Đề thi Xác suất - Thống kê năm 2010

ĐỀ XÁC SUẤT-THỐNG KÊ 17/4/2010 (Khóa 12) Câu 1 (1 điểm): Cho biến cố 𝐴 và 𝐵 thỏa: 𝑃(𝐴) = 0,23 và 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 0,52. Tính 𝑃 𝐵 𝐴 . Câu 2 (2 điểm): Một nhà máy có 3 phân xưởng sản xuất. Trong đó phân xưởng 1 và 2 cung cấp lần lượt 30%, 45% sản phẩm. Tỉ lệ chính phẩm của phân xưởng 1, 2, 3 tương ứng là 0,9; 0,95; 0,85. Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm. a) Tính xác suất để sản phẩm đó là chính phẩm; b) Biết rằng sản phẩm lấy được nói trên là phế phẩm. Tính xác suất để nó không phải do phân xưởng 3 sản xuất. Câu 3 (3 điểm): Thời gian đi từ nhà tới trường của sinh viên A là một biến ngẫu nhiên (đơn vị: phút) có phân phối chuẩn với thời gian trung bình là 20 phút, độ lệch chuẩn là 8 phút. Thời điểm vào học là 7 giờ. a) Biết một hôm sinh viên A xuất phát lúc 6 giờ 45 phút, tính xác suất để A bị muộn buổi học ngày hôm đó; b) Nếu tỉ lệ ngày bị muộn học của A là 17% thì A xuất phát lúc mấy giờ? c) Với thời gian xuất phát trong câu b), tính xác suất để trong 30 buổi học sinh viên A bị muộn ít nhất 2 lần. Câu 4 (4 điểm): Giả sử giá vàng (đơn vị: triệu đồng) biến động theo quy luật chuẩn. Theo dõi trong 25 ngày gần đây ta có bảng số liệu sau: 𝒙𝒊 25,5 25,9 26 26,2 26,3 26,5 26,6 26,7 27,1 𝒏𝒊 1 2 1 3 2 8 5 2 1 a) Với độ tin cậy 99%, hãy ước lượng trung bình giá vàng; b) Với mức ý nghĩa 2,5%, có thể cho rằng trung bình giá vàng cao hơn 26,5 triệu đồng hay khồng? ĐÁP ÁN ĐỀ THI XÁC SUẤT- THỐNG KÊ NGÀY 17/4/2010 Câu 1: Vì 𝐵𝐴 ∪ 𝐵 𝐴 = 𝐵 ∪ 𝐵 𝐴 = Ω𝐴 = 𝐴 và 𝐵𝐴 ,𝐵 𝐴 xung khắc, nên 𝑃 𝐵𝐴 = 𝑃 𝐴 − 𝑃 𝐵 𝐴 = 1 − 𝑃 𝐴 − 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 1 − 𝑃 𝐴 − 1 + 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 0,29. (0,5 điểm) 𝑃 𝐵 𝐴 = 𝑃 𝐵𝐴 𝑃 𝐴 = 0,29 1−0,23 = 𝟐𝟗 𝟕𝟕 . (0,5 điểm) Câu 2: 𝐻𝑖 ∶= “Sản phẩm lấy ra do phân xưởng thứ i sản xuất”. 𝐴 ∶= “Sản phẩm lấy ra là chính phẩm”. 𝑃 𝐻3 = 1 − 𝑃 𝐻1 − 𝑃 𝐻2 = 1 − 0,3 − 0,45 = 0,25. a) 𝐻1,𝐻2,𝐻3 lập thành nhóm đầy đủ, nên theo Công thức xác suất đầy đủ 𝑃 𝐴 = 𝑃 𝐻𝑖 𝑃 𝐴 𝐻𝑖 3 𝑖=1 = 0,3 ∙ 0,9 + 0,45 ∙ 0,95 + 0,25 ∙ 0,85 = = 0,27 + 0,4275 + 0,2125 = 𝟎,𝟗𝟏. (1 điểm) b) 𝑃 𝐻3 𝐴 = 𝑃 𝐻3𝐴 𝑃 𝐴 = 𝑃 𝐻3 𝑃 𝐴 𝐻3 𝑃 𝐴 = 𝑃 𝐻3 1−𝑃 𝐴 𝐻3 1−𝑃 𝐴 = 0,25∙ 1−0,85 1−0,91 = 5 12 (0,5 điểm) Xác suất phải tìm bằng 1 − 𝑃 𝐻3 𝐴 = 𝟕 𝟏𝟐 . (0,5 điểm) Câu 3: 𝑋 ∶= Thời gian đi từ nhà tới trường của A. 