (3 4 )sin (4 3 )cos (5 )x x A B x A B x A C        3 4 2 4 3 1 5 3 A B A B A C          2 /5 1/5 1 A B C        (3sin 4cos 5) 3sin 4cos 5 3sin 4cos 5 d x x Cdx I A dx B x x x x            1ln(3sin 4cos 5)I Ax x x I     với đã tính ở ví dụ trước1I Tích phân của hàm Hyperbolic  sinh ,coshR x x dx Cách giải chung: đặt tanh 2 x t          2 2 2 2 2 1 sinh ,cosh 2 , 1 1 1 t t dt R x x dx R t t t            2 2 2 2 1 sin ,cos 1 1 t t x x t t      Tích phân hàm hữu tỷ Trong nhiều trường hợp, đặt t = sinhx, t = coshx, t = tanh Trong đó: R(u,v) là hàm hữu tỷ theo biến u, v.