Động lực học lưu chất

a coù: HA+yA=HB+yB Giaûi ra ñöôïc: HA=yB ; HB=yA Suy ra: Ví duï10c: Beân hoâng moät bình chöùa nöôùc coù một loã thaùo nöôùc nhö hình veõ. Loã phải naèm döôùi maët thoaùng nöôùc một độ h bằng bao nhiêu để tia nước bắn ra va rơi xuống một vị trí xa nhất tính từ bình?Cột nước trong bình là H, bỏ qua mất năng Giaûi: Chọn x höôùng ngang vaø y höôùng xuoáng, goác toïa ñoä taïi loã, g laø gia toác troïng tröôøng. phöông trình ñöôøng quyõ ñaïo cuûa tia nöôùc baén ngang ra khoûi loã vôùi vaän toác V cho döôùi daïng: x2=2V2y/g. Gọi x0 , y0 là tọa độ tia nước tại vị trí chạm mặt đất: 2 2 2 20 0 0 0 0 2 4 4 4 ( ) 4 4V y gh yx x hy h H h h Hh g g = ⇒ = = = − = − + Đặt Y=x02, khảo sát Y theo h ta thấy : Vậy Y đạt giá trị max khi h=H/2 hay vị trí của lổ tháo nằm ở độ sâu H/2 thì nước sẽ bắn ra xa nhất 8 4 0 2 dY dY Hh H h dh dh = − + → = ⇔ = o h Pa y H xy0 x0 2V gh= PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay DONG LUC HOC 15 ∫∫∫∫∫∑ +∂∂= A nw dAuρ)u(dwρ)u(tFngoaïilöïc Daïng toång quaùt cuûa p.tr ÑL (chöùng minh töø chöông Ñoäng Hoïc): VI. PHÖÔNG TRÌNH ÑOÄNG LÖÔÏNG ¾Ñoái vôùi doøng nguyeân toá chuyeån ñoäng oån ñònh (vaøo ôû dA1; ra ôû dA2): ngoaïilöïc∑=− FdAuρudAuρu 1n1112n222 GGG ¾Ñoái vôùi toaøn doøng chaûy töø maët caét 1-1 ñeán 2-2, ta caàn chieáu phöông trình ÑL treân leân moät phöông s baát kyø, roài sau ñoù laáy tích phaân treân töøng m/c A1, A2: ngoailucs A s A s FdQudQu ∑∫∫ =− 1 111222 2 ρρ 0=∂ ∂ Wt X ∫∫∫∫∑ ==⇒ AA n dQρudAuρuF GG ngoaïilöïc¾ Ñoái vôùi doøng oån ñònh: s/s/ras101s202s )VαVα(Qρ)F( vaøoÑLÑL −=−=∑ Nhö vaäy ph.trình Ñoäng löôïng chieáu treân moät phöông s baát kyø ñoái vôùi toaøn doøng chaûy oån ñònh löu chaát khoâng neùn ñöôïc ñi vaøo m/c 1 ra m/c 2 vieát döôùi daïng sau: ¾Tröôøng hôïp doøng chaûy coù nhieàu m/c ra vaø nhieàu m/c vaøo: s/vaøos/ras ÑLÑL)F( ∑∑∑ −= Ta coù: S/VSS/t A s LQVρLdQρu ÑÑ thaä =>=∫ QVÑLdQuÑL sV A sthaät ρα=α=ρ= ∫ 00 α0 laø heä soá hieäu chænh ñoäng löôïng; α0taàng=4/3; α0roái =1,02-1,05 Ta ñöa vaøo heä soá α0 : PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay DONG LUC HOC 16 VII. AÙP DUÏNG PHÖÔNG TRÌNH ÑOÄNG LÖÔÏNG Phaân tích ngoaïi löïc, thoâng thöôøng goàm coù caùc löïc sau ñaây: ¾Troïng löïc G ¾Löïc ma saùt Fms giöõa chaát loûng vôùi thaønh raén. ¾Phaûn löïc N vuoâng goùc vaø töø thaønh raén taùc duïng vaøo khoái löu chaát. ¾AÙp löïc Fi töø caùc phía taùc duïng vaøo caùc m/c (maø doøng chaûy ra hoaëc vaøo khoái theå tích kieåm soaùt. (tính nhö aùp löïc thuyû tónh). Hai löïc giöõa (Fms vaø N) thoâng thöôøng gom chung thaønh moät löïc R goïi laø phaûn löïc cuûa thaønh raén taùc duïng vaøo khoái löu chaát. Löïc troïng tröôøng G thoâng thöôøng bò trieät tieâu khi chieáu leân phöông naèm ngang (vì G theo phöông thaúng ñöùng), hoaëc giaû thieát nhoû neân khoâng tính tôùi (tröø tröôøng hôïp coù giaù trò lôùn ñaùng keå vaø khi chieáu p.tr ÑL leân phöông thaúng ñöùng) s/vaøos/rasss ÑLÑL)VV(Q)F( −=α−αρ=∑ 101202 Lưu chất khối lượng rieâng ρ chảy trong trong ống troøn baùn kính ro coù phaân bố vận tốc như sau: ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −= 2 2 max 1 or ruu Trong đoù umax laø vận tốc cực ñại tại taâm ống. Chọn trục chuẩn trùng với trục ống và nếu áp suất tại tâm ống là áp suất khí trời Tìm ñộng lượng và năng lượng ñi qua mặt cắt thẳng goùc với doøng chảy trong ñơn vị thôøi gian ÑS: ĐN= ρumax3 πro2/8 ĐL= ρumax2 πro2/3 Ví duï (töï giaûi): PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay DONG LUC HOC 17 Ví duï 11. Löïc F t/duïng leân voøi cöùu hoaû: 21101202 FFR)VV(Q x −+=α−αρ AÙp duïng p. tr ÑL cho theå tích KS nhö hình veõ: Choïn α0=1: 112x F)VV(QR −−ρ=⇒ F1=p1A1; F2=0; aùp duïng theâm p.tr naêng löôïng cho doøng chaûy töø 1-1 tôùi 2-2, ta coù: ( ) 1 2 1 2 2 1 2 1 2 21 22 AVVF g VVp −ρ=⇒−=γ 0 2 VVV)VV(A A 2 )VV()VV(VAR 12 1121 1 2 1 2 2 1211x <⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−−ρ= −ρ−−ρ=⇒ Nhö vaäy löïc F cuûa löu chaát taùc duïng vaøo voøi höôùng tôùi vaø baèng R. F1 1 1 2 2 F x F2=0 Ví duï 12. Löïc F cuûa doøng chaûy taùc duïng leân voøi uoáng cong 900: x202 R)V(Q =αρ Choïn α0=1: 0)V(QR 2x >ρ=⇒ Treân phöông x: Treân phöông y: 1y101 FR)V(Q +=α−ρ 0F)V(QR 11y <−−ρ=⇒ Ta suy ra: Rx höôùng tôùi tröôùc, Ry höôùng xuoáng döôùi. Nhö vaäy löïc cuûa doøng chaûy taùc duïng leân voøi: Fx höôùng ra sau ; Fy höôùng leân treân V2 V1; p1=194 Kpa x y 1 1 2 2 D1=27cm D1=13cm Q=0,25 m3/s F1 F2=0Rx Ry Fy Fx F Theá soá vaøo ta ñöôïc: Fx=4709 N; Fy=11109 N; F=12065N PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay DONG LUC HOC 18 Ví duï 13. Löïc cuûa doøng chaûy taùc duïng leân ñaäp traøn: AÙp duïng p. tr ÑL cho theå tích KS nhö hình veõ: H hc L1 F 1 1 c c F1 F2 L2 )(FF)VV(QR cx ∗+−−ρ= 211 F1=p1A1=[γ(H+L2)/2]A1; F2=p2A2=[γ(hc)/2]A2 Boû qua maát naêng: )hLH(g AA AAQ gA Q h gA Q LH g Vpz g Vpz c c c c c c ccc c −+−=⇔ α+=α++⇔ α+γ+= α+γ+ 122 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 22 111 1 2 22 22 Sau khi tính ñöôïc löu löôïng ta tính Vc =Q/Ac ; V1=Q/A1; Sau ñoù theá vaøo p.tr (*) ñeå tìm Rx; vaø F=-Rx. Ví duï 14. . Löïc taùc duïng cuûa tia nöôùc ñaäp vaøo caùnh gaùo u* A V V 1 12 2 Fx a.Khi giöõ xe ñöùng yeân, Löïc taùc duïng leân xe Fx = -Rx AV2)VV(VA FF)VV(QR 2 2112x ρ−=−−ρ= −−−−ρ= F1vaø F2 ñeàu baèng 0 vì ñaây laø doøng tia, chung quanh ñeàu laø aùp suaát khí trôøi b. Khi xe chuyeån ñoäng tôùi vôùi vaän toác u*, Löïc taùc duïng Fx=-Rx vaøo xe seõ nhoû hôn vaø baèng: A*)uV(*))uV(*)uV((A*)uV(Rx 22 −ρ−=−−−−−ρ= Nhö vaäy, coâng suaát haáp thuï bôûi gaàu baèng: ∗∗ −ρ== Au)uV(uFN *xgaàu 22 Coâng suaát cung öùng bôûi voøi nöôùc: 2 VA 2 VQN 32 voi ρ=ρ= Hieäu suaát caû heä thoáng (ñaët x=u*/V): 2 2 3 2 144 2 2 )x(x V uV V u /AV Au)uV( N N **** voøi gaàu −=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −=ρ −ρ==η Khaûo saùt haøm soá treân, ta thaáy η daït giaù trò cöïc ñaïi khi x=1(loaïi boû) vaø x=1/3. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay DONG LUC HOC 19 Ví duï 15 . OÁng Borda thaúng ñöùng: Ac H A 0 0 11 + Ab 11VVARG cy ρ=− Xem nhö oáng Borda ñuû daøi ñeå ôû saùt ñaùy bình nöôùc yeân laëng. Ta coù: G=ρgAbH; Ry=ρg(Ab-A)H; gHV 21 =Suy ra: cc AAgHAgAH 22 =⇒ρ=ρ Ví duï 16 . Q=12 lít/s. Tìm V1; V2. Boû qua maát naêng, xaùc ñònh p1 Xaùc ñònh Fx taùc duïng leân oáng g2 Vpz g2 Vpz 2 222 2 2 111 1 α+γ+= α+γ+ m/s 2.39 )08.0(* 4*10*12 D 4.Q A QV 2 3 2 11 1 =π=π== − m/s 6.12 )05.0(* 4*10*12 D 4.Q A QV 2 3 2 21 2 =π=π== − 671.2747NApFm61.13 g2 V g2 Vzzp 111 2 11 2 22 12 1 ==⇒=α−α+−=γ⇒ 112x F)VV(QR −−ρ= -626.584N 10*81.9*61.13 4 )08.0(*14.3)39.212.6(10*12*1000R 3 2 3 x = −−= − P1? D1=8cm D2=5cm 12m V2 Rx N58.626Fx =⇒ PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay DONG LUC HOC 20 Ví duï 17 . V=30m/s. Tính löïc naèn ngang caàn giöõ cho xe ñöùng yeân Neáu ñeå xe chaïy tôùi vôùi u=5m/s, thì löïc taùc ñoäng vaøo xe laø bao nhieâu? Tìm hieäu suaát 300 D=50mm V x 1 1 ))30cos(V(QR 01x −ρ= -1530.39N))30cos(30(*059.0*1000R 0x =−= s/m059.0V 4 DVAQ 3 2 =π== Vaäy löïc Fx ñeå giöõ xe ñöùng yeân laø 1530N Khi xe chuyeån ñoäng tôùi vôùi vaän toác u=5 m/s, thì ph. Tr ÑL seõ vieát laïi nhö sau: 1235.8689N )5)30cos(*30(*059.0*1000 ]u)30cos(V[QR 0 0 1x = −−= −ρ−= Coâng suaát tia nöôùc: 26507.19W 2 VA 2 VQN 32 tia =ρ=ρ= Coâng suaát xe: 6179.345W5*8689.1235uFN xxe === Hieäu suaát: 233.0N N tia xe ==η Câu 19: Tia nước diện tích A bắn vào thùng nước đặt trên xe. Bên hông dưới đáy thùng có lỗ tháo nhỏ thành mỏng cũng diện tích A. Cột nước H trong thùng không đổi và bỏ qua mất năng. Cho A=100cm2; H=3m. Để xe không chuyển động, cần tác động vào xe một lực nằm ngang Fx bằng: α A H Hình câu 19 Ví duï 17b bao nhiêu. Góc α=300 ĐS: 78,85 N PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay DUONG ONG 1 CHÖÔNG TS. Nguyeãn Thò Baûy δtaàng Ñoaïn daàu chaûy taàng Re = VL/ν < Rephaân giôùi ÖÙùng vôùi lôùp bieân chaûy taàng L=0 L=Ltôùi haïn Ñoaïn chaûy roái Re = VL/ν > Rephaân giôùi ÖÙùng vôùi lôùp bieân chaûy roái δroái Caùc maáu nhaùm Lôùp bieân taàng ngaàm coù beà daøy δtaàng ngaàm I. DOØNG CHAÛY TREÂN BAÛN PHAÚNG PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay DUONG ONG 2 II. DOØNG CHAÛY TRONG OÁNG Ta hình dung doøng chaûy trong oáng gioáng nhö doøng chaûy qua baûn phaúng ñöôïc cuoän troøn laïi. Nhö vaäy theo lyù thuyeát , ôû ñaàu vaøo cuûa oáng coù moät ñoaïn maø doøng chaûy ôû cheá ñoä chaûy taàng, roài sau ñoù môùi chuyeån sang chaûy roái. Ñoaïn ñaàu oáng chaûy taàng L=0 L=Ltôùi haïn Ñoaïn tieáp theo chaûy roái Vaãn toàn taïi lôùp bieân taàng ngaàm coù beà daøy δtaàng ngaàm Loõi roái Vò trí lôùp bieân taàng ñaõ phaùt trieån hoaøn toaøn III. PHÖÔNG TRÌNH CÔ BAÛN CHO DOØNG ÑEÀU TRONG OÁNG Trong oáng xeùt ñoaïn vi phaân doøng chaûy ñeàu hình truï coù dieän tích dA nhö hình veõ: 0LτχdApdAp L )zz(LdAγ 2121 =−−+− Ta coù : J = hd / L laø ñoä doác thuyû löïc, L laø chieàu daøi ñoaïn doøng chaûy Töø pt cô baûn coù theå vieát : 0 max 0 max r r ττhay 2 rJγτ == Rγ Lτh Rγ Lτ) γ pz() γ pz( d2211 =⇔=+−+ 0FFFαsinG ms21 =−−+ F2=p2dA F1=p1dA Fms G Gsinα s τ =τmax τ =0 1 1 2 2 α Maët chuaån z1 z2 L Löïc taùc duïng treân phöông doøng chaûy ( phöông s) : Phöông trình cô baûn cuûa doøng ñeàuJRγτ =Suy ra: ÖÙùng suaát tieáp tyû leä baäc nhaát theo r2/Jrγτ =Hay: PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay DUONG ONG 3 IV.PHAÂN BOÁ VAÄN TOÁC TRONG DOØNG CHAÛY TAÀNG PHAÙT TRIEÅN HOAØN TOAØN TRONG OÁNG hay ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −= 2 o 2 max r r1uu Phaân boá vaän toác trong chaûy taàng coù daïng Parabol dr du μτ −= Newton 2 rJγτ = P.Tr.C.Baûn 2 rJγ dr du μ =− C μ4 rJγu 2 +−= o u r dr r parabol r r0 ∫ −= drμ2rJγu ( )22o rrμ4Jγu −= Taïi r=0 ta coù u=umax ( )2omax rμ4Jγu = Taïi r=r0 ta coù u=0 μ4 rJγC 2 0= ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −= 2 o 22 o max r rruu dr μ2 rJγdu −= ro r dA Löu löôïng vaø vaän toác trung bình trong doøng chaûy taàng trong oáng : ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −= 2 o 2 max r r1uu π= = π ⇒ = π = − π⇒ = ⇒ = = ∫ ∫0 0 r r 2 2max 02 00 0 2 0 max max 2 udQ udA u.2 rdr Q 2 urdr (r r )rdr r r u Q uQ V 2 A 2 PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay DUONG ONG 4 V.PHAÂN BOÁ VAÄN TOÁC TRONG DOØNG CHAÛY ROÁI Ñoái vôùi doøng chaûy roái trong oáng, öùng suaát tieáp phuï thuoäc chuû yeáu vaøo ñoä chuyeån ñoäng hoãn loaïn cuûa caùc phaân töû löu chaát, do ñoù: τ = τtaàng + τroái ; vì τroái >> τtaàng neân ta boû qua τtaàng Theo Prandtl: öùng suaát nhôùt roái khoâng phuï thuoäc vaøo tính nhôùt cuûa löu chaát. Nhaän xeùt: Töø thí nghieäm , Nikudrase cho raèng chieàu daøi xaùo troän l trong oáng: 2/1 or y1kyl ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −= k : haèng soá Karman ( k = 0,4) roi du dy τ = εNeáu ñaët: Theo giaû thieát cuûa Prandtl, ε phuï thuoäc vaøo chieàu daøi xaùo troän vaø gradient vaän toác, goïi laø öùng suaát nhôùt roái, vaø tính baèng: dy dulρε 2= y u y : khoaûng caùch töø thaønh ñeán lôùp chaát loûng ñang xeùt l :chieàu daøi xaùo troän Nhö vaäy: 2 2 roi 2 dul dy τ = ρ 2 2 2 roi 2 0 y duk y 1 r dy ⎛ ⎞τ = ρ −⎜ ⎟⎝ ⎠ 2 2 2 max 2 0 0 r y duk y 1 r r dy ⎛ ⎞ ⎛ ⎞τ = ρ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Nhö vaäy: Phaân boá löu toác trong tröôøng hôïp chaûy roái coù daïng ñöôøng logarit Nhaän xeùt: söï phaân boá vaân toác trong tröôøng hôïp chaûy roái töông ñoái ñoàng ñeàu , gaàn vôùi vaän toác trung bình hôn so vôùi tröôøng hôïp chaûy taàng. Ñoù cuõng laø lyù do taïi sao caùc heä soá hieäu chænh ñoäng naêng (α) hay heä soá hieäu chænh ñoäng löôïng (αo) coù theå laáy baèng 1 y u ro o τma x Umax Đường cong logarit Neáu ñaët goác toaï ñoä taïi thaønh oáng: 2 2 0 22 0 0 max dy du r y1ykρ r yr τ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − 2 2 22 max dy duykρτ = 2 2 2 max2 y dy kρ τdu = y dy k 1 ρ τdu max= Ñaët ρ τ= max*u ( u*: vaän toác ma saùt)y dy k udu * = CyLn k uu * += Taïi taâm oáng r = ro , u = umax o * max rLnk uuC −= y rLn k uuu o * max −= PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay DUONG ONG 5 VI. TÍNH TOAÙN MAÁT NAÊNG CUÛA DOØNG CHAÛY ÑEÀU TRONG OÁNG 1. Maát naêng ñöôøng daøi: ™ Coâng thöùc Darcy: = λ 2 d L Vh D 2 g λ: heä soá ma saùt doïc döôøng oáng. Töø thöïc nghieäm, öùng suaát tieáp saùt thaønh oáng phuï thuoäc vaøo caùc ñaïi löôïng sau: τmax = f(V, D, ρ, μ, Δ)τmax = KVa.Db. ρc. μd . Δe Caân baèng thöù nguyeân: [ ] [ ]⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ a c d b e 2 3 M L M ML L LT T L TL M: 