Giải tích 1 - Chương 2: Ứng dụng Đạo hàm
1) Tìm miền xác định, tính tuần hoàn, chẵn (đồ thị
đối xứng qua Ox, lẻ: qua Oy).
Các bước vẽ đường cong trong toạ độ cực r r
Nếu hàm tuần hoàn chu kỳ T thì chỉ cần khảo sát trên
một chu kỳ hoặc rồi quay đồ thị quanh
gốc O một góc T đến khi không sinh ra nhánh mới.
53 trang |
Chia sẻ: nguyenlam99 | Lượt xem: 1332 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Giải tích 1 - Chương 2: Ứng dụng Đạo hàm, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng
-------------------------------------------------------------------------------------
Giải tích 1
Chương 2: Ứng dụng Đạo hàm
• Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2008)
dangvvinh@hcmut.edu.vn
Nội dung
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1 – Taylor Maclaurint.
2 – Qui tắc Lôpital.
3 – Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số.
Định lý 1
Cho hai hàm số y = f(x), y =g(x), thỏa:
0 0
'
'
( ) ( )
lim lim
( ) ( )x x x x
f x f x
g x g x
II. Qui tắc Lôpital
1) Xác định trong lân cận của điểm x0 và . 0 0( ) ( )f x g x
2) Tồn tại đạo hàm hữu hạn
' '
0 0( ), ( ) 0.f x g x
Khi đó:
0 0
0
0
0
0
( ) ( )
( )
lim lim
( ) ( )( )x x x x
f x f x
x xf x
g x g xg x
x x
0
'
'
( )
lim
( )x x
f x
g x
Định lý 2 (Qui tắc Lôpital )
Cho hai hàm số y = f(x), y =g(x), thỏa:
II. Qui tắc Lôpital
1) Khả vi trong khoảng (a,b).
2) '( , ) : ( ) 0.x a b g x
3) Tồn tại lim ( ) lim ( ) 0
x a x a
f x g x
4) Tồn tại hữu hạn hay vô hạn.
'
'
( )
lim
( )x a
f x
g x
'
'
( ) ( )
lim lim
( ) ( )x a x a
f x f x
g x g x
Khi đó tồn tại và
( )
lim
( )x a
f x
g x
0
0
Chứng minh
II. Qui tắc Lôpital
Định lý 2 (Qui tắc Lôpital )
Cho hai hàm số y = f(x), y =g(x), thỏa:
II. Qui tắc Lôpital
1) Khả vi trong khoảng (a,b).
2) '( , ) : ( ) 0.x a b g x
3) Tồn tại lim ( ) lim ( )
x a x a
f x g x
4) Tồn tại hữu hạn hay vô hạn.
'
'
( )
lim
( )x a
f x
g x
'
'
( ) ( )
lim lim
( ) ( )x a x a
f x f x
g x g x
Khi đó tồn tại và
( )
lim
( )x a
f x
g x
Chứng minh
II. Qui tắc Lôpital
II. Qui tắc Lôpital
Dạng vô định: 0
0 0, 1 , , 0 Các dạng vô định:
Các dạng vô định trên đều đưa về dạng vô định 0.
0f
g
1/
f
f g
g
dạng
0
0
1/
f
f g
g
dạng
Sơ đồ khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
) Tìm miền xác định, tính chẵn, lẻ, tuần hoàn.
) Tìm đạo hàm cấp 1:
' ( )y x
) Tìm đạo hàm cấp hai '' ( )y x
) Tìm tiệm cận. Khảo sát khi x ra vô cùng.
5) Lập bảng biến thiên.
6) Tìm điểm đặc biệt, vẽ.
III. khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
( )y f x
Ví dụ.
Tìm cực trị của hàm cho bởi p/trình tham số
3 3 2
2 2
2
,
1 1
t t t
x y
t t
2 2
'
2 2
( 3)
( ) 0
( 1)
t t
x t
t
0t
'
'
'
( )
( )
( )
y t
y x
x t
2
2
( 1)( 4)
( 3)
t t t
t t
' ( ) 0 1y x t Tồn tại hai điểm tới hạn:
1
0 ( 0); ( 1)
2
x t x t
đổi dấu từ dương sang âm khi qua x = 0: hàm đạt
cực đại tại x = 0.
' ( )y x
đổi dấu từ âm sang dương khi qua x = 1/2: hàm đạt
cực tiểu tại x = 1/2.
' ( )y x
Ví dụ.
Tìm điểm uốn của hàm cho bởi p/trình tham số ( )y y x
cos(2 )
1 cot( ), ,0
sin
t
x t y t
t
'' ' '' '
''
3'
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
y t x t x t y t
y x
x t
'' 3( ) 0
4 4
y x t t
đổi dấu khi qua '' ( )y x
3
4 4
t t
Vậy hàm có hai điểm uốn: và 0,0 (2,0)
(ứng với hai giá trị của t ở trên)
Tiệm cận của đồ thị hàm số y = f(x)
Tiệm cận đứng:
0
lim ( )
x x
f x
là tiệm cận xiên
Nếu a = 0, thì y = b là tiệm cận ngang.
