Delta Publishing Company

i điểm gốc bởi tính có thể thay thế của đầu ra theo giả thiết. TỶ LỆ THAY THẾ KỸ THUẬT CẬN BIÊN Tỷ lệ thay thế kỹ thuật cận biên (Marginal rate of technical substitution - MRTS) là tỷ lệ đo sự giảm sút trong một đầu vào khi một đơn vị đầu vào khác tăng lên nhằm duy trì một mức đầu ra không đổi. Tỷ lệ thay thế kỹ thuật cận biên của nhân công và vốn (MRTSLK) tại một điểm trên đường đồng lượng bằng giá trị dương của độ dốc của đường đồng lượng tại điểm đó. Tỷ lệ này tương đương với tỷ lệ các sản phẩm cận biên: MRTSLK = MPK/MPL HÌNH 2 CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG LƯỢNG TÍNH CÓ THỂ THAY THẾ CỦA ĐẦU VÀO Một đường đồng lượng có 3 dạng hình dáng chung, được mô tả trong hình 3. Ở đồ thị (a), các đường đồng lượng vuông ở góc trái cho biết các đầu vào a và b không thể thay thế cho nhau (hay bổ sung hoàn toàn). Trường hợp này cần một kết hợp cụ thể của các đầu vào để sản xuất một mức đầu ra cụ thể. Đầu ra không thể tăng mà không có sự tăng lên của cả 2 đầu vào. Một ví dụ của trường hợp này là vỏ lốp xe và ắc quy cho ô tô. Trong trường hợp này, MRTS bằng 0, vì khi thêm một đơn vị đầu vào a cũng không thể giảm một lượng đầu vào b nào nếu một mức đầu ra cho trước được duy trì. Một trường hợp điển hình khác là khi đầu vào a và b là các đầu vào có thể thay thế cho nhau hoàn toàn, được minh hoạ trong đồ thị (b). Trong trường hợp này, các đầu vào có thể thay thế cho nhau tại một tỷ lệ nhất định trong khi hãng vẫn duy trì được cùng một mức đầu ra. Đượng đồng lượng sẽ là đường thẳng có độ dốc và MRTS không đổi. Gas tự nhiên và dầu đốt được xem là các chất đốt thay thế cho nhau trong sản xuất năng lượng Tuy nhiên, đồ thị (c) miêu tả trường hợp thông dụng nhất trong đó các đầu ra không thay thế cho nhau hoàn toàn. Đầu vào này có thể thay thế cho đầu ra kia ở những tỷ lệ thay đổi. Nói cách khác, là tỷ lệ mà tại đó một đầu vào có thể bỏ qua, đổi lại phải thêm vào một đầu vào khác khi duy trì cùng một mức đầu ra giảm xuống và có một lượng đầu vào a tăng thêm. Nghĩa là, MRTS giảm xuống. Nói chung, vốn và nhân công là những đầu vào thay thế không hoàn toàn CHÚ Ý: Sự lựa chọn kết hợp đầu vào dễ dàng hơn trong 2 trường hợp đầu (a) và (b). Trong trường hợp đầu, không có quyết định kết hợp đầu vào nào. Trong trường hợp thứ 2, quyết định ưu tiên đối với đầu vào rẻ hơn. Chúng ta hướng tập trung thảo luận vào trường hợp mà đầu vào không thay thế cho nhau hoàn toán có MRTS giảm. CÁC GIAI ĐOẠN SẢN XUẤT Có 3 giai đoạn sản xuất điển hình đặc biệt quan trọng đối với phân tích tính hiệu quả của các nguồn lực đầu vào được sử dụng (xem hình 4). Có thể chia một hàm sản xuất biểu diễn số lượng lợi nhuận tăng lên, giảm xuống và âm có thể chia ra 3 phần. Phần 1 bao gồm khoảng lợi nhuận tăng theo đầu vào biến đổi và điểm mà lợi nhuận cận biên giảm xuống (DMR) đạt tới (điểm A) và vượt qua, kết thúc khi đạt tới điểm lợi nhuận trung bình giảm xuống (DAR) (điểm B). Phần II gồm phần mà tại đó lượng đầu ra tăng lên với một tỷ lệ giảm xuống, theo đó, năng suất biên (MP) của đầu ra biến đổi là giảm xuống, mặc dù vẫn nhận giá trị dương. Phần III trùng với khoảng đầu vào mà việc dùng các đầu vào biên đổi thêm vào tương ứng với sự giảm xuống trong đầu ra nhưng MP âm. HÌNH 3 TÍNH CÓ THỂ THAY THẾ CỦA ĐẦU VÀO HÌNH 4 3 GIAI ĐOẠN CỦA SẢN XUẤT ĐƯỜNG ĐỒNG PHÍ Đường đồng phí (isocost curve) là một đường hoặc một phương trình cho biết các kết hợp của các đầu vào (ví dụ, nhân công và vốn) có thể có được với cùng một tổng số tiền cố định. Đường này tương tự với đường ngân sách của người tiêu dùng, nhưng liên quan đến mua sắm đầu vào của hãng. Tổng chi phí của đầu vào là: wL + rK = C Trong đó w = tỷ lệ lương (giá của lao động) và r = lãi suất (giá của vốn). Biểu thức này có thể chuyển về công thức cho đường đồng phí như sau: K = C/r - (w/r)L Do đó, dọc theo một đường đồng phí, K là một hàm tuyến tính của L với mặt phẳng chắn theo trục tung của C/r và một độ dốc của w/r. Các giá trị thay đổi của C sẽ tạo nên đường đồng phí song song với nhau. ĐƯỜNG MỞ RỘNG Một đường mở rộng sản xuất (expansion path) là hình vẽ trên đồ thị dùng để minh hoạ lượng tiền vốn và nhân công mà một hãng sẽ dùng để mở rộng hoạt động. Kết hợp tối ưu là điểm nằm trên đường tiếp tuyến của đường đồng lượng và đường đồng phí. Đường mở rộng sản xuất được xác định bởi quỹ tích các điểm tiếp tuyến của đường đồng lượng và đườgn đồng phí. Đối với các hãng sản xuất, đường mở rộng sản xuất là đường biểu diễn kết hợp các lựa chọn đầu vào tại mỗi mức sản lượng đầu ra. Với một mức giá đầu vào cho trước, đường mở rộng sản xuất cho biết các lựa chọn kết hợp (điểm A, B và C trong hình 5) đầu vào sản xuất. Với một hãng tối thiểu hoá chi phí, bất kì điểm nào nằm trên đường mở rộng sản xuất đều thoả mãn điều kiện tỷ lệ năng suất kỹ thuật biên của 2 đầu vào bất kì bằng với tỷ lệ giá của 2 đầu vào đó. NGUYÊN TẮC TỐI THIỂU HOÁ CHI PHÍ – ĐẦU VÀO TỐI THIỂU HOÁ CHI PHÍ Tiếp tuyến của đường đồng phí với đường đồng lượng xác định kết hợp chi phí nhỏ nhất (tối ưu) của các đầu vào để sản xuất một mức đầu ra cho trước. Vơi kết hợp đầu vào có chi phí nhỏ nhất, điều kiện cần có là: Nghĩa là để tối thiểu hoá chi phí cho việc sản xuất một mức đầu ra cho trước, cận biên của mỗi đô la bỏ ra là bằng nhau đối với tất cả đầu vào. Như một sự lựa chọn, một hãng có thể sử dụng đầu vào mà tỷ lệ thay thế kỹ thuật cận biên bằng nhau đối với tỷ lệ của giá đầu vào. MPL/MPK = w/r VÍ DỤ 7 Một người trồng dâu tây ước tính rằng sản lượng dâu tây sản xuất được sẽ tăng 2500 quả mỗi tháng khi hệ thống tưới cung cấp thêm 1000 gallons nước mỗi tháng. Hoặc là, sản lượng dâu tây sản xuất được sẽ tăng lên 1000 khi tăng thêm 2 tấn phân bón mỗi tháng. Giả định rằng chi phí của nước là $0.05 mỗi gallon và của phân bón là $20 mỗi tấn, kết hợp tối ưu của nước và phân bón mà người nông dân sử dụng là gì? Với kết hợp đầu vào có chi phí ít nhất, phải có điều kiện sau: MPW = 2500 và MPF = 1,000 PW = 1000 gallons mỗi tháng x $0.05 mỗi gallon = $50 mỗi tháng PF = 2 tấn mỗi tháng x $20 mỗi tấn = $40 mỗi tháng Vì vậy: Không, 50>25, không phải là kết hợp đầu vào có chi phí ít nhất vì đầu ra mỗi đôla chi phí thêm vào của nước lớn hơn của phân bón. HÌNH 5 ĐƯỜNG ĐỒNG LƯỢNG, ĐƯỢNG