1 = c+d L : -1 = a + b - 3c - d + e T : -2 = - a - d suy ra: e = e ; d = d; c = 1 – d; b = -d - e; a = 2 - d Vaäy τmax =KV2-d .D-d-e . ρ1-d . μd. Δe 0 max rJ 2 τ = γ Maët khaùc d e 2 max 2 VDK V D Vf(Re, ) D 2 −⎛ ⎞ρ Δ⎛ ⎞τ = ρ⎜ ⎟⎜ ⎟μ ⎝ ⎠⎝ ⎠ Δ ρ= λ=4f(Re, Δ/D) = λ 2 d L Vh D 2g Δ ργ = = γ Δ Δ⇒ = = 2 d 2 2 d 0 r V h rJ f(Re, ) 2 D 2 L 2 V L V Lh 2f(Re, ) 4f(Re, ) D 2g r D 2g D 0 0 Tính toùan heä soá ma saùt doïc döôøng oáng λ: ƒ Doøng chaûy roái: ¾Roái thaønh trôn thuûy löïc: (2300 < Re < 105 ) : λ = f(Re). Khi beà daøy lôùp bieân taàng ngaàm δtngaàm > Δ (chieàu cao trung bình caùc maáu nhaùm). Caùc coâng thöùc thöïc nghieäm : λ = 1 4tr 0,316 Re Blasius: ¾Roái thaønh nhaùm thuûy löïc: ( Re > 105 ): λ = f(Re, Δ/D). Khi beà daøy lôùp bieân taàng ngaàm δtngaàm < Δ Antersun: Δ⎛ ⎞λ = +⎜ ⎟⎝ ⎠ 0,251000,1 1,46 D Re Colebrook: Δ⎛ ⎞= − +⎜ ⎟λ λ⎝ ⎠ 1 2,512 lg 3,71.D Re λ = ⇒ ≈ 1d64 h VReSuy ra: ƒ Doøng chaûy taàng: γ γ μ= ⇒ = = =μ μ γ γ 2 2 2 max 0 d 2 u Jr JD 32 VL 64 L VV= = h JL VD2 4 .2 32 D D 2g ν Prandtl-Nicuradse: = λ −λtr 1 2lg(Re ) 0,8 tr PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay DUONG ONG 6 ¾ Chaûy roái thaønh hoaøn toaøn nhaùm (khu söùc caûn bình phöông) λ = f( Δ/D). Khi Re raát lôùn > 4.106). Prandtl-Nicuradse: ) D17,3lg(214,1Dlg21 Δ≈+Δ=λ Cheùzy: λ = = 1628g 1; C RC n C laø heä soá Chezy, tính thöïc nghieäm theo Manning vôùi n laø heä soá nhaùm Ta chöùng minh coâng thöùc Chezy nhö sau: Theo Chezy, vaän toác tính baèng : JKRJACQRJCV ==⇒= K goïi laø module löu löôïng: ( ) 32Rn 1ARACK == J laø ñoä doác thuûy löïc : dh EJ L L Δ= = −Δ Δ Nhö vaäy, coâng thöùc tính maát naêng ñöôøng daøi (trong tröôøng hôïp coù soá lieäu ñoä nhaùm n) laø: L K Qh 2 2 d = = λ = λ ⇒ = =λ ⇒ λ = 2 2 d d 2 L V L V 8g hh V R C RJ D 2g 4R 2g L 8g C ΔL laø chieàu daøi ñoaïn doøng chaûy 7 0,000 01 1 2 3 4 5 7 x10 3 1 2 3 4 5 7 x10 4 1 2 3 4 5 7 x105 1 2 3 4 5 7 x106 1 2 3 4 5 7 x107 1 x10 8 0,000 005 0,000 007 0,000 05 0,000 1 0,000 2 0,000 4 0,000 6 0,001 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,015 0,02 0.03 0,04 0,05 0,008 0,009 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1 Khu chaûy roái thaønh nhaùm hoaøn toaøn (Khu söùc caûn bình phöông) Khu Chaûy taàng Khu chaûy roái thaønh nhaùm Khu chaûy roái thaønh trôn Khu chuyeån tieáp Re = vD/ρ μ λ Δ=Δ/ D _ ÑOÀ THÒ MOODY 8 Log(Re) 6543 PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay DUONG ONG 7 2. Maát naêng cuïc boä: Tính theo coâng thöùc thöïc nghieäm Weisbach: g Vh cc 2 2 ξ= ξc laø heä soá maát naêng cuïc boä, phuï thuoäc vaøo töøng daïng maát naêng (phuï luïc CLC). Thöôøng thöôøng, V laø vaän toác doøng chaûy taïi vò trí sau khí xaûy ra maát naêng, tröø hai tröôøng hôïp sau ñaây: ¾Môû roäng ñoät ngoät: Coù 2 heä soá ξ öùng vôùi hai m/c 1-1 vaø 2-2 nhö hình veõ: 1 1 2 2 V1,ξ 1 V2,ξ 2 1VVvôùiA A =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −=ξ 2 2 1 1 1 2VVvôùiA A =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −=ξ 2 1 2 2 1 ¾ÔÛ mieäng ra cuûa oáng: g Vh cc 2 2 ξ= vôùi ξc=1 vaø V laø vaän toác cuûa ñöôøng oáng ra (vaän toác taiï m/c tröôùc khi xaûy ra toån thaát) IV. CAÙC TÍNH TOAÙN TRONG ÑÖÔØNG OÁNG 1. Phaân bieät ñöôøng oáng daøi, ngaén: hc<5%hd : oáng daøi hc>5%hd : oáng ngaén Trong tröôøng hôïp oáng ngaén, khi tính toaùn phaûi tính caû toån thaát hd laãn hc 2. Ñöôøng oáng maéc noái tieáp (boû qua maát naêng cuïc boä) Ta thieát laäp ñöôïc caùc ptr: 321 3d2d1d QQQQ hhhH === ++= Goïi H laø toång toån thaát cuûa doøng chaûy qua caùc oáng, Ta coù : Sau khi tìm ñöôïc Q, ta laàn löôït tìm hd1, hd2, hd3 theo coâng thöùc: i i i di LK Qh 2 2 = l1; d1; n1 l2; d2; n2 l3; d3; n3 0 0 H0-3 3 3 g2 VHH 2 3 30 +=− Ta thaáy coù 4 thoâng soá thuyû löïc caàn xaùc ñònh: Q, hd1, hd2, hd3, H. Neáu cho tröôùc moät thoâng soá, döïa vaøo heä phöông trình treân ta xaùc ñònh caùc thoâng soá coøn laïi Ví duï 1: Cho H, tìm Q, hd1, hd2, hd3. i 2 i 1 2 i 22 2 31 2 d1 d2 d3 1 2 32 2 2 1 2 3 3 L2 3K Li 1 K i 1 QQ QH h h h L L L K K K HQ Q = = = + + = + + = ⇒ =∑ ∑ PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay DUONG ONG 8 3. Ñöôøng oáng maéc song song (boû qua maát naêng cuïc boä). A B L1 , d1, n1 L2, d2 , n2 L3 , d3 , n3 Ta coù: EA-EB=HAB = hd1 = hd2 = hd3 vaø Q = Q1 + Q2 + Q3 Cuõng gioáng nhö baøi toaùn maéc noái tieáp, ôû ñaây cuõng coù 5 thoâng soá thuyû löïc: Q , Q1 , Q2 , Q3 vaø HAB. Ta cuõng seõ tìm boán thoâng soá coøn laïi khi bieát ñöôïc moät thoâng soá. Ví duï 2: Cho Q, tìm Q1 , Q2 , Q3 vaø HAB. Töø : i di iii i i di L hKQL K Qh =⇒= 2 2 2 3 1i i i 2 AB 3 1i i i AB321 L K QH L KHQQQQ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=⇒ =++= ∑ ∑ = = Sau khi tìm ñöôïc HAB, ta tính Qi theo coâng thöùc: i di ii L hKQ = EA-EB=HAB = hd1 +hC11 +hC12 = hd2 = hd3 +hC31 +hC32 Löu yù: Neáu coù tính tôùi maát naêng cuïc boä l1; d1; n1 l2; d2; n2 l3; d3; n3 A B zA zB zCC J 4. Giaûi baøi toaùn caùc oáng reõ nhaùnh noái caùc hoà chöùa (boû qua maát naêng cuïc boä). Ví duï 3: Cho zC = 2,4m; Q3=50lít/s; zB=3,04m. Tìm Q1; Q2; zA. Cho: L1=1250m; d1=0,4m; n1=0,016. ⇒A1=0,1256 m2 L2=1400m; d2=0,32m; n2=0,016. ⇒A2=0,0804 m2 L3=800m; d3=0,24m; n3=0,02. ⇒A3=0,0452 m2 Giaûi: Theo coâng thöùc: RACK = suy ra: K1=1,691 m3/s; K2=0,933 m3/s K3=0,347m3/sΤa coù : gA QzL K Q g VzhE g VpzEEEh CCCdJCCCJCJd 22 ) 2 ( 2 3 2 3 32 3 2 3 2 3 2 3 ++=++=⇒+γ+−=−= Theá soá ta ñöôïc EJ=19,06m > EB=3.04m neân nöôùc seõ chaûy töø J ñeán B. Q1 = Q2 + Q3 (1)Ta laäp ñöôïc caùc heä phöông trình sau: 2 1 A J d1 J 12 1 2 2 J B d2 B 22 2 Qz E h E L (2) K QE z h z L (3) K = + = + = + = + Töø ph trình (3) ta tính ñöôïc : Q2 = 100lít/s; Q1= Q2 + Q3 =100+50=150 lít/s. Töø ph trình (2), tính ñöôïc: zA=28,87 m PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay DUONG ONG 9 Ví duï 4: Cho heä thoáng oáng noái caùc bình chöùa nhö hình veõ. Caùc thoâng soá thuyû löïc cuûa caùc ñöôøng oáng cho nhö sau: L1= 1000m ; d1=0,4m ; n1= 0,02 L2= 800m ; d2=0,4m ; n2= 0,02 L3= 500m ; d3=0,4m ; n3= 0,02 Cho zA = 15m; zB = 7m; zC = 2m.. Tìm löu löôïng chaûy trong 3 oáng. J B C zB zC zA A Q1 Q2 Q3 Giaûi: Vôùi caùc soá lieäu cho treân ta tính ñöôïc: K1 = K2 = K3 = 1,353 lít/s. Ta khoâng bieát trong oáng 2 coù doøng chaûy khoâng (vì coøn tuyø