Đề thi hết môn Toán cao cấp 1 - Đề số: 13

Bé C«ng Th-¬ng Tr-êng §H Kinh tÕ Kü thuËt CN §Ò thi hÕt m«n To¸n Cao CÊp 1 Líp: C§ kho¸ 18 H×nh thøc thi: viÕt Thêi gian: 90 phót §Ò sè: 13 C©u 1: 1) T×m a ®Ó hµm sè sau liªn tôc t¹i x = 1          1 1 1 sin)1( )( 2 xkhia xkhi x x xf  2) T×m giíi h¹n 𝐿 = lim 𝑥→0 𝑙𝑛𝑐𝑜𝑠(2𝑥) 𝑙𝑛𝑐𝑜𝑠(4𝑥) C©u 2: Tính 𝑦′′ (𝑥) với 𝑦 𝑥 = (1 + 𝑥) 1 𝑥 C©u 3: 1) TÝnh 𝐼 = 6𝑥. 𝑠𝑖𝑛2(𝑥)𝑑𝑥 2) TÝnh 𝐽 = 𝑙𝑛𝑥 𝑥 1 + 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑒 1 C©u 4: Tìm cực trị hàm số hàm số 𝑧 = 4𝑥 − 𝑥3 − 𝑥𝑦2 C©u 5: Cho A =            100 210 321 ; B =              232 121 211 1) Tính: 2A + A.B 2) Tìm ma trận X sao cho: A.X = B Đáp án-thang điểm Câu 1 (2 điểm) 1. (1điểm) Để hàm số liên tục tại 𝑥 = 1 thì lim𝑥→1 𝑓(𝑥) = 𝑓(1) 𝑓 1 = 𝑎 Do 𝑥2 − 1 → 0 khi 𝑥 → 1 và sin⁡( 𝜋 𝑥−1 ) là hàm bị chặn trên 𝑅 nên lim𝑥→1 𝑥 2 − 1 sin⁡( 𝜋 𝑥−1 ) = 0 Vậy 𝑎 = 0 2. (1 điểm) Khi 𝑥 → 0 thì giới hạn có dạng 0 0 nên áp dung quy tắc lô pi tan ta có: 𝐿 = lim 𝑥→0 𝑙𝑛𝑐𝑜𝑠(2𝑥) 𝑙𝑛𝑐𝑜𝑠(4𝑥) = lim 𝑥→0 −2𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑐𝑜𝑠4𝑥 −4𝑠𝑖𝑛4𝑥 Khi 𝑥 → 0 thì 𝑠𝑖𝑛2𝑥~2𝑥, 𝑠𝑖𝑛4𝑥~4𝑥, thay thế các VCB tương đương vào giới hạn ta có 𝐿 = lim 𝑥→0 −2.2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑐𝑜𝑠4𝑥 −4.4𝑥 = 1 4 Câu 2 (2 điểm) 𝑦 = 𝑒 1 𝑥𝑙𝑛(1+𝑥) 𝑦′ = − 1 𝑥2 𝑙𝑛 1 + 𝑥 + 1 𝑥(1 + 𝑥) 𝑒 1 𝑥𝑙𝑛 (1+𝑥) 𝑦′ = − 1 𝑥2 𝑙𝑛 1 + 𝑥 + 1 𝑥(1 + 𝑥) 𝑦 𝑦′′ = 2 𝑥3 𝑙𝑛 1 + 𝑥 − 1 𝑥2 1 + 𝑥 − 2𝑥 + 1 𝑥2 1 + 𝑥 2 𝑦 + − 1 𝑥2 𝑙𝑛 1 + 𝑥 + 1 𝑥 1 + 𝑥 𝑦′ 𝑦′′ = 2 𝑥3 𝑙𝑛 1 + 𝑥 − 3𝑥 + 2 𝑥2 1 + 𝑥 2 𝑦 + − 1 𝑥2 𝑙𝑛 1 + 𝑥 + 1 𝑥(1 + 𝑥) − 1 𝑥2 𝑙𝑛 1 + 𝑥 + 1 𝑥(1 + 𝑥) 𝑦 𝑦′′ = 2 𝑥3 𝑙𝑛 1 + 𝑥 − 3𝑥 + 2 𝑥2 1 + 𝑥 2 + 1 𝑥4 𝑙𝑛2 1 + 𝑥 + 1 𝑥2(1 + 𝑥)2 − 2 1 𝑥3(1 + 𝑥) 𝑙𝑛 1 + 𝑥 𝑦 𝑦′′ = 3𝑥 + 1 𝑥2 1 + 𝑥 2 + 1 𝑥4 𝑙𝑛2 1 + 𝑥 + 2 1 𝑥2 1 + 𝑥 𝑙𝑛 1 + 𝑥 𝑦 𝑦′′ = 3𝑥 + 1 𝑥2 1 + 𝑥 2 + 1 𝑥4 𝑙𝑛2 1 + 𝑥 + 2 1 𝑥2(1 + 𝑥) 𝑙𝑛 1 + 𝑥 𝑒 1 𝑥𝑙𝑛 (1+𝑥) Câu 3 (2 điểm) 1.