ĐỒNG PHÍ VÀ ĐƯỜNG MỞ RỘNG HIỆU QUẢ THEO QUY MÔ Hiệu quả theo quy mô (The returns to scale)của một hệ thống sản xuất cho biết sự tăng thêm của đầu ra khi tăng thêm tương ứng tất cả các yếu tố đầu vào, phản ánh sự thay đổi của đầu ra khi tất cả đầu vào đều tăng cùng một bội số. Có 3 khả năng xảy ra: Hiệu quả theo quy mô tăng, không đổi và giảm xuống. Nếu đầu ra tăng lên với một tỷ lệ lớn hơn so với đầu vào thì hiệu quả theo quy mô tăng lên. Trong dài hạn, một hãng có hiệu quả tăng lên khi có tiết kiệm theo quy mô. Tiết kiệm theo quy mô và lãng phí theo quy mô ảnh hưởng đến chi phí của hãng. Khi hãng đạt được tiết kiệm theo quy mô, chi phí trung bình dài hạn của một hãng sẽ giảm xuống. Lãng phí theo quy mô xuất hiện khi chi phí bình quân dài hạn tăng lên. Không áp dụng quy luật tiết kiệm và lãng phí theo quy mô cho thời kỳ ngắn hạn bởi vì rất nhiều chi phí được cố định. Trong dài hạn, tất cả các chi phí đều biến đổi. Nếu đầu ra tăng lên với cùng một tỷ lệ, hiệu quả không đổi theo quy mô xuất hiện. Cuối cùng, nếu đầu ra tăng lên với một tỷ lệ nhỏ hơn, hiệu quả giảm xuống theo quy mô xuất hiện. Các hiệu quả theo quy mô đóng một vai trò quan trọng trong ra quyết định kinh tế. Chúng ảnh hưởng tới quy mô tối ưu, hay quy mô nhà xưởng của một hãng và các thiết bị sản xuất. Chúng cũng ảnh hưởng tới bản chất của cạnh tranh trong một ngành và do đó đóng vai trò quan trọng trong xác định khả năng sinh lời trong một ngành cụ thể của nền kinh tế. Hiệu quả theo quy mô Điều kiện Hiệu quả tăng theo quy mô Phần trăm tăng trong đầu ra > phần trăm tăng trong đầu vào Hiệu quả không đổi theo quy mô Phần trăm tăng trong đầu ra = phần trăm tăng trong đầu vào Hiệu quả giảm theo quy mô Phần trăm tăng trong đầu ra < phần trăm tăng trong đầu vào Có thể xác định hiệu quả theo quy mô bằng nhiều cách, trong đó có: So sánh phần trăm đầu ra tăng lên với phần trăm đầu vào tăng lên cho trước. Sử dụng một phương pháp đại số nói chung. VÍ DỤ 8 Với một hàm sản xuất cho trước: Q = 10L + 15K + 20KL Nếu L=K=100, thì Q1 = 10(100) + 15(100) + 20(100)(100) = 202,500 Tăng mỗi đơn vị lên 1% thì: Q2= 10(101) + 15(101) + 20(101)(101) = 206,545 dẫn đến 2% tăng lên trong đầu ra (Q2/ Q1 = 1.02), và do đó, hàm biểu diễn hiệu quả tăng theo quy mô. Tương tự, với một k phần trăm thay đổi trong tất cả đầu vào (trong đó k>1) chúng ta có: Q1 = 10L + 15K + 20KL Q2 = 10L + 15K + 20KL = 10(kL) + 15(kK) + 20(kL)(kK) = k (10L + 15K + 20kKL). Vì k > 1, Q2 > Q1. Nên hàm biểu diễn hiệu quả tăng theo quy mô. CO GIÃN ĐẦU RA VÀ LỢI NHUẬN THEO QUY MÔ Co giãn đầu ra (output elasticity) đo tính nhạy cảm của đầu ra đối với một sự thay đổi trong một đầu vào được sử dụng, được tính như sau: Trong đó X là tất cả đầu vào (vốn, nhân công,...). Cũng có thể dùng co giãn này để ước lượng hiệu quả theo quy mô, dựa theo các tiêu chuẩn sau: Co giãn đầu ra Hiệu quả theo quy mô eQ > 1 Tăng lên eQ = 1 Không đổi eQ < 1 Giảm xuống CÂU HỎI Cho vài ví dụ khác nhau về hàm sản xuất Hàm Cobb-Douglas khác các hàm khác như thế nào? Thế nào là sản phẩm doanh thu cận biên (MRP)? Ý nghĩa của nó trong tối đa hoá lợi nhuận? Mô tả tóm tắt 3 giai đoạn sản xuất. Thế nào là co giãn đầu ra? Cách tính toán? Mô tả mối quan hệ đồ thị giữa sản phẩm cận biên và sản phẩm bình quân. Chỉ rõ điều kiện kết hợp các đầu vào có chi phí nhỏ nhất (tối ưu). Cho 2 ví dụ về thay thế hoàn toàn. Nếu các đầu ra không thay thế được cho nhau thì không ra được quyết định nào về kết hợp đầu vào. Nhận xét. BÀI TẬP 1. Công ty Anaheim, sản xuất phim, có hàm sản xuất sau: Q = 0.5K2 + 0.3KL + 0.4L2 Giả định rằng tỷ lệ sử dụng hàng tuần là L = 100 giờ lao động và K = 30 là chi phí sản xuất (a) Tổng sản phẩm mỗi tuần. Sản phẩm cận biên của lao động. Sản phẩm cận biên của vốn. 2. Công ty Liên doanh kính thuốc John-Jay Opticals, một nhà sản xuất kính thuốc có hàm sản xuất ước tính sau: Q = 20L0.75K0.30 Trong đó Q =số gọng nhựa được sản xuất mỗi ca lao động (gồm 8 giờ), L = số nhân công, K = số vốn được sử dụng. Tính số gọng nhựa hoàn thành mỗi ca khi L = 10 và K = 100. Tính sản phẩm cận biên của lao động khi L = 10 và K = 100. 3. Liên doanh Nông phẩm Ding-Dong là một nhà sản xuất cam. Công ty ước tính rằng số lượng cam sản xuất ra sẽ tăng 1,500 quả mỗi tháng khi hệ thống tưới tăng thêm 1,000 gallon nước mỗi tháng. Hoặc là, sản lượng cam sẽ tăng 900 quả khi tăng thêm 2 tấn phân bón mỗi tháng. Giả định rằng chi phí của nước là $0.06 mỗi gallon và của phân bón là $25 mỗi tấn. Hãng có đang sử dụng kết hợp tối ưu của nước và phân bón hay không? Tại sao? 4. Liên doanh Nông phẩm Agasi là nhà sản xuất lê. Công ty ước tính rằng sản lượng lê sẽ tăng 1,200 quả mỗi tháng khi hệ thống tưới tăng thêm 1,000 gallon nước mỗi tháng. Hoặc là, sản lượng lê sẽ tăng 1000 quả khi tăng thêm 2 tấn phân bón mỗi tháng. Giả định rằng chi phí của nước là $0.06 mỗi gallon và của phân bón là $25 mỗi tấn. Hãng có đang sử dụng kết hợp tối ưu của nước và phân bón hay không? Tại sao? 5. Công ty ABC có hàm sản xuất: Q = 12KL + 0.7KL2 - 1/30KL3 Xác định: Đầu ra tối đa có thể sản xuất được khi K = 5. Mức độ sử dụng của L khi sản phẩm bình quân của lao động (APL) đạt cực đại. Mức đầu ra xuất hiện hiệu quả giảm dần theo L. 6. Công ty Khai thác mỏ Đông Bắc có hàm sản xuất đối với đầu ra than đá sau: Q = 250L0.5K0.6 Xác định hiệu quả theo quy mô và nhận xét. Xác định hiệu quả theo quy mô đối với mỗi yếu tố đầu vào. 7. Công ty khai thác mỏ Nova có hàm sản xuất đối với đầu ra than đá sau: Q = 300L0.5K0.5 Trong đó Q = Sản lượng than đá sản xuất được (nghìn tấn), L = Lao động (trăm công nhân), và K = Vốn (trăm triệu đô la). Tại điểm sản xuất cực đại, công ty cần 10,000 công nhân và $900 triệu tiền vốn chi phí. Sản lượng đầu ra than đá sản xuất được bán tại mức giá của thị trường cạnh tranh là $40 mỗi tấn. Xác định mức lương hàng năm lớn nhất mà công ty sẵn sàng trả để thu hút 10,000 công nhân. Công ty sẵn sàng tuyển bao nhiêu công nhân khi mức lương hàng năm mà công đoàn lao động yêu cầu là $20,000. 