Đại số tuyến tính - Chương 5: Không gian Euclid

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng ------------------------------------------------------------------------------------- Đại số tuyến tính Chương 5: Không gian Euclid • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2008) www.tanbachkhoa.edu.vn Nội dung --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5.1 – Tích vô hướng của hai véctơ. Các khái niệm liên quan. 5.3 – Quá trình trực giao hóa Gram – Schmidt. 5.2 – Bù vuông góc của không gian con. 5.4 – Hình chiếu vuông góc, khoảng cách đến không gian con. 5.1 Tích vô hướng --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Định nghĩa tích vô hướng Tích vô hướng trong R-kgvt V là một hàm thực sao cho mỗi cặp véctơ u và v thuộc V, tương ứng với một số thực ký hiệu (u,v) thỏa 4 tiên đề sau: a. ( , ) ( , ) ( , )u v V u v v u   b. ( , , w V) ( , ) ( , ) ( , )u v u v w u w v w     c. ( , , ) ( , ) ( , )R u v V u v u v       d. ( ) ( , ) 0;( , ) 0 0u V u u u u u      Không gian thực hữu hạn chiều cùng với một tích vô hướng trên đó được gọi là không gian Euclid. Giải. 5.1. Tích vô hướng ----------------------------------------------------------------------------------------------------- Trong không gian cho qui tắc 2R Ví dụ 1 2 2 1 2 2( , ) ; ( , )x x x R y y y R      1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2( , ) (( , ),( , )) 2 2 10x y x x y y x y x y x y x y     1. Chứng tỏ (x,y) là tích vô hướng. 2. Tính tích vô hướng của hai véctơ (2,1), (1, 1)u v   2. Tính tích vô hướng của hai véctơ là (2,1), (1, 1)u v   ( , ) ((2,1),(1, 1))u v   2.1 2.2.( 1) 2.1.1 10.1.( 1) 10        5.1. Tích vô hướng ----------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ 2 2 1 1 1 2 2 2 2( ) ; ( ) [x].p x a x b x c q x a x b x c P        Trong không gian cho qui tắc 2[x]P 1 0 ( , ) ( ) ( )p q p x q x dx  1. Chứng tỏ (p,q) là tích vô hướng. 2. Tính tích vô hướng của 2( ) 2 3 1, ( ) 1p x x x q x x     1 0 ( , ) ( ). ( )p q p x q x dx  1 2 0 (2 3 1)( 1)x x x dx    1 6  2. Tích vô hướng của hai véctơ (p,q) là 5.1. Tích vô hướng ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ -- Định nghĩa độ dài véctơ Độ dài véctơ u là số thực dương ký hiệu bởi ||u|| và được định nghĩa như sau || || ( , )u u u Véctơ có độ dài bằng 1 gọi là véctơ đơn vị. Chia một véctơ cho độ dài của nó ta được véctơ đơn vị. Quá trình tạo ra véctơ đơn vị được gọi là chuẩn hóa. 5.1. Tích vô hướng ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ -- Bất đẳng thức tam giác. Cho hai véctơ u và v của không gian Euclid V. || || || || || || u v u v   Bất đẳng thức Cauchy-Schwatz Trong không gian Euclid V, ta có bất đẳng thức sau | ( , ) | || || . || ||u v u v dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi u và v phụ thuộc tuyến tính. 5.1. Tích vô hướng ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ -- Định nghĩa khoảng cách giữa hai véctơ Cho hai véctơ u và v của không gian Euclid V, khoảng cách giữa hai véctơ u và v, ký hiệu bởi d(u,v), là độ dài của véctơ u – v. Vậy d(u,v) = ||u – v|| Định nghĩa góc giữa hai véctơ Cho hai véctơ u và v của không gian Euclid V. Góc giữa hai véctơ u và v là đại lượng thỏa  ( , ) cos || || . || || u v u v   Trong không gian cho qui tắc 5.1. Tích vô hướng ----------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ 1 2 3 3 1 2 3 3( , , ) ; ( , , )x x x x R y y y y R      3R 1 2 3 1 2 3( , ) (( , , ), ( , , ))x y x x x y y y 1. Chứng tỏ (x,y) là tích vô hướng. 