0x x là tiệm cận đứng
Tiệm cận xiên:
( )
lim
lim ( )
x
x
f x
a
x
b f x ax
y ax b
Tìm tiệm cận đứng tại những điểm gián đoạn của hàm.
Ví dụ.
Tìm tiệm cận của đồ thị
arctan 2
(1 )
x
y
x x
Tiệm cận đứng: có hai điểm gián đoạn x = 0 và x = 1.
x = 0 không là tiệm cận đứng.
0
arctan 2
lim 2
(1 )x
x
x x
x = 1 là tiệm cận đứng.
1
arctan 2
lim
(1 )x
x
x x
y = 0 là tiệm cận ngang.
arctan 2
lim 0
(1 )x
x
x x
Hàm cho bởi phương trình tham số x = x(t), y = y(t):
Nếu x(t): hàm chẳn, y(t): hàm lẻ, thì đồ thị đối
xứng qua Ox.
Nếu x(t): hàm lẻ, y(t): hàm chẵn, thì đồ thị đối
xứng qua Oy.
Nếu x(t) và y(t) cùng lẻ, thì đồ thị đối xứng qua
gốc O.
Tiệm cận của đường cong tham số x = x(t), y = y(t):
Nếu , thì là tiệm cận đứng 0
0
lim ( )
lim ( )
t t
t t
x t a
x a
y t
x a
Nếu , thì là tiệm cận ngang 0
0
lim ( )
lim ( )
t t
t t
x t
y b
y t b
y b
Nếu 0
0
lim ( )
lim ( )
t t
t t
x t
y t
và
0
0
( )
lim
( )
lim ( ) ( )
t t
t t
y t
a
x t
y t a x t b
thì là tiệm cận xiên. y ax b
Các bước vẽ đường cong tham số x = x(t), y = y(t):
1) Khảo sát hàm một biến x = x(t) theo t.
4) Tìm tiệm cận và một số điểm đặc biệt của x(t), y(t).
2) Khảo sát hàm một biến y = y(t) theo t.
3) Lập trên cùng bảng biến thiên hai hàm x(t) và y(t).
5) Vẽ. Dựa vào bảng biến thiên: từ trái qua phải, xét x
biến thiên và y biến thiên trên từng đoạn.
Ví dụ.
Khảo sát vẽ đồ thị hàm cho bởi p/trình tham số ( )y y x
2 3, 3x t y t t
' ( ) 2x t t
' 2( ) 3 3 0 1 1 y t t t t
Tiệm cận xiên: không có.
' ( ) 0 0x t t
' ( )x t
( )y t
( )x t
' ( )y t
1 0 1
0
1
1
0
0
0
2
' ( ) 2x t t ' 2( ) 3 3y t t
2
0
3 3
3 3
0 0
Ví dụ.
Khảo sát vẽ đồ thị hàm cho bởi p/trình tham số ( )y y x
2 3
,
4(1 ) 8( 1)
t t
x y
t t
'
2
(2 )
( )
4(1 )
t t
x t
t
2
'
2
(2 3) 2
( ) 0 0
38( 1)
t t
y t t t
t
Điểm đặc biệt:
' ( ) 0 0 2x t t t
' ( )x t
( )y t
( )x t
' ( )y t
0 1 3/ 2 2
0 0
1
9 /8
0
0 0
0
27 / 32
1
'
2
(2 )
( )
4(1 )
t t
x t
t
2
'
2
(2 3)
( )
8( 1)
t t
y t
t
2 3
,
4(1 ) 8( 1)
t t
x y
t t
Cách tìm tiệm cận
1) Tìm những điểm : 0t
0( ) t tx t
Kiểm tra có phải là tiệm cận đứng bằng công thức.
2) Tìm những điểm : 0t
0( ) t ty t
Kiểm tra có phải là tiệm cận ngang bằng công thức.
3) Tìm những điểm : 0t
0( ) & ( ) t tx t y t
Kiểm tra có phải là tiệm cận xiên bằng công thức.
1
2 8
x
y
Kết luận: hàm đã cho có một tiệm cận xiên:
1) Tìm miền xác định, tính tuần hoàn, chẵn (đồ thị
đối xứng qua Ox, lẻ: qua Oy).
Các bước vẽ đường cong trong toạ độ cực r r
2) Tính đạo hàm của theo r
3) Lập bảng biến thiên của hàm ( )r
Nếu hàm tuần hoàn chu kỳ T thì chỉ cần khảo sát trên
một chu kỳ hoặc rồi quay đồ thị quanh
gốc O một góc T đến khi không sinh ra nhánh mới.
0,T ,
2 2
T T
4) Tìm tiệm cận. Để đơn giản dùng đổi biến:
Các bước vẽ đường cong trong toạ độ cực r r
( ) cos( ), ( ) sin( )x r y r
và dùng cách tìm tiệm cận của hàm tham số .
