Đề tài Phát triển tư duy học sinh thông qua việc khai thác tính đơn điệu của hàm số mũ - Lôgarit và hàm số lượng giác

ĐỀ TÀI PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC SINH THÔNG QUA VIỆC KHAI THÁC TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ MŨ - LÔGARIT VÀ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC. A. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Bất đẳng thức là một vấn đề khó trong chương trình phổ thông, nó thường xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi các cấp và thi đại học. Trong quá trình dạy học và nghiên cứu vấn đề này tôi thấy bất đẳng thức chứa các hàm số Mũ - Lôgarit và hàm số lượng giác ít thấy trong các tài liệu và sách báo. Một số đề thi đại học và học sinh giỏi trong những năm gần đây thường thấy sử dụng hàm số để giải quyết loại này, đặc biệt đã có xuất hiện bất đẳng thức chứa các đối tượng là hàm số Mũ -lôgarit và hàm số lượng giác. Chẳng hạn như đề thi đại học khối A, A1 năm 2012, đề thi đại học khối D 2007 . . . Trong đề tài này tôi đề xuất các ví dụ đặc trưng cho từng hàm số, từ những ví dụ đó xây dựng thành các chuỗi bài toán. Việc xây dựng chuỗi bài toán nâng dần mức độ khó giúp học sinh phát triển tư duy, gây hứng thú cho học sinh. Từ đó học sinh hoạt động một cách tích cực, độc lập, chủ động và sáng tạo. Vì những lý do trên tôi chọn đề tài là " Phát triển tư duy học sinh thông qua việc khai thác tính đơn điệu của hàm số mũ, lôgarit và hàm số mũ " B. NỘI DUNG ĐỀ TÀI I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa tính đơn điệu của hàm số Sách giáo khoa đại số 10 định nghĩa hàm số đồng biến nghịch biến như sau: " Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nữa khoảng và f là hàm số xác định trên K. Hàm số f được gọi là đồng biến trên K nếu Hàm số f được gọi là nghịch biến trên K nếu 2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I. a) Nếu hàm số f đồng biến trên I thì với mọi b) Nếu hàm số f nghịch biến trên I thì với mọi Chú ý: Khoảng I trên định lí trên có thể được thay bởi một đoạn hoặc một nửa khoảng. Khi đó phải bổ sung giả thiết “Hàm số liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”. 3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I. a) Nếu với mọi thì hàm số f đồng biến trên khoảng I.b) Nếu với mọi thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I.c) Nếu với mọi thì hàm số f không đổi trên khoảng I. 4. Các nhận xét Nhận xét 1: Hàm số xác định trên và Đồng biến trên thì Đồng biến trên thì Nghịch biến trên thì . Nghịch biến trên thì . Nhận xét 2: Hàm số xác định trên và Đồng biến trên K thì , với mọi x, y thuộc K. Nghịch biến trên K thì , với mọi x, y thuộc K. Nhận xét 3: Cho hàm số liên tục và có đạo hàm đến cấp hai trên đoạn . i) Nếu thì ii) Nếu thì Đẳng thức trong hai Bất đẳng thức trên xảy ra . Ta có thể chứng minh nhận xét trên như sau i) Xét hàm số , Ta có : Suy ra phương trình có nghiệm duy nhất và đổi dấu từ () sang () khi x qua nên ta có : . ii) Chứng minh tương tự. Chú ý: Phương trình là phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm . Nhận xét 4: Cho hàm số liên tục trên , và phương trình chỉ có đúng hai nghiệm trên là a và b thì luôn mang một dấu trên II. XÂY DỰNG CÁC CHUỖI BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC 1. XUẤT PHÁT TỪ NHẬN XÉT 1 a) Từ tính đơn điệu của hàm số mũ lôgarit Ví dụ 1. Xuất phát từ hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định với và nghịch biến trên từng khoảng xác định với . Do đó với mọi số thực thuộc khoảng một xác định của hàm số ta có 1) với . 