Đề ôn tập môn Xác suất - Thống kê

ĐỀ XÁC SUẤT-THỐNG KÊ 18/6/2009 (Khóa 11) Câu 1. Ba máy 1, 2, 3 làm việc độc lập nhau và có xác suất sản xuất ra 1 phế phẩm lần lượt là 2%, 3%, 5%. Cho mỗi máy sản xuất 1 sản phẩm. 1) Thiết lập luật phân bố xác suất của số phế phẩm trong 3 sản phẩm trên. 2) Tìm số phế phẩm tin chắc nhất, số phế phẩm trung bình. 3) Tính xác suất để sản phẩm do máy thứ nhất sản xuất là phế phẩm biết rằng có 2 phế phẩm. Câu 2. Chiều dài của chi tiết được gia công trên một máy tự động là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn với độ lệch tiêu chuẩn là 0,01mm. Chi tiết được coi là đạt tiêu chuẩn nếu kích thước thực tế của nó sai lệch so với kích thước trung bình không quá 0,02 mm. 1) Tìm tỉ lệ chi tiết không đạt tiêu chuẩn. 2) Xác định độ đồng đều cần thiết của sản phẩm để tỉ lệ chi tiết không đạt tiêu chuẩn chỉ còn 1%. Câu 3. Một người muốn bảo hiểm chiếc ôtô của mình với giá 50000 $. Công ti bảo hiểm ước tính rằng trong một năm có thể mất tiền: toàn bộ với xác suất 0,002; 50% với xác suất 0,01 và 25% với xác suất 0,1. Nếu bỏ qua các chi phí khác, thì muốn thu lãi trung bình 500$/năm khi bảo hiểm xe này công ti phải yêu cầu chủ xe nộp mỗi năm bao nhiêu tiền? Câu 4. Khảo sát về thu nhập của một số người ở công ti A người ta thu được số liệu sau Thu nhập (triệu đồng/năm) 80-120 120-140 140-160 160-180 180-200 200-240 240-300 Số người 8 12 20 25 20 10 5 1) Những người có mức thu nhập trên 200 triệu đồng/năm là những người có thu nhập cao. Hãy ước lượng số người có thu nhập cao ở công ti A với độ tin cậy 98% (biết công ti này có 2000 người). 2) Nếu công ti báo cáo rằng mức thu nhập bình quân của một người là 13 triệu đồng/tháng thì có chấp nhận được không với mức ý nghĩa 3%? 3) Nếu muốn dùng mẫu trên để ước lượng thu nhập trung bình của một người của công ti với độ chính xác 6000000 đồng/năm thì độ tin cậy là bao nhiêu? ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Cho 𝚽𝟎 𝟏,𝟓𝟒 ≈ 𝟎,𝟒𝟑𝟖𝟐;𝚽𝟎 𝟐 ≈ 𝟎,𝟒𝟕𝟕𝟐;𝚽𝟎 𝟐,𝟏𝟕 ≈ 𝟎,𝟒𝟖𝟓;𝚽𝟎 𝟐,𝟑𝟑 ≈ 𝟎,𝟒𝟗𝟎𝟏;𝚽𝟎 𝟐,𝟓𝟕𝟓 ≈ 𝟎,𝟒𝟗𝟓. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ĐÁP ÁN ĐỀ THI XÁC SUẤT- THỐNG KÊ NGÀY 18/6/2009 Câu 1. 1) (1 điểm). Kí hiệu 𝑋 là số phế phẩm trong 3 sản phẩm. Tập giá trị của 𝑋 là 0; 1; 2; 3 . Kí hiệu A, B, C tương ứng là biến cố một sản phẩm do máy 1, 2, 3 làm ra là phế phẩm. A, B, C độc lập nhau trong toàn bộ, nên 𝑃 𝑋 = 0 = 𝑃 𝐴 𝑃 𝐵 𝑃 𝐶 = 0,98 ∙ 0,97 ∙ 0,95 = 0,90307. 𝑃 𝑋 = 1 = 𝑃 𝐴 𝑃 𝐵 𝑃 𝐶 + 𝑃 𝐴 𝑃 𝐵 𝑃 𝐶 + 𝑃 𝐴 𝑃 𝐵 𝑃 𝐶 = 0,09389. (0,5 điểm) 𝑃 𝑋 = 2 = 𝑃 𝐴 𝑃 𝐵 𝑃 𝐶 + 𝑃 𝐴 𝑃 𝐵 𝑃 𝐶 + 𝑃 𝐴 𝑃 𝐵 𝑃 𝐶 = 0,00301. 𝑃 𝑋 = 3 = 𝑃 𝐴 𝑃 𝐵 𝑃 𝐶 = 0,00003. (0,5 điểm) 2) (1 điểm). Số phế phẩm tin chắc nhất = Mod(X) = 0. (0,5 điểm) Số phế phẩm trung bình = 𝐸(𝑋) = 0,1. (0,5 điểm) 3) (1 điểm). 𝑃 𝐴 {𝑋 = 2} = 𝑃(𝐴 𝑋=2 ) 𝑃{𝑋=2} = 𝑃(𝐴𝐵𝐶 ∪𝐴𝐵 𝐶) 𝑃{𝑋=2} (0,5 điểm) = 0,02∙0,03∙0,95+0,02∙0,97∙0,05 0,00301 = 0,00154 0,00301 ≈ 0,5116 (0,5 điểm) Câu 2. Kí hiệu X là chiều dài chi tiết. 1) (1 điểm). 𝑋~𝑁(𝜇; 0,012) Tỉ lệ chi tiết không đạt tiêu chuẩn = 1 − 𝑃 𝑋 − 𝜇 ≤ 0,02 = 1 − 𝑃 −0,02 + 𝜇 ≤ 𝑋 ≤ 0,02 + 𝜇 = 1 − 2Φ0 0,02 0,01 (0,5 điểm) = 1 − 2Φ0 2 = 1 − 2 ∙ 0,4772 = 0,0456. (0,5 điểm) 2) (1 điểm). Ta phải xác định 𝜎2 sao cho 1 − 𝑃 𝑋 − 𝜇 ≤ 0,02 = 0,01 hay 𝑃 𝑋 − 𝜇 ≤ 0,02 = 0,99. Ta có: 𝑃 𝑋 − 𝜇 ≤ 0,02 = 2Φ0 0,02 𝜎 , (0,5 điểm) 0,99 = 2 × 0,495 = 2Φ0 2,575 ⇒ 0,02 𝜎 = 2,575 ⇒ 𝜎 ≈ 0,00777. (0,5 điểm) Câu 3. (1 điểm). Kí hiệu: T là số tiền công ti bảo hiểm yêu cầu người có ôtô phải nộp mỗi năm, X là số lãi ($) trong một năm của công ti khi bảo hiểm xe này. Luật phân bố xác suất của X: X T - 50000 T - 25000 T - 12500 T P 0,002 0,01 0,1 0,888 (0,5 điểm) Lãi trung bình của công ti trong 1 năm khi bảo hiểm xe này bằng (𝑇 – 50000) ∙ 0,002 + (𝑇 – 25000) ∙ 0,01 + (𝑇 – 12500) ∙ 0,1 + 𝑇 ∙ 0,888 = 500 Giải phương trình này, được T = 2100 $. (0,5 điểm) Câu 4. 1) (1,5 điểm). Kích thước mẫu là n = 100. Tỉ lệ mẫu là 𝑓 = (10 + 5)/100 = 0,15. Ta có 𝑛𝑓 = 100 ∙ 0,15 > 10 và 𝑛 ∙ 1 − 𝑓 = 100 ∙ 0,85 > 10. Kí hiệu: p = tỉ lệ người có thu nhập cao ở công ti A; m = số người có thu nhập cao ở công ti A. Ta dùng khoảng tin cậy đối xứng 𝑓 − 𝑢𝛼 2 𝑓(1−𝑓) 𝑛 ; 𝑓 + 𝑢𝛼 2 𝑓(1−𝑓) 𝑛 . (0,5 điểm) Với 𝛾 = 0,98, ta có 𝛼 2 = 1−𝛾 2 = 0,01. 