Công thức nghiệm của hệ động lực suy biến không dừng có điều khiển - Vi Diệu Minh

T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 2(46) Tập 2/N¨m 2008 105 CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA HỆ ĐỘNG LỰC SUY BIẾN KHÔNG DỪNG CÓ ĐIỀU KHIỂN Vi Diệu Minh-Trần Thiện Toản (Trường ĐH Sư phạm- ĐH Thái Nguyên) Mục đích của bài báo này là đưa ra công thức nghiệm dạng tường minh cho hệ động lực có điều khiển mô tả bởi phương trình vi phân hoặc sai phân suy biến tuyến tính không dừng nhằm áp dụng vào nghiên cứu các tính chất định tính (tập đạt được, tính điều khiển được và quan sát được) của các hệ này. 1. Hệ phương trình vi phân suy biến tuyến tính với ma trận lũy linh Xét phương trình vi phân tuyến tính suy biến dạng ( ) ( ) ( ) ( )Nx t x t B t u t= +ɺ , 0t ≥ , (1) trong đó N là ma trận vuông cấp 2n , không phụ thuộc vào t và là ma trận lũy linh bậc h , tức là 2 0h nN = với 20n là ma trận vuông cấp 2n có tất cả các thành phần bằng 0; ( )x t là một hàm khả vi hầu khắp nơi nhận giá trị trong không gian 2nℝ và thỏa mãn phương trình (1) hầu khắp nơi (là nghiệm của phương trình vi phân suy biến (1)); ( )B t là ma trận cấp 2n m× và ( )u t là vectơ hàm m chiều. Trước tiên ta chứng minh Bổ đề sau. Bổ đề 1. Giả sử ( )B t và ( )u t tương ứng là ma trận hàm và vectơ hàm có các thành phần là các hàm khả vi liên tục đến cấp h , trong đó h là bậc của ma trận lũy linh N . Khi ấy với mọi 1 k h≤ ≤ ta có 1( ) 1 ( 1) 1 ( 1 ) ( ) 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) k k k k k k i k i i k i N x t N x t N C B t u t − − − − − − − = = + ∑ , (2) trong đó ( ) ( )kx t là đạo hàm cấp k của vectơ hàm ( )x t , tương tự, ( )( )iu t là đạo hàm cấp i của vectơ hàm ( )u t , còn ( )( )sB t là đạo hàm cấp s của ma trận ( )B t , ! !( )! i k k C i k i = − với 0 i k≤ ≤ . Chứng minh. Nhân phương trình (1) với ma trận N rồi lấy đạo hàm hai vế ta được: ( )2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )N x t Nx t N B t u t B t u t= + +ɺɺɺ ɺ ɺ . Lại tiếp tục nhân phương trình này với N rồi lấy đạo hàm hai vế ta được: ( )3 2 2 2 2 2 (2 ) ( ) 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).i i i i N x t N x t N B t u t B t u t B t u t B t u t N x t N C B t u t− = = + + + + = + ∑ ɺɺ ɺ ɺɺɺɺ ɺɺ ɺ ɺ ɺɺ ɺɺ Như vậy, công thức (2) đúng với 1,2,3s = . Giả sử công thức (2) đúng với mọi s k h≤ < . Ta sẽ chứng minh nó đúng với 1s k= + . Thật vậy, theo qui nạp ta có 1( ) 1 ( 1) 1 ( 1 ) ( ) 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) k k k k k k i k i i k i N x t N x t N C B t u t − − − − − − − = = + ∑ . Nhân phương trình này với N rồi lấy đạo hàm hai vế ta được: T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 2(46) Tập 2/N¨m 2008 106 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 ( 1) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 1) 1 0 ( ) 0 ( ) 0 1 ( 1) 1 1 1 1 2 ( 2) 1 ( ) ( ) 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) .. k k k k k k i k i i k i i k i k k k k k k k k k k k k s s k s s k k k k N x t N x t N C B t u t B t u t N x t N C B t u t N C C B t u t N C C B t u t N C C B t u t − + + − − − + − = − − − − − − − − − − − = + + = + + + + + + + + + ∑ ɺ ɺɺ ( )2 1 ( 1) 1 ( )1 1 1. ( ) ( ) ( ) ( ).k k k k k k kk k kN C C B t u t N C B t u t− − − −− − −+ + +ɺ Nhưng 1 1 1 s s s k k kC C C − − − + = nên 1 ( 1) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ). k k k k k k s k s s k s N x t N x t N C B t u t+ + − = = + ∑ Vậy theo qui nạp, công thức (2) được chứng minh. Từ Bổ đề 1 ta có công thức nghiệm sau đây của hệ (1). Mệnh đề 1. Giả sử ( )B t là ma trận hàm và ( )u t vectơ hàm có các thành phần là các hàm khả vi liên tục đến cấp h . Khi ấy nghiệm của (1) được tính theo công thức 1 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) h k k k x t F t u t − = = ∑ , (3) trong đó 1 ( )( ) ( ) h s k s k k s s k F t N C B t − − = = −∑ . Chứng minh. Viết lại (2) với 1,2,...,k h= ta được 0 0( ) ( ) ( ) ( )Nx t x t C B t u t= +ɺ ; 2 0 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )N x t Nx t NC B t u t NC B t u t= + +ɺɺɺ ɺ ɺ ; . 1( ) 1 ( 1) 1 ( 1 ) ( ) 1 0 1 ( 1) 1 0 ( 1) 1 1 ( 2) 1 1 1 ( 1 ) ( ) 1 1 ( 1) 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ... ( ) ( ). k k k k k k i k i i k i k k k k k k k k k i k i i k k k k k N x t N x t N C B t u t N x t N C B t u t N C B t u t N C B t u t N C B t u t − − − − − − − = − − − − − − − − − − − − − − − − = + = + + + + + + ∑ ɺ 1( ) 1 ( 1) 1 ( 1 ) ( ) 1 0 1 ( 1) 1 0 ( 1) 1 1 ( 2) 1 1 1 ( 1 ) ( ) 1 1 ( 1) 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ( ). h h h h h h i h i i h i h h h h h h h h h i h i i h h h h h N x t N x t N C B t u t N x t N C B t u t N C B t u t N C B t u t N C B t u t − − − − − − − = − − − − − − − − − − − − − − − − = + = + + + + + ∑ ɺ T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 2(46) Tập 2/N¨m 2008 107 Cộng vế với vế các đẳng thức này và để ý đến tính chất lũy linh của ma trận N , tức là 0hN = , sau khi nhóm các số hạng ở hai vế, ta được 1 1 1 0 ( ) 1 ( 1) ( ) ( ) 0 1 1 1 ( 1) ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). h h h s s s s s k s k k s s s s s s k h h h k k k x t N C B t u t N C B t u t N C B t u t N B t u t x t F t u t − − − − − = = = − − − = = + + + + + + = − ∑ ∑ ∑ ∑ ɺ Từ đây suy ra 1 ( ) 0 ( ) ( ) ( ). h k k k x t F t u t − = = ∑ Vậy Mệnh đề 1 được chứng minh. Trong trường hợp ( )B t B≡ là ma trận hằng ta có Hệ quả 1 ([2], trang 17) Giả sử ( )B t B≡ là ma trận hằng và ( )u t vectơ hàm có các thành phần là các hàm khả vi liên tục đến cấp h . Khi ấy nghiệm của phương trình ( ) ( ) ( )Nx t x t Bu t= +ɺ (4) được tính theo công thức 1 ( ) 0 ( ) ( ) h k k k x t N Bu t − = = −∑ . (5) Chứng minh. Khi ( )B t B≡ thì 1 ( )( ) ( ) h s k s k k k k k s k s k F t N C B t N C B N B − − = = − = − = −∑ nên ta có ngay công thức (5). 2. Công thức nghiệm của phương trình vi phân suy biến tuyến tính có điều khiển Trong mục này ta sẽ đưa ra công thức nghiệm cho phương trình vi phân tuyến tính suy biến dạng ( ) ( ) ( )Ex t Ax B t u t= +ɺ . (6) Định nghĩa 1. Cặp ma trận , n nE A ×∈ℝ được gọi là chính quy nếu tồn tại một số phức α ∈ℂ không đổi sao cho 0E Aα + ≡/ hoặc đa thức 0sE A− ≡/ . Bổ đề 2 (Bổ đề 1-2.2, [2], trang 7) Cặp ma trận ( ),E A là chính quy nếu và chỉ nếu tồn tại hai ma trận không suy biến P và Q sao cho 1 ( , )nQEP diag I N= , 1 2( , )nQAP diag A I= , trong đó 1 2n n n+ = , 11 1 n nA ×∈ℝ , 1n I và 2n I là hai ma trận đơn vị tương ứng cấp 1n và 2n ; 2 2 n nN ×∈ℝ là ma trận lũy linh. Bổ đề 2 chỉ ra rằng với giả thiết không suy biến của cặp ma trận ( ),E A , hệ (6) có thể viết dưới dạng sau: T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 2(46) Tập 2/N¨m 2008 108 1 1 1 1 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ), (7 ) ( ) ( ) ( ) ( ). (7 ) x t A x t B t u t a Nx t x t B t u t b = +  = + ɺ ɺ (7) Từ nay về sau, ta luôn giả thiết cặp ma trận ( ),E A là chính qui. Khi ấy để nghiên cứu hệ (6) ta chỉ cần nghiên cứu hệ (7). Hệ (7a) là hệ phương trình vi phân thường có điều khiển. Nó đã được nghiên cứu kĩ trong các tài liệu về lý thuyết điều khiển. Cụ thể, với mỗi điều kiện ban đầu 110 nx ∈ℝ và mỗi hàm đo được cho trước ( )u t , 0t ≥ , nghiệm của (7a) có dạng (xem, thí dụ, [3], [5]): ( )1 1 1 10 1 0 ( ) ( ) ( ) t A t A t s s x t e x e B s u s ds− = = + ∫ . (9a) Theo Mệnh đề 1, nghiệm của hệ (7b) được tính theo công thức sau 1 1 1( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h h h k s k s k k k s k k s k x t F t u t N C B t u t − − − − = = =   = = −     ∑ ∑ ∑ . (9b) Như vậy, nghiệm 1 2 ( )( ) ( ) x t x t x t   =     của (7) hoàn toàn tính được tường minh theo công thức (9a) và (9b). Ta nói nghiệm (9) tương ứng với điều khiển ( )u t đã chọn. Chúng ta cũng lưu ý rằng, để có được công thức (9b) (công thức (3)), ta đã phải giả thiết ( )B t và ( )u t có các thành phần là các hàm khả vi liên tục đến cấp h , mặc dù đối với sự tồn tại duy nhất nghiệm của (9a), thì chỉ cần tính chất đo được của hàm ( )u t . 3. Công thức nghiệm của phương trình sai phân suy biến tuyến tính có điều khiển Trong mục này ta sẽ đưa ra công thức nghiệm tường minh cho hệ phương trình sai phân suy biến tuyến tính có điều khiển sau ( 1) ( ) ( ) ( )Ex k Ax k B k u k+ = + , 0,1,2,...k = (10) Ở đây, các ma trận , , ( )E A B k và các vectơ ( ), ( )x k u k có số chiều tương ứng như trong mục 2. Nếu đặt ( ) ( )x k Px k= ɶ thì (10) có thể viết thành ( 1) ( ) ( ) ( )Ex k Ax k B k u k+ = +ɶ ɶ , 0,1,2,...k = (10’) Giả sử ( ),E A là cặp ma trận chính qui. Khi ấy theo Bổ đề 2, tồn tại hai ma trận không suy biến P và Q sao cho 1 ( , )nQEP diag I N= , 1 2( , )nQAP diag A I= , trong đó 1 2n n n+ = , 11 1 n nA ×∈ℝ , 1n I và 2n I là hai ma trận đơn vị tương ứng cấp 1n và 2n ; 2 2n nN ×∈ℝ là ma trận lũy linh. Như vậy, với điều kiện ( ),E A là cặp ma trận chính qui, bao giờ ta cũng đưa được hệ (10) về dạng T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 2(46) Tập 2/N¨m 2008 109 1 1 1 1 2 2 2 ( 1) ( ) ( ) ( ); (11 ) ( 1) ( ) ( ) ( ). (11 ) x k Ax k B k u k a Nx k x k B k u k b  + = +   + = + (11) Hệ (11a) là hệ phương trình sai phân thường, nó đã được nghiên cứu tương đối kĩ trong các tài liệu. Với với mỗi điều kiện ban đầu 110 n x ∈ℝ và mỗi dãy điều khiển cho trước ( ), 0,1,2,...u k k = , nghiệm của (11a) có dạng (xem, thí dụ, [2], [4]): 1 1 1 1 10 1 1 0 ( ) ( ) ( ) k k k i i x k A x A B i u i − − − = = +∑ . (12a) Giả sử 0L > là một số cố định cho trước. Xét hệ (11b) với 0,1,2,...,k L= . Ta có: ( ) 1 1 2 2 2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 ( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 2) ( 2) ( 2) ( 1) ( 1) ( 3) ( 3) ( 3) ( 2) ( 2) ( 1) ( 1) ... L k L k L k L k L k L k L k L k L k L k L k N x L N x L N B L u L N Nx L N B L u L N Nx L N B L u L N B L u L N x L B L u L N B L u L N B L u L x − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − = − + − − = − + − − = − + − − + − − = − + − − + − − + − − = = 1 2 2 0 ( ) ( ) ( ) L k i i k N B k i u k i − − = + + +∑ Suy ra : 1 2 2 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) L k L k i i x k N x L N B k i u k i − − − = = − + +∑ . (12b) Như vậy, nghiệm của phương trình sai phân suy biến tuyến tính không dừng (11) được tính tường minh theo công thức 12 (các công thức (12a) và (12b)). Trong trường hợp ( )B k B≡ công thức (12b) trở thành (xem [2], trang 233): L-k-1 L-k i 2 2 2 i=0 x (k)=N x (L)- N B u(k+i)∑ . 4. Kết luận Bài báo trình bày chứng minh công thức nghiệm của hệ phương trình vi phân và sai phân suy biến tuyến tính không dừng. Các công thức này cho thấy rõ hơn sự khác biệt của phương trình vi phân và sai phân suy biến so với phương trình vi phân hoặc sai phân thường. Thí dụ, đối với phương trình vi phân suy biến, để đảm bảo tính duy nhất nghiệm (khi đã chọn điều khiển), chỉ cần điều kiện ban đầu 10x nằm trong không gian con 1nℝ (không đòi hỏi điều kiện 0 nx ∈ ℝ như trong phương trình vi phân thường). Với phương trình sai phân suy biến, để bảo đảm hệ có duy nhất nghiệm, cần điều kiện đầu 110 nx ∈ ℝ và điều kiện cuối 1 2( ) nx L ∈ ℝ . Ngoài ra, các công thức này tỏ ra rất có ích khi nghiên cứu các tính chất định tính (tập đạt được, tính điều khiển được, tính quan sát được) của hệ điều khiển tuyến tính không dừng (xem [6]). T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 2(46) Tập 2/N¨m 2008 110 Summary In this talk, we give some explicite formulas of solution of singular differential and difference systems. These formulas are very useful for studying the qualitative properties of singular systems. Tài liệu tham khảo [1] Ravi P. Agarwal (2000), Difference Equations and Inequalities. Theory, Methods, and Applications, (In: A Serie of Monographs and Textbooks Pure and Applied Mathematics, Marcel Dekker, Inc., New York, 2000 (Second Edition). [2] L. Dai (1989), Singular Control Systems, Springer-Verlag, [3] E. B. Lee, L. Markus (1986), Foundation of Optimal Control Theory, Robert E. Krieger Publishing Company, Florida. [4] Vu Ngoc Phat (1996), Constrained Control Problems of Discrete Processes, Wold Scientific Publisher. [5] Vũ Ngọc Phát (2001), Nhập môn lý thuyết điều khiển toán học, Nxb Đại học QG Hà Nội . [6] Tạ Duy Phượng, Vi Diệu Minh, Trần Thiện Toản, Các tính chất định tính của hệ phương trình suy biến tuyến tính không dừng (Bản thảo, 2008, 20 trang).