2) với . Với nên + Tương tự ta có: . Do x, y, z là các cơ số lớn hơn 1 nên: (1) Áp dụng BĐT Côsi ta có: (2) Từ (1) và (2) suy ra Đẳng thức xẩy ra khi . + Vì nên Tương tự ta có: Cộng vế với vế ta được: Áp dụng BĐT Côsi ta có: Đẳng thức xẩy ra khi . Do đó ta có bài toán sau: Bài 1: Cho x, y, z là các số thực thuộc nửa khoảng , chứng minh rằng: a) . b) . Xét nên . Khi đó ta có: Mà Suy ra Từ đó ta có bài toán sau: Bài 2: Cho . Chứng minh rằng : a) . b) Ví dụ 2. Xuất phát từ hàm số . Ta có Do đó nghịch biến trên 1) Suy ra Với ta xét ta được : hay Với với khi đó ta được: . Ta được bài toán : Bài 1: Cho là số thực dương. Chứng minh rằng: a) b) 2) Suy ra thì Hay Do đó ta có bài toán: Bài 2: Cho . Chứng minh rằng . 3) Kết hợp với BĐT ta có : Bài 3: Chứng minh rằng với . 4) Kết hợp với ta được Hay , áp dụng BĐT Côsi ta có Bài 4: Chứng minh rằng : với mọi số thực . Ví dụ 3. Xuất phát từ hàm số đồng biến trên . 1) Kết hợp với BĐT do đó ta có: Do đó ta có bài toán: Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số thực ta luôn có (*) 2) Kết hợp với BĐT Khi đó ta có: Do đó ta được bài toán: Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số thực ta luôn có 3) Kết hợp với giả thiết ta được: hay Kết hợp BĐT Bunhiacopxky ta có: Do đó ta có bài toán: Bài 3: Chứng minh rằng , với . 4) Với ta có: Tương tự ta có: Cộng vế với vế ta được bài toán: Bài 4: Chứng minh rằng với mọi số thực x, y, z không âm thì a) b) . + Từ bài 4a ta được: với mọi số thực x, y, z thì Áp dụng BĐT và kết hợp giả thiết thêm , ta có Do đó: Hay Suy ra Ta được bài toán Bài 5: Cho các số thực thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: (Đại học KA 2012) + Với ta có , xây dựng các BĐT tương tự đối với biến y, z và cho cộng lại ta được Bài 6: Cho tam giác. Chứng minh rằng: Để che giấu hàm số, ta có thể sử dụng bất đẳng thức quen thuộc: Từ đó được bài toán mới là: Bài 7: Cho tam giác. Chứng minh rằng Từ trên ta cũng có , xây dựng các BĐT tương tự và nhân lại với nhau ta được bài toán: Bài 8: Cho các số thực . Chứng minh rằng : a) . b) Lại có: Và bất đẳng thức Từ đó suy ra có bài toán: Bài 9: Chứng minh rằng , ta luôn có: . Bài 10: Chứng minh rằng ta luôn có . Ví dụ 4. Xuất phát từ hàm đồng biến trên khoảng . 1) Với ta có: (Đại học KD 2007) Do đó ta có bài toán: Bài 1: Chứng minh rằng: 2) Với ta có Tương tự ta có: Từ đó ta có bài toán: Bài 2: Cho chứng minh rằng: Bài 3: Cho thỏa mãn . Chứng minh rằng: 3) Từ trên, ta suy ra: Với thì , hay Tương tự, xây dựng thêm y và công lại, ta được: Lại theo bất đẳng thức Cauchy thì: Từ đó có bài toán: Bài 4: Cho . Chứng minh rằng: . 4) Kết hợp với bất đẳng thức Trêbưsép, ta có thì: Hay Bài 5: Cho các số thực dương x,y,z. Chứng minh rằng: . b) Từ tính đơn điệu hàm số lượng giác Ví dụ . Xét hàm số nghịch biến trên . Kết hợp với suy ra Ta có bài toán: Bài 1: Chứng minh rằng ta luôn có: . Giả thiết ta có Bài 2: Cho , chứng minh rằng: . Gắn vào tam giác ABC nhọn, xây dựng các BĐT với các biến A, B, C ta được bài toán Bài 3: Cho tam giác ABC nhọn. Chứng minh rằng: Kết hợp với đẳng thức trong tam giác , , ta được Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn. Chứng minh rằng: . Kết hợp với BĐT , ta được Bài 5: Cho tam giác ABC nhọn. Chứng minh rằng: . 2. XUẤT PHÁT TỪ NHẬN XÉT 2 a) Từ tính đơn điệu của hàm số mũ lôgarit Ví dụ 1. Xuất phát từ hàm số đồng biến trên với và nghịch biến trên với . Vì vậy với mọi số thực ta có: 1) với . 