Giải tích 1 - Chương 1: Giới hạn và liên tục (tiếp theo)

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng ------------------------------------------------------------------------------------- Giải tích 1 Chương 1: Giới hạn và liên tục (tiếp theo) • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn Ví dụ Định nghĩa (vô cùng lớn) nếu Hàm số y = f(x) được gọi là vô cùng lớn (VCL) khi 0x x 0 lim ( ) .    x x f x là một vô cùng lớn khi , vì x 2( ) 2 3cos f x x x 2lim 2 3cos .     x x x Cho f(x) và g(x) là hai vô cùng lớn khi . 0x x Giả sử 0 ( ) lim . ( )  x x f x k g x 1) Nếu , thì f(x) gọi là VCL bậc cao hơn g(x).  k ( ) ( ( )) f x g x 2) Nếu k hữu hạn, khác không, thì f(x) và g(x) là hai VCL cùng cấp. 3) Nếu , thì f(x) và g(x) là hai VCL tương đương. 1k ( ) ( )f x g x Định nghĩa Qui tắc ngắt bỏ VCL 0 lim Toång höõu haïn caùc VCL Toång höõu haïn caùc VCLx x 0 lim VCL baäc cuûa töû VCL baä cao nhaát cao nhaátc cuûa maãux x  Ví dụ Tử là tổng của ba VCL: 2 2 4 2 3 lim 4      x x x x I x x 2 4 2 3 3     x x x x x Mẫu là tổng của hai VCL: 2 4 2    x x x x 3 3 lim 2 2   x x I x 3. Liên tục của hàm số Hàm được gọi là liên tục tại , nếu xác định ( )y f x tại điểm này và Định nghĩa 0x 0 0lim ( ) ( ). x x f x f x   Nếu hàm không liên tục tại , ta nói hàm gián đoạn tại 0x Định nghĩa điểm này. đồ thị liền nét (không đứt đoạn) tại điểm (a, f(a)). Khi x tiến đến a. thì f(x) tiến đến f(a). 1) Điểm gián đoạn loại một: Định nghĩa Cho là điểm gián đoạn của đồ thị hàm số ( )y f x0x giới hạn trái f(x0-) và phải f(x0+) tồn tại và hữu hạn. x0 là điểm khử được: f(x0-) = f(x0+) 2) Điểm gián đoạn loại hai: không phải là loại một. Một trong hai giới hạn (trái hoặc phải) không tồn tại hoặc tồn tại nhưng bằng vô cùng. x0 là điểm nhảy: 0 0( ) ( )f x f x  bước nhảy: 0 0( ) ( )h f x f x   x = 2 là điểm gián đoạn loại một khử được. x = 2 là điểm nhảy: gián đoạn không khử được.  ( )f x x x = 0 là điểm gián đoạn loại hai. Tính chất của hàm số liên tục Cho là hai hàm liên tục tại , khi đó ( ), ( )y f x y g x  0x liên tục tại x0. 1) ( ); ( ) ( ); ( ) ( )f x f x g x f x g x   2) Nếu , thì liên tục tại x0. 0( ) 0g x  ( ) ( ) f x g x Nếu hàm f(x) liên tục tại và , thì tồn tại một 0x Định lý lân cận của x0, sao cho f(x) > 0 với mọi x thuộc lân cận này. 0( ) 0f x  Nếu hàm f(x) liên tục trên đoạn [a,b] và f(a).f(b) < 0, thì Hệ quả tồn tại ít nhất một x0 thuộc [a,b] sao cho f(x0) = 0. Định lý (Bozano- Côsi) Nếu liên tục trên đoạn [a,b] và f(a) = A, f(b) = B ( )y f x thì tồn tại sao cho [ , ]C A B   0 ,x a b 0( ) .f x C Các hàm sau đây được gọi là hàm sơ cấp cơ bản: 1/ hàm hằng Định nghĩa 2/ hàm lũy thừa y x  3/ hàm mũ ; 0, 1 xy a a a   4/ hàm logarit log ; ( 0, 1)ay x a a   5/ hàm lượng giác 6/ hàm lượng giác ngược 7/ hàm hyperbolic Hàm sơ cấp là hàm thu được từ các hàm sơ cấp cơ bản Định nghĩa bằng cách sử dụng hữu hạn các phép toán: cộng, trừ, nhân, chia, khai căn và phép hợp. 1 sin3 ln 2 y x x         Hàm sơ cấp liên tục trên miền xác định của nó. Định lý là hàm sơ cấp Vậy nó liên tục trên toàn miền xác định: x > -2. là hàm sơ cấp nên liên tục trên MXĐ sin 0, ( ) x x f x x    Ví dụ sin , 0 ( ) 1, 0 x x f x x x       Khảo sát tính liên tục 0 0 sin sin lim 1 lim (0) x x x x f x x      Tại x = 0: Hàm liên tục tại x = 0. Vậy hàm liên tục trên R. là hàm sơ cấp nên liên tục trên MXĐ sin 0, ( ) x x f x x    Ví dụ sin , 0 ( ) 1, 0 x x xf x x       Khảo sát tính liên tục 0 sin lim 1 x x x  Tại x = 0: x = 0 là điểm nhảy. 0 sin lim 1 x x x    Bước nhảy:    0 0 1 ( 1) 2.h f f       Tập xác định: Ví dụ 1 ( ) arctanf x x  Khảo sát điểm gián đoạn 0 1 lim arctan 2x x    Tại x = 0: x = 0 là điểm nhảy. 0 1 lim arctan 2x x      Bước nhảy:    0 0 ( ) . 