thuoäc vaøo coät nöôùc naêng löôïng EJ taïi ñieåm J (neáu EJ> EB =zB thì nöôùc chaûy töø J ñeán B; ngöôïc laïi, nöôùc khoâng chaûy) Giaû söû nöôùc khoâng chaûy töø J ñeán B ( nghóa laø EJ < EB). Nhö vaäy ta coù Q2=0; Q1=Q3=Q. Ta coù: 2 2 2 2 2 1 1 3 1 3 A A J 1 C 1 3 C 1 32 2 2 2 2 1 1 3 1 3 Q Q Q Q Qz E E L E L L z L L K K K K K = = + = + + = + + Suy ra: 2 3 1 A CA C 2 2 3 1 3 1 2 2 3 1 L L z zz z Q Q K K L L K K ⎡ ⎤ −− = + ⇒ =⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎣ ⎦ +⎢ ⎥⎣ ⎦Theá soá vaøo ta ñöôïc Q = Q1 = Q3 = 126 lít/s. Ta tính laïi: 2 1 J A 12 1 QE E L K = − theá soá ñöôïc: EJ = 6,33m Ta thaáy EJ < zB neân nöôùc khoâng theå chaûy trong oáng 2 töø J ñeán B laø ñieàu hôïp lyù. Trong tröôøng hôïp ñeà baøi cho zB < EJ (ví duï zB=5m) thì giaû söû ban ñaàu khoâng ñuùng. Ta phaûi giaû söû laïi coù nöôùc chaûy töø J ñeán beå B trong oáng 2. Luùc aáy theo phöông trình lieân tuïc:: Q1 = Q2 + Q3 (1) Theo phöông trình naêng löôïng: 2 1 J A 12 1 QE E L K = − (2) 2 2 2 22 B 2 2 J B 2 B 2 B 22 2 2 2 2 2 2 2 Q V Q 1 LE E L z L z Q K 2g K A 2g K ⎛ ⎞= + = + + = + +⎜ ⎟⎝ ⎠ (3) 2 3 J C 32 3 QE E L K = + (4) Ta thaønh laäp ñöôïc heä 4 phöông trình, vôùi 4 aån soá: Q1; Q2; Q3; vaø EJ vaø laàn löôït giaûi ñöôïc nhö sau: Keát hôïp phöông trình (1) (2) vaø (4) ta coù: 32 3 2 3 C12 1 2 32 AJ LK )Q( zL K )QQ( zE +=+−= (5) Keát hôïp phöông trình (3) vaø (4) ta coù: 32 3 2 3 C2 2 2 2 2 2 2B LK Q z K L g2A 1Qz +=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++ (6) Töø phöông trình (6) suy ra : 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2CB 3 KL K L g2A 1Q)zz( Q ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++− = (7) Thay Q3 töø (7) vaøo (5) : ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++= ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++− + − 2 2 2 2 2 2 2B12 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2CB 2 A K L g2A 1QzL K K L K L g2A 1Q)zz( Q z Theá soá vaøo (8) giaûi ra ta ñöôïc: Q2 = 24,3 lít/s. Theá giaù trò Q2 vaøo (7), giaûi ñöôïc: Q3 = 109,2 lít/s. Vaø töø (1), (2) ta suy ra: Q1 = 133,5 lít/s. và Ej=5,26m, VB=0.19m/s; EB=5.001m (8) PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay DUONG ONG 10 Ví duï 5: Maùy bôm nöôùc töø boàn 1 ñeán boàn 2 nhö hình veõ. Ñöôøng oáng noái hai boàn coù ñöôøng kính baèng nhau vaø baèng 10cm, daøi L=25m, coù heä soá ma saùt doïc ñöôøng λ=0.03. H=20m. Q=10 lít/s. Tìm coâng suaát bôm. B 1 2 H=20m s/m273,1 d 4Q A QV 2 =π== m619.0 g2 V 1.0 2503.0 g2 V D Lh 22 d ==λ= m619.20619.020EhEHhEHE 1d2Bd21 =+=−+=⇒+=+ B W2022619.20*10*10*1000*81.9QHN 3B ==γ= − Ví duï 6: Maùy bôm nöôùc töø gieáng leân hình veõ. Lh=10m, Ld=5m coù heä soá ma saùt doïc ñöôøng λ=0.03. H=14m. ξv=0.5; ξch=0.7. V=30m/s. Tìm Q, hc,hd, N. s/m059.0AVQ 31 == s/m51.7A QV == m41.1 81.9*2 51.75.0 g2 V ξh 22 vcv === m04.2 81.9*2 51.77.0 g2 V ξh 22 chch === m44.3hhh chvc =+= m9.12 81.9*2 51.7 1.0 1503.0 g2 V D L λh 22 d === m34.16hhh dcf =+= m21.7634.16 81.9*2 3014zh g2 VzHhEHE 2 0f 2 1 1Bf1B0 =++=−+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +=⇒+=+ KW1.4421.76*059.0*1000*81.9QHN B ==γ= d=5 cm B D=10cm H=14m 0 0 1 1 V V1 Giaûi: PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay DUONG ONG 11 Ví duï 7: L1=600m; D1=0.3m; λ1=0.02; Q1=122 lít/s L2=460m; D2=0.47m; λ2=0.018; Tính hd1; Q2 ; Q Q A B Q1,L1,d1, λ1 Q2,L2,d2, λ2m08.681.9*2 726.1 3.0 60002.0 g2 V D Lh 22 1 1 1 11d ==λ= s/m762.1 A QV 1 1 1 == s/m56.2g2 L DhV g2 V D Lhh 22 2 1d2 2 2 2 2 22d1d =λ=⇒λ== s/m44.0AVQ 3222 ==⇒ s/m562.0QQQ 321 =+=⇒ Ví duï 8: L1=600m; D1=0.3m; λ1=0.02; L2=460m; D2=0.47m; λ2=0.018; Cho ΔpAB=500Kpa; Tìm Q1 ; Q2 m97.50 1000*81.9 1000*500EEhhEE BA1d1dBA ==−=⇒+= s/m5 02.0 81.9*2 600 3.097.50g2 L DhV 11 1 1d1 ==λ=⇒ s/m353.0AVQ 3111 ==⇒ s/m307.1AVQ 3222 ==⇒s/m534.7018.0 81.9*2 460 47.097.50g2 L DhV 22 2 1d2 ==λ=⇒ A BQ1,L1,d1, n1 Q2,L2,d2, n2 Van, ξv=0.9 H 0 0 21 QQQ += (3) 22 2 2 2 2 2 1 v12 1 2 1 2dcv1d2f1f LK Q gA2 Q ξL K Qhhhhh =+⇔=+⇔= (2) s/m03.0Q*144.1Q 312 ==⇒ s/m057.0QQQ 321 =+=⇒ Ví duï 9: L1=600m; D1=0.2m; n1=0.02; L2=460m; D2=0.2m; n2=0.02; Chæ tính tôùi maát naêng cuïc boä taïi van. Cho H=10m; Tính Q1; Q2 ; Q Giaûi: 1 2 2 2 2 v 2 1 1 122 2 22 22 v 2 1 12 1 Q.FL K gA2 ξ K LQQ K LQ gA2 ξ K LQ =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +=⇒=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + Vôùi F=1.144(2) (1,4) 2 22 2 21 1 1 1 12 2 2 2 2 2 1 1 2.144 2 2 2 2 V VL Q LQH Q Q gA K gA gA K gA ξ ξ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3 1 2 1 2 2 2 0.027 / 2.144 2 2 V HQ m s L gA K gA ξ= =⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠ 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 0 1 0 1 12 2 2 2 1 12 2 2 2 B B d cv B v v V Q V Q Q QE E h h z z L H L g K g gA K gA ξ ξ= + + ⇔ = + + + ⇔ = + + (1) 111 Q144.2FQQQ =+= (4) Trong đó F là thông số trung gian tự đặt PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay DUONG ONG 12 Moät heä thoáng hai boàn chöùa vaø bôm nhö hình veõ, cao trình taïi maët thoaùng boàn I laø 15 m . Hai ñöôøng oáng noái töø boàn chöùa ñeán bôm coù cuøng chieàu daøi L = 20 m, cuøng ñöôøng kính d = 10 cm vaø cuøng ñoä nhaùm n = 0,02. Neáu bôm cung caáp coâng suaát N = 300 W cho doøng chaûy thì ñeå löu löôïng chaûy veà boàn II laø 15 lít/s, Tính cao trình maët thoaùng boàn II Ví duï töï giaûi 10: Bôm I II 9.055062.047.983670.0340.0250.0153000.020.12015 z2HbhdKRQNndLz1 Ñaùp soá : HB=21m; H=20m; L1=50m; L2=60m; L3=40m; K1=0,394m3/s; K2=K3=0,12m3/s Ví duï töï giaûi 11: Ñaùp soá : 0.0293111163.9280.6666670.12400.12600.394502021 Q1EFK3L3K2L2K1L1HHb Hướng dẫn: 1 1 2 3 3 3(1 ) 1 QQ Q Q Q F Q F = + = + → = + (3) 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 3 2 3 2 2 32 2 2 2 2 3 3 3 2 d d Q Q Q K Lh h L L L F Q Q F K K Q K L = ⇔ = ⇔ = = ⇔ = (2) 2 2 1 3 1 3 1 32 2 1 3 A B B d d B Q QE H E h h H H L L K K + = + + ⇔ − = + (1) Thiết lập được 3 p. tr: (1) , (3) suy ra: 2 21 3 1 12 2 2 1 3 . (1 )B L LH H Q Q E K F K ⎡ ⎤− = + =⎢ ⎥+⎣ ⎦ 1 BH HQ E −→ = Bôm A B 1 2 3Q1? Trong đó F là thông số trung gian tự đặt PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay DUONG ONG 13 0.0068330.008167 Q1=Q2 (m3/s)Q3=Q4 (m3/s) Câu 20: Các ống cùng loại, cùng