2. Tính tích vô hướng của hai véctơ (2,1,0), (3, 2,4)u v   1 1 1 2 2 1 2 2 3 35 2 2 3x y x y x y x y x y     2. ( , ) ((2,1,0), (3, 2,4)) u v   5.2.3 2.2.( 2) 2.1.3 3.1.( 2) 0.4       ( , ) 22.u v  Trong không gian cho qui tắc 5.1. Tích vô hướng ----------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ 1 2 3 3 1 2 3 3( , , ) ; ( , , )x x x x R y y y y R      3R 1 2 3 1 2 3( , ) (( , , ), ( , , ))x y x x x y y y 1 1 1 2 2 1 2 2 3 35 2 2 3x y x y x y x y x y     3. Tìm độ dài của véctơ (3,2,1)u  || || ( , )u u u ((3,2,1),(3,2,1)) || || 5.3.3 2.3.2 2.2.3 3.2.2 1.1u      || || 82u  Chú ý: So sánh với độ dài véctơ ở phổ thông! Cùng một véctơ nhưng “dài” hơn!!! 5.1. Tích vô hướng ----------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ 1 2 3 3 1 2 3 3( , , ) ; ( , , )x x x x R y y y y R      Trong không gian cho qui tắc 3R 1 2 3 1 2 3( , ) (( , , ), ( , , ))x y x x x y y y 1 1 1 2 2 1 2 2 3 35 2 2 3x y x y x y x y x y     4. Tìm khoảng cách giữa hai véctơ (1,2,1) (3,0,2) vaø u v  ( , ) || ||d u v u v  ( , )u v u v   (( 2,2, 1),( 2,2, 1))     ( , ) 5.( 2).( 2) 2.( 2).2 2.2.( 2) 3.2.2 1.1d u v          ( , ) 17d u v  Chú ý: So sánh với khoảng cách giữa hai véctơ ở phổ thông. Khoảng cách giữa hai điểm “lớn” hơn!!! Trong không gian cho qui tắc 5.1. Tích vô hướng ----------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ 1 2 3 3 1 2 3 3( , , ) ; ( , , )x x x x R y y y y R      3R 1 2 3 1 2 3( , ) (( , , ), ( , , ))x y x x x y y y 1 1 1 2 2 1 2 2 3 35 2 2 3x y x y x y x y x y     5. Tìm góc giữa hai véctơ (1,0,1) (2,1,0) vaø u v  ( , ) cos || || . || || u v u v   12 12 6. 31 186   12 arccos 186 a  5.1. Tích vô hướng --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Cho hai véctơ p(x) và q(x) của R-Kgvt P2[x], đặt 1. Chứng tỏ (p,q) là tích vô hướng. 1 1 ( , ) ( ) ( )p q p x q x dx    2. Tính (p,q) với 2( ) 2 3 1; ( ) 3p x x x q x x     1 1 ( , ) ( ). ( )p q p x q x dx    1 2 1 (2 3 1)( 3)x x x dx      12  5.1. Tích vô hướng ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Cho hai véctơ p(x) và q(x) của R-Kgvt P2[x], đặt 1 1 ( , ) ( ) ( )p q p x q x dx    3. Tìm độ dài của véctơ ( ) 2 3p x x  || || ( , )p p p 1 1 ( ). ( )p x p x dx    1 2 1 (2 3)x dx    62 3  5.1. Tích vô hướng --------------------------------------------------------------------------------------------------------- Cho hai véctơ p(x) và q(x) của R-Kgvt P2[x], đặt 1 1 ( , ) ( ) ( )p q p x q x dx    4. Tính khoảng cách giữa hai véctơ p(x) và q(x) với 2 2( ) 2; ( ) 2 3p x x x q x x x      ( , ) || ||d p q p q  ( , )p q p q   (3 1,3 1)x x   1 2 1 (3 1)x dx    2 2 5.1. Tích vô hướng ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Cho hai véctơ p(x) và q(x) của R-Kgvt P2[x], đặt 1 1 ( , ) ( ) ( )p q p x q x dx    5. Tính góc giữa hai véctơ 2( ) ; ( ) 2 3p x x x q x x    ( , ) cos || || . || || p q p q   1 1 1 1 1 1 2 2 p(x)q(x)dx [p(x)] dx [q(x)] dx        5.2. Tích vô hướng --------------------------------------------------------------------- Định nghĩa Véctơ x vuông góc với tập hợp M, nếu ( ) x yy M   Định nghĩa sự vuông góc Hai vectơ u và v được gọi là vuông góc nhau, nếu (u,v) = 0, ký hiệu u v 5.1. Tích vô hướng ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ -- Định nghĩa họ trực giao Tập hợp con M của không gian Euclid V được gọi là họ trực giao, nếu ( , ) ( ) . thì x y M x y x y    Định nghĩa họ trực chuẩn Tập hợp con M của không gian Euclid