8. Tổng sản phẩm của lao động (mỗi giờ) của một công ty cho dưới đây: Q = 30L - 0.5L2 Xác định sản phẩm cận biên của lao động. Công ty nên sử dụng bao nhiêu lao động nếu tỷ lệ lương là $30 mỗi giờ và sản phẩm doanh thu cận biên là $24? TRẢ LỜI 1. Các ví dụ là hàm sản xuất tuyến tính, hàm sản xuất Leontief, và hàm sản xuất Cobb-Douglas 2. Hàm sản xuất Cobb-Douglas nằm giữa cực trị của hàm sản xuất tuyến tính và hàm sản xuất Leontief. Không giống hàm tuyến tính, mối quan hệ của hàm Cobb-Douglas giữa đầu ra và đầu vào là không tuyến tính. Không giống như hàm sản xuất Leontief, không cần sử dụng đầu vào với các tỷ lệ xác định. 3. Sản phẩm doanh thu cận biên là phần thu ròng thêm vào tổng doanh thu có thể quy cho sự thêm vào của một đơn vị dịch vụ sản xuất đa năng (variable productive service) và giá trị tính theo đô la của sản phẩm cận biên (MP) của một đầu vào. Sản phẩm doanh thu cận biên (MRP) của một đầu vào bằng MP nhân với MR của hàng hoá. Một hãng tối đa hoá hiệu quả sẽ sử dụng một dịch vụ sản xuất đa năng cho đến khi đạt tới điểm mà MRP của một đầu vào bằng đúng với giá bán của đầu vào đó. 4. Ba giai đoạn sản xuất điển hình đặc biệt quan trọng trong phân tích tính hiệu quả của các nguồn lực đầu vào được sử dụng với (xem hình 4). Một hàm sản xuất biểu diễn số lượng hiệu quả tăng lên, giảm xuống và âm có thể chia ra 3 phần. Phần 1 bao gồm khoảng hiệu quả tăng theo đầu vào biến đổi tăng lên và điểm của hiệu quả cận biên giảm xuống (DMR) đạt tới (điểm A) và vượt qua, kết thúc khi đạt tới điểm hiệu quả trung bình giảm xuống (DAR) (điểm B). Phần II gồm phần mà tại đó lượng đầu ra tăng lên với một tỷ lệ giảm xuống, theo đó, sản phẩm cận biên (MP) của đầu ra biến đổi là giảm xuống, mặc dù vẫn nhận giá trị dương. Phần III trùng với khoảng đầu vào mà việc dùng các đầu vào biên đổi thêm vào tương ứng với sự giảm xuống trong đầu ra nhưng MP âm. 5. Co giãn đầu ra đo sự nhạy cảm của đầu ra đối với một thay đổi trong một đầu vào được sử dụng, được tính như sau: Trong đó X là tất cả đầu vào (vốn, nhân công,…). Cũng có thể dùng co giãn này để ước tính hiệu quả theo quy mô. 6. (1) Với một đầu vào tăng lên, ban đầu MP tăng lên (hiệu quả cận biên tăng lên) sau đó bắt đầu giảm (hiệu quả cận biên giảm dần), và cuối cùng về âm (hiệu quả cận biên âm). (2) Miễn là MR tăng, MP > AP; ngược lại khi MP<AP. 7. Tiếp tuyến của đường đồng phí với đường đồng lượng xác định kết hợp chi phí nhỏ nhất (tối ưu) của các đầu vào để sản xuất một mức đầu ra cho trước. Với kết hợp đầu vào có chi phí nhỏ nhất, điều kiện cần có là: MPW/ PW = MPF/ PF 8. Bánh nướng, mật và đường đỏ thường là các thay thế gần như hoàn toàn. 9. Nhận xét trên là đúng. Ví dụ, một chiếc ô tô cần một động cơ, một ắc quy và 4 bánh xe, không có một kết hợp nào khác kết hợp này. Một ví dụ khác là men và bột cho một chiếc bánh mỳ cụ thể. GỢI Ý TRẢ LỜI 1. Q = 0.5(30)2 + 0.3(30)(100) + 0.4(100)2 = 450 + 900 + 4000 = 5350 MPL = ¶Q/¶L = 0.3K + 0.8L = 0.3(30) + 0.8(100) = 89 MPK = ¶Q/¶K = K + 0.3L = (30) + 0.2(100) = 50 2. Q = 20L0.75K0.30 = 20(10)0.75(100)0.30 = 20(5.623)(3.981) = 447.70 plastic cases MPL = ¶Q/¶L = (20)(0.75)L-.25 K0.30 = 33.58 3. Cho một kết hợp đầu vào có chi phí nhỏ nhất, điều kiện cần có là: MPW = 1500 và MPF = 900 PW = 1000 gallons mỗi tháng x $0.06 mỗi gallon = $60 mỗi tháng PF = 2 tấn mỗi tháng x $25 mỗi tấn = $50 mỗi tháng Vì vậy, Không, 25> 18, là kết hợp đầu vào có chi phí nhỏ nhất bởi vì đầu ra mỗi đô la thêm vào tiêu dùng cho nước lớn hơn cho phân bón. 4. MPW = 1200 và MPF = 1000 PW = 1000 gallons mỗi tháng x $0.06 mỗi gallon = $60 mỗi tháng PF = 2 tấn mỗi tháng x $25 mỗi tấn = $50 mỗi tháng Vì vậy, Có, 20 = 20, là kết hợp đầu vào có chi phí nhỏ nhất bởi vì đầu ra mỗi đô la thêm vào tiêu dùng cho cả nước và phân bón bằng nhau. 5. Q = 12KL + 0.7KL2 - 0.3KL3 Tại K = 5, TPL = 12(5)L + 0.7(5)L2 - 1/30(5)L3 = 60L + 3.5L2 - 1/6L3 Đặt MPL bằng 0 có: MPL = ¶Q/¶L = 60 + 7L - 0.5L2 = 0; (-0.5L + 10)(L + 6) = 0 Vì vậy L = 20 (Loại L = -6) là giá trị cực đại vì ¶2Q/¶L2 = 7 - L = 8 - 20 = -12 < 0. Vì vậy đầu ra cực đại là 1267 đơn vị: Tại L = 20, TPL = 60L + 3.5L2 - 1/6L3 = 60(20) = 3.5(20)2 - 1/6(20)3 = 1267. TPL = 60L + 3.5L2 - 1/6L3 APL = TPL/L= (60L + 3.5L2 - 1/6L3)/L = 60 + 3.5L - 1/6L2 Để tìm APL lớn nhất, đặt APL=0 và tìm L như sau: dAPL/dL = 3.5 - 1/3L = 0; L = 10.5, là giá trị nhỏ nhất vì d2APL/dL2 = -1/3 < 0. Sản lượng đầu ra khi APL được tối đa hóa là 823 đơn vị: TPL = 60L + 3.5(10.5)2 - 1/6(10.5)3 = 823. Hiệu quả cận biên giảm dần bắt đầu khi MPL được tối đa hoá. MPL = ¶Q/¶L = 60 + 7L - 0.5L2 dMPL/dL = 7 - l = 0; L = 7, là giá trị cực đại vì d2MPL/dL2 = -1 < 0. Do đó tại L = 7, TPL = 60L + 3.5L2 - 1/6L3 = 60(7) + 3.5(7)2 - 1/6(7)3 = 534. Hiệu quả cận biên giảm dần theo đầu vào lao động bắt đầu khi đầu ra là 534 đơn vị. 6. Q = 250L0.5K0.6 = 250(kL)0.5(kK)0.6 = k0.5k0.6 250L0.5K0.6 = k1.1 Q, tức là k1.1 > k, cho biết hàm sản xuất trên biểu diễn hiệu quả tăng theo quy mô. Hiệu quả theo mỗi nhân tố có thể được xác định bằng cách dựa vào sự thay đổi của mỗi sản phẩm cận biên khi tăng thêm đầu vào. Hiệu quả theo lao động: MPL = ¶Q/¶L = 125L-0.5K0.6; d2MPL/dL2 = -62.5 L-1.5K0.6 < 0. Vì vậy hiệu quả theo lao động giảm. Hiệu quả theo vốn: MPK = ¶Q/¶K = 125L0.5K-0.4, d2MPL/dL2 = -50L0.5K-1.4 < 0. Vì vậy hiệu quả theo vốn giảm. 7. Dùng quy tắc nhân công tối ưu: Giá của một đầu vào (Pi) = Sản phẩm doanh thu cận biên của đầu vào (MRPi) Đối với lao động, Giá nhân công = sản phẩm doanh thu cận biên của lao động, hay PL = MPL x MRQ = (150L-0.5K0.5)($40 x 1,000 tấn) = [150(100)-0.5(9)0.5]($40 x 1,000 tấn) = $1,800,000 mỗi trăm lao động hay $18,000. PL = MPL x MRQ $20,000 x 100 = (150L-0.5K0.5)($40 x 1,000 tons) $2,000,000 = [150L-0.5 (9)0.5]($40 x 1,000 tons) $2,000,000 = [150L-0.5 (9)0.5]($40 x 1,000 tons) $2,000,000/ $18,000,000 = 150L-0.5 $2,000,000/ $18,000,000 = 1/L0.5 L0.5 = 9 L = 81 hay, 8,100 lao động. Do vậy, tại mức lương $20,000, hãng chỉ sẵn sàng thuê 8,100 lao động. 8. MPL = ¶Q/¶L = 30 - L Sử dụng nguyên tắc nhân công tối ưu PL = MPL x MRQ $30 = (30 - L) x $24 $30 = $720 - $24L L = 23 Hãng nên tuyển 23 công nhân mỗi giờ. CHƯƠNG 7 - LẬP KẾ HOẠCH ĐA SẢN PHẨM VÀ QUY HOẠCH TUYỂN TÍNH MỤC TIÊU HỌC TẬP: Sau khi học chương này bạn có thể: Định nghĩa quy hoạch tuyến tính (LP). Hiểu và thảo luận hàm mục tiêu Cho ví dụ về các ràng buộc Minh hoạ các ràng buộc không âm Định nghĩa và cho ví dụ về phương án khả thi. Thảo luận và minh hoạ phương án khả thi cơ bản Tính