Giải tích 1 - Chương 1: Giới hạn và liên tục

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng ------------------------------------------------------------------------------------- Giải tích 1 Chương 1: Giới hạn và liên tục • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn Môn học cung cấp các kiến thức cơ bản về vi tích phân hàm một biến và phương trình vi phân. Mục tiêu của môn học Toán 1 Giúp học viên hiễu lý thuyết, nắm vững các kỹ năng tính toán, biết vận dụng giải các bài toán cụ thể. Biết vận dụng các phương pháp và tư duy sáng tạo vào khoa học kỹ thuật. Giới hạn và liên tục Đạo hàm và vi phân Tích phân hàm một biến Phương trình vi phân Nhiệm vụ của sinh viên. Đi học đầy đủ. Làm tất cả các bài tập cho về nhà. Đọc bài mới trước khi đến lớp. Đánh giá, kiểm tra. Thi giữa học kỳ: trắc nghiệm (20%), 20 câu hỏi/ 45 phút Thi cuối kỳ: thi viết (80%), thời gian 90 phút. Tài liệu tham khảo Nguyễn Đình Huy, Nguyễn Quốc Lân, Phép tính vi phân hàm một biến. NXBGD, 2005 Ngô Thu Lương, Nguyễn Minh Hằng. Bài tập toán cao cấp 1. James Stewart. Calculus, fifth edition, 2005. 5. Đỗ Công Khanh. Giải tích một biến. NXB Đại học quốc gia Nội dung --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 0.1 – Giới hạn của dãy số thực 0.2 – Giới hạn của hàm số 0.3 – Liên tục của hàm số Tập khác rỗng và bị chặn trên có cận trên đúng. Nguyên lý supremum. Tập khác rỗng và bị chặn dưới có cận dưới đúng. Giá trị nhỏ nhất của tập các cận trên của tập hợp A được gọi là cận trên đúng của A và ký hiệu là supA, supremum của A) Định nghĩa Giá trị lớn nhất của tập các cận dưới của tập hợp A được gọi là cận dưới đúng của A và ký hiệu là infA, infimum của A) I. Giới hạn của dãy số thực ------------------------------------------------------------ Một dãy số là một ánh xạ từ tập số tự nhiên N vào tập số thực R. Định nghĩa :u N R ( )n u n Thường dùng ký hiệu: hay đơn giản   1n nu    nu được gọi là số hạng thứ n của dãy. nu Ví dụ: Dãy số là tập hợp vô hạn các số thực được đánh số theo thứ tự:  1 2, ,..., ,...nu u u   ( 1) 1 n nu n           11 1 1 , , ,...., ,... 2 3 4 1 n nu n           Ghi ở dạng tường minh, ta có Nếu giới hạn của dãy là hữu hạn, thì dãy được gọi là dãy hội tụ. Số được gọi là giới hạn của dãy số , nếu Định nghĩa  0 00, nn n n u a        Ký hiệu: hay a  nu lim n n u a   n nu a  Ngược lại, dãy được gọi là dãy phân kỳ. Dùng định nghĩa chứng tỏ rằng Ví dụ: lim 1 1n n n   0  1 1 n n    1 1n    1 1n     Chọn số tự nhiên 0 1 1n    Khi đó 0 :| 1| 1 1 n n n n u n       0 1 1 1 1n n      lim 1 1n n n    (theo định nghĩa) Số không là giới hạn của dãy số , nếu  10 1 00, & nn N n n u a         a  nu Số a không là giới hạn của dãy , nếu tồn tại số  nu dương để với mọi số tự nhiên n tìm được số tự 0  sao cho 1 0n n 1 .nu a   Chứng tỏ rằng dãy không có giới hạn Ví dụ:   1 1 1 n nn          a R  1 