V được gọi là họ trực chuẩn, nếu 1. tröïc giao.M 2. || || 1. ( ) x M x   5.1. Tích vô hướng ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ -- Mệnh đề Véctơ x vuông góc với không gian con F khi và chỉ khi x vuông góc với tập sinh của F. Chứng minh. Hiển nhiên. Giả sử x vuông góc với tập sinh 1 2, ,..., .mf f f f F  1 1 2 2 ... m mf f f f       Xét tích vô hướng ( , )x f 1 1 2 2( , ... )m mx f f f      1 1 2 2( , ) ( , ) ( , ) ... ( , )m mx f x f x f x f       ( , ) 0x f  hay x vuông góc f. Vậy x vuông góc với F. 5.1. Tích vô hướng --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Trong không gian R3 với tích vô hướng chính tắc cho không gian con Ví dụ  1 2 31 2 3 1 2 3 0 ( , , ) 2 3 0 x x x F x x x x x x           cho véctơ x = ( 2, 3, m). Tìm tất cả m để x vuông góc với F. Bước 1. Tìm tập sinh của F {(4,-3,1)} Bước 2. vuoâng goùc vôùi taäp sinh cuûa .x F x F  (4, 3,1)x   ((2,3, ),(4, 3,1)) 0m   4.2 ( 3).3 1. 0m     chú ý tích vô hướng!! 1.m  5.2. Bù vuông góc của không gian con ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ -- Định nghĩa bù vuông góc của không gian con Cho không con F của không gian Euclid V. Tập hợp |{ }F x V x F    được gọi là bù vuông góc của không gian con F. Định lý 1. laø khoâng gian con cuûa V.F 2. dim( ) dim( ) dim F F V  Cho không con F của không gian Euclid V. Khi đó 5.2. Bù vuông góc của không gian con ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ -- Bước 1. Tìm một tập sinh của F. Giả sử đó là Bước 2. Tìm không gian con bù vuông góc. Các bước tìm cơ sở và chiều của không gian F 1 2, ,...,{ }mf f f y F  y F  vuoâng goùc vôùi taäp sinh cuûa y F 1 2 ... m y f y f y f         1 2 ( , ) 0 ( , ) 0 ... ( , ) 0m y f y f y f         laø khoâng gian nghieäm cuûa heä.F 0.heä thuaàn nhaát AX  5.2. Bù vuông góc của không gian con ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ -- Ví dụ. Cho là không gian con của R3. Tìm cơ sở và chiều của . (1,1,1),(2,1,0),(1,0, 1)F    F Giải. 1 2 3( , , )x x x x F x F      (1,1,1) (2,1,0) (1,0, 1) x x x        1 2 3 2 x x x           (1, 2,1)F    cơ sở: {(1,-2,1)}; Dim =1. F  1 2 3 1 2 1 3 0 2 0 0 x x x x x x x           ( , 2 , ) (1, 2,1)x         5.2. Bù vuông góc của không gian con ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ -- Ví dụ. Cho F  1 2 3 3 1 2 3 1 2 3( , , ) | 0 & 2 0F x x x R x x x x x x        là không gian con của R3. Tìm cơ sở và chiều của . Giải. Bước 1. Tìm tập sinh của F. 1 2 3( , , )x x x x F   1 2 3 2 3 x x x           Bước 2. Tương tự như ở ví dụ trước. Vậy tập sinh của F là {(2,-3,1)} 1 2 3 1 2 3 0 2 0 x x x x x x         (2 , 3 , ) (2, 3,1)x         5.2. Bù vuông góc của không gian con ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- Định lý Cho S= {u1, u2, ..., um} là tập hợp con, trực giao, không chứa véctơ không của không gian Euclid V. Khi đó S độc lập tt. Chứng minh (bằng định nghĩa của độc lập tuyến tính) Giả sử 1 1 2 2 ... 0m mu u u      Khi đó 1 1 1 2 2( , ... )m mu u u u     1( ,0) 0u  1 1 1 2 1 2 1( , ) ( , ) ... ( , ) 0m mu u u u u u       1 1 1( , ) 0u u  vì S không chứa véctơ 0 nên 1 1( , ) 0u u  1 0  Tương tự ta chứng minh được 2 3 ... 