toán và định nghĩa phương án tối ưu Cho ví dụ về các bài toán đối ngẫu. Giải thích và đưa ra những ví dụ về giá mờ Giải thích biến lỏng Minh hoạ và thảo luận các ràng buộc đóng Giải thích điều kiện lỏng bổ sung Minh hoạ và giải thích tác dụng của phân tích hoạt động. Phác họa và giải thích tia quá trình Minh hoạ đường đồng phí Quy hoạch tuyến tính (Linear programming - LP) là một thuật toán nhằm tìm ra phương án tối ưu (hoặc kế hoạch tối ưu) từ vô số các phương án quyết định. Phương án tối ưu là phương án thỏa mãn được các mục tiêu đề ra của một hãng, phụ thuộc vào các hạn chế và các ràng buộc. Nó đề cập đến vấn đề phân bổ nguồn lực khan hiếm giữa các hoạt động cạnh tranh trong một phương thức tối ưu. Quyết định tối ưu mang lại hiệu quả cao nhất, lãi gộp (Contribution Margin-CM) cao nhất, hay doanh thu, hay chi phí thấp nhất. Mô hình LP gồm 2 thành phần Hàm mục tiêu: Hãng phải xác định mục tiêu cụ thể phải đạt tới Các ràng buộc: Các ràng buộc dưới dạng các hạn chế về sự sẵn có của nguồn lực hay thoả mãn các yêu cầu tối thiểu. Như tên gọi quy hoạch tuyến tính, cả hàm mục tiêu và các ràng buộc phải dưới dạng tuyến tính. CHÚ Ý: Các phương pháp tính toán cổ điển, như là phương pháp nhân tử Lagrangean, không thích hợp cho việc tìm ra các phương án cho các bài toán kèm các ràng buộc bất đẳng thức. Mô hình LP giải quyết vấn đề tối ưu hoá bị ràng buộc với các hàm mục tiêu tuyến tính và các ràng buộc bất đẳng thức tuyến tính, trong khi đó phép tính vi phân và phương pháp nhân tử Lagrange giải quyết các vấn đề bao gồm các hàm mục tiêu tuyến tính và phi tuyến tính và các ràng buộc đẳng thức. VÍ DỤ 1 Một hãng muốn tìm kết hợp sản phẩm tối ưu. Kết hợp tối ưu là kết hợp tối đa hoá tổng hiệu quả hay lãi gộp (CM) trong ngân sách được giới hạn và công suất sản xuất. Hoặc là hãng có thể muốn xác định kết hợp nguyên liệu đầu vào có chi phí nhỏ nhất trong khi vẫn đáp ứng được các đòi hỏi của sản xuất, tận dụng công suất sản xuất và sử dụng nhân công sẵn có. ỨNG DỤNG CỦA LP LP có nhiều ứng dụng. Bao gồm Lựa chọn kết hợp đầu vào có chi phí thấp nhất cho sản phẩm sản xuất ra Xác định ngân sách tối ưu Quyết định danh mục đầu tư tối ưu (hay phân bổ tài sản) Phân bổ ngân sách quảng cáo cho các phương tiện thông tin Lên kế hoạch sử dụng máy móc Quyết định phương thức vận chuyển có chi phí thấp nhất Lên kế hoạch cho các chuyến bay Kết hợp khí đốt Phân bố nhân lực tối ưu Lựa chọn vị trí đặt nhà xưởng phù hợp nhất CÔNG THỨC CỦA LP Để xây dựng một bài toán LP, theo các bước sau. Xác định các biến quyết định phải tìm. Biểu diễn hàm mục tiêu và các ràng buộc theo các biến quyết định này. Các phương trình phải có dạng tuyến tính. Sử dụng phương pháp này trong ví dụ sau để tìm kết hợp sản phẩm tối ưu. VÍ DỤ 2 Công ty sản xuất đồ nội thất Omni sản xuất 2 sản phẩm: bàn giấy và bàn ăn. Cả 2 sản phẩm cần thời gian để được xử lý trong 2 bộ phận: Bộ phận Lắp ráp và bộ phận Hoàn thiện. Dữ liệu về hai sản phẩm này như sau Sản phẩm Sẵn có Xử lý Bàn giấy Bàn ăn Giờ Lắp ráp 2 mỗi chiếc 4 100 giờ Hoàn thiện 3 2 90 Hiệu quả mỗi chiếc $25 $40 Công ty muốn tìm được cách kết hợp 2 loại sản phẩm này sao cho có lợi nhất. Bước 1: Xác định các biến quyết định như sau: x1 = Số lượng bàn giấy x2 = Số lượng bàn ăn Bước 2: Hàm mục tiêu để tối đa hoá hiệu quả (Z) được biểu diễn dưới đây: Z = 25x1 + 40x2 Sau đó lập công thức các ràng buộc như là các bất đẳng thức: 2x1 + 4x2 < 100 (Ràng buộc lắp ráp) 3x1 + 2x2 < 90 (Ràng buộc hoàn thiện) Thêm vào đó, ẩn trong bất kỳ công thức LP nào phải có điều kiện để làm cho x1 và x2 không âm, tức là x1, x2 > 0 Tối ưu hoá: Z =25x1 + 40x2 Ràng buộc: 2x1 + 4x2 < 100 3x1 + 2x2 < 90 x1, x2 > 0 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN Có nhiều phương pháp để tính toán LP bao gồm: 1. Phương pháp đơn hình 2. Phương pháp đồ thị Phương pháp đơn hình là phương pháp được sử dụng giải bài toán LP. Nó là một thuật toán, một phương pháp tính toán lặp đi lặp lại, từ phương án này tới phương án khác cho đến khi đạt được lời giải tốt nhất. CHÚ Ý: Phương pháp đơn hình đề cập đến các biến số phụ (ký hiệu là s1 và s2) để chuyển từ bất đẳng thức sang đẳng thức: 2x1 + 4x2 2x1 + 4x2+ s1 = 100 3x1 + 2x2 3x1 + 2x2 + s2 = 90 Trong đó s1 và s2 phải không âm. Nếu như vế trái lớn hơn vế phải (>), thường là trường hợp tìm hàm mục tiêu, chúng ta nói rằng có một số thặng dư. Khi đó chúng ta cần -s1 và -s2 để chuyển bất đẳng thức thành đẳng thức. Phương pháp đồ thị dễ sử dụng hơn nhưng chỉ đối với các trường hợp LP có 2 (hoặc 3) biến quyết định. Phương pháp đồ thị gồm các bước sau đây: Bước 1: Đưa bất đẳng thức về dạng đẳng thức. Bước 2: Minh họa bằng đồ thị các đẳng thức. Để minh họa: Đặt một biến bằng 0 và tìm giá trị biến còn lại và nối 2 giá trị trên đồ thị, Đánh dấu các điểm trên 2 trục và kết nối với nhau thành một đường thẳng. Bước 3: Xác định phần thỏa mãn của các đẳng thức bằng cách đánh bóng. Lặp lại các bước từ 1-3 đối với mỗi ràng buộc. Bước 4: Sau hết, xác định tập phương án tức là đánh dấu các vùng chứa các phương án thoả mãn tất cả các ràng buộc. Bước 5: Giải đồng thời các ràng buộc (thể hiện dưới dạng các đẳng thức) để tìm ra điểm cận biên. Bước 6: Xác định hiệu quả hoặc lãi gộp tại tất cả các đỉnh trong miền khả thi. CHÚ Ý: Tập phương án là những giá trị của biến quyết định thoả mãn đồng thời các ràng buộc. Chúng được tìm thấy phía trên và bên trong miền khả thi. Phương pháp đồ thị dựa vào 2 đặc điểm quan trọng của LP: 1. Phương án tối ưu nằm ở đường biên của vùng khả thi, có nghĩa là có thể bỏ qua các điểm bên trong vùng khả thi (rất nhiều điểm) khi tìm kiếm phương án tối ưu. 2. Phương án tối ưu nằm ở 1 trong các đỉnh của miền tối ưu (các phương án khả thi cơ bản) VÍ DỤ 3 Sử dụng các dữ liệu và mô hình LP ở ví dụ 2, làm theo các bước từ 1 đến 4. Ta có vùng khả thi sau đây (vùng được đánh bóng). Bước 1: Chuyển các bất đẳng thức về đẳng thức. 2x1 + 4x2= 100 3x1 + 2x2 = 90 Bước 2: Lập đồ thị. Để lập đồ thị, cho một biến bằng 0, tìm giá trị biến còn lại, đánh dấu các điểm trên 2 trục, và nối 2 điểm thành một đường thẳng. Đối với đẳng thức 1: Nếu x1=0, x2=25; nếu x2=0, thì x1=50, nối x2=25 và x1=50. Đối với đẳng thức 2: Nếu x1=0, x2=30; nếu x2=0, thì x1=45, nối x2=30 và x1=45. Bước 3: Xác