đường kính d=5cm dẫn nước như hình câu 20. Chiều dài các ống cho như sau: L1=L2=10m; L3=L4=7m; L5=6m. Biết lưu lượng nhập vào nút A là Q=15 lít/s. Gọi Q1, Q2, Q3, Q4, Q5 lần lượt là lưu lượng chảy trong các ống. Ta có: a) Q5=0 ; Q3=Q4= Hình câu 20 L1 L2 L3 L4 L5 Q A B C D Ví duï töï giaûi 12 Tìm Q1, Q2, Q3, Q4, Q5 DS: Q5=0 Bom A B Ví duï töï giaûi 13 Một đường ống có lưu lượng Q được rẽ thành hai nhánh có lưu lượng lần lượt là Q1 và Q2. Trên nhánh 1 có bố trí bơm công suất hữu ích N=3KW. Chiều dài, đường kính ống và hệ số ma sát của hai nhánh lần lượt là L1 = 1000m, D1 = 0,1m, λ1=0,015; L2 = 500m, D2 = 0,1m, λ2=0,012; Bỏ qua tổn thất cục bộ, với Q = 200lít/s, Tính Q1, Q2 Hướng dẫn Ta có: eA- eB= hf2 = hf1 - HB Suy ra: 2 2 2 2 1 1 2 12 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 L Q L Q N D A g D A g Q λ = λ − γ Mặt khác: Q = Q1 + Q2 Từ hai phương trình trên ta giải ra Q1 = 0.0776 lít.s Q2 = 0.1224 lít/s PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay DUONG ONG 14 5. Baøi toaùn ñöôøng oáng phaân nhaùnh:(boû qua maát naêng cuïc boä). Xaùc ñònh cao trình thaùp nöôùc ∇ vaø kích thöôùc caùc ñöôøng oáng. Cho: qE, qF, qD, LAB; LBC; LCD; Cao trình coät aùp caùc ñieåm: ∇’D; ∇’B; ∇’F; qD A B C D E F qE qF QAB=qE+qF+qD QBC=qF+qD QCD=qD ∇’B=zB+pB/γ ∇’C ∇’D Trình töï giaûi: 1. Choïn ñöôøng oáng chính ABCD, sau ñoù tính löu löôïng treân töøng ñoaïn oáng nhö hình veõ. 2. Tính hdAB, hdBC; hdCD; baèng caùch choïn tröôùc kích thöôùc caùc ñöôøng oáng, vaø tính theo coâng thöùc sau: i2 i 2 i di LK Qh = trong ñoù iiii RCAK = dCDdBCdAB ' thap hhhD +++∇=∇3. Ghi chuù: Sau khi tính xong, phaûi kieåm tra laïi xem cao trình coät aùp taïi caùc nuùt reõ nhaùnh coù ñaûm baûo khoâng, nghóa laø phaûi thoaû ñieàu kieän: ∇’B >∇’E ; vaø ∇’C > ∇’F 4. Neáu cao trình coät aùp taïi caùc nuùt reõ nhaùnh thoaû ñ. kieän treân , ta tieán haønh tính caùc kích thöôùc cuûa caùc nhaùnh phuï nhö sau: ' F ' CdCF ' E ' BdBE hh ∇−∇=∇−∇= Vaø töø i2 i 2 i di LK Qh = ta suy ra ñöôøng kính caùc nhaùnh phuï Baøi toaùn ngöôïc: Giaû söû caû heä thoáng nhö treân ñaõ coù saün (coù thaùp, coù heä thoáng caùc ñöôøng oáng). Ta kieåm tra laïi xem coù ñaùp öùng yeâu caàu khoâng. Neáu khoâng seõ tieán haønh söõa chöõa laïi heä thoáng ( thay oáng môùi hoaëc naâng coäp aùo cuûa thaùp leân). Trình töï: ∑= L HJTB Xaùc ñònh toång toån thaát: H=∇’thaùp - ∇’D. Töø ñoù suy ra ñoä doác thuûy löïc trung bình cho caû ñöôøng oáng chính: 1. Xem JTB laø ñoä doác thuyû löïc cho töøng ñoaïn, suy ra: .v....vJ QK; J QK TB BC BC TB AB AB == sau ñoù suy ra kích thöôùc ñöôøng oáng. 2. Treân caùc ñoaïn nhaùnh phuï, giaûi töông töï nhö baøi toaùn 1 ñeå tìm d.3. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay DUONG ONG 15 + I + ++ II IIIIV A B C D E FGH IQ=50 lít/s 6. Baøi toaùn ñöôøng oáng maïch kín: Cho Q vaøo , löu löôïng laáy ra taïi caùc nuùt (neáu coù), caùc kích thöôùc vaø ñoä nhaùm cuûa caùc nhaùnh. Tìm löu löôïng vaø chieàu doøng chaûy trong moãi nhaùnh. Taïi moãi nút ∑∑ = ñiñeán QQ1. Choïn chieàu döông cho moãi voøng, vôùi quy öôùc: doøng chaûy thuaän chieàu döông thì toån thaát mang daáu coäng, ngöôïc laïi mang daáu tröø. Ta coù: ∑ = voøngkín di 0h 2. Trình töï giaûi: 1. Choïn chieàu döông cho moãi voøng (hình veõ). Töï phaân boá löu löôïng Q’ vaø chieàu doøng chaûy treân caùc nhaùnh sao cho thoaû maõn ñieàu kieän 1. 2. Tieán haønh hieäu chænh löu löông treân caùc nhaùnh cho töøng voøng (laøm theo thöù töï töø voøng 1 ñeán voøng cuoái cuøng) ñeå htoaû maõn ñieàu kieän 2 baèng phöông phaùp Hardy-Cross. 3. Sau khi hieäu chænh löu löôïng cho voøng moät xong, tieán haønh hieäu chænh nhö treân cho voøng 2,3,…,n 4. Laëp laïi quaù trình treân ñeán khi taát caû löu löôïng vaø toån thaát cho caùc voøng ñeàu thoaû hai ñieàu kieän ñaõ neâu ôû ñaàu baøi Hai Ñieàu kieän ñeå giaûi baøi toaùn laø: Theo phöông phaùp Hardy-Cross, coâng thöùc tính hd caàn coù daïng sau: x d kQh = L K Qh 2 2 d = so saùnh vôùi daïng neâu treân, ta coù k=L/K2 vaø x=2. Ghi chuù: Trong baøi toaùn, ta söû duïng coâng thöùc tính hd: Tìm löu löôïng hieäu chænh: Goïi ΔQ laø löu löôïng hieäu chænh cho moät voøng (ví duï voøng I). Ñeå ñaûm baûo ñöôïc söï lieân tuïc cho caùc nuùt ΔQ cho moãi voøng phaûi laø haèng soá. Löu löôïng thaät cho nhaùnh thöù i trong voøng moät laø: Qi = Q’i + ΔQI. Ta coù: Ñeå ñaûm baûo ñieàu kieän 2: 1 1 1 0 ( ' ' ) 0 ' ' 0 ' ' ' i i x x di i I vongI vongI x x i i i i I vongI vongI x x I i i i i di vongI vongI vongI h k Q xQ Q k Q k xQ Q x Q k Q k Q h − − − = ⇔ + Δ = ⇔ + Δ = ⇔ Δ = − = − ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ − − =Δ voøngI 1x ii voøngI di I 'Qkx 'h Q Sau khi tìm ñöôïc ΔQI, tieán haønh hieäu chænh löu löôïng cho voøng 1 (ghi chuù raèng ΔQI coù theå aâm hoaëc döông). )Q'xQ'Q(k )Q...Q'xQQ'xQ'Q(k)Q'Q(kQkh I 1xx i x22x I 1xx i x Iii x iidi ii IIiii Δ+≈ Δ++Δ+Δ+=Δ+== − −− PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay THE LUU 1 CHÖÔNG Doøng chaûy coù theá ⇔∃ϕ/thoaû ñ.k. (1) ⇔ 0 xyyx =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ϕ∂ ∂ ∂−⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ϕ∂ ∂ ∂ ⇔ 0y u x u xy =∂ ∂−∂ ∂ ⇔ rot(u)=0 doøng chaûy phaúng, löu chaát lyù töôûng khoâng neùn ñöôïc chuyeån ñoäng oån ñònhGiôùi haïn: I. CAÙC KHAÙI NIEÄM CÔ BAÛN 1. Haøm theá vaän toác: Ta ñònh nghóa haøm ϕ sao cho: θ∂ ϕ∂=∂ ϕ∂=∂ ϕ∂=∂ ϕ∂= θ r 1u; r uhay y u; x u ryx Tröôøng veùctô u laø tröôøng coù theá khi: ∫ B A dsuG chæ phuï thuoäc vaøo hai vò trí A vaø B. Ta coù: BA B A B A B A )1(thoaûtoàntaïi y B A x B A d )dy y dx x (dsu)dyudxu(dsu ϕ−ϕ=ϕ= ∂ ϕ∂+∂ ϕ∂=+= ∫ ∫∫⇒∫∫ ϕ GG chæ phuï thuoäc vaøo giaù trò haøm theá taïi A vaø B.Roõ raøng töø chöùng minh treân, ∫ B A dsuG Vaäy: (1) A B n u un us 0dyudxu0d yx =+⇔=ϕ2. Phöông trình ñöôøng ñaúng theá: 3. YÙ nghóa haøm theá vaän toác: ABAB ϕ−ϕ=Γ ∫=Γ B A sAB dsu laø löu soá vaän toác 4. Tính chaát haøm theá: Töø ptr lieân tuïc, ta coù: 0 yx 0 yyxx 0 y u x u 2 2 2 2 yx =∂ ϕ∂+∂ ϕ∂⇔=⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ϕ∂ ∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ϕ∂ ∂ ∂⇔=∂ ∂+∂ ∂ ⇔ Haøm theá thoaû phöông trình Laplace PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay THE LUU 2 5. Haøm doøng: Khi doøng chaûy löu