Nếu , thì là đường tròn tiệm cận. lim ( )r a
r a
5) Tìm các điểm đặc biệt, dựa vào BBT vẽ.
Chú ý: Nếu r < 0, thì lấy điểm nằm đối xứng qua gốc O.
Ví dụ.
Khảo sát vẽ đồ thị hàm cho trong tọa độ cực
1 sinr
' ( ) cos r
2T Hàm tuần hoàn với chu kỳ
' ( ) 0 / 2 3 / 2r
Chỉ cần khảo sát trong đoạn . 0,2
Hàm không có tiệm cận.
0 / 2 3 / 2 2
0
1
0
2
0
1
1
Xoay hình đã vẽ xung quanh gốc O một góc đến khi 2
đến khi không sinh ra hình mới, được đồ thị trên toàn MXĐ
Ví dụ.
Khảo sát vẽ đồ thị hàm cho trong tọa độ cực
cos2r
' ( ) 2sin 2 r
T
' ( ) 0, 0, / 2r
Chỉ cần khảo sát trong đoạn / 2, / 2
Hàm không có tiệm cận.
0 / 2
1
0
1
/ 4
0
Hàm chẵn nên cần khảo sát trong đoạn 0, / 2
Lấy đối xứng qua trục Ox:
quay quanh gốc
O một góc
Hình trên: cos2y x
Hình dưới: cos2r
Ví dụ.
Khảo sát, vẽ đồ thị
1
r
Miền xác định: \ 1R
'
2
1
( ) 0
1
r
Tiệm cận: lim 1
1
1r là đường tròn tiệm cận.
cos cos
1
sin sin
1
x r
y r
Tiệm cận xiên:
1
tan1
cos1
y x
1
1
1
'r
r
Tính giới hạn (sử dụng qui tắc Lôpital)
20
ln(1 )
1) lim
tanx
x x
x
/ 4
ln(tan )
2) lim
cot 2x
x
x
2
0
arcsin
3) lim
cos sinx
x x
x x x
21
arctan( 1)
4) lim
2x
x
x x
0
tan
5) lim
arcsin ln(1 )x
x x
x x
1
2
1
3
0
0
1/1/
0
(1 )
6) lim
xx
x
x
e
tan
0
7) lim arcsin
x
x
x
1/ ln(sinh )
0
8) lim x
x
x
0
9) lim 1 lnx
x
x x
1/210) lim 3 3
xx
x
x
1/ 2e
1
e
3
sin
0
11) lim
sin
x x
x
e e
x x
3
12) lim n x
x
x e
0
1 1
13) lim
arcsinx x x
2
1
1 1
14) lim
arctanx x x x
21/
0
15) lim cos
x
x
x
1
0
0
1
3
1/ 2e
1
1
16) lim
ln 1
x
x
x
x x
0
1 1 1
17) lim
tanh tanx x x x
tan 2
/ 4
18) lim tan
x
x
x
1/
19) lim tan
2 1
x
x
x
x
21/
0
arcsin
20) lim
x
x
x
x
2
3
e
3 2 31) 2 , 2 3x t t t y t t
Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm sau.
3 32) 3 , 6arctanx t y t t
3 3 2
2 2
2
3) ,
1 1
t t t
x y
t t
4) sin , 1 cosx t t y t
5) cos ln tan( / 2), sinx t t y t
2 3
2
1 1
6) ,
t t
x y
t t
2 2 1
7) ,
1
t t
x y
t t
2 2
2
1
8) ,
21
t t
x y
tt
2 3
1 1
9) ,x y
t t t t
210) , 2t tx e t y e t
2
11) , 1
t
tex y t e
t
2cos cos2
12)
2sin sin 2
x t t
y t t
1) 2 cosr
Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm sau.
2) 1 2cosr
3) cos3r
4) 1 tanr
2
5) 1
cos
r
6) tan 2r
7) 1 tanr
1
8)
sin3
r
9) sin 2r
10) 2(1 cos )r
11) 1 sinr
312) cos , 0r a a
( ) 1.5cos cos(30 ); ( ) 1.5sin( ) sin(30 )x t t t y t t t
Vẽ các hình sau
( ) sin( cos(100 )); ( ) cos( sin(100 ))x t t t y t t t
( ) 2sin(2 ); ( ) 2cos(5 )x t t t y t t t
( ) sin(2 ); ( ) sin( sin(2 ))x t t y t t t
2 2
sin(2 ) cos(2 )
( ) ; ( )
4 4
t t
x t y t
t t
2( ) sin(4 ); ( ) cos(3 )x t t t y t t t
( ) cos(8 ); ( ) sin(5 )x t t y t t
( ) cos(8 ); ( ) sin(5 )x t t y t t
2 4sin (2.4 ) cos (2.4 )r
2 3sin (1.2 ) cos (6 )r
sin(8 /5)r
1 2sin(3 )r
cos( / 3)r
2r
r
8
sin
5
r
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- giai_tich_1_chuong_2_ungdungdaoham_1897.pdf