định các giá trị đúng của các bất đẳng thức ban đầu. Các giá trị đúng nằm trên đường thẳng và miền bên dưới đường thẳng đó chứa các ràng buộc dạng nhỏ hơn hoặc bằng. Bước 4: Xác định vùng khả thi tức là miền chứa các phương án khả thi. Miền chứa các phương án khả thi là vùng nhân đôi được minh hoạ bởi vùng được đánh bóng trong hình 1. Bước 5: Giải đồng thời các ràng buộc (dưới dạng các đẳng thức) tìm các đỉnh của miền khả thi. Bước 6: Xác định hiệu quả hoặc lãi gộp tại các đỉnh của miền khả thi. Đánh giá tất cả các đỉnh như sau: Điểm đỉnh Lợi nhuận x1 x2 $25x1 + $40x2 (a) 30 0 $25(30) + $40(0) = $750 (b) 20 15 25(20) + 40(15) = 1,100 (c) 0 25 25(0) + 40(25) = 1,000 (d) 0 0 25(0) + 40(0) = 0 Điểm đỉnh (b) (x1=20, x2 =15) cho biết kết hợp có khả năng sinh lời nhất (Z*=$1,100). Có thể tìm thấy điểm này bằng cách giải đồng thời hai biểu thức chứa nó 2x1 + 4x2 = 100 (1) 3x1 + 2x2 = 90 (2) Nhân biểu thức thứ 2 với 2 và lấy (1) trừ đi biểu thức thứ (2) mới tìm được, ta có: 2x1 + 4x2 = 100 (1) 6x1 + 4x2 = 180 (2) - 4x1 = -80 x1 = 20 Thế x1 = 20 vào (1) hoặc (2) được x2 = 15. CHÚ Ý: Có thể dùng phần mềm vi tính LP như LINDO (Tương tác tuyến tính và tối ưu hoá riêng rẽ - Linear Interactive and Discrete Optimization) và What’s best để nhanh chóng giải một bài toán LP. HÌNH 1 TẬP PHƯƠNG ÁN VÀ CÁC PHƯƠNG ÁN CẬN BIÊN BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU TRONG LP Mỗi bài toán tối đa hoá LP có một bài toán đối ngẫu (dual problem) tương ứng, là một bài toán tối thiểu hoá và, ngược lại, mỗi bài toán tối thiểu hoá LP lại có một bài toán đối ngẫu tương ứng, là bài toán tối đa hoá. Bài toán này có các đặc điểm sau: Cả bài toán đối ngẫu và bài toán gốc sẽ cho giá trị giống nhau đối với các biến quyết định trong các hàm mục tiêu của bài toán chính tại các điểm phương án tối ưu. Giá trị tối ưu của bài toán gốc bằng với giá trị tối ưu của bài toán đối ngẫu. Bài toán đối ngẫu hữu ích bởi nó có các ý nghĩa kinh tế quan trọng. Ví dụ, phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu cho biết giá trị được quy cho (hay giá mờ) hoặc chi phí cơ hội của một hãng đối với nguồn lực khan hiếm. Phần trình bày sau cho biết các bước lập bài toán đối ngẫu: Trong đó i = 1,2,...m và j =1,2,...n Trong trường hợp 2 x 2: Để bắt đầu, xác định các biến đối ngẫu như u1, u2. Số lượng các biến đối ngẫu bằng với số lượng các ràng buộc ở bài toán chính. Tiếp tục theo các quy tắc sau: Bài toán chính Bài toán đối ngẫu 1. Các hệ số trong hàm mục tiêu Phía bên phải trong các ràng buộc 2. Phía bên phải trong các ràng buộc Các hệ số trong hàm mục tiêu 3. Các ràng buộc là £ Các biến đối ngẫu là ³ 0 4. Các biến của bài toán chính ³ 0 Các ràng buộc đối ngẫu là ³ 5. Ma trận của hệ số các ràng buộc Ma trận chuyển vị VÍ DỤ 4 Từ ví dụ 2, ta có: Tối đa hoá: Z =25x1 + 40x2 Ràng buộc: 2x1 + 4x2 < 100 (đối với bộ phận lắp ráp) 3x1 + 2x2 < 90 (đối với bộ phận hoàn thiện) x1, x2 > 0 Để lập bài toán đối ngẫu, đầu tiên xác định các biến đối ngẫu u1, u2. Bài toán này chỉ có 2 biến vì chỉ có hai ràng buộc trong bài toán chính. Bài toán đối ngẫu được thành lập như sau: Tối thiểu hoá V = 100u1 +90u2 Ràng buộc 2u1 + 3 u2 ³ 25 (bàn giấy) 4u1 + 2 u2 ³ 40 (bàn ăn) u1, u2 ³0 VÍ DỤ 5: Giải bài toán đối ngẫu theo sơ đồ có được u1* = 8.75 và u2* = 2.50. Giá trị tối ưu V* = 1,100. Hình 2 cho biết phương án của bài toán chính và bài toán đối ngẫu giải bằng phần mềm máy tính. HÌNH 2 DỮ LIỆU RA CỦA MÁY TÍNH ĐỐI VỚI LP Ý NGHĨA KINH TẾ CỦA BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU Bài toán đối ngẫu có nhiều ý nghĩa kinh tế. Đó là: 1. u1, u2 biểu thị một loại giá trị của nguồn lực trong đang được nói đến. Giá trị này không phải là giá thị trường; mà đúng hơn là giá trị được quy cho nguồn lực. Vì lí do này, giá trị của các biến đối ngẫu được phản ánh như là giá mờ hay chi phí cơ hội cho nguồn lực. Nói cách khác, giá mờ là mức giá cực đại mà hãng sẵn sàng trả cho một đơn vị thêm vào của nguồn lực cho trước. Trong ví dụ 4 và 5, mức giá cực đại mà hãng sẵn sàng trả cho một giờ lao động lắp ráp tăng thêm là $8.75 trong khi mức giá sẵn sàng trả cho mỗi giờ lao động hoàn thiện chỉ là 2.50. Nếu giá thực tế lớn hơn giá mờ, hãng sẽ không thêm bất cứ một đơn vị nào cho nguồn lực đó. 2. Chuyển sang ràng buộc trong bài toán đối ngẫu. Kiểm tra ràng buộc đầu tiên: 2u1 + 3 u2 ³ 25. Con số 25 vế phải cho biết lợi nhuận mỗi đơn vị hay lãi gộp của một chiếc bàn giấy, trong khi 40 là lợi nhuận của một chiếc bàn ăn. Vì 2 giờ biểu thị thời gian một chiếc bàn giấy được xử lý trong bộ phận lắp ráp và 3 giờ biểu thị thời gian của khâu hoàn thiện nên vế trái biểu thị tổng chi phí cơ hội sản xuất ra một chiếc bàn giấy. Do vậy cái mà ràng buộc đòi hỏi đó là chi phí cơ hội khi sản xuất một chiếc bàn được quy cho ở mức ít nhất là phải bằng lợi nhuận trên mỗi chiếc bàn. 3. Bây giờ chuyển sang hàm mục tiêu đối ngẫu, V = 100u1 +90u2. V đơn giản chỉ là tổng giá trị được quy (tổng chi phí cơ hội) cho của các nguồn lực. Vì vậy sự tương ứng giữa bài toán chính và bài toán đối ngẫu cho thấy: Tối đa hoá tổng lợi nhuận bằng cách tìm ra mức sản lượng đầu ra tối ưu tương đương với việc tối thiểu hoá tổng giá trị được quy cho hay chi phí cơ hội của các nguồn lực của hãng, với điều kiện là chi phí cơ hội của việc sản xuất mỗi sản phẩm phải không ít hơn lãi gộp từ sản phẩm đó. 4. Tuy nhiên chú ý rằng, nếu chi phí cơ hội của việc sản xuất trên thực tế vượt qua lợi nhuận thì sự phân bổ nguồn lực chắc chắn không tối ưu, bởi vì đơn giản là khi giảm sản phẩm tương ứng, các nguồn lực sẽ được giải phóng từ đó và ngay lập tức có thể được sử dụng cho các lợi ích khác tốt hơn. Kiểm tra lại điều đó 2u1 + 3 u2 ³ 25 (bàn giấy) 4u1 + 2 u2 ³ 40 (bàn ăn) Chúng ta biết được phương án tối ưu là: u1* = 8.75 và u2* = 2.50. Lắp các con số này vào các ràng buộc có 2(8.75) + 3 (2.50)= 25 = 25 (bàn giấy) 4(8.75) + 2 (2.50)= 40 = 40 (bàn ăn) Nó cho biết với mỗi sản phẩm, chi phí cơ hội bằng lợi nhuận, vì vậy phân bổ nguồn lực trở nên tối ưu. Kết quả này gọi là điều kiện lỏng bổ sung Một cặp các phương án khả thi của bài toán đối ngẫu và bài toán chính là tối ưu đối với các bài toán riêng rẽ khi và chỉ khi điều kiện lỏng trong một bài toán là dương hoàn toàn, biến còn lại trong bài toán khác là không dương tương ứng. Cụ thể hơn: Nếu một ràng buộc của bài toán chính là mở (tức là, tồn tại một điều kiện lỏng), thì giá mờ của ràng buộc đó bằng 0. Nếu một ràng buộc là đóng(ví dụ, không tồn tại điều kiện lỏng), giá mờ dương. Nếu một ràng buộc của bài toán đối ngẫu là mở (tức là, chi phí cơ hội lớn hơn lợi nhuận trên mỗi đơn vị), thì biến của bài toán chính bằng 0. Nếu một ràng buộc là đóng (tức là, chi phí cơ hội bằng lợi nhuận trên mỗi đơn vị), thì biến của bài toán chính dương. 