Ebook Toán cao cấp

TRƯỜNG ðẠI HỌC TÀI CHÍNH – MARKETING BỘMÔN KHOA HỌC CƠ BẢN -------- TOÁN CAO CẤP Ngô Thái Hưng Năm học 2009 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH NỘI DUNG
Khái niệm chung
Hệ tuyến tính Cramer
Hệ tuyến tính tổng quát
Hệ tuyến tính thuần nhất Thời gian: 8 tiết §1. Khái niệm chung 1. ðịnh nghĩa Hệ phương trình tuyến tính (Linear Equations System) là một hệ gồm m phương trình bậc nhất theo n ẩn số có dạng tổng quát như sau: + + + =  + + + =    + + + = 1 2 n 1 1 2 n 2 1 2 n m 1 1 11 2 n 2 2 21 2 n m m m1 2 n x x ... x b x x ... x b ... ... ... ... ... ... ... ... ... x x . a a a a a a a a a.. x b §1. Khái niệm chung ðặt Hệ ñược viết lại ở dạng ma trận : AX=B A ñược gọi là ma trận hệ số, B là ma trận cột các hệ số tự do, X là ma trận ẩn, là ma trận bổ sung (hay ma trận các hệ số mở rộng). ( )                      = = = = =                              ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋯ 11 12 1n 1 1 11 12 1n 1 21 22 2n 2 2 21 22 2n 2 m1 m2 mn n m m1 m2 mn m a a a x b a a ... a b a a a x b a a ... a b A ,X ,B ,A A B ... ... ... ... ... a a a x b a a ... a b A §1. Khái niệm chung 2. ðịnh nghĩa gọi là nghiệm của hệ nếu thay X bằng CT thì A.CT=B. Hai hệ phương trình gọi là tương ñương khi chúng có cùng tập nghiệm. ( )= ∈ ℝn1 2 nC c ,c , ,c §1. Khái niệm chung 3. Tính chất 1. Hệ phương trình tuyến tính chỉ có thể có duy nhất 1 nghiệm, vô nghiệm hoặc vô số nghiệm. 2. Nếu ta ñổi thứ tự hai phương trình, nhân hai vế của một phương trình với một số khác 0, thay phương trình ñó bằng phương trình ñó cộng với một hằng số nhân một phương trình khác thì ta nhận ñược hệ mới tương ñương với hệ ban ñầu. ⇒ Các phép biến ñổi sơ cấp theo hàng trên ma trận các hệ số mở rộng cho ta hệ mới tương ñương. §2. Hệ Cramer 1. ðịnh nghĩa Hệ Cramer là hệ phương trình tuyến tính có số phương trình bằng với số ẩn và ñịnh thức của ma trận hệ số khác 0 Ví dụ ( ) − + = −  = + + =  − − = 1 2 1 2 3 1 2 x 2x 2 I 3x x x 6 2x x 1 − = = − ≠ − − 1 2 0 A 3 1 1 5 0 2 1 0 (I) Là hệ Cramer −    =     − −  1 2 0 A 3 1 1 2 1 0 §2. Hệ Cramer 2. Giải hệ Cramer Nhận xét : hệ Cramer AX = B luôn có 1 nghiệm duy nhất. 1. Sử dụng ma trận nghịch ñảo |A| ≠ 0 ⇒ A khả nghịch ⇒ X = A-1.B 2. Phương pháp Gauss Sử dụng các phép biến ñổi sơ cấp trên dòng ñể biến ma trận bổ sung về sao cho A’ là ma trận tam giác trên. Nghiệm của hệ ñược giải từ dòng dưới lên trên. ( )A A B= ( ) A ' A ' B '= §2. Hệ Cramer 2. Giải hệ Cramer 2. Phương pháp Gauss Ví dụ |A| ≠ 0 ⇒ (I) là hệ Cramer. ( ) + + =      = + + = = = −      − + + = −   1 2 3 1 2 3 1 2 3 x 3x 7x 1 1 3 7 I 2x x 2x 0 , A 2 1 2 , A 1 7x x 4x 1 7 1 4 = − = +         = → − − −        −    (2): (2) 2.(1) (3): (3) 7.(1) 1 3 7 1 1 3 7 1 A 2 1 2 0 0 5 12 2 7 1 4 1 0 22 53 8 §2. Hệ Cramer 2. Giải hệ Cramer 3. Sử dụng ñịnh thức (công thức Cramer) Gọi là ma trận nhận ñược từ A bằng cách thay cột thứ i bằng cột các hệ số tự do Khi ñó, hệ Cramer có nghiệm duy nhất : iA , i 1,n=   = =    i i det A x , i 1,n det A §2. Hệ Cramer 2. Giải hệ Cramer 3. Sử dụng ñịnh thức (công thức Cramer) Ví dụ ( ) + + =          = + + = =          − + + = −     1 2 3 1 2 3 1 2 3 x 3x 7x 1 1 3 7 1 I 2x x 2x 0 , A 2 1 2 , B = 0 7x x 4x 1 7 1 4 1 = = − = = − 1 1 3 7 3 7 det A 2 1 2 1 , 1 0 det A 1 2 1 4 1 1 7 1 4 = = − = = − − 2 3 1 7 1 3 det A 2 2 10 1 1 , det A 2 1 4 7 4 7 0 1 0 1 1  = =   = = − −    = =  1 1 2 2 3 3 det A x det A det A x det A det A x d 4 t A 1 e 10 §3. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát 1. ðịnh lý Kronecker – Capelli Cho hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình, n ẩn số, AX = B. Với , ta có : i. Nếu thì hệ vô nghiệm ii. Nếu thì hệ có 1 nghiệm duy nhất iii. Nếu thì hệ có vô số nghiệm rankA rankA< ( )A A B= rankA rankA n= = rankA rankA n= < §3. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát 2. Giải HPTTT tổng quát Cho HPTTT m phương trình, n ẩn số. Sử dụng các phép biến ñổi sơ cấp theo hàng ñể biến về là ma trận bậc thang. i. có 1 hàng có dạng kết luận hệ vô nghiệm. ii. Bỏ ñi các hàng toàn 0 trong , trên mỗi dòng còn lại chọn 1 ẩn cơ sở ñể giải, các ẩn còn lại mang giá trị tự do. ( )A A B= ( )=A' A' B' A ' ( )0 0 ... 0 b , b 0≠ A ' §3. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát 2. Giải HPTTT tổng quát Ví dụ 1 ( ) − + − =  = + + − =  + − = − 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 x 3x 2x x 2 I 4x x 3x 2x 1 2x 7x x 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 : 2 4 1 3 : 3 2 1 1 3 2 1 2 1 3 2 1 2 A 4 1 3 2 1 0 13 5 2 7 2 7 1 0 1 0 13 5 2 5 = − = −  − −   − −      = − → − −        − − − −    ( ) ( ) ( )= −  − −    → − −      3 : 3 2 1 3 2 1 2 0 0 13 5 2 7 0 0 0 2 Hệ (I) vô nghiệm §3. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát 2. Giải HPTTT tổng quát Ví dụ 2 ( ) + + =  + − + = − = + + = −  + − + = −  + − + = − 1 2 4 1 2 3 4 1 2 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x 2x 5 2x 4x x 5x 1 II x 3x 5x 3 3x 7x 3x 9x 14 2x 8x 4x 2x 22 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 : 2 2 1 3 : 3 1 4 : 4 3 1 5 : 5 2 1 1 1 0 2 5 1 1 0 2 5 2 4 1 5 1 0 2 1 1 11 A 1 3 0 5 3 0 2 0 3 8 3 7 3 9 14 0 4 3 3 29 2 8 4 2 22 0 6 4 2 33 = − = − = − = −         − − − −       = →− −     − − − −        − − − − − −    §3. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát 2. Giải HPTTT tổng quát Ví dụ 3 ( ) − − + =  − − + = =  + + − = −  − + − = − 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 3x x x 2x 1 x x 2x 4x 5 III x x 3x 6x 9 12x 2x x 2x 10 Tại dòng 1 và 2, chọn x1, x2 làm các ẩn cơ sở §4. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (homogeneous) 1. ðịnh nghĩa Hệ phương trình tuyến tính ñược gọi là thuần nhất nếu tất cả hệ số tự do bằng 0. Hệ có dạng: 11 1 12 2 1n n 21 1 22 2 2n n m1 1 m2 2 mn n a x a x a x 0 a x a x a x 0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... a x a x a x 0 + + + =  + + + =    + + + = §4. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (homogeneous) 2. Nghiệm của hệ thuần nhất Hệ thuần nhất chỉ có hai khả năng: i. Hệ có duy nhất 1 nghiệm là (0,0,..,0) ñược gọi là nghiệm tầm thường. ii. Hệ có vô số nghiệm. 3. Giải hệ thuần nhất Sử dụng phương pháp Gauss, nhưng thay vì biến ñổi ma trận , ta chỉ cần biến ñổi ma trận A. ( )A A B= §4. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 3. Giải hệ thuần nhất Ví dụ ( ) 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 4 3 0 3 5 6 4 0 I 4 5 2 3 0 3 8 24 19 0 x x x x x x x x x x x x x x x x + + − =  + + − = =  + − + =  + + − = Tại dòng 1 và 2, chọn x1, x2 làm các ẩn cơ sở