Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 11 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia! DẠNG 1. CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
Đường thẳng song song với mặt phẳng: Một đường thẳng song song với một mặt phẳng khi nó song song với một đường thẳng bất kì thuộc mặt phẳng. Viết dạng mệnh đề: ( ) ( )// // a P d P d a  ⊂ ⇔  
Tính chất giao tuyến song song: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) chứa hai đường thẳng a, b song song với nhau, thì giao tuyến nếu có của hai mặt phẳng phải song song với a và b. Viết dạng mệnh đề: ( ) ( ) ( ) ( ); ; // // // a P b Q P Q a b a b  ⊂ ⊂ ∩ = ∆ →∆ 
Tính chất để dựng thiết diện song song: Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P); một mặt phẳng (Q) chứa a, cắt (P) theo giao tuyến ∆ thì ∆ phải song song với a. Viết dạng mệnh đề: ( ) ( ) ( ) ( ) // // a P a Q a P Q   ⊂ →∆  ∩ = ∆
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: + Định nghĩa: Đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) khi nó vuông góc với mọi đường thẳng a nằm trong (P). Viết dạng mệnh đề: ( ) ( )a Pd P d a ∀ ⊂⊥ ⇔  ⊥ + Hệ quả 1: Để chứng minh đường thẳng d vuông góc với (P) ta chỉ cần chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (P). + Hệ quả 2: Nếu hai đường thẳng phân biệt d1; d2 cùng vuông góc với (P) thì d1 // d2. + Hệ quả 3: Nếu hai mặt phẳng (P1); (P2) cùng vuông góc với đường thẳng d thì (P1) // (P2). + Hệ quả 4: Nếu đường thẳng d cùng vuông góc với một đường thẳng a và một mặt phẳng (P) thì khi đó đường thẳng a hoặc song song với (P) hoặc nằm trong (P). Viết dạng mệnh đề: ( ) ( ) ( ) //a Pd a d P a P ⊥ → ⊥ ⊂   03. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG – P1 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 11 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia! + Hệ quả 5: Nếu đường thẳng d có hình chiếu vuông góc xuống (P) là d’; đường thẳng a nằm trong (P) vuông góc với d khi và chỉ khi a vuông góc với d’. Ví dụ 1. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy. a) Chứng minh rằng BD ⊥ (SAC) b) Gọi M, N là trung điểm của SC, SD. Chứng minh MN ⊥ (SAD) c) Cho 3.=SA a Tính góc giữa hai đường thẳng SB và CN. Ví dụ 2. [ĐVH]: Cho tứ diện ABCD có DA ⊥ (ABC), tam giác ABC cân tại A với 6; . 5 = = = aAB AC a BC Gọi M là trung điểm của BC, kẻ AH ⊥ MD, với H thuộc MD. a) Chứng minh rằng AH ⊥ (BCD) b) Cho 4 . 5 = aAD Tính góc giữa hai đường thẳng AC và DM. c) Gọi G1 ; G2 là trọng tâm các tam giác ABC và DBC. Chứng minh rằng G1G2 ⊥ (ABC). Ví dụ 3. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy. Gọi B1; C1; D1 là hình chiếu vuông góc của A lên các cạnh SB, SC, SD. a) Chứng minh rằng B1D1 // BD và SC ⊥ (AB1D1) b) Chứng minh rằng các điểm A, B1, C1, D1 đồng phẳng và tứ giác AB1C1D1 nội tiếp đường tròn. c) Cho 2.=SA a Tính góc giữa hai đường thẳng SB và AC1. Ví dụ 4. [ĐVH]: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Kẻ OH ⊥ (ABC) a) Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc nhọn. b) Chứng minh OA ⊥ BC; OB ⊥ AC; OC ⊥ AB c) Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ABC. d) Chứng minh rằng 2 2 2 2 1 1 1 1 = + + OH OA OB OC Ví dụ 5. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABC có SB vuông góc với mặt phẳng (ABC), tam giác ABC vuông tại A. a) Chứng minh rằng tam giác SAC vuông. b) Tính SA, SB, SC biết

α; β; .= = =ACB ACS BC a BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1. [ĐVH]: Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với (ABC) và ∆ABC vuông ở B. Chứng minh rằng a) BC ⊥ (SAB). b) Gọi AH là đường cao của ∆SAB. Chứng minh rằng AH ⊥ (SBC). Bài 2. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Gọi I, J lần lượt là trung điểm AB, BC. Biết SA = SC, SB = SD. Chứng minh rằng a) SO ⊥ (ABCD). Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 11 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia! b) IJ ⊥ (SBD). Bài 3. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và có cạnh SA ⊥ (ABCD). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A lên SB, SC, SD. a) Chứng minh rằng rằng CD ⊥ (SAD), BD ⊥ (SAC). b) Chứng minh rằng SC ⊥ (AHK) và điểm I cũng thuộc (AHK). c) Chứng minh rằng HK ⊥ (SAC), từ đó suy ra HK ⊥ AI. Bài 4. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và 2SC a= . Gọi H, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD. a) Chứng minh rằng SH ⊥ (ABCD). b) Chứng minh rằng AC ⊥ SK và CK ⊥ SD. Bài 5. [ĐVH]: Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều; SAD là tam giác vuông cân đỉnh S. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. a) Tính các cạnh của ∆SIJ và chứng minh rằng SI ⊥ (SCD), SJ ⊥ (SAB). b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ. Chứng minh rằng SH ⊥ AC. c) Gọi M là một điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM ⊥ SA. Tính AM theo a. Đ/s: a) 3; , . 2 2 a a a c) 5 . 2 a Bài 6. [ĐVH]: Cho ∆MAB vuông tại M ở trong mặt phẳng (P). Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A ta lấy 2 điểm C, D ở hai bên điểm A. Gọi C′ là hình chiếu của C trên MD, H là giao điểm của AM và CC′. a) Chứng minh rằng CC′ ⊥ (MBD). b) Gọi K là hình chiếu của H trên AB. Chứng minh rằng K là trực tâm của ∆BCD. Bài 7. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD, có SA ⊥ (ABCD) và SA = a, đáy ABCD là hình thang vuông có đường cao AB = a ; AD = 2a và M là trung điểm AD. a) Chứng minh rằng tam giác SCD vuông tại C. b) Kẻ SN vuông CD tại N. Chứng minh rằng CD ⊥ (SAN).