1, 2 2 a a        Xét khoảng Chứng tỏ: 1| | 1n nu u   2 1 1 1 2 ku k    Thật vậy, trong hai số hạng kế nhau, có một số hạng với chỉ số chẵn và một số hạng với chỉ số lẻ. 2 1 1 1 0 2 1 ku k       1| | 1n nu u    Hai số hạng kế nhau không thể cùng nằm trong khoảng này. Vậy không tồn tại giới hạn. Ta nói tiến đến (hoặc: nhận làm giới hạn) khi và chỉ khi: Định nghĩa  0 00, N nA n n n u A       Ký hiệu: hay  nu lim n n u    n nu    Ta nói tiến đến (hoặc: nhận làm giới hạn) khi và chỉ khi:  0 00, N nB n n n u B       Ký hiệu: hay  nu lim n n u    n nu    Nếu dãy hội tụ đến hai số a và b, thì a = b. Mệnh đề 1 (tính duy nhất của giới hạn)  nu     : : a a n b b n n n n u a n n n u b                 Giả sử và . lim lim n n n n u a u b      a b Đặt 3 a b    Đặt  0 ,Max a bn n n n n n na b a u u b u a u b         2 2 | | 3 a b a b         Mâu thuẫn. Tính chất của giới hạn Ta có đều hội tụ. Nếu các dãy hội tụ và , thì    ,n nu v    ,n nu a v b       ; ; ( 0 0); , & nn n n n n n n u u v u v v b u v          các dãy  1) lim n n n u v a b      2) lim n n n u v a b     3) lim n n n u a v b       4) lim | |n n u a   Ta nói dãy bị chặn trên, nếu Định nghĩa  nu : , nA R n N u A     Ta nói dãy bị chặn dưới, nếu : , nB R n N u B      nu Một dãy vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới gọi là dãy bị chặn. Ta nói dãy là dãy tăng, nếu Định nghĩa  nu 1, n nn N u u   Một dãy tăng hay dãy giảm được gọi chung là dãy đơn điệu. Ta nói dãy là dãy giảm, nếu  nu 1, n nn N u u    0 0: | | 1nn n n u a      Giả sử lim nn u a  nu M  Nếu dãy hội tụ, thì bị chặn. Mệnh đề 2  nu  nu 1 1na u a     Đặt:  01 2, ,..., ,1 | |Max nM u u u a  Chú ý: Tồn tại những dãy bị chặn nhưng không hội tụ Ví dụ.   1 ( 1)n n    Cho 3 dãy sao cho Mệnh đề 3 (định lý kẹp)      , ,n n nu v w 0 0, n n nn n n u v w      và cùng hội tụ đến a, khi đó    ,n nu w   n nv a   Cho . 0  Vì hội tụ đến a, nên    ,n nu w 1 2, :n n N  1 2 | | | | n n n n u a n n w a               0 1 2,Maxn n nĐặt Khi đó , ta có 0n n  | | | | n n n n n u a u a v a w a w a                  | |nv a      nnv a Vậy a Ví dụ: Tìm giới hạn của dãy   2 1 n n k n u n k        2 2 2 1 1 11 n n n k n n u n n        2 1 1 1 n n n k n n n u nn        lim 1n n u     nu  nw nv  Tìm Ví dụ. 5 lim n nn n Ta có 5 5 0 , 6 6 nn n n n          0 5 lim 0 n nn n   Chứng tỏ Ví dụ. lim 1, 0.n n a a     0 n a n    0 lim 0n n     Đặt 1 0n na     1 n n na n    TH1. 1a  lim 1n n a    TH2. 0 1a  1 1 lim , 1 lim n nn n a b ab     Sử dụng TH1, lim 1. n n b   Dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ. Mệnh đề 4 (định lý Weierstrass) Dãy giảm và bị chặn dưới thì hội tụ. Cho tăng và bị chặn trên.  nu Tập khác rỗng và bị chặn trên.  1 2, ,...S u u Theo nguyên lý Supremum, có supS = a. Theo định nghĩa của supS:  000, nn a u a       Vì tăng nên  nu 00 n n n n u u    na u a a       nu a    lim n n u a    Chứng tỏ dãy truy hồi Ví dụ.   1 1, 2; 2n n nu u u u   1 2 2 2 2k ku u      là dãy tăng và bị chặn trên. Suy ra tồn tại giới hạn và tìm giới hạn này. Dùng qui nạp, chứng tỏ 2nu  Giả sử : 2nn k u   Khi đó với 1n k  Vậy dãy bị chặn trên. 2 1 2n n n n n nu u u u u u       Vậy dãy tăng. lim nu a  2a a  2 2 0a a    2.a  Chứng tỏ dãy Ví dụ.     ! , 2 1 !! n n n u u n   là dãy giảm và bị chặn dưới. Suy ra tồn tại giới hạn và tìm giới hạn này. 1 1 1 2 3 2 n n u n u n     Vậy dãy bị chặn dưới. 0 nu Vậy dãy giảm. lim nu a  1 1 1 lim 2 3 2 3 n n n n n u u a a n n            1 0 2 a a a    1 2 n n n u u u     ! lim 0 2 1 !!n n n    Định nghĩa (dãy con) Cho dãy    1 2, ,..., ,...n nu u u u kỳ nhưng phải luôn theo thứ tự từ trái qua phải. của nó được lấy từ dãy theo một cách chọn bất  nu Dãy con của dãy là một dãy mà các phần tử   kn u nu (-1) 1 3 1 5 1 -1, , - , , - , ,... 2 8 4 32 142 n n n            Một dãy con là:   1 1 1 , , ,... 2 4 14 nv        Nếu dãy có giới hạn là a, thì mọi dãy con của nó Mệnh đề 5 cũng có giới hạn là a.  nu lim n n u a    0 0, | |nn n n u a       0  Với dãy con , tồn tại  knu 0 0.kn n Khi đó  0 | |knk k u a      lim knn u a  Chú ý Thường sử dụng mệnh đề 5 để chứng tỏ không tồn tại giới hạn của dãy: 1/ Nếu tồn tại hai dãy con có giới hạn khác nhau, thì không tồn tại giới hạn của dãy ban đầu. 2/ Nếu tồn tại một dãy con phân kỳ, thì dãy ban đầu cũng phân kỳ. Chứng tỏ rằng dãy không có giới hạn Ví dụ:   1 2 1 1 3 2 n n n n         2 4 1 4 1 4 2 ( 1) 6 2 6 2 6 3 kk k k k u k k          Xét dãy con với chỉ số chẵn: n = 2k Tồn tại hai dãy con có giới hạn khác nhau 2 1 2 1 4 3 4 3 4 2 ( 1) 6 5 6 5 6 3 kk k k k u k k               Xét dãy con với chỉ số lẻ: n = 2k + 1 Vậy dãy đã cho không có giới hạn. Số e Xét dãy:   1 1 n nu n           1 1 1 1 1 2 1 ... 1 1 1 1 1 ... 2! 3! 1 1 2 1 1 1 ... 1 . ! n n n n n n n n n n                                                 Sử dụng nhị thức Newton: 1 1 1 s s n n     Vì , nên 1n nu u  Vậy dãy tăng. Số e Ta có 1 1s n   1 1 1 2 ... 2! 3! ! nu n       Vậy dãy bị chặn ( và tăng), nên dãy hội tụ. và 1 1 1 , 1,2,3,... ! 2 n n n     1 1 1 1 2 ... 2 4 2n      1 1 1 1 2 1 3 3 2 2 n n n u          Giới hạn của dãy này được ký hiệu là e, và người ta chứng minh được e là số vô tỷ, 2.718281828...e  1 lim 1 n n e n        Một số giới hạn cơ bản 1 1) lim 0, 0 n n     1 2) lim 0, 0 lnn n     1 3) lim 0 nn e  4) lim 1, n p n n p    5) lim 1, 0n n a a    6) lim 0 p nn n e  7) lim 0,| | 1n n q q    1 8) lim 1 n n e n        9) lim 1 ,a n a e a n         ln 10) lim 0, , 0 p n n p n      Qui tắc: ln !