2 2 h f f           \ 0fD R Tập xác định: Ví dụ 1 ( ) arctanf x x x  Khảo sát điểm gián đoạn 0 1 lim arctan 0 x x x  Tại x = 0: x = 0 là điểm gián đoạn khử được. 0 1 lim arctan 0 x x x    \ 0fD R Ví dụ   cos( / 2) , / 2,3 / 2 , 0, sin ( ) , 0 , x x x x x x f x a x b x                 Tìm a, b để hàm liên tục trên  / 2;3 / 2  0 lim ( ) x f x  0 cos( / 2) lim 1 sinx x x x   1.a  lim ( ) x f x  cos( / 2) lim sinx x x x  . 2 b    2   Ví dụ 2 , | | 1 ( ) , | | 1 x x f x x ax b x       Tìm a, b để hàm liên tục trên toàn TXĐ. 1 lim ( ) x f x   2 1 lim 1 x x ax b a b        1 1.a b    1 lim ( ) x f x  1 lim 1 (1) x x f     1 lim ( ) x f x  1 lim 1 ( 1) x x f       1 1.a b     1 lim ( ) x f x   2 1 lim 1 x x ax b a b        Vậy a = 1, b = -1. Tập xác định: Ví dụ ( ) sin x f x x Khảo sát điểm gián đoạn không tồn tại. 0 lim sinx k x x  \ ,fD R k k Z  Tại 0 0 0, 0 :x k k  Các điểm này là các điểm gián đoạn loại hai. Tại 0 0 :x  0 lim 1 sinx x x  x0 = 0 là điểm gián đoạn khử được. Tập xác định: R Ví dụ 1, ( ) x f x x     laø soá höõu tyû. 0, laø soá voâ tyû. Khảo sát điểm gián đoạn Hàm không có giới hạn tại mọi điểm. (Vì sao??) Tất cả các điểm là những điểm gián đoạn loại hai. Tập xác định: R Ví dụ , ( ) x x f x x     laø soá höõu tyû. 0, laø soá voâ tyû. Khảo sát điểm gián đoạn Hàm không có giới hạn tại mọi điểm khác 0. Các điểm khác không là những điểm gián đoạn loại hai. 0 lim ( ) 0 (0). x f x f   Tại điểm x = 0: Hàm liên tục tại x = 0. I) Chứng tỏ rằng các hàm sau không liên tục tại x0 Bài tập 2 1, 0 1) ( ) , 0 x x f x x x      0 0x  1 , 0 2) ( ) 0, 0 x f x x x       0 0x  2 1 , 0 3) ( ) 1, 0 x f x x x       0 0x  4) ( ) sign( 1)f x x  0 1x   II) Tìm các điểm gián đoạn của đồ thị, phân loại chúng 2 1/( 1), 0 1) ( ) ( 1) , 0 2 1 , 2 x x f x x x x x           1 2) ( ) cos f x x  | 2 | 3) ( ) 2 x f x x    2 3 | 1| 4) ( ) x f x x x    / 2x n   loại hai x= -2, điểm nhảy, h =2 x= 0: loại hai, x= 1: điểm nhảy, h = -2 III) Tìm các điểm gián đoạn của đồ thị, phân loại chúng arcsin 1) ( ) sin 2 x f x x  2) ( ) cos x f x x  1 3) ( ) ln | 1| f x x   2/(1 )4) ( ) 3x xf x  1/| |5) xy e x= 0, khử được / 2x n   loại hai x= 0, x= 2: loại hai, x = 1: khử được x= -1, x= 1: loại hai x= 0, khử được IV) Tìm các điểm gián đoạn của đồ thị, phân loại chúng 2 1 1) ( ) arctanf x x  2) ( ) sin( lg( 1))f x x x   1 1 3) ( ) ln 1 x f x x x    | | 4) ( ) arctan x f x x  1 5) arctan(1/ ) x y x   x= 0, khử được liên tục trên MXĐ x= 0, khử được x= 0, điểm nhảy, h=2 x= 0, điểm nhảy, h= 4/ V) Tìm các điểm gián đoạn của đồ thị, phân loại chúng 21) ( ) ln ln(1 )f x x  22) ( ) sign( 2 3)f x x x   1/ 1/ 1/ 1/ 3 2 3) ( ) 3 2 x x x x f x    5 / 3 cos 4) ( ) tan(arcsin | |) x x f x x    1 5) (sin )siny x x  x= 0, loại hai x= -1, điểm nhảy, h = -2 x= 3, điểm nhảy, h = 2 x= 0, điểm nhảy, h = 2 liên tục trên MXĐ x= 0, khử được V) Tìm giá trị a để hàm liên tục (1 ) 1 , 0, 1) ( ) , 0 nx x n N f x x a x          trên R cot(2 ), 0,| | / 2 2) ( ) , 0 x x x x f x a x      trên ( / 2, / 2)  (arcsin )cot , 0 3) ( ) , 0 x x x f x a x     trên (-1,1) sinh , 0 4) , 0 x x y x a x       trên R a n 1/ 2a  1a  1a  VI) Chứng minh rằng các pt sau có nghiệm duy nhất 1) 2 1xx   2) 2xx e  23) arctan ; 0x x a a   4) sin 1, 0 1x x     VII) CMR pt có ít nhất hai nghiệm thực 2 4 x x VIII) CMR pt có vô số nghiệm sin 1/ 2x x  IX) CMR pt chỉ có một nghiệm 110x x  0 1.x 