Độ đo và tích phân

GIẢI TÍCH (CƠ SỞ) Phần 3. Độ Đo Và Tích Phân Chuyên ngành: Giải Tích, PPDH Toán §1. Độ Đo (Phiên bản đã chỉnh sửa) PGS TS Nguyễn Bích Huy Ngày 18 tháng 4 năm 2005 1 PHẦN LÝ THUYẾT 1. Không gian đo được Định nghĩa : 1) Cho tập X 6= ø; một họ F các tập con của X được gọi là một σ−đại số nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau : i. X ∈ F và nếu A ∈ F thì Ac ∈ F , trong đó Ac = X \ A. ii. Hợp của đếm được các tập thuộc F cũng là tập thuộc F . 2) Nếu F là σ−đại số các tập con của X thì cặp (X,F ) gọi là một không gian đo được ; mỗi tập A ∈ F gọi là tập đo được (đo được với F hay F− đo được) Tính chất Giả sử F là σ−đại số trên X. Khi đó ta có : 1) ø ∈ X. Suy ra hợp của hữu hạn tập thuộc F cũng là tập thuộc F . 2) Giao của hữu hạn hoặc đếm được các tập thuộc F cũng là tập thuộc F . 3) Nếu A ∈ F , B ∈ F thì A \B ∈ F . 2. Độ đo Định nghĩa : Cho một không gian đo được (X,F ) 1) Một ánh xạ µ : F −→ [0,∞] được gọi là một độ đo nếu : i. µ(ø) = 0 ii. µ có tính chất σ−cộng, hiểu theo nghĩa ∀{An}n ⊂ F, (An ∩ Am = ø, n 6= m) ⇒ µ( ∞⋃ n=1 An) = ∞∑ n=1 µ(An) 2) Nếu µ là một độ đo xác định trên σ−đại số F thì bộ ba (X,F, µ) gọi là một không gian độ đo 1 Tính chất : Cho µ là một độ đo xác định trên σ−đại số F ; các tập được xét dưới đây đều giả thiết là thuộc F . 1) Nếu A ⊂ B, thì µ(A) ≤ µ(B), hơn nữa nếu µ(A) < ∞ thì ta có µ(B \ A) = µ(B)− µ(A) 2) µ( ∞⋃ n=1 An) ≤ ∞∑ n=1 µ(An). Do đó, nếu µ(An) = 0 (n ∈ N∗) thì µ( ∞⋃ n=1 An) = 0 3) Nếu An ⊂ An+1 (n ∈ N∗) thì µ( ∞⋃ n=1 An) = lim n→∞ µ(An) 4) Nếu An ⊃ An+1 (n ∈ N∗) và µ(A1) < ∞ thì µ( ∞⋂ n=1 An) = lim n→∞ µ(An) Quy ước về các phép toán trong R Giả sử x ∈ R, a = +∞ hoặc a = −∞. Ta quy ước : 1) −∞ < x < +∞ 2) x + a = a, a + a = a 3) x.a = { a , nếu x > 0 −a , nếu x < 0 , a.a = +∞, a.(−a) = −∞ 4) x a = 0 Các phép toán a− a, 0.a, a 0 , x 0 , ∞ ∞ không có nghĩa. Khi thực hiện các phép toán trong R ta phải hết sức cẩn trọng. Ví dụ, từ x + a = y + a không suy ra được x = y (nếu a = ±∞). Định nghĩa Độ đo µ xác định trên σ−đại số F các tập con của X được gọi là : 1) Độ đo hữu hạn nếu µ(X) < ∞. 