𝑢𝛼 2 = Φ0 −1 0,5 − 𝛼 2 = Φ0 −1 0,49 ≈ 2,33. 𝑢𝛼 2 𝑓(1−𝑓) 𝑛 ≈ 2,33 0,15∙0,85 100 ≈ 0,083. Ước lượng khoảng của tỉ lệ người có thu nhập cao là (0,15 − 0,083; 0,15 + 0,083) = (0,067; 0,233). (0,5 điểm) Do đó 0,067 × 2000 < 𝑚 < 0,233 × 2000, hay 134 < 𝑚 < 466. (0,5 điểm) 2) (1,5 điểm). Ta kiểm định cặp giả thuyết H0:  = 156; H1:   156 (156 = 13× 12). (0,5 điểm) Ta dùng chỉ tiêu kiểm định 𝑇 = 𝑥 −𝜇0 𝑛 𝑆 ≈ 169,6−156 100 38,8449 ≈ 3,5. (0,5 điểm) Φ0 −1 1 − α 2 = Φ0 −1 0,485 ≈ 2,17 ⇒ 𝑊𝛼 ≅ −∞;−2,17 ∪ 2,17; +∞ . 𝑇 ∈ 𝑊𝛼 , nên ta bác bỏ H0, hay không chấp nhận báo cáo đó của công ti A. (0,5 điểm) 3) (1 điểm). 𝜀 = 𝑢𝛼 2 𝑠 𝑛 ⇒ 𝑢𝛼 2 = 𝜀 𝑛 𝑠 ≈ 6 100 38,8449 ≈ 1,54. (0,5 điểm) 𝛾 = 1 − 𝛼 = 2Φ0 𝑢𝛼 2 ≈ 2Φ0 1,54 ≈ 2 ∙ 0,4382 = 0,8764 = 87,64%. (0,5 điểm) --- HẾT --- ĐỀ XÁC SUẤT-THỐNG KÊ 12/4/2009 (Khóa 11) Câu 1. Thống kê về tai nạn giao thông cho thấy tỉ lệ tai nạn xe máy (vụ/tổng số xe/năm) chia theo mức độ nhẹ và nặng tương ứng là 0,001 và 0,005. Một công ti bán bảo hiểm xe máy với mức thu phí hàng năm là 30000 đồng và số tiền bảo hiểm trung bình 1 vụ là 1 triệu đồng đối với trường hợp nhẹ và 3 triệu đồng đối với trường hợp nặng. Hỏi lợi nhuận trung bình hàng năm mà công ti thu được đối với mỗi hợp đồng bảo hiểm là bao nhiêu, biết rằng thuế doanh thu phải nộp là 10% và tổng tất cả các chi phí khác chiếm 15% doanh thu. Câu 2. Một luật sư đi lại hàng ngày từ nhà người ấy đến văn phòng làm việc. Thời gian của một hành trình là biến ngẫu nhiên tuân theo luật chuẩn với trung bình là 24 phút và độ lệch tiêu chuẩn là 3,8 phút. 1) Nếu văn phòng làm việc mở cửa lúc 8 giờ và ông ấy rời nhà lúc 7 giờ 45 phút hàng ngày, thì số ngày người ấy đi muộn chiếm bao nhiêu phần trăm? 2) Nếu người ấy rời nhà lúc 7 giờ 35 phút và tại văn phòng làm việc cà phê được phục vụ từ 7giờ 50 phút đến 8 giờ thì xác suất để một lần nào đó người ấy không được phục vụ là bao nhiêu? 