0m      Vậy S độc lập tuyến tính. 5.2. Bù vuông góc của không gian con ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ -- Chứng minh. Định lý Giả sử E = {e1, e2, ..., en} là cơ sở trực chuẩn của không gian Euclid V. Khi đó với mọi , x có thể biễu diễn duy nhất ở dạng x = x1e1 + x2e2 + ... + xnen với ( , )i ix x e x V 1 1 2 2 ... n nx V x x e x e x e      khi đó 1 1 2 2( , ) ( ... , )i n n ix e x e x e x e e    1 1 2 2( , ) ( , ) ( , ) ... ( , )i i i n n ix e x e e x e e x e e    vì E là cơ sở trực chuẩn nên 0, ( , ) 1, neáu neáu i j i j e e i j     vậy ta có ( , )i ix x e 5.2. Bù vuông góc của không gian con ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ -- Ví dụ 1 1 2 1 1 1 1 1 , , ; , ,0 ; , , 6 6 6 2 2 3 3 3 E                     Cho cơ sở trực chuẩn của không gian Euclid V Tìm tọa độ của véctơ trong cơ sở E. (3, 2,1)v   1 2 3 [ ]E v v v v           1 1 2 2 3 3v v e v e v e    1 1( , )v v e 3 ; 6  2 2( , )v v e 1 ; 2  3 3( , )v v e 6 3  5.2. Bù vuông góc của không gian con ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ -- 1 2{ , ,..., }nE e e e Cho cơ sở trực chuẩn của không gian Euclid V Cho hai véctơ của V: 1 1 2 2 .. n nx x e x e x e    1 1 2 2 .. n ny y e y e y e    Xét tích vô hướng của x và y: 1 1 2 2 1 1 2 2.. ..(x,y)=( , )n n n nx e x e x e y e y e y e      1 1 1 1 2 2 2 2( , ) ( , ) .. ( ,(x,y)= )n n n nx y e e x y e e x y e e   1 1 2 2 ..(x,y)= n nx y x y x y   Khi làm việc với cơ sở trực chuẩn thì công việc tính tích vô hướng của hai véctơ rất nhanh gọn!! 5.3 Quá trình trực giao hóa Gram-Schmidt ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ -- Khi làm việc với không gian Euclid V, ta làm việc với cơ sở của không gian véctơ. Theo định lý trên và ví dụ ở slide trước ta thấy nếu cơ sở là trực chuẩn thì công việc tính toán rất nhanh (tính tọa độ, tính tích vô hướng của hai véctơ, tính độ dài, khoảng cách, ) Yêu cầu đặt ra: tìm một cơ sở trực chuẩn của không gian Euclid V. Bước 1. Trước hết, ta chọn một cơ sở tùy ý E của V. Bước 2. Dùng quá trình Gram – Schdmidt sau đây đưa E về cơ sở trực giao. Bước 3. Chia mỗi véctơ cho độ dài của nó ta được cơ sở trực chuẩn. 5.3 Quá trình trực giao hóa Gram-Schmidt -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Quá trình Gram – Schmidt là quá trình đơn giản dùng để tìm một cơ sở trực giao, sau đó là cơ sở trực chuẩn cho một không gian con của không gian Euclid. Cho là họ độc lập tuyến tính của không gian Euclid V. Định lý (quá trình Gram – Schmidt) 1 2, ,...,{ }mE e e e 1 2, ,...,{ }mF f f f Khi đó có thể xây dựng từ E một họ trực giao sao cho 1 2 1 2, ,..., , ,...,m mf f f e e e   5.3 Quá trình trực giao hóa Gram-Schmidt -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Quá trình trực giao hóa Gram – Schmidt Chọn 1 1f e 2 1 2 2 1 1 1 ( , ) ( , ) e f f e f f f    3 1 3 2 3 3 1 2 1 1 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) e f e f f e f f f f f f    1 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) k k k k k k k k k e f e f e f f e f f f f f f f f f          Khi đó {f1, f2, ..., fm} là cơ sở trực giao của W. Tìm 2 2 1 1f e f  2 1 2 1 1 1 1( , ) ( , ) ( , )f f e f f f   2 1 1 1 10 ( , ) ( , )e f f f   2 1 1 1 1 ( , ) ( , ) e f f f    3 3 3 1 1 2 2Tìm ôû daïng f f e f f    5.3 Quá trình trực giao hóa Gram-Schmidt -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ Trong cho họ đltt E= {(1,0,1,1), ), (0,1,1,1), (1,1,1,1)} Dùng quá trình Gram –Schmidt tìm họ trực giao, họ trực chuẩn. 