Đề thi thử đai học lần 1 môn: toán, khối D

www.VNMATH.com  SỞ GD – ĐT BẮC NINH  TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ  ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­  ĐỀ THI THỬ ĐAI HỌC LẦN 1  MÔN : TOÁN, KHỐI D  Thời gian làm bài : 180 phút  ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­o0o­­­­­­­­­­­­­  Câu I. (2,0 điểm) Cho hàm số ( ) 3 2 3 2  m y x mx C = - +  1.  Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số với m = 1 .  2.  Tìm m để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị A, B và đường thẳng AB đi qua điểm I(1; 0) .  Câu II. (2,0 điểm)  1.  Giải phương trình ( ) 5 sin 4 4sin 2 4 sin cos  2  x x x x p æ ö + + = + ç ÷ è ø  .  2.  Giải phương trình  2 2 4 2 3 4 x x x x + - = + -  .  Câu III (2,0 điểm)  Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại C, AB = 5 cm, BC = 4 cm. Cạnh bên  SA vuông góc với đáy và góc giữa cạnh bên SC với mặt đáy (ABC) bằng  60°  . Gọi D là trung  điểm của cạnh AB .  1.  Tính thể tích khối chóp S.ABC .  2.  Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và BC .  Câu IV (1,0 điểm) Cho hai số thực x, y thỏa mãn  1; 1 x y ³ ³  và ( ) 3 4 x y xy + =  .  Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức :  3 3  3 3  1 1  3 P x y  x y æ ö = + + + ç ÷ è ø  Câu V (2,0 điểm)  1.  Trong mặt phẳng  với hệ  tọa độ Oxy,  cho  điểm ( ) 2; 5 C -  ,  đường  thẳng  : 3 4 4 0 x y D - + =  .  Tìm trên đường thẳng D hai điểm A và B đối xứng nhau qua  5 2;  2  I æ ö ç ÷ è ø  sao cho diện tích tam giác  ABC bằng 15 .  2.  Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau . Trên đường thẳng a có 5 điểm phân biệt và  trên đường thẳng b có 10 điểm phân biệt . Hỏi có thể tạo được bao nhiêu tam giác có các đỉnh là  các điểm trên hai đường thẳng a và b đã cho .  Câu VI (1,0 điểm) Giải phương trình ( ) ( ) ( ) 3 2 3 4 1 1  4 4  3  log 4 log 2 3 log 6  2  x x x - + + = + +  . www.VNMATH.com  Cảm ơn bạn Nguyễn Hà Trung ( htrung85@yahoo.com.vn) gửi tới www.laisac.page.tl  ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM  Câu  Ý  Nội dung  Điểm  1.  Với m = 1, hàm số trở thành :  3 2 3 2 y x x = - +  . TXĐ : ¡  Có  ; lim lim  x x  y y ®+¥ ®-¥ = +¥ = -¥  2 ' 3 6 y x x = -  ;  0 2  ' 0  2 2  x y  y  x y = Þ = é = Û ê = Þ = - ë  BBT :           x -¥  0                     2 +¥  y’              +        0  –  0            +  2 +¥  y -¥  ­ 2  Hàm số đồng biến trên ( ) ;0 -¥  và ( ) 2;+¥  ; Hàm số nghịch biến trên ( ) 0; 2  yCĐ = 2 tại x = 0 ;  yCT = ­ 2 tại x = 2 .  Đồ thị : Giao Oy : (0 ; 2) ; Giao Ox : (1; 0) và ( ) 1 3;0 ±  1.0  0.25  0.25  0.25  0.25  I.  2.  Ta có  2 ' 3 6 y x mx = -  ;  0  ' 0  2  x  y  x m = é = Û ê = ë  Để hàm số có CĐ và CT thì y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt và  y’ đổi dấu qua hai  nghiệm đó  2 0 0 m m Û ¹ Û ¹  .  