2) với . 1) Vì hàm số đồng biến trên nên với ta có: Tương tự ta có Cộng vế với vế các BĐT ta được (*) Từ (*) ta có các bài toán sau: Bài 1: Chứng minh rằng: đúng với mọi số thực . Bài 2: Cho x, y, z là các số thực thoả mãn . Chứng minh rằng: Bài 3: Cho x, y, z là các số dương. Chứng minh rằng . Suy ra , xây dựng các BĐT tương tự rồi cộng lại ta được bài toán. Bài 4: Cho các số thực x, y, z chứng minh rằng: . Do đó Áp dụng BĐT Côsi ta được: Bài 5: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng: a) . b) 2) Vì hàm số là hàm số nghịch biến trên nên ta có: . Tương tự ta có . Cộng vế với vế các BĐT trên ta được (**) Từ (**) ta có các bài toán sau: Bài 6: Cho x, y, z là các số thực. Chứng minh rằng: . Bài 7: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn . Chứng minh rằng: . Bài 8: Cho x, y, z là các số thực dương và thỏa mãn . Chứng minh rằng: . Bài 9: Cho x, y, z là các số thực dương và thỏa mãn .Chứng minh rằng: a) . b) với mọi số thực . Từ đó suy ra: Kết hợp BĐT Cauchy_Swash ta được bài toán Bài 10: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn . Chứng minh rằng: . Ví dụ 2. Xuất phát từ hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định với và nghịch biến trên từng khoảng xác định với . Vì vậy với mọi số thực từng khoảng xác định của hàm số ta có: 1) với . 2) với . Với mọi số dương x,y ta có: Tương tự ta có và Cộng vế với vế ta có: (1) Hay (2) + Với giả thiết kết hợp với (2) ta được bài toán: Bài 1: Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn . Chứng minh rằng: . + Với giả thiết kết hợp với (1) Ta có Do đó Hay . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Ta được bài toán: Bài 2: Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn .Chứng minh rằng : a) b) . Với mọi số dương x, y, z lơn hơn 1 ta có Tương tự ta có: ; Cộng lại ta được: . Ta có bài toán: Bài 3: Chứng minh rằng: a) với . b) với . Với mọi số dương x,y,z lớn hơn 1 ta có Tương tự ta có: Cộng lại ta được ta có: Kết hợp BĐT côsi ta được: Bài 4: Chứng minh rằng: với x, y, z là số thực lớn hơn 1 Với mọi số dương x,y ta có: Tương tự ta có và Cộng lại ta được Hay Ta được bài toán: Bài 5: Cho là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức sau: Kết hợp BĐT ta được bài toán. Bài 6: Cho là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức sau: . Ví dụ 3. Xuất phát từ hàm số đồng biến trên và nghịch biến trên . Ta có Tương tự ta có: Cộng vế với vế lại ta được: Mặt khác nên . Suy ra . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Từ đó ta có bài toán: Bài 1: Cho . Chứng minh rằng: a) b) Bài 2: Cho các số thực x,y,z không âm thỏa mãn . Chứng minh rằng: Ta có Tương tự ta có: Cộng vế với vế ta được: Cho hay thì Ta có bài toán sau: Bài 3: Cho các số thực x, y, z dương thỏa mãn . Chứng minh rằng: . Ví dụ 4. Xuất phát từ hàm số đồng biến trên và nghịch biến trên . Ta có: Xét hàm số . Ta có: Suy ra Tương tự ta có Cộng vế với vế ta có Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Bài 1: Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng: a) với . b) với . + Với giả thiết khi đó (thỏa mãn điều kiện ràng buộc trên) Ta có . Do đó ta có bài toán: Bài 2: Cho cho các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng . + Với giả thiết x, y, z là số thực lớn hơn một thỏa mãn ta được: Bài 3: Cho cho các số thực lớn hơn 1 thỏa mãn . Chứng minh rằng . b) Xuất phát từ tính đơn điệu của hàm số lượng giác Sử dụng trực tiếp tính chất 2 Xét hàm số Ta có Suy ra Tương tự ta có: Cộng vế với vế ta được: (1) Ta lại có Từ (1) và (2) suy ra Hay Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác đều. Ta được bài toán Bài 1: Cho tam giác . Chứng minh rằng: . Xét hàm số Ta có: Suy ra Tương tự ta có: Cộng vế với vế ta được: Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác đều. Ta được bài toán Bài 2: Cho tam giác nhọn. Chứng minh rằng: . Ta có hàm số đồng biến trên nên Tương tự ta có: Cộng vế với vế lại ta được Mặt khác ta có Do đó ta có . Ta được bài toán Bài 3: Cho tam giác nhọn. Chứng minh rằng: Ta có hàm số nghịch biến trên nên Tương tự ta có: . Cộng vế với vế lại ta được: Ta được bài toán Bài 4: Cho tam giác . Chứng minh rằng: . Sử dụng linh hoạt tính chất 2 Ta có trong tam giác có cạnh nếu biểu thức chứa các biến bình đẳng nhau thì ta hoàn toàn có thể giả sử Bây giờ ta kết hợp với tính đơn điệu hàm số là đồng biến trên do đó: Nếu thì do đó và hay . Tương tự ta có và . Cộng vế với vế ta được: Mặt khác ta có Do đó . Vậy ta được bài toán Bài 5: Cho tam giác ABC có . Chứng minh rằng: . Tổng quát(chứng minh hoàn toàn tương tự) Cho tam giác ABC có và x là số thực dương. Chứng minh rằng: . Bây giờ ta kết hợp với tính đơn điệu hàm số là đồng biến trên do đó với , suy ra Do đó: Mà (1) Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có: , Suy ra Hay (2) Từ (1) và (2) ta có Đẳng thức xảy ra . Vậy ta được bài toán Bài 6: Cho tam giác ABC có . Chứng minh rằng . 3. XUẤT PHÁT TỪ NHẬN XÉT 3. Ví dụ 1. Xét hàm số có và phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 1 là Suy ra Từ đó ta có với mọi . Cho , ta có bài toán: Bài 1: Cho là các số thực không âm thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của . Sau đây là lời giải đầy đủ Xét hàm số trên Ta có và Vì nên hàm số đồng biến trên do đó phương trình có tối đa một nghiệm. Mặt khác do đó phương trình là nghiệm duy nhất. Bảng biến thiên x 0 1 0 + 0 Vậy ta có hay Tương tự ta có: , . Cộng vế với vế ta được: Vậy Cho , ta có bài toán: Bài 2: Cho là các số thực không âm thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của . Ví dụ 2. Xét hàm số có và phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ 1 là Suy ra ta có Xây dựng các BĐT tương tự kết hợp với đánh giá cơ bản ta có bài toán Bài 1: Cho là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của . Lời giải đầy đủ Xét hàm số trên Ta có , Bảng biến thiên x 0 1 + 0 0 Suy ra , Ta có Tương tự ta có Cộng vế với vế ta được: Mặt khác ta có Do đó . Vậy Suy ra ta có Xây dựng các BĐT tương tự kết hợp với ràng buộc các biến ta có bài toán Bài 2: Cho là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của . Bài 3: Cho là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của . Bài 4: Cho là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của . Ví dụ 2. Xét hàm số có . Xét hàm số có . Xét hàm số có . Xét hàm số có . Phương trình tiếp tuyến tại của hàm số là Suy ra , . Do đó ta có bài toán: Bài 1: Cho tam giác . Chứng minh rằng: . Tương tự ta có bài toán: Bài 2: Cho tam giác nhọn. Chứng minh rằng: . Phương trình tiếp tuyến tại của hàm số là Suy ra , . Do đó ta có bài toán: Bài 3: Cho tam giác nhọn. Chứng minh rằng: Tương tự ta có Bài 4: Cho tam giác nhọn. Chứng minh rằng: . Thay bởi các góc khác nhau ta có các bài toán: Bài 5: Cho tam giác . Chứng minh rằng: a) b) c) với . Bài 6: Cho tam giác . Chứng minh rằng: a) b) (dấu căn) với. Bài 7: Cho tam giác nhọn. Chứng minh rằng a) b) Bài 8: Chứng minh rằng: (dấu căn) với mọi tam giác ABC và Từ các kết quả trên với tam giác ta có các BĐT: Do đó ta có , , Cộng vế với vế ta có Đẳng thức xảy ra Vậy ta có bài toán Bài 9: Cho tam giác . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: . Từ các kết quả trên với tam giác ta có Với thì Lại có nên Từ đó ta có, và . Cộng vế với vế lại ta được . Đẳng thức xảy ra và các hoán vị. Từ đó ta có bài toán: Bài 10: Cho tam giác có một góc không nhỏ hơn . Chứng minh rằng : . 4. XUẤT PHÁT TỪ NHẬN XÉT 4 Ví dụ 1. Ta có hàm số có có nghiệm duy nhất. Do đó có nhiều nhất hai nghiệm. Mà . Kết hợp với f(x) liên tục trên và nên ta có: . Dấu "=" xảy ra khi hoặc . Từ nhận xét trên ta có ngay bài toán Bài 1: Cho các số thực . Chứng minh rằng: Giả thiết và không âm có ngay do đó ta có bài toán Bài 2: Cho các số thực không âm thỏa . Tìm giá trị lớn nhất của . Nhận xét: Ngoài ra ta có thể tìm giá trị nhỏ nhất bằng sử dụng BĐT Côsi Ta có , ta có: Do đó nếu Cho khi đó theo kết quả trên ta có Vì vậy . Từ đó, ta có bài toán sau Bài 3: Cho các số thực không âm thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . Hướng dẫn: Từ giả thiết ta có . Từ lập luận trên ta có: Suy ra Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi và các hoán vị Vậy . Ta có với . Từ đó ta có các bài toán sau: Bài 4: Cho các số thực . Chứng minh rằng a) b) c) Từ lập luận trên ta có Áp dụng cho các biến a, b, c và ràng buộc biến bởi đẳng thức . Ta được bài toán sau: Bài 5: Cho các số thực không âm thỏa mãn . Chứng minh rằng: . Ví dụ 2. Ta có hàm số có , dễ thấy hàm số nghịch biến nên phương trình có nghiệm duy nhất. Do đó có nhiều nhất hai nghiệm. Mà . Dấu "=" xảy ra khi hoặc Kết hợp với liên tục trên nên ta có . Từ đó ta có bài toán Bài 1: Cho các số thực . Chứng minh rằng: Giả thiết và không âm có ngay do đó ta có bài toán Bài 2: Cho các số thực không âm thỏa . Tìm giá trị lớn nhất của . Kết hợp BĐT: ta được bài toán: Bài 3: Cho các số thực không âm thỏa . Với là số tự nhiên lớn hơn 1. Tìm giá trị lớn nhất của : a) b) Ta có , Vì vậy ta có bài toán Bài 4: Cho các số thực không âm thỏa . Tìm giá trị lớn nhất của Với Ví dụ 3: Ta có hàm số trên đoạn . Ta dễ dàng chứng minh được có đúng hai nghiệm và hai nghiệm đó là hai điểm đầu mút. Kết hợp với liên tục trên nên ta có . Dấu "=" xảy ra khi hoặc . Như vậy ta có (*) Từ đó ta có bài toán Bài 1: Cho các số thực . Chứng minh rằng: Giả thiết cho ta có ngay với không dương thì . Ta có bài toán: Bài 2: Cho các số thực không dương thỏa . Tìm giá trị lớn nhất của . BĐT (*) tương đương với . Ta được bài toán: Bài 3: Cho các số thực không dương thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của BĐT (*) tương đương với , . Xây dựng các BĐT tương tự và ràng buộc biến ta có các bài toán: Bài 4: Cho các số thực . Chứng minh rằng: . Bài 5: Cho các số thực không dương thỏa . Tìm giá trị nhỏ nhất của . Bài 6: Cho các số thực . Chứng minh rằng: . C. KẾT LUẬN Đề tài này đã được bản thân tôi và các đồng nghiệp cùng đơn vị thí điểm trên các em có học lực từ khá trở lên. Kết quả thu được rất khả quan, các em học tập một cách say mê hứng thú. Một số em đã đạt được những thành tích tốt qua những đợt thi học sinh giỏi và thi đại học năm vừa qua. Vì tác dụng tích cực trong việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi nên kính mong hội đồng khoa học và quý thầy ( cô) góp ý bổ sung để đề tài ngày một hoàn thiện hơn, có ứng dụng rộng hơn trong quá trình dạy học ở trường THPT. Xin chân thành cảm ơn! Diễn Châu ngày 20/4/2014 Người thực hiện : Đậu Thanh Kỳ