4R 1 2 3{ , , }F f f f 1 1 (1,0,1,1)f e  Chọn 2 1 2 2 1 1 1 ( , ) ( , ) e f f e f f f   Tìm 3 1 3 2 3 3 1 2 1 1 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) e f e f f e f f f f f f    Tìm 2 (0,1,1,1) (1,0,1,1) 3   2 1 1 ( ,1, , ) 3 3 3   Chọn 2 ( 2,3,1,1)f   2 2 1 1 ( , , , ) 5 5 5 5    Chọn 3 (2,2, 1, 1)f    Họ trực giao cần tìm 1 2 3, ,{ }F f f f Chia mỗi vectơ cho độ dài của nó ta được họ trực chuẩn 1 1 1 2 3 1 1 2 2 1 1 ,0, , , , , , , , , , 3 3 3 15 15 15 15 10 10 10 10                        5.3 Quá trình trực giao hóa Gram-Schmidt -------------------------------------------------------------------------------------------------- Bước 1. Chọn một cơ sở tùy ý của F: Bước 3. Cơ sở trực chuẩn là: 2 1 1 2 5 1 6 , , ,0 , , , , 6 6 6 66 66 66 66                 Trong không gian R4 với tích vô hướng chính tắc cho không gian con Ví dụ  1 2 3 41 2 3 4 1 2 3 4 0 ( , , , ) 2 3 3 0 x x x x F x x x x x x x x             Tìm chiều và một cơ sở trực chuẩn của F. (2, 1,1,0);(0, 1,0,1){ }E    Bước 2. Dùng quá trình Gram Schmidt đưa E về cơ sở trực giao 1 2,{ }F f f 1 1 (2, 1,1,0)f e   Chọn Tìm ở dạng 2f 2 1 2 2 1 1 1 ( , ) ( , ) e f f e f f f   (2,5,1, 6)  5.4. Hình chiếu vuông góc, khoảng cách. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Trong không gian Euclid V cho không gian con F và một véctơ v tùy ý. Véctơ v có thể biễu diễn duy nhất dưới dạng: | & v f g f F g F    véctơ f được gọi là hình chiếu vuông góc của v xuống F: prFf v Nếu coi véctơ v là một điểm, thì độ dài của véctơ g là khoảng cách từ v đến không gian con F. ( , ) || || || ||d prFv F g v v   5.4. Hình chiếu vuông góc, khoảng cách. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bài toán. Cho không gian con F và một vectơ v. 1) Tìm hình chiếu vuông góc của v xuống F. Giải câu 1). Tìm một cơ sở của F. Giả sử đó là: v f g  2) Tìm khoảng cách từ v đến F. 1 2, ,...,{ }mf f f 1 1 2 2 ... m mx f x f x f g     1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 ( , ) ( , ) ... ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ... ( , ) ( , ) ( , ) ... ... ... ( , ) ( , ) ... ( , ) ( , ) ( , ) m m m m m m m m m m m x f f x f f x f f g f v f x f f x f f x f f g f v f x f f x f f x f f g f v f                    Giải hệ tìm 1 2, ,..., mx x x 1 1 2 2 ...prF m mv f x f x f x f     câu 2). ( , ) || || || ||prFd v F g v v   5.4. Hình chiếu vuông góc, khoảng cách. -------------------------------------------------------------------------------------------------- Trong không gian R4 với tích vô hướng chính tắc cho không gian con Ví dụ  1 2 3 41 2 3 4 1 2 3 4 0 ( , , , ) 2 3 3 0 x x x x F x x x x x x x x             1) Tìm hình chiếu vuông góc của véctơ xuống F. (1,1,0,1)x  2) Tìm khoảng cách từ véctơ đến F. (1,1,0,1)x  1). Tìm một cơ sở của F: 1 2(2, 1,1,0), ( 2,1,0,1){ }E f f     1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) x f f x f f x f x f f x f f x f      1 2 1 2 6 5 1 5 6 1 x x x x         1 2 1 1 , 11 11 x x     1 1 2 2Fpr x x f x f   4 2 1 1 ( , , , ) 11 11 11 11    2). ( , ) || || || ||d prFx F g x x   7 13 1 12 , , , 11 11 11 11       3 2) Tìm khoảng cách từ đến F. 5.4. Hình chiếu vuông góc, khoảng cách. --------------------------------------------------------------------------------------------------------- Trong không gian véctơ P2[x] với tích vô hướng 1 0 ( , ) ( ) ( )p q p x q x dx  Cho không gian con Ví dụ ( ) | (1) 0{ }F p x p  1) Tìm hình chiếu của xuống F. 2( ) 2 1f x x x   2( ) 2 1f x x x   1). Tìm một cơ sở của F: 21 2, 1{ }E f x x f x     1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) f f f f f f f f f f f f          Sử dụng tích vô hướng đã cho, tìm hệ ptrình, giải, tìm 1 2,  Suy ra hình chiếu vuông góc và khoảng cách.