Khi đó (Cm) có hai điểm cực trị là A(0; 2) và ( ) 3 2 ;2 4 B m m -  Đường thẳng AB đi qua A(0; 2) và có vtcp ( ) ( ) 3 2 2 ; 4 2 ;1 AB m m vtpt m = - Þ uuur  Phương trình AB :  2 2 2 0 m x y + - =  Theo giả thiết đường thẳng AB đi qua I(1; 0) nên  2 2 2 0 1 m m - = Û = ±  1.0  0.25  0.25  0.25  0.25  II.  1. ( ) 5 sin 4 4sin 2 4 sin cos  2  x x x x p æ ö + + = + ç ÷ è ø  1.0 www.VNMATH.com ( ) ( ) ( ) ( )  2sin 2 .cos 2 4cos 2 4 sin cos  2 sin cos sin 2 cos sin 2 cos sin 2 0  x x x x x  x x x x x x x Û + = + é ù Û + - - - - = ë û ( ) ( ) ( )  cos sin 0 ,  4  sin 2 cos sin 2 cos sin 2 0 1  x x x k k  x x x x x p p é + = Û = - + Î ê Û ê - - - - = ê ë ¢  Giải (1) : Đặt ( ) cos sin , 2 2 t x x t = - - £ £  2 sin 2 1 x t Þ = -  Pt (1) trở thành : ( ) 2 3 1 . 2 2 0 2 0 1 t t t t t t - - - = Û + + = Û = -  Với  1 t = -  ta có  2  cos sin 1 2 cos 1 cos  4 4 2  x x x x p p æ ö æ ö - = - Û + = - Û + = - ç ÷ ç ÷ è ø è ø  2  , 2  2  x k  k  x k p p p p é = + ê Û Î ê = - + ë ¢  0.25  0.5  0.25  2.  Giải phương trình ....  Điều kiện :  2 2 x - £ £  Đặt  2  2 2 2 2  4 4 4 2 4 4  2  t  t x x t x x x x - = + - Þ = + - Þ - =  Pt trở thành :  2  2  2  4  2 3 3 2 8 0  4  2  3  t  t  t t t  t = é - ê = + Û - - = Û ê = - ë  Với t = 2 ta có :  2 2  2 2  2 0  0  4 2 4 2  2 4 4 4  x  x  x x x x  x x x x - ³ = ì é + - = Û - = - Û Û í ê = - = - + ë î  (t/m)  Với  4  3  t = -  ta có  2 2  4 4  4 4  3 3  x x x x + - = - Û - = - -  2  4  4  2 14 3  3  3 2 14 9 12 10 0  3  x  x  x  x x  x ì £ - ì ï £ - - - ï ï Û Û Þ = í í - ± ï ï + - = = î ï î  (t/m)  Vậy pt đã cho có ba nghiệm x = 0 ; x = 2 ;  2 14  3  x - - =  1.0  0.25  0.25  0.25  0.25 www.VNMATH.com  1.  Vì  tam  giác  ABC  vuông  tại  C  nên  2 2 2 2 5 4 3 AC AB BC = - = - =  (cm)  1 1  . .3.4 6  2 2 ABC  S AC BC Þ = = =  (cm 2 )  Vì ( ) SA ABC ^  nên AC  là  hình chiếu của SC  trên (ABC) Þ góc  giữa  SC  với  (ABC)  là  SCA  =  60°  .  Trong  tam  giác  vuông  SAC  có  . tan 60 3 3 SA AC = ° =  Do ( ) SA ABC ^  nên  .  1 1  . .3 3.6 6 3  3 3 S ABC ABC  V SA S = = =  (cm 3 ) .  1.0  0.25  0.25  0.25  0.25  III.  2.  Gọi E  là trung điểm AC mà D  là trung điểm AB nên DE  là đường trung bình trong  tam giác ABC Þ DE // BC Þ BC // (SDE) mà SD Ì (SDE) nên ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,  , , , BC SD  BC SDE B SDE A SDE d d d d = = =  (vì D là trung điểm AB)  Vì BC ^ AC Þ DE^ AC , mà SA ^ (ABC) Þ SA ^ DE Þ DE^ (SAE) Þ (SDE) ^ (SAE) mà (SDE)Ç (SAE) = SE . Trong (SAE) kẻ AH^ SE Þ AH ^ (SAE)Þ AH = ( ) ( ) , A SDE d  .  Trong tam giác vuông SAE có AH là đường cao nên :  2 2 2  1 1 1 1 8 1  3  27 27 3  AH  AH SA AE = + = + = Þ =  . Vậy ( ) ,  3 BC SD d =  1.0  0.25  0.5  0.25  IV.  Đặt  . t x y =  ; vì  1 x ³  nên ( )  2  2 2  3 3 4 . 