Đề thi vào Lớp 10 môn Toán chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội năm học 2012-2013

Đề thi vào lớp 10 môn Toán chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội năm học 2012 - 2013 (vòng 1, ngày 6/6/2012) Câu 1 (2 điểm). Cho biểu thức: P=, với a>b>0 a) Rút gọn P b) Biết a−b=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P. Câu 2 (2 điểm). Trên quãng đường AB dài 210 km, tại cùng một thời điểm, một xe máy khởi hành từ A đi về B và một ô tô khởi hành từ B về A, Sau khi gặp nhau, xe máy đi tiếp 4 giờ nữa thì đến B và ô tô đi tiếp 2 giờ 15 phút nữa thì đến A. Biết rằng xe máy và ô tô không thay đổi vận tốc trên suốt chặng đường. Tính vận tốc của xe máy và của ô tô. Câu 3 (2 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabo (P):y=−x2 và đường thẳng (d):y=mx−m−2 (m là tham số). a) Chứng minh rằng khi m thay đổi, (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x1,x2. b) Tìm m để |x1−x2|= Câu 4 (4 điểm). Cho tam giác ABC. Đường tròn (ω) có tâm O và tiếp xúc với các đoạn thằng AB,AC tương ứng tại K,L. Tiếp tuyến (d) của đường tròn (ω) tại điểm E thuộc cung nhỏ KL, cắt các đường thằng AL,AK tương ứng tại M,N. Đường thẳng KL cắt OM tại P vằ cắt ON tại Q. a) Chứng minh MONˆ=900− BACˆ. b) Chứng minh rằng các đường thẳng MQ,NP và OE cùng đi qua 1 điểm. c) Chứng minh KQ.PL=EM.EN. Câu 5 (1 điểm). Cho các số thực dương x,y thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=x+y. Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán Tin Đại học Sư phạm Hà Nội năm học 2012 - 2013 (vòng 2, ngày 7/6/2012, dùng cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán và chuyên Tin) Câu 1 (1,5 điểm)Giải phương trình : Câu 2 (2 điểm) a, Cho các số a,b,c đôi một phân biệt và thỏa mãn a2 (b+c)=b2 (a+c)=2012.Tính giá trị của biểu thức : M=c2 (a+b) b, Cho 5 số nguyên dương đôi một phân biệt sao cho mỗi số dương trong chúng không có ước số nguyên tố nào khác 2 và 3. Chứng minh rằng trong 5 số đó tồn tại 2 số mà tích của chúng là một số chính phương. Câu 3 (2 điểm) Cho nó số thực x1,x2,....,xn với n≥3. Ký hiệu max{x1,x2,...,xn} là số lớn nhất trong các số x1,x2,...,xn. Chứng minh rằng max{x1,x2,...,xn}≥ Câu 4 ( 1,5 điểm) Trong một lớp học có 36 bàn học cá nhân, được xếp thành 4 hàng và 9 cột (các hàng được đánh số từ 1 đến 1, các cột được đánh số từ 1 đến 9 ). Sĩ số học sinh của lớp là 35. Sau một học kỳ, cô giáo chủ nhiệm xếp lại chỗ ngồi cho các bạn học sinh trong lớp. Đối với mỗi học sinh của lớp, giả sử trước khi chuyển chỗ, bạn ngồi ở bàn thuộc hàng thứ m, cột thứ n và sau khi chuyển chỗ, bạn ngồi ở bàn thuộc hàng am, cột thứ an, ta gắn cho bạn đó số nguyên (am+an)−(m+n). Chứng minh tổng của 35 số nguyên gắn với 35 bạn học sinh không vượt quá 11. Câu 5 (3 điểm) Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O). Điểm M thuộc cung nhỏ CD của (O), M khác C và D. MA cắt DB, DC theo thứ tự tại X ,Z ; MB cắt CA, CD tại Y,T; CX cắt DY tại K. a, Chứng minh rằng góc MXT = TXC , MYZ = ZYD và góc CKD = 1350 . b, Chứng minh rằng . C, Gọi I là giao điểm của MK và CD. Chứng minh rằng XT, YZ, OI cùng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác KZT. Đề thi vào lớp 10 môn Toán trường Phổ thông năng khiếu (PTNK) Đại học Quốc gia TP. HCM năm học 2012 - 2013 CâuI: 1) Giải hệ phương trình 2) Cho hình vuông ABCD cạnh a. M và N là hai điểm lần lượt nằm trên cạnh AB và BC sao cho =x với 0<x<1. Các đường thẳng qua M,N song song với BD lần lượt cắt AD tại Q và CD tại P. Tính diện tích tứ giác MNPQ theo a và x và tìm x sao cho diện tích này lớn nhất. Câu II: Số nguyên dương n được gọi là số điều hòa nếu như tổng các bình phương của các ước dương của nó (kể cả 1 và n) đúng bằng (n+3)2 . a) Chứng minh rằng số 287 là số điều hòa. b) Chứng minh rằng số n=p3 (p nguyên tố) không phải là số điều hòa. c) Chứng minh rằng nếu số n=pq (p,q là các số nguyên tố khác nhau) là số điều hòa thì n+2 là số chính phương. Câu III: a) Tìm giá trị xR thỏa mãn x2 −5x+4+2 b) Chứng minh rằng với các số không âm a,b,c thỏa mãn a+b+c=3. Ta có bất đẳng thức ≥ab+bc+ac Câu IV: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên đường thẳng vuông góc với AB tại B ta lấy điểm D di động cùng phía với C đối với đường thẳng AB. a) Chứng minh rằng nếu AC+BD<CD thì trên cạnh AB tồn tại hai điểm M,N sao cho CMDˆ=CNDˆ=900 b) Giả sử điều kiện trên được thỏa mãn. Đường thẳng qua A song song với MD cắt đường thẳng qua B song song với MC tại E. Chứng minh rằng đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định. Câu V: Cho đa giác đều n cạnh. Dùng 3 màu xanh,đỏ, vàng tô màu các đỉnh đa giác một cách tùy ý (mỗi đỉnh được tô bởi một màu và tất cả các đỉnh đều được tô màu). Cho phép thực hiện thao tác sau đây: chọn hai đỉnh kề nhau bất kì (nghĩa là hai đỉnh liên tiếp) khác màu và thay màu của hai đỉnh đó bằng màu còn lại. a) Chứng minh rằng bằng cách thực hiện thao tác trên một số lần ta luôn luôn làm cho các đỉnh đa giác chỉ còn được tô bởi hai màu. b) Chứng minh rằng với n=4 và n=8, bằng cách thực hiện thao tác trên một số lần ta có thể làm cho các đỉnh của đa giác chỉ còn được tô bởi một màu. Đề thi môn toán vào lớp 10 không chuyên PTNK 2012-2013 Bài 1: Cho x3 -4x a)Giải phương trình khi m=-33 b)Tìm m để phuơng trình (1) có đúng hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa x16+x26 =82 Bài 2: a)Giải phương trình b)Giải hệ Bài 3: a)Rút gọn T= Tìm giá trị lớn nhất của T với a là số tự nhiên b)Tìm 3 số tự nhiên liên tiếp biết tổng 3 tích của từng cặp số khác nhau của chúng là 1727 Bài 4: Tổng kết học kỳ 2, 1 trường THCS có 60 học sinh không đạt học sinh giỏi, trong đó có 6 em từng đạt học sinh giỏi học kì 1, số học sinh giỏi của học kì 2 bằng số học sinh giỏi của học kì 1 và có 8% số học sinh của trường không đạt học sinh giỏi HK1 nhưng đạt học sinh giỏi HK2. Tìm số học sinh giỏi HK2 của trường biết số học sinh của trường không thay đổi trong suốt năm học Bài 5: Cho hình thang ABCD(AB//CD) nội tiếp (C) tâm O, bán kính R và có DABˆ=1050 ,ACDˆ=300 a)Tính và tính AB theo R b)Tiếp tuyến của (C) tại B cắt DO, DA lần lượt tại M, N. Tính c)Gọi E là trung điểm của AB, tia DE cắt MN tại F. Tính Đề thi tuyển sinh lớp 10 KHTNHN 2012 - 2013(Vòng 1, Update 9/6/2012) Câu 1: 1) Giải phương trình: 2) Giải hệ phương trình: Câu 2: 1) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn đẳng thức: (x+y+1)(xy+x+y)=5+2(x+y) 2) Giả sử x, y la các số thực dương thỏa mãn điêu kiện:. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P= Câu 3: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O .Gọi M là một điểm trên cung nhỏ BC ( M khác B,C và AM không đi qua O).Giả sử P là một điểm thuộc đoạn thẳng AM sao cho đường tròn đường kính MP cắt cung nhỏ BC tại điểm N khác M. 1) Gọi D là điểm đối xứng với điểm M qua O .Chứng minh rằng N,P,D thẳng hàng 2) Đường tròn đường kính MP cắt MD tại Q khác M.Chứng minh rằng Q là tâm đườn tròn nội tiếp tam giác AQN. Câu 4: Giả sử a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a≤b≤3≤c;c≥b+1;a+b≥c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q= Đề thi tuyển sinh lớp 10 KHTNHN 2012 - 2013(Vòng 2, Update 10/6/2012) Câu 1: 1) Giải hệ phương trình: 2) Giải phương trình: Câu 2: 1) Tìm 2 chữ số tận cùng của số A= 41106+572012 2) Tìm GTLN hàm số:y =3 với Câu 3: Cho ΔABC nhọn (AB>AC) nội tiếp đường tròn (O). Giả sử M;N là 2 điểm thuộc cung nhỏ BC sao cho MN song song với BC và tia AN nằm giữa hai tia AM,AB. P là hình chiếu vuông góc C trên AN và Q là hình chiếu vuông góc của M trên AB. 1) Giả sử CP giao QM tại T. CMR: T nằm trên đường tròn tâm (O) 2) NQ giao (O) tai R khác N. Giả sử AM giao PQ tại S. CMR 4 điểm A,R,Q,S thuộc 1 đường tròn. Câu 4. Với mỗi số n nguyên lớn hơn hoặc bằng 2 cố định,xét các tập n số thực đôi một khác nhau X={x1,x2,...xn}. Kí hiệu C(X) là số các giá trị khác nhau của tổng xi+xj(1≤i<j≤n). Tìm GTLN GTNN của C(X). Đề thi vào lớp 10 Chuyên Đại Học Vinh năm học 2012 - 2013 (Vòng 2) Câu 1: Giả sử a,b,c là các số nguyên sao cho a2 +b2 +c2 chia hết cho 4. Chứng minh rằng: a,b,c đồng thời chia hết cho 2. Câu 2: Giải phương trình: x4+ Câu 3: Tìm các số dương p,q,r sao cho (p2 +1)(q2 +4)(r2 +9)=48pqr. Câu 4: Giải hệ phương trình: Câu 5: Chứng minh rằng: Câu 6: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Lấy điểm C thuộc (O) sao cho CA>CB. Các tiếp tuyến tại A và C của (O) cắt nhau tại D. Vẽ hình bình hành BODE. a, Chứng minh rằng: 3 điểm B,C,E thẳng hàng. b, Gọi F=AE∩OD và H=OE∩CD. Chứng minh rằng: HF//AC. c, Chứng minh rằng: OC,DE,HF đồng quy. Đề thi vào 10 chuyên Toán trường THPT chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai. Câu 1: Cho phương trình x4-16x2-32=0.Chứng minh rằng:x= là một nghiệm của phương trình đã cho. Câu 2: Giải hệ phương trình: Câu 3: Cho tam giác MNP đều có cạnh bằng 2 cm. Lấy n điểm thuộc cạnh hoặc ở phía trong tam giác MNP sao cho khoảng cách giữa hai điểm tùy ý lớn hơn 1 cm (n là số nguyên dương). Tìm n lớn nhất thỏa điều kiện đã cho. Câu 4: Chứng minh rằng trong 10 số nguyên dương liên tiếp không tồn tại hai số có ước chung lớn hơn 9. Câu 5: Cho tam giác ABC không cân ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi D,E,F lần lượt là tiếp điểm của (I) với AB,BC,CA. M là giao của EF và BC, AD cắt (I) tại N (N không trùng D). Gọi K là giao của AI và EF. a) Chứng minh I,D,N,K cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh MN là tiếp tuyến của (I). Đề Thi TS 10 toán chuyên THPT Nguyễn Trãi Hải Dương 2012 - 2013 Câu 1: a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a2(b-2c)+b2(c-a)+2c2(a+b)+abc b) Cho x = Tính GT của biểu thức: x4 +x3y+3x2+xy-2y2-1 Câu 2: a) Giải phương trình: (x2-4x+11)(x4-8x2+21)=35 b) Giải hệ phương trình: Câu 3: a) CMR với mọi n Z thì n2 +n+1 không chia hết cho 9. b)Tìm m N∗để pt sau có nghiệm nguyên:x2-m2x+2m+2=0 Câu 4: Cho ΔABC vuông ở A có AB<AC ngoại tiếp (O) với các tiếp điểm lần lượt trên BA,AC,BC là D,E,F.Gọi I là giao điểm của BO với EF. M là điểm bất kỳ trên đoạn AC, H là giao điểm của BM và EF. a) Tính góc BIFˆ b) Giả sử AB=AM, CM tứ giác ABHI nội tiếp. c) Gọi N là giao điểm của BM và cung nhỏ EF của (O). Gọi P,Q là hình chiếu của N trên DE,DF. Tìm vị trí điểm M để PQ max. Câu 5: Cho a,b,c R t/m 0≤a≤b≤c≤1.Tìm GTLN của: P= Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán TP.HCM năm 2012 Câu 1: (2 điểm) Giải phương trình: Câu 2: (1.5 điểm) Cho đa thức bậc ba f(x) =ax3 +bx2 +cx+d với a là một số nguyên dương và f(5)−f(4)=2012.Chứng minh: f(7)−f(2) là hợp số Câu 3: (2 điểm) Cho đường tròn (O) chứa có tâm O và đường tròn (I) có tâm I chúng cắt nhau tại 2 điểm A,B(O và I nằm khác phía đối với đường AB). Đường thẳng IB cắt (O) tại điểm thứ hai là E, đường thẳng OB cắt (I) tại điểm thứ hai là F. Đường thẳng qua B song song EF cắt (O) tại M và (I) tại N. Chứng minh: a) Tứ giác AOEF nội tiếp b)MN=AE+AF Câu 4: (1.5 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa a + b + c = 1. Tìm min của biểu thức: F=14(a2+b2+c2) + Câu 5: (2 điểm) Cho tứ giác nội tiếp ABCD có AC,BD vuông góc nhau tại H. Gọi M là điểm trên cạnh AB sao cho AM= AB và N là trung điểm HC. Chứng minh DN vuông góc với MH Câu 6: (1 điểm) Trong mặt phẳng cho 2013 điểm phân biệt sao cho với ba điểm bất kì trong 2013 điểm đã cho luôn tồn tại hai điểm có khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn bán kính bằng 1 chứa ít nhất 1007 điểm trong 2013 điểm đã cho (hình tròn ở đây kể cả biên) Đề thi vào 10 chuyên Toán Hà Nội Amsterdam năm 2012 Câu 1. 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n5 +5n3 −6n chia hết cho 30. 2. Cho số tự nhiên n thỏa mãn n(n+1)+6 không chia hết cho 3. Chứng minh rằng 2n2 +n+8 không phải là số chính phương. Câu 2. 1. Giải hệ phương trình sau 2. Cho các số thực x,y,z thỏa mãn x2 +y2 +z2 =2012. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M=2(xy−yz−zx). Câu 3. Cho đường tròn (O,R) và dây cung BC cố định (BC<2R). Một điểm A di động trên đường tròn (O,R) sao cho tam giác ABC là tam giác nhọn. Gọi AD là đường cao và H là trực tâm của tam giác ABC. 1. Đường thẳng chứa phân giác ngoài góc BHC cắt AB,AC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng tam giác AMN cân. 2. Gọi E,F là hình chiếu của D lên BH,CH. Chứng minh rằng OA vuông góc với EF. 3. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt đường phân giác trong góc BAC tại K. Chứng minh rằng HK luôn đi qua một điểm cố định. Câu 4. Tìm các số nguyên dương x,y,z thỏa mãn (x+1)(y+z)=xyz+2 Câu 5. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R=2cm. Chứng minh rằng trong số 17 điểm A1,A2,...,A17 bất kì nằm trong tứ giác ABCD luôn tìm được 2 điểm mà khoảng cách giữa chúng không lớn hơn 1 cm.