(1 điểm) 𝐼 = 6𝑥. 𝑠𝑖𝑛2(𝑥)𝑑𝑥 = 3 𝑥 1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 = 3 𝑥𝑑𝑥 − 3 2 𝑥𝑑(𝑠𝑖𝑛2𝑥) 𝐼 = 3𝑥2 2 − 3 2 𝑥𝑠𝑖𝑛 2𝑥 + 3 2 𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑑𝑥 𝐼 = 3𝑥2 2 − 3 2 𝑥𝑠𝑖𝑛 2𝑥 − 3 4 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝐶 2.(1điểm) Đặt 𝑡 = 1 + 𝑙𝑛𝑥 ⇒ 𝑡2 = 1 + 𝑙𝑛𝑥 ⇒ 2𝑡𝑑𝑡 = 1 𝑥 𝑑𝑥 x 1 3 T 1 2 𝐽 = 2 𝑡2 − 1 𝑑𝑡 2 1 = 2 ( 𝑡3 3 − 𝑡) 1 2 = 4 − 2 2 3 Câu 4(2điểm) Giải hệ: 𝑧′𝑥 = 4 − 3𝑥 2 − 𝑦2 = 0 𝑧′𝑦 = −2𝑥𝑦 = 0 Ta có 4 điểm tới hạm 𝑃1 0,2 , 𝑃2 0, −2 , 𝑃3 2 3 , 0 , 𝑃4(− 2 3 , 0) 𝑧′′𝑥𝑥 = −6𝑥, 𝑧′′𝑥𝑦 = −2𝑦, 𝑧′′𝑦𝑦 = −2𝑥 Tại điểm 𝑃1 đặt 𝐴 = 𝑧 ′′ 𝑥𝑥 𝑃1 = 0, 𝐵 = 𝑧 ′′ 𝑥𝑦 𝑃1 = −4, 𝐶 = 𝑧 ′′ 𝑥𝑥 𝑃1 = 0 Do 𝐵2 − 𝐴𝐶 = 16 > 0 nên 𝑃1 không là cực trị. Tại điểm 𝑃2 đặt 𝐴 = 𝑧 ′′ 𝑥𝑥 𝑃2 = 0, 𝐵 = 𝑧 ′′ 𝑥𝑦 𝑃2 = 4, 𝐶 = 𝑧 ′′ 𝑥𝑥 𝑃2 = 0 Do 𝐵2 − 𝐴𝐶 = 16 > 0 nên 𝑃2 không là cực trị. Tại điểm 𝑃3 đặt 𝐴 = 𝑧 ′′ 𝑥𝑥 𝑃3 = − 12 3 , 𝐵 = 𝑧 ′′ 𝑥𝑦 𝑃3 = 0, 𝐶 = 𝑧 ′′ 𝑥𝑥 𝑃3 = − 4 3 Do 𝐵2 − 𝐴𝐶 = 16 < 0, 𝐴 < 0 nên 𝑃3 là cực đại. 𝑧𝑐đ = 𝑧 𝑃3 = 8 3 − 8 3 3 = 16 3 3 Tại điểm 𝑃4 đặt 𝐴 = 𝑧 ′′ 𝑥𝑥 𝑃4 = 12 3 , 𝐵 = 𝑧 ′′ 𝑥𝑦 𝑃3 = 0, 𝐶 = 𝑧 ′′ 𝑥𝑥 𝑃3 = 4 3 Do 𝐵2 − 𝐴𝐶 = 16 0 nên 𝑃4 là cực tiểu. 𝑧𝑐𝑡 = 𝑧 𝑃4 = − 8 3 + 8 3 3 = − 16 3 3 Câu 5(2 điểm) 1.(1 điểm) 2𝐴 + 𝐴𝐵 = 2 4 −6 0 2 4 0 0 2 + 1 2 −3 0 1 2 0 0 1 1 −1 2 −1 1 1 2 −3 2 = −5 16 −8 3 −2 9 2 −3 4 2.(1 điểm) Do 𝐴 = 1 ≠ 0 ⇒ ∃𝐴−1 𝐴−1 = 1 −2 7 0 1 −2 0 0 1 Nhân bên trái 2 vế của phương trình với 𝐴−1 ra có: 𝑋 = 𝐴−1𝐵 = 1 −2 7 0 1 −2 0 0 1 1 −1 2 −1 1 1 2 −3 2 = 17 −26 14 −5 8 −3 2 −3 2