3 3 4  4 3  x  x y x y x xy x y xy  x + = Û + = Û = -  Có ( )  3 3 4  4 3  y  x y xy x  y + = Û = -  (vì  1 y ³  ) .Xét hàm số ( )  3  4 3  y  f y  y = -  trên [ ) 1;+¥  có ( ) ( ) [ ) ( ) ( ) 2  9  ' 0, 1; 1 3 1 3  4 3  f y y f y f x  y - = < " Î +¥ Þ £ = Þ £ £ -  Xét hàm số ( )  2 3 4 3  x  g x  x = -  trên [ ] 1;3 ( ) 9  3  4  g x Þ £ £  . Vậy  9  ;3  4  t é ù Î ê ú ë û  Khi đó ( ) ( ) ( ) ( )  3 3 3  3 3 3  3 3  1 3 1 P x y x y xy x y  x y  xy æ ö æ ö é ù ç ÷ = + + = + - + + ç ÷ ë û ç ÷ è ø è ø ( )  3  3  2  3  3  4 4 3 64 3  3 . 1 4 1  3 3 27  xy xy t  xy t  t xy æ ö é ù æ ö æ ö æ ö ç ÷ = - + = - + ê ú ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø ê ú è ø ë û è ø  =  3 2  64 12 64  4  27 9  t t  t - - +  Xét hàm số P(t) =  3 2  64 12 64  4  27 9  t t  t - - +  với  9  ;3  4  t é ù Î ê ú ë û  1.0  0.25  0.25 www.VNMATH.com  Ta có ( )  2  2 2  64 12 8 12 9  ' 8 8 1 0, ;3  9 9 4  P t t t t t t  t t æ ö é ù = - + = - + > " Î ç ÷ ê ú è ø ë û  Vậy ( )  280 3  9  MaxP P = =  tại t = 3  3 3 1  ;  4 1 3  xy x x  x y y y = = = ì ì ì Û Û í í í + = = = î î î  9 307  4 36  MinP P æ ö = = ç ÷ è ø  tại  9  4  t =  9  3  4  2  3  xy  x y  x y ì = ï Û Û = = í ï + = î  0.25  0.25  1.  Thay tọa độ I vào pt D  ta được  5  3.2 4. 4 0  2 - + =  (luôn đúng) nên  I Î D  Vì  AÎ D  nên giả sử ( ) 4 ;3 1 A a a +  mà B đối xứng với A qua  I nên I  là trung điểm  AB ( ) 4 4 ; 4 3 B a a Þ - -  .  Từ C dựng CH ^ AB tại H thì ( ) ( )  ,  2 2  3.2 4 5 4  6  3 4  C AB CH d - - + = = = +  Theo giả thiết ( ) ( ) 2 2 1 1 15 . 15 .6. 4 8 3 6 15  2 2 ABC  S CH AB a a = Û = Û - + - = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  2  1 4;4 , 0;1  25 1 2 5 2 1 1  0 0;1 , 4;4  a A B  a a  a A B é = Þ Û - = Û - = Û ê = Þ ê ë  Vậy hai điểm cần tìm là (4; 4) và (0; 1) .  1.0  0.25  0.25  0.5  V.  2.  Mỗi  tam giác được  tạo thành  từ ba điểm không  thẳng  hàng nên  ba điểm đó được  chọn từ hai điểm trên đường thẳng này và một điểm trên đường thẳng kia . Do đó ta  có các trường hợp sau :  TH1: Tam giác  được  tạo  thành  từ  hai  điểm  trên đường  thẳng  a  và một  điểm  trên  đường thẳng b có tất cả :  2 10 5. 225 C =  (tam giác) .  TH2: Tam giác được tạo thành từ một điểm trên a và hai điểm trên b có tất cả :  2  5 10. 100 C =  (tam giác)  Vậy có tất cả : 225 + 100 = 325 tam giác .  1.0  0.25  0.25  0.25  0.25  VI.  Điều kiện :  6 4  2  x  x - < < ì í ¹ - î  (*)  Pt ( ) ( ) 4 4 4 3log 4 3log 2 3 3log 6 x x x Û - - + = - + ( ) ( ) ( )( ) 4 4 4 log 4 log 6 1 log 2 4 6 4 2 x x x x x x Û - + + = + + Û - + = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )  4 2 4 6  4 2 4 6  x x x  x x x é + = - + Û ê + = - - + ê ë  (vì (*) nên ( )( ) 4 6 0 x x - + >  ) ( ) ( ) ( )  2  2  2 /  6 16 0  8 1 33 ( )  2 32 0  1 33 /  x t m  x x  x loai  x loai  x x  x t m é é = + - = Û ê ê = - ê ê ë Û ê é = + ê - - = Û ê ê = - ê ê ë ë  1.0  0.25  0.25 www.VNMATH.com  Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2 ;  1 33 x = -  0.5  Tổng  10.00  Lưu ý : Các cách giải khác đúng cho điểm tương đương từng phần .