3) Tính xác suất để có ít nhất 2 trong 3 hành trình tiếp theo người ấy đi hết tối thiểu 30 phút. Câu 3. Một người đãng trí, bỏ ngẫu nhiên 3 lá thư vào 3 phong bì đề sẵn địa chỉ. Tính xác suất để có ít nhất một lá thư bỏ đúng địa chỉ. Câu 4. Để nghiên cứu mức sống của dân cư thành phố A năm nay, người ta điều tra ngẫu nhiên thu nhập (đơn vị: triệu đồng/tháng) và thu được số liệu sau Thu nhập một hộ (triệu đồng/tháng) 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 Số hộ 5 10 15 23 26 10 6 5 Giả sử thu nhập của mỗi hộ trong tháng là biến ngẫu nhiên X tuân theo luật chuẩn. 1) Thu nhập trung bình của một hộ năm trước là 3,5 triệu đồng một tháng. Với mức ý nghĩa 5% hãy cho biết thu nhập trung bình hiện nay có lớn hơn thu nhập trung bình năm trước hay không? 2) Hãy ước lượng phương sai X với độ tin cậy 95%? 3) Trong 1000 hộ gia đình của thành phố A với độ tin cậy 99%, kết luận xem có tối thiểu bao nhiêu hộ có thu nhập trên 4 triệu đồng một tháng? ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Cho 𝚽𝟎 𝟐,𝟑𝟕 ≈ 𝟎,𝟒𝟗𝟏𝟏;𝚽𝟎 𝟎,𝟐𝟔 ≈ 𝟎,𝟏𝟎𝟐𝟔;𝚽𝟎 𝟏,𝟓𝟖 ≈ 𝟎,𝟒𝟒𝟐𝟗;𝑷 𝑼 > 1,645 ≈ 𝟎,𝟎𝟓; 𝑷 𝑼 > 2,33 ≈ 𝟎,𝟎𝟏;𝑷 𝝌𝟐(𝟗𝟗) > 128,4 ≈ 𝟎,𝟎𝟐𝟓;𝑷 𝝌𝟐(𝟗𝟗) > 73,4 ≈ 𝟎,𝟗𝟕𝟓. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ĐÁP ÁN ĐỀ THI XÁC SUẤT-THỐNG KÊ NGÀY 12/4/2009 1. 𝑋 ∶= lợi nhuận hàng năm mà công ti thu được đối với mỗi người mua bảo hiểm. Số tiền công ti thu được từ mỗi người mua bảo hiểm sau khi đã trừ đi 25% thuế và các chi phí khác là 30000 ∙ 75% = 22500 (đồng).  Trường hợp có 1 vụ tai nạn nhẹ : 𝑋 = 22500 − 1000000 = −977500.  Trường hợp có 1 vụ tai nạn nặng : 𝑋 = 22500 − 3000000 = −2977500.  Trường hợp không có tai nạn : 𝑋 = 22500. Luật phân phối xác suất của 𝑋 là 𝑋 −977500 −2977500 22500 𝑃 0,001 0,005 0,994 (1 điểm)  Lợi nhuận trung bình hàng năm mà công ti thu được đối với mỗi người mua bảo hiểm là 𝐸 𝑋 = 6500 đồng (1 điểm) 2. 𝑋 ∶= Thời gian của một hành trình (đơn vị: phút). 𝑋~𝑁 24; 3,8 . a) Nếu người ấy rời nhà 7 giờ 45 phút hàng ngày, thì xác suất để hành trình này bị muộn là 𝑃 𝑋 > 15 = 0,5 −Φ0 15−24 3,8 ≈ 0,5 + Φ0 2,37 ≈ 0,9911. ⇒ số ngày người ấy đi muộn chiếm gần 99,11%. (1 điểm) b) Xác suất để 1 lần người ấy không được phục vụ cà phê là 𝑃 𝑋 > 25 = 0,5 −Φ0 25−24 3,8 ≈ 0,5 + Φ0 0,26 ≈ 0,3974. (1 điểm) c) 𝐴 ∶= {Một hành trình người ấy đi hết tối thiểu 30 phút}. 