( 1)nn a na  Ví dụ. 5ln lim 0 n n n  100 lim 0 2nn n   4 lim 0 ! n n n  5 4loglim 0 2nn n   Các phương pháp tìm giới hạn của dãy: 1) Dùng các biến đổi đại số ( nhân lượng liên hiệp, sử dụng các đẳng thức quen biết, ) 2) Dùng định lý kẹp 3) Dùng định lý Weierstrass: chứng tỏ dãy đơn điệu và bị chặn. 4) Dùng giới hạn của số e. 5) Dùng dãy con để chứng minh không tồn tại. Ví dụ. Tìm giới hạn của dãy  2lim 1 n n n    HD. Nhân lượng liên hiệp Ví dụ. Tìm giới hạn của dãy 1 1 1 lim ... 1 2 2 3 ( 1)n n n           HD. Phân tích 1 1 1 ( 1) 1n n n n     Ví dụ. Tìm giới hạn của dãy 2 3sin cos lim n n n n  HD. Sử dụng định lý kẹp Ví dụ. Tìm giới hạn của dãy 84 2lim 2 2 2 2 n n     HD. Phân tích, biến đổi số mũ. Ví dụ. Tìm giới hạn của dãy 3 2 sin( !) lim 1n n n n   HD. Dùng định lý kẹp. Ví dụ. Tìm giới hạn của dãy 23 12 2 3 lim 5 n n n n         HD. Sử dụng giới hạn của dãy số e. Ví dụ. Tìm giới hạn của dãy 2 1 2 3 ... lim 3 5n n n n       HD. Sử dụng đẳng thức ( 1) 1 2 ... 2 n n n      Ví dụ. Tìm giới hạn của dãy 3 ( 1) lim 1 n n n n    HD. Tìm hai dãy con Bài tập. 21) lim 3 4 n n n n n   I) Tìm các giới hạn sau: 12) lim ( 1) nn n n    4 1 2 32 3 3) lim 2 3 n n n nn      15 2 3 5 4) lim 100 2 2 5 n n n nn         1 1 ( 1) 6 5 5) lim 5 ( 1) 6 n n n n n nn        2 3 6) lim 2 3 n n n nn     2 10 ln( 1) 7) lim ln( 1) n n n n n     2 3 2 8) lim 1 1 n n n n n        4 4 2 2 2 2 ( 1) ( 1) 9) lim ( 1) ( 1) n n n n n       2 2 lg 10 10) lim lg n n n   1 1  1 5  0 27 15 2   1 6  2 3 3 11) lim 3/ 3/ 1/ n n n n n                3 3 2 2 3 32 2 3 4 3 4 12) lim 5 6 5 6 n n n n n n n n n            100 100 99 98 2 (2 ) 200 13) lim 10 1 n n n n n n       2 ( 1) 1/ 14) lim 1/ ( 1) n nn n n      2lg 2 cos 1 15) lim 1 lg( 1) n n n n n     1  2 3  19800 1  2  2 1 ) l1 im 1 6 n n n n   2 1 17) lim 1 n n n n n     2  0 2 3 1 18) lim 1 n n n n n n     4 3 19) lim 2 1 n n n n n n      2008 20) lim n n n       5 1 ) li2 m1 5 n n n n   3 2 7 22) lim 3 3 n n n nn n n n   2 5 2 5 3 23) lim 1 n n n n n    2 4 ) lim2 5 4 n n nn n n   2log ( 3)25) lim 1/ 3 n n n   4 5  0 1 1 2  1   0 0 2 1 ) 2 nn n u a v u    2 1 ) 1 nn n u b v u    2 2 ) 1 n nn n u u c v u     2 2 3 2 ) 1 n nn n u u d v u     II) Cho Tìm 1, lim 1.n n n u u    lim n n v  1  1 2  3 1 2   22 1 1) 5 1 n n n u n        ( 1) /( 1)2 2 2) 1 n n n n u n          (1 ) /(1 ) 1 3) 2 n n n n         1 4) ! n nu n  III) Tìm lim n n u  0 1 1 0 3 /(1 )2 2 3 1 5) 2 1 n n n n n u n n           sin ! 6) 1 n n n n n  ! 7) n n n 2 arctan 8) 2 n n n  0 0 0 0 1 1 1 1) ... 1 3 3 5 (2 1) (2 1) nu n n          1 1 1 3) ... 1 2 3 2 3 4 ( 1) ( 2)n n n            1 1 4) ( 1) n n k u k k    Tìm lim n n u  1 2  1 4  1 1 2 1 1 1 12) ... 1 3 3 5 2 1 2 1 nu n n n              1 11) 13; 12 n nu u u   1 13) , ; , 0 k k n nu a u au k N a    2 1 1 1 4 4) , 2 3 n n nu u u u   Chứng tỏ rằng các dãy sau đây có giới hạn và tìm các giới hạn này 4 1 3  1 5 2   1 5k1 12) 5, 5 ; k k n nu u u k N   1 1 1 5) 1, 1 n n u u u    HD. Xét hai dãy con và  2ku  2 1ku  1k a CMR không tồn tại các giới hạn lim sin , lim cos n n n n  