2) Độ đo σ− hữu hạn nếu tồn tại dãy {An} ⊂ F sao cho X = ∞⋃ n=1 An, µ(An) < ∞ ∀n ∈ N∗ 3) Độ đo đủ nếu nó có tính chất (A ⊂ B;B ∈ F, µ(B) = 0) ⇒ A ∈ F 3. Độ đo Lebesgue trên R Tồn tại một σ−đại số F các tập con của R mà mỗi A ∈ F gọi là một tập đo dược theo Lebesgue (hay (L)− đo được) và một độ đo µ xác định trên F (gọi là độ đo Lebesgue trên R ) thỏa mãn các tính chất sau : 1) Các khoảng (hiểu theo nghĩa rộng), tập mở, tập đóng, ... là (L)−đo được. Nếu I là khoảng với đầu mút a, b (−∞ ≤ a ≤ b ≤ t) thì µ(I) = b− a 2) Tập hữu hạn hoặc đếm được là (L)−đo được và có độ đo Lebesgue bằng 0. 2 3) Tập A ⊂ R là (L)−đo được khi và chỉ khi với mọi ε > 0, tồn tại tập đóng F , tập mở G sao cho F ⊂ A ⊂ G, µ(G \ F ) < ε 4) Nếu A là tập (L)−đo được thì các tập x + A, xA cũng là (L)−đo được và : µ(x + A) = µ(A) µ(xA) = |x|µ(A) 5) Độ đo Lebesgue là đủ, σ− hữu hạn 2 PHẦN BÀI TẬP 1. Bài 1 Cho không gian độ đo (X,F, µ), tập Y 6= ø và ánh xạ ϕ : X −→ Y Ta định nghĩa : A = {B ⊂ Y : ϕ−1(B) ∈ F} Chứng minh A là σ−đại số trên Y và γ là độ đo xác định trên F Giải • Ta kiểm tra A thỏa hai điều kiện của σ−đại số : i. Ta có Y ∈ A vì ϕ−1(Y ) = X ∈ F Giả sử B ∈ A, ta cần chứng minh Bc = Y \B ∈ A. Thật vậy, ta có{ ϕ−1(Y \B) = ϕ−1(Y )\ϕ−1(B) = X\ϕ−1(B) ϕ−1(B) ∈ F ( do B ∈ A) nên X \ ϕ−1(B) ∈ F ⇒ ϕ−1(Y \B) ∈ F hay Y \B ∈ A ii. Giả sử Bn ∈ A(n ∈ N∗) và B = ∞⋃ n=1 Bn. Ta có ϕ−1(B) = ∞⋃ n=1 ϕ−1(Bn) ϕ−1(Bn) ∈ F (n ∈ N∗) ⇒ ϕ−1(B) ∈ F hay B ∈ A. • Tiếp theo ta kiểm tra γ là độ đo. Với B ∈ A ta có ϕ−1(B) ∈ F nên số µ[ϕ−1(B)] xác định, không âm. Vậy số γ(B) ≥ 0, xác định. i. Ta có γ(ø) = µ[ϕ−1(ø)] = µ(ø) = 0 ii. Giả sử Bn ∈ A (n ∈ N∗), Bn ∩Bm = ø (n 6= m) và B = ∞⋃ n=1 Bn.Ta có ϕ−1(B) = ∞⋃ n=1 ϕ−1(Bn), ϕ−1(Bn) ∩ ϕ−1(Bm) = ϕ−1(Bn ∩Bm) = ø (n 6= m). ⇒ µ[ϕ−1(B)] = ∞∑ n=1 µ [ϕ−1(Bn)] (do tính σ−cộng của µ) ⇒ γ(B) = ∞∑ n=1 γ(Bn) 3 2. Bài 2 Cho không gian độ đo (X,F, µ) và các tập An ∈ F (n ∈ N∗). Đặt : B = ∞⋃ k=1 ( ∞⋂ n=k An ) (Tập các điểm thuộc mọi An từ một lúc nào đó) B = ∞⋂ k=1 ( ∞⋃ n=k An ) (Tập các điểm thuộc vô số các An). Chứng minh 1) µ(B) ≤ lim n→∞ µ(An) 2) µ(C) ≥ lim n→∞ µ(An) Nếu có thêm điều kiện µ( ∞⋃ n=1 An) < ∞ Giải 2) Đặt Ck = ∞⋃ n=k ta có : Ck ∈ F (k ∈ N∗), C1 ⊃ C2 ⊃ . . . , µ(C1) < ∞;C = ∞⋃ k=1 Ck Do đó : µ(C) = lim k→∞ µ(Ck) (1) Mặt khác ta có Ck ⊃ Ak nên µ(Ck) ≥ µAk ∀k ∈ N∗ và lim k→∞ µ(Ck) ≥ lim k→∞ µ(Ak) (2) Từ (1), (2) ta có đpcm. 3. Bài 3 : Cho σ−đại số F và ánh xạ : µ : F −→ [0,∞] thỏa mãn các điều kiện sau : i. µ(ø) = 0 ii. Nếu A1, A2 ∈ F,A1 ∩ A2 = ø thì µ(A1 ∪ A2) = µ(A1) + µ(A2) (Ta nói µ có tính chất cộng hữu hạn) iii. Nếu An ∈ F (n ∈ N∗), A1 ⊃ A2 ⊃ . . . và ∞⋂ n=1 An 6= ø thì lim n→∞ µ(An) = 0 Chứng minh µ là độ đo. Giải Giả sử Bn ∈ F (n ∈ N∗), Bn ∩Bm = ø (n 6= m) và B = ∞⋃ n=1 Bn, ta cần chứng minh µ(B) = ∞∑ n=1 µ(Bn) (1) 4 Đặt Ck = ∞⋃ n=k Bn (k = 1, 2 . . .), ta có Ck ∈ F,C1 ⊃ C2 ⊃ . . . và B = B1 ∪ . . . ∪Bn ∪ Cn+1 ∞⋂ k=1 Ck = ø (Xem ý nghĩa tập C, bài 2 và giả thiết về các Bn) ⇒  µ(B) = n∑ k=1 µ(Bk) + µ(Cn+1) (2) ( do tính chất ii.) lim m→∞ µ(Cn) = 0 ( do tính chất iii.) Cho n → ∞ trong (2) ta có (1). 4. Bài 4 : Ký hiệu µ là độ đo Lebesgue trên R. Cho A ⊂ [0, 1] là tập (L)−đo được và µ(A) = a > 0. Chứng minh rằng trong A có ít nhất một cặp số mà hiệu của chúng là số hữu tỷ. Giải Ta viết các số hữu tỷ trong [0, 1] thành dãy {rn}n và đặt An = rn +A (n ∈ N∗). Ta chỉ cần chứng minh tồn tại n 6= m sao cho An ∩ Am 6= ∅. Giả sử trái lại, điều này không đúng. Khi đó ta có µ( ∞⋃ n=1 An) = ∞∑ n=1 µ(An) (1) Mặt khác, ta có µ(An) = µ(A) = a, ∞⋃ n=1 An ⊂ [0, 2] Do đó vế phải của (1) bằng +∞ còn vế trái ≤ 2, vô lý 5. Bài 5 : Cho tập (L)− đo được A ⊂ R. Chứng minh A có thể viết thành dạng A = B \C với B là giao của đếm được tập mở và C là tập (L)−đo được, có độ đo Lebesgue bằng 0. Giải Do tính chất 3) của độ đo Lebesgue, với mỗi n ∈ N∗ta tìm được tập mở Gn ⊃ A sao cho µ(Gn \ A) < 1 n Đặt B = ∞⋂ n=1 Gn và C = B \ A. Ta có B là (L)− đo đưực và do đó C cũng là (L)− đo được. Vì C ⊂ Gn \ A ∀n = 1, 2, . . . nên ta có : µ(C) ≤ 1 n ∀n = 1, 2, . . . Vậy µ(C) = 0. 5 6. Bài 6 : Cho tập L− đo được A ⊂ [0, 1] với µ(A) = a > 0. Chứng minh: 1) Hàm f(x) = µ(A ∩ [0, x]) liên tục trên [0, 1]. 2) ∀b ∈ (0, a) ∃B ⊂ A : B (L)− đo được, µ(B) = b Giải 1) Với 0 ≤ x < y ≤ 1 ta có f(y) =µ(A ∩ [0, y]) =µ(a ∩ [0, x]) + µ(A ∩ (x, y]) ⇒ f(x)− f(y) = µ(A ∩ (x, y]) ⇒ 0 ≤ f(x)− f(y) ≤ y − x Do đó f liên tục trên [0, 1] 2) Ta có f(0) = 0, f(1) = a và f liên tục nên tồn tại xo ∈ (0, 1) thỏa f(xo) = b hay µ(A ∩ [0, x]) = b. Tập B := A ∩ [0, xo] cần tìm. 6