𝑝 = 𝑃 𝐴 = 𝑃 𝑋 > 30 = 0,5 −Φ0 30 − 24 3,8 ≈ 0,5 −Φ0 1,58 ≈ 0,0571. 𝑌 ∶= số biến cố A xảy ra trong 3 hành trình tiếp theo. 𝑌~𝐵 3;𝑝 nên xác suất để có ít nhất 2 trong 3 hành trình tiếp theo hết tối thiểu 30 phút là 𝑃 𝑌 ≥ 2 = 𝑃 𝑌 = 2 + 𝑃 𝑌 = 3 = 𝐶3 2𝑝2 1 − 𝑝 + 𝐶3 3𝑝3 ≈ 0,0094. (1 điểm) 3. (1 điểm) 𝐴𝑖 ∶= “Bức thư thứ i bỏ đúng phong bì của nó” (i = 1, 2, 3). Xác suất phải tìm bằng 𝑃 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ 𝐴3 = 𝑃 𝐴1 + 𝑃 𝐴2 + 𝑃 𝐴3 − 𝑃 𝐴1𝐴2 − 𝑃 𝐴2𝐴3 − 𝑃 𝐴3𝐴4 + 𝑃 𝐴1𝐴2𝐴3 . 𝑃 𝐴𝑖 = 2! 3! = 1 3 ,𝑃 𝐴𝑖𝐴𝑗 = 𝑃 𝐴𝑖 𝑃 𝐴𝑗 𝐴𝑖 = 1 3 ∙ 1 2 = 1 6 với 𝑖 ≠ 𝑗. Nếu bức 1 và 2 bỏ đúng phong bì sẽ kéo theo bức thứ 3 bỏ đúng phong bì, nên 𝑃 𝐴1𝐴2𝐴3 = 𝑃 𝐴1𝐴2 = 1 6 . ⇒ 𝑃 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ 𝐴3 = 𝟐 𝟑 . 4. 𝑋~𝑁 𝜇;𝜎2 . 𝑥 = 3,67; 𝑠2 = 0,7283838; 𝑠 ≈ 0,853454. a) (1,5 điểm) Kiểm định cặp giả thuyết 𝐻0: 𝜇 = 3,5 𝐻1: 𝜇 > 3,5 . Do 𝑛 = 100 > 30, ta dùng tiêu chuẩn kiểm định 𝑇 = 𝑋 − 𝜇0 𝑆 𝑛 ≈ 3,67 − 3,5 0,853454 100 ≈ 1,9919. 𝑢𝛼 ≈ Φ0 −1 0,5 − 𝛼 = Φ0 −1 0,45 ≈ 1,645 ⇒Miền bác bỏ giả thuyết là 𝑊𝛼 = 1,645; +∞ . 𝑇 ∈ 𝑊𝛼 ⇒ bác bỏ 𝐻0, hay kết luận rằng thu nhập trung bình hiện nay lớn hơn thu nhập trung bình năm trước. b) (1 điểm) Ta chọn khoảng tin cậy của 𝜎2 là (𝑛 − 1)𝑆2 𝜒𝛼 2 2(𝑛−1) ; (𝑛 − 1)𝑆2 𝜒 1− 𝛼 2 2(𝑛−1 ) . 𝛼 2 = 1−𝛾 2 = 1−0,95 2 = 0,025;𝜒𝛼 2 2(𝑛−1) = 𝜒0,025 2(99) = 128,4; 𝜒 1− 𝛼 2 2(𝑛−1) = 𝜒0,975 2(99) = 73,4. Từ đây, ta có 0,5616 < 𝜎2 < 0,9824. c) (1,5 điểm) 𝑚 ∶= số hộ gia đình có thu nhập trên 4 triệu đồng 1 tháng trong 1000 hộ. Xác suất để một hộ có thu nhập trên 4 triệu đồng 1 tháng là 𝑝 = 𝑚 1000 . Kích thước mẫu 𝑛 = 400. Tỉ lệ mẫu là 𝑓 = 10+6+5 100 = 0,21. Ta có 𝑛𝑓 > 10 và 𝑛 1 − 𝑓 > 10. Với 𝛾 =0,99, ta có 𝛼 = 1 − 𝛾 = 0,01. 𝑢𝛼 = Φ0 −1 0,5 − 0,01 = Φ0 −1 0,49 ≈ 2,33, 𝑓 − 𝑢𝛼 𝑓(1−𝑓) 𝑛 ≈ 0,21 − 2,33 × 0,21∙0,79 100 ≈ 0,115097. Từ công thức xác định khoảng tin cậy bên phải của 𝑝 ta có 𝑝 > 0,115097, hay 𝑚 > 1000 × 0,115097. Suy ra 𝑚 tối thiểu bằng 116.