chaát khoâng neùn ñöôïc toàn taïi, thì caùc thaønh phaàn vaän toác cuûa noù thoaû ptr lieân tuïc : r u; r 1uhay x u; y u/0 y u x u ryx yx ∂ ψ∂−=θ∂ ψ∂=∂ ψ∂−=∂ ψ∂=ψ∃⇔=∂ ∂+∂ ∂ θ ψ goïi laø haøm doøng. Nhö vaäy ψ toàn taïi trong moïi doøng chaûy, coøn ϕ chæ toàn taïi trong doøng chaûy theá. 6. Haøm doøng trong theá phaúng: Vì laø doøng chaûy theá neân: 0 yx 0 yyxx 0 y u x u 2 2 2 2 xy =∂ ψ∂+∂ ψ∂⇔=⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ψ∂ ∂ ∂−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ψ∂ ∂ ∂−⇔=∂ ∂−∂ ∂ Vaäy trong doøng theá thì haøm ψ thoaû ptr Laplace.7. Ñöôøng doøng vaø ptr: Töø ptr ñöôøng doøng: 0d0dxx dy y 0dxudyu yx =ψ⇔=∂ ψ∂+∂ ψ∂⇔=− x y O n nx ny dx dy ds α (-dx=ds.sinα) Nhö vaäy treân cuøng moät ñöôøng doøng thì giaù trò ψ laø haèng soá. 8. YÙ nghóa haøm doøng: Ta coù: ∫∫∫ ∫∫∫ ∫ ψ−ψ=ψ=∂ ψ∂−∂ ψ∂=−= α+α=+=== B A AB B A B A yx B A yx B A yyxx B A B A nAB ddx x dy y dxudyu dssinudscosudsnudsnudsnudsuq GG Vaäy: ABABq ψ−ψ= 9. Söï tröïc giao giöõa hoï caùc ñöôøng doøng vaø ñöôøng ñaúng theá: 0)u(u)u(u yyxx xyyx =+−=∂ ψ∂ ∂ ϕ∂+∂ ψ∂ ∂ ϕ∂ Suy ra hoï caùc ñöôøng doøng vaø caùc ñöôøng ñaúng theá tröïc giao vôùi nhau. 10. Coäng theá löu: ... ... 21 21 +ψ+ψ=ψ +ϕ+ϕ=ϕ 11. Bieãu dieãn doøng theá: vôùi z = x+iy = eiα . Theá phöùc f(z): ψ+ϕ= i)z(f Nhö vaäy: dy di dx diuu dz df yx ψ+ϕ=−= Ñeå bieåu dieãn doøng chaûy theá, ta coù theå bieãu dieãn rieâng töøng haøm doøng vaø haøm theá, ta cuõng coù theå keát hôïp haøm doøng vôùi haøm theá thaønh moät haøm theá phöùc nhö sau:: PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay THE LUU 3 II. CAÙC VÍ DUÏ VEÀ THEÁ LÖU xO y ϕ=0ϕ=1 ϕ=2 ϕ=3 ϕ=-1ϕ=-2ϕ=-3 ψ=0 ψ=1 ψ=2 ψ=3 ψ=-3 ψ=-2 ψ=-1 V0 α 1. Chuyeån ñoäng thaúng ñeàu: töø xa voâ cöïc tôùi, hôïp vôùi phöông ngang moät goùc α. ux = V0cosα; uy = V0sinα dψ = uxdy - uydx ψ = V0ycosα - V0xsinα + C Choïn:ψ=0 laø ñöôøng qua goác toaï ñoä ⇒ C=0. Vaäy: ψ = V0ycosα - V0xsinα Töông töï: ϕ = V0xcosα + V0ysinα Bieãu dieãn baèng haøm theá phöùc: F(z) = ϕ+iψ = (V0xcosα + V0ysinα) + i(V0ycosα - V0xsinα) = x(V0cosα- iV0sinα)+yi(V0cosα - iV0sinα) = az vôùi: a=(V0cosα -iV0sinα) laø soá phöùc; z=x+iy laø bieán phöùc. 2. Ñieåm nguoàn, ñieåm huùt: vôùi löu löôïng q taâm ñaët taïi goác toaï ñoä. (q>0:ñieåm nguoàn; q<0:ñieåm huùt). ⇒ Hoï caùc ñöôøng doøng laø nhöõng ñöôøng thaúng qua O. )yxln( 4 q )rln( 2 q 1rkhi0choïn;C)rln( 2 q dr r2 q drudrudruddr r d 22 rr +π=π=ϕ⇒ ==ϕ+π=ϕ⇒ π==θ+=θθ∂ ϕ∂+∂ ϕ∂=ϕ θ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ π=θπ=ψ⇒ =θ=ψ+θπ=ψ⇒ θ=θ+−=θθ∂ ψ∂+∂ ψ∂=ψ⇒ ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ = π θ θ x yarctg 2 q 2 q 0khi0choïn;C 2 q drudrudruddr r d 0u r2 qu rr r= Haøm doøng: Haøm theá vaän toác: ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =π=π= +π=θ+π= +π=π=ϕ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ π=θπ=ψ θ θ zlnazln 2 q )reln( 2 q )elnr(ln 2 q )ir(ln 2 q )z(f )yxln( 4 q )rln( 2 q x y arctg 2 q 2 q i i 22 Keát luaän: O ϕ ψ=0 ψ=(q/4) ψ=q/2 ψ=3q/ 4 Ghi chuù: Tröôøng hôïp ñieåm nguoàn (huùt) coù taâm ñaët taïi moät vò trí khaùc goác toaï ñoä, ví duï ñaët taïi A(x0; y0) thì trong coâng thöùc tính haøm doøng (hoaëc theá vaän toác), tai vò trí naøo coù caùc bieán x phaûi thay baèng (x=x0) ; taïi vò trí naøo coù bieán y phaûi thay baèng (y-y0). PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay THE LUU 4 3. Xoaùy töï do: ñaët taïi goác toaï ñoä vaø coù löu soá vaän toác ∫ ==Γ C constdsuG ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =π Γ−=π Γ−= θ+π Γ−=−θπ Γ= +π Γ−=π Γ−=ψ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ π Γ=θπ Γ=ϕ ⇒ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =π Γ= = θ θ zlnazln 2 i)reln( 2 i )ir(ln 2 i)rlni( 2 )z(f )yxln( 4 )rln( 2 x yarctg 22 const r2 u 0u i 22 r O ψ ϕ=0 ϕ=Γ/4 ϕ = Γ/2 ϕ=3Γ/4 Γ>0: xoaùy döông Ghi chuù: Γ>0: xoaùy döông ngöôïc chieàu kim ñoàng hoà; Γ<0: xoaùy aâm thuaän chieàu kim ñoàng hoà; Töông töï, ta coù treân ñaây laø xoaùy ñaët taïi O(0,0). Muoán bieãu dieãn cho xoaùy coù taâm ñaët taïi ñieåm baát kyø, ta cuõng thöïc hieän nhö trong phaàn ghi chuù cuûa ñieåm nguoàn, huùt. 4. Löôõng cöïc: laø caëp ñieåm nguoàn + huùt coù cuøng löu löôïng qñaët caùch nhau moät ñoaïn ε voââ cuøng nhoû (cho ε→0 vôùi ñieàu kieän εq→m0 , laø moment löôõng cöïc). Ví duï ta xeùt tröôøng hôïp naèm treân truïc hoaønh: Tìm haøm doøng: ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +ε− ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ε+−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ε− π= ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ε−⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ε+ + ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ε− − ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ε+ π= ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ε− −ε+π =θ−θπ=ψ+ψ=ψ 2 2 2 hnhn y 4 x 2 xy 2 xy arctg 2 q 2 x y 2 x y 1 2 x y 2 x y arctg 2 q 2 x y arctg 2 x y arctg 2 q )( 2 q Khi ε→0 töû soá trong daáu arctg tieán tôùi 0 neân ta coù theå vieát: 22 0 2 2 22 2 2 yx y 2 m y 4 x y 2 q y 4 x 2 xy 2 xy 2 q +π −→ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +ε− ε− π=⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +ε− ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ε+−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ε− π=ψ PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay THE LUU 5 +q -q ψ Tìm haøm theá vaän toác: ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ε− ε+π= ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ε− +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ε+ π= ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ε−−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ε+π=ϕ+ϕ=ϕ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 hn y 2 x x21ln 4 q y 2 x y 2 x ln 4 q y 2 xlny 2 xln 4 q Trieån khai ... 