𝑋~𝑁(20; 82). a) Xác suất phải tìm là 𝑃 𝑋 > 15 = 0,5 −Φ0 15 − 20 8 = 0,5 + Φ0 0,625 ≈ ≈ 0,5 + Φ0 0,62 +Φ0 0,63 2 ≈ 0,5 + 0,2324+0,2357 2 = 0,73405. (1 điểm) b) Gọi t là quãng thời gian tính từ lúc A xuất phát cho đến 7 giờ (đơn vị: phút). Theo giả thiết 𝑃 𝑋 > 𝑡 = 0,17. Suy ra 0,5 −Φ0 𝑡 − 20 8 = 0,17 ⇔ Φ0 𝑡 − 20 8 = 0,33 ⇔ ⇔ Φ0 𝑡−20 8 ≈ Φ0 0,95 ⇔ 𝑡−20 8 ≈ 0,95 ⇔ 𝑡 ≈ 27,6 (phút). Từ đây suy ra thời điểm xuất phát của A là xấp xỉ 6 giờ 32 phút 24 giây. (1 điểm) c) 𝑌 ∶= Số ngày muộn học của A. 𝑌~𝐵(30; 0,17) nên xác suất phải tìm là 𝑃 𝑋 ≥ 2 = 1 − 𝑃 𝑋 < 2 = 1 − 𝑃 𝑋 = 0 − 𝑃 𝑋 = 1 ≈ ≈ 1 − 𝐶30 0 ∙ 1 − 0,17 30 − 𝐶30 1 ∙ 0,17 ∙ 1 − 0,17 29 ≈ 0,9733. (1 điểm) Câu 4: 𝑋 ∶= giá vàng trong một ngày (đơn vị: triệu đồng). 𝜇 ∶= trung bình giá vàng một ngày. Theo giả thiết 𝑋~𝑁 𝜇;𝜎2 . Kích thước mẫu 𝑛 = 25. 𝑥 = 26,4; 𝑠 ≈ 0,3266. (1,5 điểm) a) Với 𝛾 = 99%, ta có 𝛼 2 = 1−𝛾 2 = 0,005 ⇒ 𝑡𝛼 2 (𝑛−1) = 𝑡0,005 (24) ≈ 2,797. Ước lượng khoảng của trung bình giá vàng là 𝑥 − 𝑡𝛼 2 (𝑛−1) 𝑠 𝑛 ; 𝑥 + 𝑡𝛼 2 (𝑛−1) 𝑠 𝑛 ≈ 26,2173; 26,5827 . (1 điểm) b) Bài toán kiểm định: 𝑯𝟎:𝝁 = 𝟐𝟔,𝟓 𝑯𝟏:𝝁 > 26,5 (𝜇0 = 26,5). Chỉ tiêu kiểm định 𝑇 = 𝑋 −𝜇0 𝑛 𝑆 ≈ 26,4−26,5 0,3266 25 < 0. Với 𝛼 = 0,025 thì 𝑡𝛼 𝑛−1 = 𝑡0,025 (24) ≈ 2,064 ⇒ Miền bác bỏ là 𝑊𝛼 = 2,064; +∞ . (1 điểm) 𝑇 ∉ 𝑊𝛼 nên ta tạm chấp nhận 𝐻0, hay cho rằng trung bình giá vàng không lớn hơn 26,5. (0,5 điểm) - HẾT – ĐỀ THI XÁC SUẤT - THỐNG KÊ NGÀY 24/6/2010 (Khóa 12) Câu 1 (2 điểm): Qua kinh nghiệm, người quản lý của một cửa hàng bán giày thể thao biết rằng xác suất để một đôi giày ASIDAS có 0 hoặc 1 hoặc 2 chiếc hỏng tương ứng là 0,90; 0,08; 0,02. Người quản lý chọn ngẫu nhiên 1 đôi giày loại đó rồi kiểm tra ngẫu nhiên 1 chiếc, thì thấy nó bị hỏng. Tính xác suất để chiếc kia cũng bị hỏng. Câu 2 (2 điểm): Thời gian xếp hàng chờ mua (tính bằng phút) của mỗi khách là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm phân bố xác suất là 𝐹 𝑥 = 0 𝑣ớ𝑖 𝑥 ≤ 0 2𝑥3 − 3𝑥2 + 2𝑥 𝑣ớ𝑖 0 < 𝑥 ≤ 1 1 𝑣ớ𝑖 𝑥 > 1 . a) Tìm thời gian xếp hàng trung bình của mỗi khách; b) Tìm xác suất để trong 3 người xếp hàng có không quá 2 người phải chờ hơn 0,5 phút. Câu 3 (2 điểm): Thời gian bảo hành một sản phẩm được quy định là 3 năm. Nếu bán được 1 sản phẩm thì cửa hàng lãi 150 nghìn đồng, nhưng nếu sản phẩm bị hỏng trong thời gian bảo hành thì cửa hàng phải chi phí 500 nghìn đồng cho bảo hành. Biết rằng tuổi thọ (tính bằng năm) của mỗi sản phẩm là biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật phân phối chuẩn với trung bình là 4,2 năm và độ lệch chuẩn là 1,8 năm. a) Lập bảng phân phối xác suất của số tiền lãi thu được khi bán một sản phẩm; b) Tính lãi trung bình khi bán 1 sản phẩm. Câu 4 (4 điểm): Số liệu thống kê về doanh số bán (triệu đồng/ngày) của một cửa hàng như sau: Doanh số 24 30 36 42 48 54 60 65 70 Số ngày 5 12 ⋯ 35 24 15 12 10 6 Những ngày có doanh số bán từ 60 triệu đồng trở lên là những ngày “bán đắt hàng” a) Do bảo quản tài liệu không tốt nên giá trị “” trong bảng trên bị mất. Nhưng trong sổ vẫn còn ghi lại giá trị trung bình mẫu là 3301 72 . Hãy khôi phục lại giá trị bị mất trong bảng; b) Hãy ước lượng tỉ lệ những ngày “bán đắt hàng” của cửa hàng này với độ tin cậy 99%; c) Ước lượng doanh số bán trung bình của một ngày “bán đắt hàng” của cửa hàng này với độ tin cậy 95% (giả thiết doanh số bán của những ngày “đắt hàng” là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn). d) Trước đây doanh số bán trung bình của cửa hàng là 35 triệu đồng/ngày. Số liệu ở bảng trên được thu thập sau khi cửa hàng áp dụng phương thức bán hàng mới. Với mức ý nghĩa 5%, hãy nhận xét xem phương thức bán hàng mới có làm tăng doanh số trung bình. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Cho biết: 𝚽𝟎 𝟎,𝟔𝟕 ≈ 𝟎,𝟐𝟒𝟖𝟔;𝑷 𝑼 > 2,58 ≈ 𝟎,𝟎𝟎𝟓;𝑷 𝑼 > 1,645 ≈ 𝟎,𝟎𝟓; 𝒕𝟎,𝟎𝟐𝟓 (𝟐𝟕) ≈ 𝟐,𝟎𝟓𝟐. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ĐÁP ÁN ĐỀ THI XÁC SUẤT - THỐNG KÊ NGÀY 24/6/2010 Câu 1 (2 điểm): 𝐻𝑖 ∶=”Đôi giày được chọn có i chiếc hỏng” 𝑖 = 0; 1; 2 . 𝐻0,𝐻1,𝐻2 lập thành nhóm đầy đủ. 𝐴 ∶=”Chiếc giày được chọn bị hỏng”. Theo Công thức Xác suất đầy đủ 𝑃 𝐴 = 𝑃 𝐻0 𝑃 𝐴 𝐻0 + 𝑃 𝐻1 𝑃 𝐴 𝐻1 + 𝑃 𝐻2 𝑃 𝐴 𝐻2 = = 0,90 ∙ 0 + 0,08 ∙ 1 2 + 0,02 ∙ 1 = 0,06. (1 điểm) Theo Công thức Bayes, xác suất để chiếc kia cũng bị hỏng là 𝑃 𝐻2 𝐴 = 𝑃 𝐻2 𝑃 𝐴 𝐻2 𝑃(𝐴) = 0,02∙1 0,06 = 𝟏 𝟑 . (1 điểm) Câu 2 (2 điểm): 𝑋 ∶= thời gian xếp hàng chờ mua (đơn vị: phút). a) Hàm mật độ của 𝑋 là 𝑝 𝑥 = 0 𝑣ớ𝑖 𝑥 ≤ 0 ℎ𝑜ặ𝑐 𝑥 > 1 6𝑥2 − 6𝑥 + 2 𝑣ớ𝑖 0 < 𝑥 ≤ 1 Thời gian xếp hàng trung bình là 𝐸 𝑋 = 𝑥𝑝 𝑥 𝑑𝑥 +∞ −∞ = 6𝑥3 − 6𝑥2 + 2𝑥 𝑑𝑥 1 0 = 1,5𝑥4 − 2𝑥3 + 𝑥2 |0 1 = 𝟎,𝟓 (phút). (1 điểm) b) 𝑃 𝑋 > 0,5 = 1 − 𝑃 𝑋 ≤ 0,5 = 1 − 𝐹 0,5 = 0,5. 𝑌 ∶= số người phải chờ hơn 0,5 phút trong 3 người xếp hàng. 𝑌~𝐵 3; 0,5 nên xác suất phải tìm là 𝑃 𝑌 ≤ 2 = 1 − 𝑃 𝑌 = 3 = 1 − 0,53 = 𝟎,𝟖𝟕𝟓. (1 điểm) Câu 3 (2 điểm): 𝑋 ∶= tuổi thọ của mỗi sản phẩm (đơn vị: năm), 𝑋~𝑁 4,2; 1,82 . a) 𝑌 ∶= là số tiền lãi (nghìn đồng) thu được khi bán một sản phẩm. 𝑌 có tập giá trị là {−350; 150}.  𝑃 𝑌 = −350 = 𝑃 𝑋 ≤ 3 = 0,5 + Φ0 3−4,2 1,8 ≈ 0,5 −Φ0 0,67 ≈ 0,2514.  𝑃 𝑌 = 150 = 1 − 𝑃 𝑌 = −350 ≈ 0,7486. Bảng Phân phối xác suất của 𝑌 là 𝒀 −𝟑𝟓𝟎 𝟏𝟓𝟎 𝑷 𝟎,𝟐𝟓𝟏𝟒 𝟎,𝟕𝟒𝟖𝟔 (1 điểm) b) Lãi trung bình khi bán 1 sản phẩm là 𝐸 𝑌 = −350 ∙ 𝑃 𝑌 = −350 + 150 ∙ 𝑃 𝑌 = 150 ≈ 𝟐𝟒,𝟑 (nghìn đồng). (1 điểm) Câu 4 (4 điểm): a) Gọi giá trị bị mất là m, ta có 3301 72 = 𝑥 = 24∙5+30∙12+36𝑚+42∙35+48∙24+54∙15+60∙12+65∙10+70∙6 5+12+𝑚+35+24+15+12+10+6 = 5702 +36𝑚 119+𝑚  𝒎 = 𝟐𝟓. (1 điểm) b) 𝑝 ∶= tỉ lệ những ngày bán đắt hàng. Tỉ lệ mẫu 𝑓 = 12+10+6 144 ≈ 0,1944. Ta có 𝛼 2 = 1−𝛾 2 = 0,005; 𝑢𝛼 2 ≈ 2,58. Do 𝑛𝑓 > 10;𝑛 1 − 𝑓 > 10, nên ta có thể dùng ước lượng khoảng của 𝑝 là 𝑓 − 𝑢𝛼 2 𝑓(1−𝑓) 𝑛 ; 𝑓 + 𝑢𝛼 2 𝑓(1−𝑓) 𝑛 ≃ 𝟎,𝟏𝟎𝟗𝟑; 𝟎,𝟐𝟕𝟗𝟓 . (1 điểm) c) 𝑌 ∶= doanh số một ngày bán đắt hàng. Từ bảng đã cho ta có số liệu thống kê những ngày bán đắt hàng sau: Doanh số một ngày bán đắt hàng 60 65 70 Số ngày 12 10 6 𝑛 = 28; 𝑦 ≈ 63,9286; 𝑠𝑌 ≈ 3,9340; 𝑡1−𝛾 2 𝑛−1 = 𝑡0,025 (27) ≈ 2,052. Khoảng tin cậy 95% cho doanh số trung bình của một ngày bán đắt hàng là 𝑦 − 𝑡1−𝛾 2 𝑛−1 𝑠𝑌 𝑛 ; 𝑦 + 𝑡1−𝛾 2 𝑛−1 𝑠𝑌 𝑛 ≃ 𝟔𝟐,𝟒𝟎𝟑𝟎;𝟔𝟓,𝟒𝟓𝟒𝟐 (triệu). (1 điểm) d) 𝜇 ∶= doanh số bán trung bình (triệu đồng/ngày)sau khi áp dụng phương thức bán hàng mới.  Ta cần kiểm định cặp giả thuyết: H0:  = 35 H1:  > 35 .  𝑥 = 3301 72 ≈ 45,8472; 𝑠 ≈ 11,5337. Chỉ tiêu kiểm định 𝑇 = 𝑥 −𝜇0 𝑛 𝑠 ≈ 45,8472−35 144 11,5337 ≈ 11,2856.  𝑢𝛼 = 𝑢0,05 ≈ 1,645 ⇒Miền bác bỏ là 𝑊𝛼 ≈ 1,645; +∞ . 𝑇 ∈ 𝑊𝛼  bác bỏ H0. Vì vậy, phương thức bán hàng mới có tác dụng làm tăng doanh số bán trung bình. (1 điểm)