62 Các ràng buộc đối ngẫu Các biến chính 2(8.75) + 3 (2.50)= 25 = 25 (đối với bàn giấy) --------> x1*=20>0 4(8.75) + 2 (2.50)= 40 = 40 (đối với bàn giấy) --------> x2*=15>0 Cũng vậy, Các biến đối ngẫu Các ràng buộc của bài toán gốc u1* = 8.75 > 0 ---------> 2(20) + 4(15) = 100 = 100 u2* = 2.50 > 0 ---------> 3(20) + 2(15) = 90 = 90 CHÚ Ý: 1. Trong ví dụ này, các ràng buộc của bài toán chính và bài toán đối ngẫu đều đóng (không tồn tại điều kiện phụ hoặc chi phí cơ hội đúng bằng lợi nhuận trên mỗi đơn vị). Do đó giá trị tối ưu của bài toán chính và bài toán đối ngẫu là dương. 2. Giá mờ bằng 0 nếu ràng buộc đó mở bởi vì nó không tốt để mở rộng công suất ở một khu vực mà bạn đang không sử dụng hết công suất mà bạn có. 5. Các giá trị phương án tối ưu cho bài toán chính và bài toán đối ngẫu là như nhau. Để chứng minh: Z* = 25(20) + 40(15) = 1,100 và V*= 100(8.75+ + 90(2.50) = 1,100, do đó Z*=V*=$1,100. PHÂN TÍCH HOẠT ĐỘNG VÀ SẢN PHẨM ĐƠN Ứng dụng của LP trong sản xuất đề cập ở phần trước quan tâm đến các sản phẩm đồng hành (multiple products). Bài toán giải quyết vấn đề xác định kết hợp tối ưu của các sản phẩm (tức là, kết hợp sản phẩm tối ưu), các hạn chế cho trước của nguồn lực (các đầu vào) dùng trong quá trình sản xuất. Việc tập trung nghiên cứu đầu ra - nhớ lại rằng trục tung và hoành của đồ thị đo các số lượng của các sản phẩm tương ứng (các đầu ra) và rằng các nguồn lực (đầu vào) được biểu diễn chỉ như là một chuỗi các đường ràng buộc trên đầu ra. Dưới đây chúng ta thảo luận phân tích hoạt động một sản phẩm đơn (single product). Nó liên quan đến việc lựa chọn một kết hợp tối ưu của một quá trình sản xuất được dùng để sản xuất một số lượng sản phẩm đơn lớn nhất, với một lượng đầu vào cố định. Mỗi một quá trình được đề cập đến là một hoạt động. Cũng dùng LP để tìm phương án tối ưu. Phân tích tập trung nghiên cứu vấn đề đầu vào và các phương án lựa chọn quá trình sản xuất mà trong đó đầu vào có thể được sử dụng để có được sản phẩm. LP tìm kiếm mức tối ưu của mỗi hoạt động. Có thể dùng lý thuyết sản xuất (tức là các tia quá trình, các đường đồng lượng và các đường đồng phí) để minh hoạ cho các phương án lựa chọn quá trình sản xuất và khái niệm thay thế đầu vào. Đầu tiên chúng ta xây dựng và giải bài toán tối đa hoá đầu ra. Bài toán tối đa hoá lợi nhuận sẽ được đề cập sau. DẠNG CỦA BÀI TOÁN TỐI ĐA HOÁ ĐẦU RA Ví dụ sau minh họa cách thức xây dựng và giải bài toán tối đa hoá đầu ra VÍ DỤ 6 Một hãng xử lý da sử dụng vốn và nhân công trong quá trình nhuộm trắng da cừu. Có thể lựa chọn một trong 3 quá trình sản xuất khác nhau (A, B, và C). Mỗi quá trình có một kết hợp nhân công và vốn khác nhau: Quá trình A cần một đơn vị vốn và bốn đơn vị nhân công, quá trình B cần 2 -2, quá trình C cần 5-1. Năng suất của hãng là giới hạn – 5 đơn vị vốn và 8 đơn vị mỗi ngày cho hoạt động nhuộm. Gọi QA, QB, và QC là lượng da nhuộm được mỗi ngày tương ứng trong quy trình A, B và C. Biết rằng mục tiêu của hãng là tối đa hoá đầu ra phụ thuộc vào các ràng buộc đầu vào (vốn và nhân công), bài toán có thể xây dựng như một bài toán LP như sau: Tối đa hoá Q = QA + QB + QC. (hàm mục tiêu) Ràng buộc QA + 2QB + 5QC £ 5 (ràng buộc vốn) 4QA+ 2QB + QC £ 8 (ràng buộc nhân công) QA, QB, QC ³ 0 (ràng buộc không âm) PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ VỚI BÀI TOÁN TỐI ĐA HOÁ ĐẦU RA Bài toán hoạt động LP có thể được minh họa và giải thông qua đồ thị, sử dụng các tia hoạt động để biểu diễn các quá trình sản xuất, các đường đồng lượng sản xuất để biểu diễn hàm mục tiêu và một miền khả thi để biểu diễn các ràng buộc. CÁC TIA QUÁ TRÌNH (PROCESS RAYS) Một quá trình sản xuất là quá trình mà trong đó đầu vào được kết hợp theo một tỷ lệ xác định để có được đầu ra. Theo định nghĩa này, một quá trình sản xuất có thể được biểu diễn trên đồ thị như một tia đi qua gốc 0 có độ dốc bằng tỷ lệ các đầu vào của các nguồn lực tương ứng cần để sản xuất một đơn vị đầu ra. Trong ví dụ này, 3 tia quá trình sản xuất được mô tả trong hình 4.Trên theo tia A, các đầu vào được kết hợp trong tỷ lệ của 4 đơn vị nhân công và một đơn vị vốn. Do đó, tia A có độ dốc là 4. Tương tự, trên theo tia B, các đầu vào được kết hợp trong một tỷ lệ gồm 2 đơn vị nhân công và 2 đơn vị vốn. Tia quá trình C, cho biết các đầu vào được kết hợp trong tỷ lệ 1 và 5. Mỗi quá trình sản xuất biểu diễn lợi nhuận không đổi theo quy mô. Điều này có nghĩa là đầu ra dọc theo mỗi tia tăng theo một tỷ lệ tương ứng với mức tăng trong đầu vào. Ví dụ D, G, J biểu diễn các đầu vào cần thiết để sản xuất một, hai, và ba đơn vị đầu ra. CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG LƯỢNG SẢN XUẤT Một đường đồng lượng sản xuất (production isoquant) cho biết các kết hợp của bất kỳ 2 hay nhiều hơn 2 đầu vào làm tăng đầu ra ở cùng một mức. Các đường đồng lượng được xây dựng bằng cách vẽ các đường thẳng nối các điểm của đầu ra bằng nhau trên các tia quá trình liền nhau. Bốn đường đồng lượng Q biểu diễn các mức đầu ra 1, 2, 3 và 4 tương ứng trong hình 3. Chúng có các đoạn song song giữa các tia quá trình liền nhau. Ví dụ, đoạn DE song song với GH, đoạn EF song song với HI. Có được điều này là vì các hệ số của các biến số Q trong hàm ràng buộc nguồn lực là các hằng số. CHÚ Ý: Đoạn thẳng của một đường đồng lượng nằm giữa hai tia quá trình sản xuất ngụ ý rằng kết hợp của 2 quá trình đang được dùng để sản xuất một mức đầu ra cụ thể. Như đã đề cập ở trên, các điểm dọc theo mỗi tia quá trình biểu diễn sản lượng đầu ra có được nếu hai đầu vào (nhân công và vốn) được kết hợp trong một tỷ lệ của một lượng tương ứng các đơn vị của mỗi nguồn lực cần để sản xuất một đơn vị đầu ra cho trước. Tuy nhiên, các điểm nằm trên đường đồng lượng giữa 2 tia quá trình gần nhau có một ý nghĩa khác nhau không đáng kể. Những điểm này biểu diễn một kết hợp đầu ra từ mỗi quá trình sản xuất gần nhau. Ví dụ, điểm S trên đường đồng lượng "Q = 4" trong hình 3 cho biết một kết hợp sản xuất dùng trong cả quá trình B và C. Sản lượng đầu ra sản xuất được trong mỗi quá trình có thể có được bằng việc vẽ một hình bình hành như trong hình 4. Một đường vẽ từ điểm J song song với tia quá trình B, cắt tia quá trình C tại điểm L. Một đường khác vẽ từ điểm S song song với tia quá trình B, cắt tia quá trình C tại điểm D. Từ hình bình hành OESL, có thể xác định cả sản lượng đầu ra sản xuất được bởi mỗi quá trình lẫn lượng đầu vào tương ứng dùng cho mỗi quá trình. HÌNH 3 CÁC TIA SẢN XUẤT VÀ CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG LƯỢNG SẢN XUẤT Hãng nên sản xuất một đơn vị đầu ra sử dụng B, bởi vì điểm E nằm trên đường đồng lượng "Q = 1", và 3 đơn vị đầu ra sử dụng quá trình C, vì điểm L nằm trên đường đồng lượng "Q = 3". Kết hợp này sẽ cho ra 4 đơn vị đầu ra. Tại điểm E hai đơn vị vốn và 2 đơn vị nhân công được dùng trong quá trình B, và tại điểm L 15 đơn vị vốn và 3 đơn vị nhân công được dùng trong quá trình C. Tổng nguồn vốn và nhân công dùng để sản xuất 4 đơn vị đầu ra là 17 vốn và 5 nhân công. Tất cả các điểm khác nằm giữa các quá trình có thể được hiểu tương tự. TẬP PHƯƠNG ÁN Miền khả thi chứa tất cả các kết hợp đầu vào của vốn và nhân công đồng thời thoả mãn tất cả các ràng buộc của bài toán LP. Hình chữ nhật được đánh bóng 0TRW trong hình 3 biểu diễn miền khả thi cho bài toán ví dụ. Vì có tối đa 5 đơn vị vốn sẵn sàng mỗi ngày, nên chỉ các kết hợp đầu vào nằm phía trên hoặc nằm về bên trái của đường RW mới cho biết các phương án khả thi cho bài toán LP. Tương tự, do chỉ có tối đa 8 đơn vị vốn sẵn sàng mỗi ngày nên các phương án khả thi phải nằm trên hoặc dưới đường TR. Cuối cùng, các ràng buộc không âm giới hạn các kết hợp đầu vào ở phía bên trái đường 0T và phía dưới đường 0W. PHƯƠNG ÁN TỐI ƯU Kết hợp các quá trình sản xuất tối ưu hoá đầu ra bị ràng buộc vào nguồn lực xuất hiện tại điểm trên biên của vùng khả thi nằm trên đường đồng lượng sản xuất cao nhất. Hình 4 chỉ ra rằng phương án tối ưu xuất hiện tại điểm R. Tại R, có được 3 đơn vị đầu ra khi sử dụng 5 đơn vị vốn và 8 đơn vị nhân công. Vẽ hình bình hành 0DRH cho biết nên sử dụng quá trình A để sản xuất một đơn vị đầu ra, (QA=1) và phần còn lại, trong trường hợp này là 2 đơn vị, sử dụng quá trình B (QB=2). Từ phương án trên đồ thị chúng ta cũng có thể thấy rằng đầu ra tối đa hoá khi QC=0, vì vậy thế giá trị này vào trong 2 biểu thức ràng buộc, ta có QA + 2QB = 5 4QA+ 2QB = 8 Và trừ biểu thức 1 cho biểu thức 2, được -3QA=-3 hay QA=1. Sau đó tìm được QB=2. Giá trị này tương tự với kết quả tìm được bằng đồ thị. BÀI TOÁN TỐI ĐA HOÁ LỢI NHUẬN Bài toán sản xuất có thể có dạng giống như dạng bài toán tối đa hoá lợi nhuận. VÍ DỤ 7 Trong ví dụ 6, giả định rằng lợi nhuận gộp của đầu ra sản xuất bởi các quá trình A, B và C tương ứng là $6, $5, and $4 mỗi đơn vị. Với giả thiết là hãng mong muốn tối đa hoá lợi nhuận (Z) thay vì tối đa hoá đầu ra (Q), hàm mục tiêu trở thành: Maximize: Tối đa hoá: Z=6QA + 5QB + 4QC Một kết quả tối ưu đối với bài toán tối đa hoá lợi nhuận LP có thể có được và được minh hoạ bằng các đường đồng lợi chứ không phải là các đường đồng phí. ĐƯỜNG ĐỒNG LỢI Một đường đồng lợi phản ánh các kết hợp khác nhau của các sản phẩm mà hãng có thể bán để thu được một mức lợi nhuận cho trước. Đường này được xác định bằng cách vẽ các đường thẳng giữa các điểm nằm trên các tia quá trình gần nhau có các tổng lợi nhuận bằng nhau. Để minh hoạ, xét đường đồng lượng "Q = 1" trong hình 4, và trong hình 5 có tên là MNF. Giả định chúng ta muốn xác định đường đồng lợi tương ứng với một mức lợi nhuận của $4. Điểm F là điểm rõ ràng nhất trên đường đồng lợi, vì một đơn vị đầu ra sản xuất bởi quá trình C cho ra lợi nhuận của $4. Điểm N cũng thể hiện một đơn vị của đầu ra. Tuy nhiên, mỗi đơn vị đầu ra sản xuất bởi quá trình B cho ra lợi nhuận của $5. HÌNH 4 KẾT QUẢ CỦA BÀI TOÁN TỐI ĐA HOÁ ĐẦU RA HÌNH 5 KẾT QUẢ CỦA BÀI TOÁN TỐI ĐA HOÁ LỢI NHUẬN Vì vậy, điểm nằm trên tia A có lợi nhuận của $4 phải là : $4 ¸$5 = 80 phần trăm khoảng cách từ điểm gốc (0) tới điểm N. Điểm này tương ứng với điểm B. Tương tự, điểm nằm trên tia quá trình A có lợi nhuận của $4 phải là: $4¸$6 = 67 phần trăm khoảng cách từ điểm gốc (0) tới điểm M. Điểm này trùng với D. Nối các điểm trên tia quá trình gần nhau bằng một đoạn thẳng, ta có đường đồng lợi "Z = $4". Các đường đồng lợi tương ứng với lợi nhuận của $8, $12, và $16 cũng được minh hoạ trong hình 5. Với đường đồng lượng sản xuất, đường đồng lợi có các đoạn thẳng song song giữa các tia quá trình gần nhau. GIẢI PHÁP TỐI ƯU Kết hợp các quá trình sản xuất tối đa hoá tổng lợi nhuận bị ràng buộc vào nguồn lực xuất hiện tại điểm trên biên của miền khả thi nằm trên đường đồng lợi cao nhất. Trong hình 5, kết quả tối ưu là điểm L nằm trên đường đồng lợi "Z = $16". Nhớ lại rằng kết quả này tương ứng với điểm R trong hình 5, hãng nên sản xuất một tấm da sử dụng chu trình A, và 2 tấm da khác sử dụng quy trình B, để tối đa hoá lợi nhuận. Thế những giá trị này cho tương ứng QA và QB (QC = 0) vào hàm mục tiêu, ta có : $16. (6QA + 5QB + 4QC = 6(1)+ 5(2)+ 4(0) = $16). Từ kết quả có được từ đồ thị, ta cũng có thể thấy rằng đầu ra tối đa hoá khi QC=0, vì vậy thế giá trị này vào các biểu thức ràng buộc, ta có: QA + 2QB = 5 4QA+ 2QB = 8 Và trừ biểu thức thứ 1 cho biểu thức thứ 2, được -3QA=-3 hay QA=1. Sau đó có thể tìm được QB=2, cho ta kết quả tương tự với kết quả tìm được qua đồ thị. CHÚ Ý: Bài toán sản xuất có thể được thiết lập như một bài toán LP tối thiểu hoá chi phí. Quy trình tìm kết quả tối ưu đối với bài toán này về cơ bản cũng tương tự như trên, trừ trường hợp các đường đồng phí được cho để tìm kết hợp đầu vào có chi phí thấp nhất, chứ không phải các đường đồng lợi. CÂU HỎI Thế nào là quy hoạch tuyến tính? Tại sao lại gọi là tuyến tính? Liệt kê 6 ứng dụng của LP đối với các quyết định kinh doanh. Hai thành phần của LP? Ý nghĩa kinh tế của kết quả đối ngẫu? So sánh LP, vi phân riêng và kỹ thuật nhân tử Lagrangean Phân tích hoạt động khác một bài toán kết hợp sản phẩm tối ưu như thế nào? Hai phương pháp tính toán chính của LP? Mô tả ngắn gọn ưu điểm và nhược điểm của mỗi phương pháp. Liệt kê 3 thuộc tính của LP. Giải thích điều kiện lỏng bổ sung. BÀI TẬP 1. Công ty Carson sản xuất hai loại sản phẩm, X và Y. Lãi gộp là tương ứng là $50 và $90. Mỗi sản phẩm đi theo 3 quy trình: cắt, hoàn thiện, và sơn. Số giờ cần thiết cho mỗi quá trình đối với mỗi sản phẩm và công suất sẵn sàng cho dưới bảng sau: Số giờ cần cho mỗi quy trình Sản phẩm Cắt Hoàn thiện Sơn X 2 4 3 Y 1 6 2 Công suất tính theo giờ 300 500 250 Xây dựng hàm mục tiêu và các ràng buộc để xác định kết hợp sản phẩm tối ưu. 2. Một công ty chế tạo và lắp ráp 2 loại sản phẩm: A và B. Cần 3 phút để chế tạo một sản phẩm A và 6 phút để chế tạo một sản phẩm B. Thời gian lắp ráp mỗi sản phẩm A là một phút, mỗi sản phẩm B là 9 phút. Có 600 phút cho chế tạo và 1,800 cho lắp ráp. Công ty có lãi gộp là $2 mỗi sản phẩm A bán được, và $1 mỗi sản phẩm B. Biểu diễn bài toán như là một mô hình tuyến tính. Giải bài toán. Nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm A và B để tối đa hoá lợi nhuận? Lợi nhuận thu được ở các mức sản xuất này là bao nhiêu? 3. Cho bài toán chính sau, xây dựng bài toán đối ngẫu: Tối đa hoá Z =13x1 + 40x2 Ràng buộc: 2x1 + 4x2 < 6 x1 + 2x2 < 10 5x1 + 2x2 < 25 x1, x2 > 0 4. Công ty Hoá phẩm Zenico sản xuất chất tẩy rửa công nghiệp làm sạch thảm. Hỗn hợp hoá chất này làm từ hỗn hợp 2 hoá chất khác cùng chứa chất làm sạch LIM và chất làm sạch LOOM. Sản phẩm này phải chứa 175 đơn vị chất LIM và 150 đơn vị chất LOOM và phải cân nặng ít nhất 100 pound (1 pound = 0.454 kg). Hoá chất A có giá $8 mỗi pound, trong khi đó hóa chất B có giá $6 mỗi pound. Hóa chất A chứa một đơn vị chất LIM và một đơn vị chất LOOM. Xây dựng bài toán ở dạng quy hoạch tuyến tính và giải bài toán. TRẢ LỜI 1. Quy hoạch tuyến tính (LP) là một thuật toán nhằm tìm ra phương án tối ưu (hoặc kế hoạch tối ưu) từ vô số các phương án. Phương án tối ưu là phương án thỏa mãn được các mục tiêu đề ra của một hãng, phụ thuộc vào các hạn chế và các ràng buộc. Nó là tuyến tính bởi vì chúng ta giả định rằng hàm mục tiêu và các ràng buộc đều tuyến tính. 2. Sáu ứng dụng phổ biến của LP là: Lựa chọn kết hợp đầu vào có chi phí thấp nhất cho sản phẩm sản xuất ra Xác định hỗn hợp các sản phẩm có lợi nhuận lớn nhất. Quyết định danh mục đầu tư tối ưu (hay phân bổ tài sản) Phân bổ ngân sách quảng cáo cho các phương tiện thông tin Lên kế hoạch sử dụng máy móc Quyết định phương thức vận chuyển có chi phí thấp nhất 3. Hai thành phần của LP là hàm mục tiêu và các ràng buộc bất đẳng thức (bao gồm các ràng buộc không âm). 4. Kết quả bài toán đối ngẫu cho biết các giá mờ hay chi phí cơ hội của nguồn lực đối với hãng. Có các mức giá tối đa mà hãng sẵn sàng trả cho một đơn vị thêm vào của các nguồn lực cho trước. Nếu giá thực tế lớn hơn giá mờ, hãng sẽ không thêm vào một đơn vị nguồn lực nào nữa. 5. Mô hình LP giải quyết vấn đề tối ưu hoá bị ràng buộc với các hàm mục tiêu tuyến tính và các ràng buộc bất đẳng thức tuyến tính, trong khi đó phép tính vi phân và phương pháp nhân tử Lagrange giải quyết các vấn đề bao gồm các hàm mục tiêu tuyến tính và phi tuyến tính và các ràng buộc đẳng thức. 6. Phân tích hoạt động đề cập đến một sản phẩm đơn. Nó liên quan đến việc lựa chọn một kết hợp tối ưu của một quá trình sản xuất được dùng để sản xuất số lượng sản phẩm đơn lớn nhất có thể được, với một lượng đầu vào cố định. Mỗi một quá trình được đề cập đến là một hoạt động. Cũng dùng LP để tìm phương án tối ưu. Ứng dụng của LP có thể được áp dụng đối với các sản phẩm đồng hành. Bài toán giải quyết vấn đề xác định kết hợp các sản phẩm tối ưu (tức là kết hợp sản phẩm tối ưu), các hạn chế về nguồn lực (các đầu vào) cho trước dùng trong quá trình sản xuất đó. 7. Hai phương pháp tính toán chính của LP là: Phương pháp đơn hình và Phương pháp đồ thị. Phương pháp đơn hình là phương pháp được sử dụng giải bài toán LP. Nó là một thuật toán, một phương pháp tính toán lặp đi lặp lại, từ phương án này tới phương án khác cho đến khi đạt được lời giải tốt nhất. Phương pháp đồ thị sử dụng dễ hơn nhưng bị giới hạn bởi việc các bài toán tuyến tính chỉ chứa 2 (hoặc 3) biến quyết định. 8. Các phương án tối ưu nằm trên biên của vùng khả thi, điều đó có nghĩa là có thể bỏ qua các điểm bên trong vùng khả thi (rất nhiều điểm) khi tìm kiếm kết quả tối ưu. Kết quả tối ưu nằm tại một trong các đỉnh (các kết quả khả thi cơ bản) của vùng khả thi. Các kết quả tối ưu của bài toán đối ngẫu và bài toán chính là như nhau. 9. Một cặp các phương án khả thi của bài toán đối ngẫu và bài toán chính tối ưu đối với các bài toán riêng rẽ khi và chỉ khi điều kiện phụ trong một bài toán là dương hoàn toàn, biến còn lại trong bài toán khác là không dương tương ứng. Cụ thể hơn: Nếu một ràng buộc của bài toán chính là mở (tức là, tồn tại điều kiện lỏng), thì giá mờ của ràng buộc đó bằng 0. Nếu một ràng buộc là đóng (tức là, không tồn tại điều kiện lỏng), giá mờ dương. Nếu một ràng buộc của bài toán đối ngẫu là mở (ví dụ, chi phí cơ hội lớn hơn lợi nhuận trên mỗi đơn vị), thì biến của bài toán chính bằng 0. Nếu một ràng buộc là đóng (ví dụ, chi phí cơ hội bằng lợi nhuận trên mỗi đơn vị), thì biến của bài toán chính dương. GỢI Ý BÀI TẬP l. Cho X = Số sản phẩm X được sản xuất Y = Số sản phẩm Y được sản xuất Thì, bài toán LP như sau: Tối đa hóa: Z = $50X + $90Y Ràng buộc 2X + 1Y < 300 4X + 6Y < 500 3X + 2Y < 250 X,Y > 0 2. Đặt A = Số đơn vị sản phẩm A sẽ sản xuất Đặt B = Số đơn vị sản phẩm B sẽ sản xuất Tối đa hoá Z = $2A + $1B Ràng buộc 3A + 6B < 600 (chế tạo) 1A + 9B < 1,800 (lắp ráp) A, B > 0 Do vậy nên sản xuất 200 đơn vị sản phẩm A và không sản xuất một đơn vị sản phẩm B nào. Lợi nhuận ở mức sản xuất này là $400. 3. Có 3 biến đối ngẫu bởi vì có 3 ràng buộc trong bài toán chính u1, u2, và u3 Tối thiểu hoá V = 6u1 +10u2+25u3 Ràng buộc: 2u1 + u2 + 5u3 ³ 13 4u1 + 2u2 +2u3 ³ 40 u1, u2, u3³0 4. Xác định: A = Số pound hóa chất A sẽ sản xuất B = Số pound hóa chất B sẽ sản xuất Thì, dạng thức LP của bài toán tối thiểu hóa chi phí là: Tối thiểu hoá $8A + $6B Ràng buộc: A + 7B > 175 3A + B > 150 A + B > 100 A, B > 0 Hỗn hợp có chi phí nhỏ nhất của hai hoá chất A và B là: A = 25 pounds, B = 75 pounds.