2 xx)x1ln( 2 +−=+ vaø boû qua caùc soá haïng baäc cao voâ cuøng beù, ta coù: 0khi yx x 2 m y 2 x x2 2 q 22 0 2 2 →ε+π→ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ε− ε π=ϕ Vaäy toùm laïi, ñoái vôùi chuyeån ñoäng löôõng cöïc thì: z 1 2 m )sini(cosr sincos 2 m r sinicos 2 m )z(f r cos 2 m yx x 2 m r sin 2 m yx y 2 m 0 22 00 0 22 0 0 22 0 π=θ+θ θ+θ π= θ−θ π= θ π=+π=ϕ θ π −=+π −=ψ Laø choàng nhaäp cuûa chuyeån ñoäng thaúng ñeàu ngang (U0)+ nguoàn taïi goác toaï ñoä (q) 5. Doøng chaûy quanh nöûa coá theå: θπ+θ=π+=ψ π+θ=+π+=ϕ 2 q sinru) x y (arctg 2 q yu rln 2 q cosru)yxln( 4 q xu 00 0 2 0 2 Ñieåm döøng A: ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =⇔=+π=∂ ϕ∂ π−=⇔=+π+=∂ ϕ∂ ⇔ ==⇔= ⇑ 0y0 yx y2 4 q y u2 qx0 yx x2 4 qu x 0u;0u0u A22 0 A220 yAxAA A Ñieåm döøng PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay THE LUU 6 6. Doøng chaûy quanh coá theå daïng Rankin ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +π+=ψ +− ++ π+=ϕ ax yarctg ax yarctg 2 qyu y)ax( y)ax(ln 4 qxu o 22 22 o Coù hai ñieåm döøng A vaø B: { ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ⎩⎨ ⎧ +π±=⇔=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −π+⇔ =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −−+π+⇔= =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +− −−++ + π+=∂ ϕ∂ =⇔=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−−++π=∂ ϕ∂ ⇔ ⎩⎨ ⎧ = =⇔= 2 0 220 0 22220 2222 y x a u aqx0 ax a4 4 qu 0 )ax( 2 )ax( 2 4 q u0ytheá 0 y)ax( )ax(2 y)ax( )ax(2 4 q u x 0y0 y)ax( y2 y)ax( y2 4 q y 0u 0u 0u Laø toå hôïp cuûa doøng chuyeån ñoäng thaúng ngang ñeàu (u0) + nguoàn (+q) + huùt(-q). Trong ñoù ñieåm nguoàn vaø huùt naèm treân truïc hoaønh, caùch nhau moät ñoaïn 2a höõu haïn, A B u0 +q -q 2a 7. Doøng chaûy quanh truï troøn (Γ=0) Xeùtø toå hôïp cuûa chuyeån ñoäng thaúng ñeàu, naèm ngang (u0)+löôõng cöïc (m0) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ π−θ= θ π−θ=+π −+=ψ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ π+θ= θ π+θ=+π+=ϕ 2 0 0 o 0 o22 0 o 2 0 0 o 0 o22 0 o ru2 m 1sinru r sin 2 m sinru yx y 2 m yu ru2 m 1cosru r cos 2 m cosru yx x 2 m xu Xeùt ñöôøng doøng ψ=0 ⇔ θ = 0 vaø 0 0 u2 m r π= 0 0 u2 m R π= baèng ñöôøng troøn Do khoâng coù söï trao ñoåi löu chaát giöõa trong vaø ngoaøi ñöôøng doøng ψ=0 0 0 u2 m r π= Thay ñöôøng troøn thì baûn chaát doøng chaûy vaãn khoâng ñoåi Ta coù hình aûnh cuûa doøng chaûy bao quanh truï troøn. (truï khoâng xoay) Ñieåm döøng ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −θ=ψ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +θ=ϕ 2 2 o 2 2 o r R1sinru r R1cosru PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay THE LUU 7 )θsin41( 2 uρp 2 2 0 −=dötr ¾Tìm phaân boá vaän toác treân maët truï r=R: A B C D uC = -2u0 uD = 2u0 pA = pB = ρu02/2 pC = pD = -3ρu02/2 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = θ−=θ∂ ϕ∂=⇒θ=ϕ⇒ =θ 0u sinu2 r 1u cosRu2 r 0 Rr0 ¾Tìm hai ñieåm döøng treân maët truï: πθ0θ0uθ ==⇔= vaø ⇒ coù hai ñieåm döøng A. B tröôùc vaø sau maët truï. ¾Tìm hai ñieåm coù giaù trò vaän toác lôùn nhaát treân maët truï: 0D0C max u2u;u2u 2 3; 2 uu =−= π=θπ=θ⇔=θ ⇒ C, D naèm treân vaø döôùi maët truï coù giaù trò vaän toác lôùn nhaát. ¾Khaûo saùt phaân boá aùp suaát reân maët truï: AÙp duïng P.Tr NL treân ñöôøng doøng ψ=0 töø ñieåm xa voâ cöïc ñeán ñieåm treân maët truï: 2 u p 2 u p 2 tr tr 2 0 ρ+=ρ+∞ Giaû sö û p∝=pa )u θsinu41( 2 uρ) u u1( 2 uρp 2 0 22 0 2 0 2 0 2 tr 2 0 −=−=dötr Taïi A, B: 2 u pp 2 0 BA ρ== Taïi C, D: 2 u3 pp 2 0 DD ρ−== Do bieåu ñoà phaân boá aùp suaát ñoái xöùng qua ox laãn oy neân toång löïc taùc duïng leân maët truï trong tröôøng hôïp naøy = 0Nhaän xeùt: 7. Chuyeån ñoäng quanh truï troøn xoay (Γ≠0): Bao goàm chuyeån ñoäng quanh truï troøn + xoaùy töï do (Γ +) rln 2r R1sinru 2r R1cosru 2 2 o 2 2 o π Γ−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −θ=ψ θπ Γ+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +θ=ϕ ¾Phaân boá vaän toác treân maët truï : π Γ+θ−== θ 2R 1sinu2u;0u 0rVì r = R neân suy ra: ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ →π>Γ →π=Γ →π<Γ ⇒π Γ=θ⇔π Γ=θ⇔= döøng.ñieåm.0Ru4 döøng.ñieåm.1Ru4 döøng.ñieåm.2Ru4 Ru4 sin R2 sinu20u 0 0 0 0 0 ¾Phaân boá aùp suaát treân maët truï : 2 u p 2 u p 2 tr tr 2 0 ρ+=ρ+∞ vôùi π Γθθ 2 12 0 R sinuu +−= ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −−=−= 2 0 2 0 2 0 2 tr 2 0 Ruπ2 Γ θsin21 2 uρ) u u1( 2 uρp dötrGiaû sö û p∝=pa ¾Löïc taùc duïng treân maët truï: 0 2 0 try Ud.sinRpF Γρ−=θθ−=⇒ ∫ π dö Phöông x: Fx =0 Phöông y: ---Æ Löïc naâng Jukovs Löu yù : 0d.sin 2 0 n∫π =θθ Doøng ñeàu L cöïc Xoaùy töï do PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay THE LUU 8 Caùc tröôøng hôïp xoaùy Γ>0 Γ/2πRu0=2 Γ/2πRu0=3 Γ/2πRu0=1 Fy Ñieåm döøng Ñieåm döøng Ñieåm döøng y | Γ | /2πRu0=3 Stagnation Point r Γ Fy | Γ | /2πRu0=1 Stagnation Point y r Γ | Γ | /2πRu0=2 Stagnation Point y r Γ Caùc tröôøng hôïp xoaùy Γ< 0 Ñieåm döøng Ñieåm döøng Ñieåm döøng PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay THE LUU 9 Ví duï 1: Chuyeån ñoäng theá cuûa chaát loûng hai chieàu treân maët phaúng naèm ngang xoy vôùi haøm theá vaän toác ϕ = 0,04x3 + axy2 + by3 , x,y tính baèng m, ϕ tính baèng m2/s. 1. Tìm a, b. 2. Tìm ñoä cheânh aùp suaát giöõa hai ñieåm A(0,0) vaø B(3,4), bieátb khoái löôïng rieâng loûng baèng 1300kg/m3 Giaûi: Töø haøm theá vaän toác ϕ = 0,04x3 + axy2 + by3 ta coù: 2 y 22 x by3axy2y u;ayx12,0 x u +=∂ ϕ∂=+=∂ ϕ∂= Caùc thaønh phaàn vaän toác phaûi thoaû phöông trình div(u)=0 neân: 0by6x)a224,0(0by6ax2x24,00 y u x u yx =++⇔=++⇔=∂ ∂+∂ ∂ Vì div(u)=0 ñuùng vôùi moïi ñieåm neân theá (x=0; y=1) vaøo ta ñöôïc b = 0 (x=1; y=0) vaøo ta ñöôïc a = -0,12 Vì ñaây laø chuyeån ñoäng theá neân p.tr Ber ñuùng cho hai ñieåm baát kyø A vaø B, ta coù: ⇔−ρ=−⇔+ρ=+ρ 2 )uu()pp( 2 up 2 up 2A 2 B BA 2 BB 2 AA ⇒ uA=0; uB = ((0,12*32 -0,12*42)2+(-0,24*3*4)2)1/2 = 3 m/s 2 2 AB m/KN85,52 )3(1300 p ==Δ Ví duï 2: Giaûi: )xy( 2 1)y,x( 22 −=ϕ x y Doøng chaûy theá uoán cong moät goùc 900 vôùi haøm theá vaän toác ñöôïc cho nhö sau: (x,y tính baèng m).Tìm löu löôïng phaúng qua ñöôøng thaúng noái hai ñieåm A(1,1) vaø B(2,2) x yu x ; u yx y ∂φ ∂φ= = − = =∂ ∂ yu y xx yx C(y) ∂ψ = − ⇒ ∂ψ = − ∂∂ ⇒ ψ = − + xu x C'(y) xy C(y) const xy const ∂ψ = ⇒ − + = −∂ ⇒ = ⇒ ψ = − + 22 2 1 1 3AB B Aq * * m / s⇒ = ψ − ψ = − + = − -5 0 5 10 15 20 25 -30 -20 -10 0 10 20 30 y(phi=70) y(phi=60) y(phi=50) y(phi=40) y(phi=30) y(phi=20) y(phi=10) y(phi=0) y(phi=-10) y(phi=-20) y(phi=-30) PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay THE LUU 10 AÙp suaát dö treân maët truï baèng: )θsin41(2 uρp 2 2 0 −=dötr Fy dF θ 0Rd)cos()sin41( 2 u)cos(pdsdFF 0 2 2 0 00 xx =θθθ−ρ−=θ−==⇒ ∫∫∫ πππ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ θθ−θ−θρ−=θθ−θρ−=⇒ θθθ−−ρ−=θ−==⇒ ∫ ∫∫ ∫∫∫ π ππ πππ 0 0 2 2 0 0 2 2 0 y 0 2 2 0 00 yy d)sin(3))(cos(d(cos4( 2 uRd)sin()3cos4( 2 uRF Rd)sin())cos1(41( 2 u)sin(pdsdFF 3 uR5 3 43 3 43 2 uRcos 3 4cos3 2 uRF 2 0 2 0 0 3 2 0 y ρ=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−ρ−=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ θ−θρ−=⇒ π Giaûi: Ví duï 3: Gioù thoåi qua maùi leàu daïng baùn truï R=3m vôùi V=20m/s, khoâng khí coù khoái löôïng rieâng baèng 1,16 kg/m3 . Tìm löïc naâng taùc duïng leân 1m beà daøi leàu. Ñeå tìm löïc naâng Fy taùc duïng leân 1m beà daøi leàu, treân baùn truï ta chon moät vi phaân dieân tích ds, tìm löïc dF taùc duïng leân ds, sau ñoù chieáu dF leân phöông y →dFy. Vaø tích phaân (dFy) treân toaøn baùn truï N2320Fy =⇒ Giaûi: Ví duï 4: Moät xi lanh hình truï troøn di chuyeån trong nöôùc vôùi vaän toác u0 khoâng ñoåi ôû ñoä saâu 10m. Tìm u0 ñeå treân beà maët xi lanh khoâng xaûy ra hieän töôïng khí thöïc , bieát nöôùc ôû 200C A B C D uC = -2u0 uD = 2u0 pA = pB = ρu02/2 pC = pD = -3ρu02/2 ÔÛ 200C aùp suaát hôi baõo hoaø cuûa nöôùc : pbh = 0,25m nöôùc Ñeå treân beà maët xi lanh khoâng xaûy ra hieän töôïng khí thöïc thì ptru tñ > pbh = 0,25m nöôùc ⇒ ptru ck - 9,75m nöôùc AÙp suaát dö nhoû nhaát treân maët tru (neáu truï di chuyeån treân maët thoaùng )ï, nhö ta ñaõ bieát, taïi vò trí C vaø D, baø baèng: pC = pD = -3ρu02/2 Suy ra, vaän toác toái ña maø truï coù theå di chuyeån ñöôïc ñeå khoâng coù hieän töôïng khí thöïc xaûy ra treân maët truï phaûi giaûi töø baát p.tr : pC = pD = 10γn -3ρu02/2Vaäy neáu truï di chuyeån ôû ñoä saâu 10m thì : Ptru dö = 10γn -3ρu02/2 > - 9,75 γn ⇔ 3ρu02/2 < 19,75 γn ⇔ u0 < 11,365 m/s PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay THE LUU 11 Giaûi: Ví duï 5: Hai nöûa xi lanh ñöôïc noái vôùi nhau vaø ñaët trong tröôøng chaûy ñeàu coù theá nhö hình veõ. Ngöôøi ta khoeùt 1 loã nhoû taïi vò trí goùc α ñeå cho khoâng coù löïc taùc duïng leân hai moái noái. Giaû thieát raèng aùp suaát beân trong xi lanh baèng aùp suaát beân ngoaøi xi lanh taïi loã khoeùt. Xaùc ñònh goùc α Ñeå cho khoâng coù löïc taùc duïng leân hai moái noái thì toång löïc Fx taùc duïng leân moãi nöûa maët truï phaûi baèng khoâng. Do bieåu ñoà aùp suaát treân maët truï phaân boá ñoái xöùng qua truïc ox, neân ta chæ caàn xeùt toång löïc Fx treân ¼ maët tr. Ta xeùt treân ¼ maët truï töø 0 ñeán π/2: AÙp suaát dö treân maët truï: )θsin41( 2 uρp 2 2 0 −=dötr Treân ¼ maët truï ta choïn vi phaân ds, goïi dFn laø löïc taùc duïng leân ds töø beân ngoaøi maët truï, ta coù: dFn=pds ⇒ dFnx= - pdscosθ = -pRcosθdθ 6 Rusin 3 4sin 2 RuRdcos)sin41( 2 uF 2 0 2/ 0 3 2 0 2/ 0 2 2 0 nx ρ=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ θ−θρ−=θθθ−ρ−=⇒ ππ∫ 0 π/2 α dF dFxθ ds [ ] RpsinRpRdcospdspF 2/02/ 0 2/ 0 tx α π α π α π α =θ=θθ==⇒ ∫∫ Goïi pα laø aùp suaát taïi loã khoeùt, ta coù: )sin41(2 up 2 2 0 α−ρ=αdö )sin41( 2 RuF 2 2 o tx α−ρ=⇒ Ta coù: Fnx + Ftx = 0 Suy ra: 3 1sin 3 1sin 3 4sin4 )sin41( 2 Ru 6 RuFF 22 2 2 o 2 o txnx =α⇒ =α⇒=α⇒ α−ρ−=ρ⇒−= 026,35=α Nhaän xeùt: Löïc F nx >0 höôùng theo chieàu döông⇒löïc Ftx töø beân trong maët truï phaûi höôùng theo chieàu aâm. Nhö vaäy, aùp suaát taïi loã khoeùt phaûi laø aùp suaát chaân khoâng 0 π/2 α FnxFtx PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay THE LUU 12 Ví dụ 6 (tự giải) Xoáy tự do âm có cường độ 12m2/s chồng nhập với một nguồn cường độ 10m2/s. Cả hai đặt tại gốc tọa độ. Cho khối lượng riêng của không khí bằng 1,23 kg/m3. Nếu áp suất khí ở xa vô cực bằng áp suất khí trời và xem như không khí tĩnh. Tính áp suất tại điểm A(3,4) ĐS: pckA=0,512 N/m2 HD: Tìm vận tốc tại A. Áp dụng phương trình năng lượng để suy ra áp suất tại A Ví dụ 7 (tự giải) Dòng thẳng đều ngang với vận tốc 3m/s từ xa vô cực đến gặp một điểm nguồn cường độ 2m2/s đặt tại điểm A(1,2). Biết áp suất xa vô cực bằng không, Tìm vị trí và và áp suất tại điểm dừng B ĐS: B(0,89; 2); pB=0,46 m lưu chất. HD: Vị trí điểm dừng B trong hệ trục tọa độ mới XOY là: Y=0; X= - q/(2πu) Tọa độ của B trong xoy tìm được nhờ áp dụng công thức chuyển trục tọa độ. Áp suất pB tìm từ ph. tr năng lượng Ví dụ 8 (tự giải) Dòng chảy đều song song trục hoành bao quanh trụ tròn (không xoay) đặt tại gốc tọa độ. Vận tốc dòng đều V=2m/s. Áp suất xa vô cực bằng 5m nước. Tìm vận tốc và áp suất tại điểm A trên mặt trụ hợp với phương Ox một góc 1500 . ĐS: VA=2m/s và pA=49050 N/m2 HD: A trên mặt trụ chính là điểm có áp suất dư bằng 0 nếu xem áp suất xa vô cực =0 PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay DONG LUC HOC 21 Ví duï 18 . D=1,2m; d=0.85m, Q2=Q3=Q1/2; Q1=6 m3/s; p1=5Mpa Boû qua maát naêng. Xaùc ñònh löïc naèm ngang taùc duïng leân chaïc ba )45cos(FFFRVQ))45cos(VQVQ( 0321x11 0 3322 −−+=ρ−ρ+ρ )45sin(FR)45sin(VQ 03y 0 33 +=ρ− V1 F1 x V2 F2 s/vaøos/ras ÑLÑL)F( ∑∑∑ −= s/m287.5VV;s/m305.5 A QV 23 1 1 1 ==== ( ) 23 2 2 2 1 12 2 2 2 112 pp5000097Pa 2 VVpp g2 VVpp =⇒=−ρ+=⇔−+γ=γ 2837306N;ApFF 5654867N;ApF 2223111 ===== )45cos(FFFVQ))45cos(VQVQ(R 032111 0 3322x ++−ρ−ρ+ρ=⇒ )45sin(F)45sin(VQR 03 0 33y −ρ−= Theá soá: Rx=-816,038KN; Ry=-2017,493 KN; R=2176,281 KN 450 D 1 21 2 d 3 3 d V3F3 y Rx RyR Chứng minh hệ số α, α0 >1: 1dA V uΔdA V uΔ2dA A 1dA V uΔuΔV2V( A 1 dA V uΔV( A 1dA V u A 1 VAVρ uudAρ DL DL α A 2 2 AAA 2 22 A 3 A 2 A V 0 >⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +±=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +±= ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ±=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=== ∫∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫that 1dA V uΔdA V uΔ3dA V uΔ3dA A 1dA V uΔuΔV3uΔV3V( A 1 dA V uΔV( A 1dA V u A 1 2 VVAρ udA 2 u ρ DN DN α A 3 3 A 2 2 AAA 3 3223 A 3 A 3 2 A 2 V >⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ±+±=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ±+±= ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ±=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=== ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫that 0udAudAQQ dA)uV(udAuVu AA AA =Δ⇒Δ±=⇒ Δ±=⇒Δ±= ∫∫∫∫ ∫∫∫∫Löu yù raèng: