Đề thi môn học Xác suất thống kê

ĐỀ THI K 14, CA 1 Câu 1 (2 điểm). 1) Một người đầu tư vào 3 loại cổ phiếu A, B, C. Xác suất trong thời gian T các cổ phiếu này tăng giá là 0,6; 0,7; 0,8. Biết rằng các cổ phiếu hoạt động độc lập. Tìm xác suất trong thời gian T, trong 3 cổ phiếu này có cổ phiếu tăng giá. 2) Trong một thúng cam đem ra bán có 42% cam TQ, 24% cam TL, 26% cam CP và 8% cam VN. Trong số đó có một số cam hư gồm: 20% của số cam TQ, 10% của số cam TL, 12% của số cam CP và 2% của số cam VN. Tính xác suất để một người mua phải 1 trái cam hư. Câu 2 (1 điểm). Thống kê về mức độ hỏng và chi phí sửa chữa của 2 loại động cơ A và B, có bảng số liệu sau: Mức độ hỏng 1 2 3 Chi phí sửa chữa (triệu đồng/năm) của một động cơ A B 5,5 6,0 7,2 7,5 12,5 10,8 Tỉ lệ hỏng (%/năm) A B 2 1 5 4 3 5 Một công ti đang sử dụng 6 động cơ loại A và 4 động cơ loại B. Tính chi phí sửa chữa trung bình hàng năm cho cả hai loại động cơ trên của công ti. Câu 3 (2 điểm). Giả sử ở một giai đoạn nào đó tỉ giá của USD với VND trong ngày là một biến ngẫu nhiên tuân theo qui luật phân phối (xấp xỉ) chuẩn với trung bình là 15 000 đồng và độ lệch chuẩn là 500 đồng. 1) Tìm xác suất để trong một ngày nào đó của giai đoạn này tỉ giá cao hơn 16 000 đồng; 2) Tìm xác suất để trong một tuần nào đó của giai đoạn này có đúng 4 ngày tỉ giá nằm trong khoảng từ 14 500 đồng đến 16 500 đồng. Câu 4 (5 điểm). 1) Kết quả quan sát về hàm lượng vitamin C của một loại trái cây cho ở bảng sau: Hàm lượng vitamin C(%) ૜− ૠ ૡ− ૚૙ ૚૚− ૚૜ ૚૝− ૚૟ ૚ૠ− ૚ૢ ૛૙− ૛૝ Số trái 5 10 20 35 25 5 a) Với độ tin cậy 95%, hãy tìm khoảng tin cậy đối xứng của hàm lượng vitamin C trung bình trong một trái; b) Qui ước những trái cây có hàm lượng vitamin C từ 17% trở lên là trái loại 1. Nếu muốn độ chính xác khi ước lượng hàm lượng vitamin C trung bình là ߝଵ ≤ 0,5 và độ chính xác khi ước lượng tỉ lệ trái loại 1 là ߝଶ ≤ 0,05 với cùng độ tin cậy 95% thì cần mẫu có kích thước tối thiểu bao nhiêu? 2) Người ta khảo sát 500 hộ gia đình ở một tỉnh về lượng tiêu thụ sản phẩm A, có được bảng số liệu sau: Lượng tiêu thụ A (kg/tháng) ૙ ૚,૙ ૚,૞ ૛,૙ ૛,૞ ૜,૙ ૜,૞ Số hộ 100 40 70 110 90 60 30 Giả sử ở tỉnh này tổng số hộ có tiêu thụ sản phẩm A là 600 000. a) Ước tính trung bình lượng sản phẩm A (kg/tháng) tiêu thụ được ở các hộ tỉnh này có tiêu thụ sản phẩm A; b) Một báo cáo cho rằng trung bình lượng sản phẩm A tiêu thụ ở các hộ tỉnh này có tiêu thụ sản phẩm A là 1200 tấn/tháng thì có chấp nhận được không? Kết luận với mức ý nghĩa 2%. 3) Một lô hàng có 4 000 sản phẩm. Chọn ngẫu nhiên 400 sản phẩm từ lô hàng để kiểm tra thì thấy có 310 sản phẩm loại A. Nếu muốn ước lượng số sản phẩm loại A của lô hàng đạt được độ chính xác ߝ= 136 sản phẩm và độ tin cậy 97% thì phải kiểm tra bao nhiêu sản phẩm. GHI CHÚ: ઴ ૙(૚) ≈ ૙,૜૝૚૜;઴ ૙(૛) ≈ ૙,૝ૠ૛૛;઴ ૙(૜) ≈ ૙,૝ૢૡૠ; ࢛૙,૙૛૞ ≈ ૚,ૢ૟૙૙;࢛૙,૙૚ ≈ ૛,૜૛૟૜;࢛૙,૙૛ ≈ ૛,૜૛૟૜;࢛૙,૙૚૞ ≈ ૛,૚ૠ૙૚. Khi tính gần đúng, phải làm tròn đến 4 chữ số thập phân. ĐỀ THI K 14, CA 2 Câu 1 (2 điểm). Một công ti bảo hiểm chia dân cư (đối tượng bảo hiểm) làm 3 loại: ít rủi ro; rủi ro trung bình; rủi ro cao. Việc thống kê cho thấy tỉ lệ dân cư gặp rủi ro trong một năm tương ứng với các loại trên là 5%; 15%; 30% và trong toàn bộ dân cư có 20% ít rủi ro; 50% rủi ro trung bình; 30% rủi ro cao. 1) Tính tỉ lệ dân gặp rủi ro trong 1 năm; 2) Nếu một người không gặp rủi ro trong năm, thì xác suất người đó thuộc loại ít rủi ro là bao nhiêu? Câu 2 (1 điểm). Tuổi thọ X của một loại sản phẩm (đơn vị: năm) là biến ngẫu nhiên liên tục, có hàm phân phối xác suất như sau: ܨ(ݔ) = ൝ 0 ݒớ ݅ݔ< 51 − ݇ ݔଶ ݒớ݅ݔ≥ 5
. Tìm hệ số k. Nếu muốn tỉ lệ sản phẩm phải bảo hành là 10%, thì phải qui định thời gian phải bảo hành là bao nhiêu năm? Câu 3 (2 điểm). 1) Một người có 3 chỗ ưa thích như nhau để câu cá. Xác suất để câu được cá ở những chỗ đó tương ứng là 0,6; 0,7 và 0,8. Biết rằng ở một chỗ người đó thả câu 3 lần và chỉ câu được 1 con cá. Tìm xác suất để cá được câu ở chỗ thứ nhất. 2) Số khách hàng vào một cửa hàng bách hóa trong một giờ là biến ngẫu nhiên tuân theo luật Poisson với tham số ߣ= 8. Tìm xác suất để trong một giờ nào đó có hơn 3 khách hàng vào. Câu 4 (5 điểm). Trong kho để rất nhiều sản phẩm của xí nghiệp A. Lấy ngẫu nhiên 100 sản phẩm, đem cân được kết quả như sau: Khối lượng (g) [ૡ૙૙;ૡ૞૙) [850;900) [ૢ૙૙;ૢ૞૙) [ૢ૞૙;૚૙૙૙) [૚૙૙૙;૚૙૞૙) [૚૙૞૙;૚૚૙૙) [૚૚૙૙;૚૚૞૙) Số sản phẩm 5 10 20 30 15 10 10 Các sản phẩm có khối lượng không dưới 1050g là sản phẩm loại 1. 1) Với độ tin cậy 95%, hãy tìm khoảng tin cậy đối xứng của tỉ lệ sản phẩm không đạt loại 1; 2) Giả sử sau đợt kiểm tra, người ta áp dụng một cải tiến làm cho khối lượng trung bình của sản phẩm tăng lên 1000g. Cho kết luận về hiệu quả cải tiến với mức ý nghĩa 6%; 3) Với độ tin cậy 98%, hãy tìm khoảng tin cậy đối xứng của khối lượng trung bình của sản phẩm loại 1 (giả thiết khối lượng sản phẩm loại 1 là biến ngẫu nhiên có phân phối (xấp xỉ) chuẩn); 4) Nếu muốn ước lượng số sản phẩm loại 1 với độ tin cậy 80% và độ chính xác 0,03 thì cần điều tra thêm bao nhiêu sản phẩm nữa? 5) Giả sử trong kho có để lẫn 1000 sản phẩm của xí nghiệp B, và trong 100 sản phẩm lấy ra từ kho có 29 sản phẩm của xí nghiệp B. Hãy ước lượng số sản phẩm của xí nghiệp A trong kho với độ tin cậy 82%. GHI CHÚ: ࢛૙,૙૛૞ ≈ ૚,ૢ૟૙૙;࢛૙,૚ ≈ ૚,૛ૡ૚૟;࢛૙,૙૟ ≈ ૚,૞૞૝ૡ;࢛૙,૙ૢ ≈ ૚,૜૝૙ૡ;࢚૙,૙૚(૚ૢ) ≈ ૛,૞૜ૢ૞. Khi tính gần đúng, phải làm tròn đến 4 chữ số thập phân. ĐÁP ÁN ĐỀ CA 1, K14 Câu 1 (1+1 điểm). 1. Gọi ܪଵ, ܪଶ, ܪଷ lần lượt là các biến cố cổ phiếu A, B, C tăng giá trong thời gian T. Xác suất để trong thời gian T có cổ phiếu tăng giá bằng 1 − ܲ(ܪଵതതതܪଶതതതതܪଷതതതത) = 1 − ܲ(ܪଵതതത)ܲ(ܪଶതതതത)ܲ( ܪଷതതതത) = 1 − 0,4 ∙ 0,3 ∙ 0,2 = ૙,ૢૠ૟. 2. Một người mua 1 trái cam trong thúng cam. Gọi ܪଵ, ܪଶ, ܪଷ, ܪସ lần lượt là biến cố trái cam ấy là của TQ, TL, CP, VN; ܣ ∶= “Trái cam ấy hư”. Vì {ܪଵ, ܪଶ, ܪଷ, ܪସ} là nhóm đầy đủ, nên theo Công thức xác suất đầy đủ ܲ(ܣ) = ෍ ܲ(ܪ௜)ܲ(ܣ|ܪ௜)ସ ௜ୀଵ = 0,42 ∙ 0,2 + 0,24 ∙ 0,1 + 0,26 ∙ 0,12 + 0,08 ∙ 0,02 = ૙,૚૝૙ૡ. Câu 2 (1 điểm). ܻ ∶= chi phí sửa chữa của một động cơ loại B. ܧ(ܺ) = 0 ∙ 0,9 + 5,5 ∙ 0,02 + 7,2 ∙ 0,05 + 12,5 ∙ 0,03 = 0,845, ܧ(ܻ) = 0 ∙ 0,9 + 6 ∙ 0,01 + 7,5 ∙ 0,04 + 10,8 ∙ 0,05 = 0,9. 0,5 điểm Chi phí sửa chữa trung bình hàng năm cho cả hai loại động cơ trên của công ti là ܧ(6ܺ + 4ܻ) = 6ܧ(ܺ) + 4ܧ(ܻ) = ૡ,૟ૠ (triệu đồng). 0,5 điểm Câu 3 (1+1 điểm). Kí hiệu X là tỉ giá của USD với VND trong ngày. ܺ~ܰ(15000; 500ଶ). 1. ܲ{ܺ > 16000} = 1 − ܲ{ܺ ≤ 16000} = 1 − 0,5 −Φ଴ቀଵ଺଴଴଴ିଵହ଴଴଴ ହ଴଴ ቁ= 0,5 −Φ଴(2) ≈ ૙,૙૛૛ૡ. 2. ܲ{14500 < ܺ < 16500} = Φ଴ቀଵ଺ହ଴଴ିଵହ଴଴଴ ହ଴଴ ቁ−Φ଴ቀ ଵସହ଴଴ିଵହ଴଴଴ ହ଴଴ ቁ= Φ଴(3)+Φ଴(1) ≈ 0,4987 + 0,3413 = 0,84. Kí hiệu ܻ là số ngày trong tuần tỉ giá nằm trong khoảng từ 14500đ đến 16500đ. ܻ~ܤ(7; 0,84), nên xác suất phải tìm = ܲ{ܻ = 4} = ܥ଻ସ ∙ 0,84ସ ∙ 0,16ଷ ≈ ૙,૙ૠ૚૝. Câu 4 (1+1+1+1+1 điểm). 1. Bảng phân phối thực nghiệm ݔ௜ ૞ ૢ ૚૛ ૚૞ ૚ૡ ૛૛ ௜݊ 5 10 20 35 25 5 a) ݊= 100; ̅ݔ= ଵ ௡ ∑ ݔ௜݊ ௜ ଺ ௜ୀଵ = 14,4;ݏ= ට ଵ௡ିଵ∑ (ݔ௜− ̅ݔ)ଶ ௜݊଺௜ୀଵ ≈ 3,8586. Với ఈ ଶ = ଵିఊ ଶ = 0,025; ݑഀ మ ≈ 1,9600. Khoảng tin cậy 95% của hàm vitamin C trung bình trong 1 trái là ൬̅ݔ− ݑഀ మ ௦ √௡ ; ̅ݔ+ ݑഀ మ ௦ √௡ ൰≃ (૚૜,૟૝૜ૠ;૚૞,૚૞૟૜) (%) b) Với ߛ=0,95 ta có ఈ ଶ = ଵିఊ ଶ = 0,025;ݑഀ మ ≈ 1,9600. ଵ݊ = ݑఈ ଶ ଶ ݏଶ ߝଵ ଶ ≥ 1,96ଶ3,8586ଶ0,5ଶ ≈ 229; ଶ݊ = ݑఈ ଶ ଶ (݂1 − )݂ ߝଶ ଶ ≥ 1,96ଶ0,3 ∙ 0,70,05ଶ ≈ 323. Vậy cần mẫu với kích thước tối thiểu là ૜૛૜. 2. a) Trong 1 tháng, một hộ có tiêu dùng sản phẩm A của công ti đó trung bình được ước tính là ̅ݔ= ଵ ସ଴଴ ∑ ݔ௜݊ ௜ ଺ ௜ୀଵ =2,1875 (kg). Do đó, trung bình lượng sản phẩm A của công ti đó tiêu thụ ở tỉnh này trong một tháng ở các hộ có tiêu dùng được ước tính là 600 000 × 2,1875 = ૚૜૚૛૞૙૙ (kg). b) ߤ ∶= lượng hàng A tiêu thụ trung bình ở tỉnh này của mỗi hộ Ta kiểm định cặp giả thuyết H0:  = 2; H1:  ≠ 2 ቀ2 = ଵଶ଴଴଴଴଴ ଺଴଴଴଴଴ ቁ. Ta dùng chỉ tiêu kiểm định ܶ = (௫̅ିఓబ)√௡ ௌ ≈ (ଶ,ଵ଼଻ହିଶ)√ସ଴଴ ଴,଺ଽ଺ଷ ≈ 5,3856. ݑఈ ଶ = ݑ଴,଴ଵ ≈ 2,3263 ⇒ ܹఈ ≅ (−∞;−2,3263) ∪ (2,3263; +∞). ܶ ∈ ܹఈ , nên ta bác bỏ H0, hay không chấp nhận báo cáo đó của công ti. Ghi chú: 1) Có thể kiểm định cặp giả thuyết H0: ߤ= 2; H1: ߤ> 2 .Khi đó ܹఈ = (ݑఈ; +∞) ≅ (2,0537; +∞). ܶ ∈ ܹఈ , nên ta bác bỏ H0, hay không chấp nhận báo cáo đó của công ti. 2) Không cho điểm, nếu sinh viên kiểm định cặp giả thuyết H0: ߤ= 2; H1: ߤ< 2 . 3. Ta sử dụng công thức ܲቊ|݌− |݂ < ݑఈ ଶ ඥ (݂1 − )݂ √݊ ቋ≈ ߛ với ݑഀ మ = ݑభషം మ = ݑ଴,଴ଵହ ≈ 2,1701;݂≈ ଷଵ଴ ସ଴଴ = 0,775. Từ ݑഀ మ ඥ௙(ଵି௙) √௡ ≈ ଵଷ଺ ସ଴଴଴ = 0,034 ⟹ ݊≈ ଶ,ଵ଻మ∙଴,଻଻ହ∙଴,ଶଶହ ଴,଴ଷସమ ≈ 711. Như vậy, phải kiểm tra 711 sản phẩm. ĐÁP ÁN ĐỀ CA 2, K14 Câu 1 (1+1 điểm). ܪଵ ∶= “1 người dân trong vùng thuộc loại ít rủi ro”, ܪଶ ∶= “1 người dân trong vùng thuộc loại rủi ro trung bình”, ܪଷ ∶= “1 người dân trong vùng thuộc loại rủi ro cao”, ܣ ∶= “1 người dân trong vùng gặp rủi ro trong 1 năm”. 1. Theo Công thức xác suất đầy đủ: ܲ(ܣ) = ܲ(ܪଵ)ܲ(ܣ|ܪଵ) + ܲ(ܪଶ)ܲ(ܣ|ܪଶ) + ܲ(ܪଷ)ܲ(ܣ|ܪଷ)= 0,2 ∙ 0,05 + 0,5 ∙ 0,15 + 0,3 ∙ 0,3 = 0,175. Þ Tỉ lệ dân gặp rủi ro trong 1 năm = 17,5%. 2. Xác suất phải tìm là ܲ(ܪଵ|̅ܣ) = ௉(ுభ)௉(஺̅|ுభ) ௉(஺̅) = ଴,ଶ∙(ଵି଴,଴ହ)ଵି଴,ଵ଻ହ ≈ 0,2303. Câu 2 (1 điểm). Vì hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục là hàm liên tục trên ℝ, nênlim ௫→ହష ܨ(ݔ) = lim ௫→ହశ ܨ(ݔ) = ܨ(5) ⇔ 0 = 1 − ݇5ଶ⇔ ࢑ = ૛૞. ૙,૞đ ểܑܕ Xác suất để một sản phẩm phải bảo hành là ܲ{ܺ ≤ 6} = ܲ{ܺ < 6} = ܨ(6) ≈ 0,3056. Vì vậy, tỉ lệ sản phẩm phải bảo hành là 30,56%. 0,5 điểm Câu 3 (1+1 điểm). 1. ܪ௜ ∶=“Chọn chỗ câu thứ i” (i=1, 2, 3) lập thành nhóm đầy đủ với ܲ(ܪ௜) = ଵ ଷ . ܣ ∶= “Ba lần thả câu chỉ câu được 1 con cá”. Nếu người đó câu ở chỗ thứ nhất, ta đặt ܺ = số cá câu được. Vì ܺ~ܤ(3; 0,6), nên ܲ(ܣ|ܪଵ) = ܲ{ܺ = 1} = ܥଷଵ ∙ 0,6 ∙ 0,4ଶ = 0,288. Tương tự, ta có ܲ(ܣ|ܪଶ) = ܥଷଵ ∙ 0,7 ∙ 0,3ଶ = 0,189, ܲ(ܣ|ܪଷ) = ܥଷଵ ∙ 0,8 ∙ 0,2ଶ = 0,096. Theo Công thức Bayes, ta có ܲ(ܪଵ|ܣ) = ௉(ுభ)௉(஺|ுభ) ௉(ுభ)௉(஺|ுభ)ା௉(ுమ)௉(஺|ுమ)ା௉(ுయ)௉(஺|ுయ) = భయ∙଴,ଶ଼଼଴,ଵଽଵ ≈ ૙,૞૙૛૟. 2. ܺ ∶= Số khách hàng vào một cửa hàng bách hóa trong một giờ. ܲ{ܺ > 3} = 1 − ෍ ܲ{ܺ = }݅ଷ ௜ୀ଴ ≈ 1 − 0,0424 = ૙,ૢ૞ૠ૟. Câu 4 (1+1+1+1+1 điểm). Bảng phân phối thực nghiệm ݔ௜ ૡ૛૞ ૡૠ૞ ૢ૛૞ ૢૠ૞ ૚૙૛૞ ૚૙ૠ૞ ૚૚૛૞ ௜݊ 5 10 20 30 15 10 10 1. ݊= 100;݂= ହାଵ଴ାଶ଴ାଷ଴ାଵହ ଵ଴଴ = 0,8. ఈ ଶ = ଵିఊ ଶ = 0,025; ݑഀ మ ≈ 1,9600. Ước lượng khoảng của tỉ lệ sản phẩm không đạt loại 1 là: ቆ݂− ݑఈ ଶ ඥ (݂1 − )݂ √݊ ;݂+ ݑఈ ଶ ඥ (݂1 − )݂ √݊ ቇ≈ (૙,ૠ૛૚૟;૙,ૡૠૡ૝). 2. ߤ ∶=khối lượng trung bình của sản phẩm trước khi cải tiến (g/sản phẩm). ݊= 100; ̅ݔ= ଵ ௡ ∑ ݔ௜݊ ௜ ଻ ௜ୀଵ = 980; ݏ= ට ଵ௡ିଵ∑ (ݔ௜− ̅ݔ)ଶ ௜݊଻௜ୀଵ ≈ 79,2961. Kiểm định cặp H0:  = 1000, H1:  < 1000. ܶ = (௫̅ିఓబ)√௡ ௌ ≈ (ଽ଼ ଴ିଵ଴଴଴)√ଵ଴଴ ଻ଽ,ଶଽ଺ଵ ≈ −2,5222. ݑఈ = ݑ଴,଴଺ ≈ 1,5548 ⇒ ܹఈ = (−∞;−1,5548). ܶÎܹఈ , nên bác bỏ H0, hay tin rằng cải tiến có làm tăng khối lượng sản phẩm. Ghi chú: Không cho điểm, nếu sinh viên kiểm định cặp giả thuyết khác. 3. ߤ' ∶=khối lượng trung bình của sản phẩm loại 1. ݊= 20; ̅ݔ= ଵ ௡ ∑ ݔ௜݊ ௜ ଶ ௜ୀଵ = 1100; ݏ= ට ଵ௡ିଵ∑ (ݔ௜− ̅ݔ)ଶ ௜݊ଶ௜ୀଵ ≈ 25,6495;ݐభషം మ (௡ିଵ) = ݐ ଴,଴ଵ(ଵଽ) ≈ 2,5395. Ước lượng khoảng của ߤ' là ቆ̅ݔ− ݐభషം మ (௡ିଵ) ௦ √௡ ; ̅ݔ+ ݐభషം మ (௡ିଵ) ௦ √௡ ቇ≃ (૚૙ૡ૞,૝૜૝ ;ૢ૚૚૚૝,૞૟૞૚). 4. ݂= ଵ଴ାଵ଴ ଵ଴଴ = 0,2; ߝ= 0,03. Từ ఈ ଶ = ଵିఊ ଶ = 0,1 ⇒ ݑഀ మ = ݑ଴,ଵ ≈ 1,2816. ߝ= ݑఈ ଶ ඥ ௠݂ ớ௜(1− ௠݂ ớ௜) ඥ ௠݊ ớ௜ ≈ ඥ (݂1 − )݂ ඥ ௠݊ ớ௜ ⇒ ඥ ௠݊ ớ௜≈ ݑఈ ଶ ඥ (݂1 − )݂ ߝ ≈ 1,2816 ∙ √0,2 ∙ 0,80,03 ⇒ ݊= 292. Vậy nên phải điều tra thêm 192 sản phẩm. 5. ݌= tỉ lệ sản phẩm của B ở trong kho. Tỉ lệ mẫu sản phẩm của B là f = ଶଽ ଵ଴଴ = 0,29. Ta có ఈ ଶ = ଵିఊ ଶ = 0,09; ݑഀ మ = ݑ଴,଴ଽ ≈ 1,3408. Ước lượng khoảng của p là ቆ݂− ݑఈ ଶ ඥ (݂1 − )݂ √݊ ;݂+ ݑఈ ଶ ඥ (݂1 − )݂ √݊ ቇ≃ (0,2292; 0,3508)  Số sản phẩm trong kho thuộc ቀଵ଴଴଴ ଴,ଷହ଴଼ ; ଵ଴଴଴଴,ଶଶଽଶቁ≃ (2851; 4364). Bớt đi 1000 sản phẩm của B, ta có số sản phẩm của A thuộc (૚ૡ૞૚;૜૜૟૝).