Cộng hưởng Cyclotron-Phonon trong Graphene Nanoribbon

CỘNG HƯỞNG CYCLOTRON-PHONON TRONG GRAPHENE NANORIBBON PHẠM TÙNG LÂM Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế HUỲNH VĨNH PHÚC Trường Đại học Đồng Tháp Tóm tắt: Trong bài báo này chúng tôi nghiên cứu hiệu ứng cộng hưởng cyclotron-phonon trong graphene nanoribbon nhờ quá trình hấp thụ hai photon khi các electron bị tán xạ bởi phonon quang biên vùng và tâm vùng. Sử dụng phương pháp nhiễu loạn, chúng tôi thu được biểu thức giải tích của độ dẫn chéo. Từ phương pháp số và đồ thị, chúng tôi khảo sát sự phụ thuộc của độ dẫn chéo vào nhiệt độ và từ trường. Sử dụng phương pháp profile, chúng tôi thu được sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ cộng hưởng cyclotron-phonon vào nhiệt độ và từ trường. Kết quả cho thấy rằng độ rộng vạch phổ tăng theo từ trường và nhiệt độ. Từ khóa: cộng hưởng cyclotron-phonon, Graphene nanoribbons 1 GIỚI THIỆU Graphene nanoribbon (GNR) là mạng tinh thể hai chiều có dạng tổ ong được tạo bởi các nguyên tử cacbon, có bề dày một nguyên tử. Hình 1 mô tả mạng tinh thể dạng tổ ong của GNR có biên zigzag dọc theo hướng trục x và biên armchair dọc theo hướng trục y. Điện tử truyền qua graphene tuân theo phương trình Dirac cho các fermion không khối lượng vì mối quan hệ tuyến tính giữa năng lượng và xung lượng giữa chúng [1]. Graphene là một bán dẫn không có vùng cấm [2]. Do đó, graphene nói chung và GNR nói riêng là vật liệu nghiên cứu mang tính thời sự vì những tính chất vật lý độc đáo của nó. Hình 1: Mạng tinh thể dạng tổ ong của GNR có cả biên armchair và biên zigzag. Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế ISSN 1859-1612, Số 01(33)/2015: tr. 71-77 72 PHẠM TÙNG LÂM - HUỲNH VĨNH PHÚC Hiệu ứng cộng hưởng cyclotron-phonon (Phonon-assisted cyclotron resonance-PACR) là một công cụ hữu ích để nghiên cứu tương tác electron-phonon trong hệ bán dẫn thấp chiều khi có mặt từ trường [3, 4, 5]. Hiệu ứng PACR mô tả sự dịch chuyển của electron giữa các mức Landau dựa vào sự hấp thụ photon có kèm theo sự hấp thụ hay phát xạ phonon. Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu lý thuyết hiệu ứng cộng hưởng cyclotron-phonon trong GNR cho cả hai trường hợp K-phonon và Γ-phonon. 2 BIỂU THỨC CỦA ĐỘ DẪN TRONG GRAPHENE NANORIBBON Hàm sóng và phổ năng lượng của hạt tải (electron, lỗ trống) trong GNR có dạng [6] εn,ky =Sn √ 2|n|~eBvF (1− β2)3/4 + ~vFβky, (1) Ψn,ky ∝ exp(ikyy)exp ( − β 2 αy )( Sni|n|−1φ|n|−1(ξ) i|n|φ|n|(ξ) ) , (2) với ξ = (1− β2)1/4 ac [ x+ a2cky − Sn √ 2|n|acβ (1− β2)1/4 ] , (3) số nguyên n là chỉ số mức Landau tương ứng cho electron (n > 0) và lỗ trống (n < 0), ky = 2pi`/Ly (` = 0,± 1,± 2...) là số lượng tử tương ứng với đối xứng dọc theo trục y, Ly là độ dài của GNR theo trục y, φn(ξ) là hàm riêng dao động điều hòa, điện trường phụ thuộc thông số thứ nguyên β được xác định bởi β = E/(vFB) và thỏa mãn điều kiện |β| < 1, vF là vận tốc Fermi với vF = 106 m/s, ac = √ ~/(eB). Biểu thức của tenxơ độ dẫn có dạng như sau [7] σµν = ∫ dε ( − ∂f(ε) ∂ε ) σµν(ε), (µ, ν = x, y) (4) ở đây f(ε) là hàm phân bố Fermi. Từ đó độ dẫn chéo được tính như sau σxx(ε) = σyy(ε) = e2γ2 2~2 D(ε) τ 1 + ω2cτ 2 , (5) trong phương trình trên, D(ε) là mật độ trạng thái được cho bởi biểu thức D(ε) = gνgs|ε| 2piγ2 , (6) CỘNG HƯỞNG CYCLOTRON-PHONON TRONG GRAPHENE NANORIBBON 73 với γ = aγ0 √ 3/2 là tham số vùng, a = 0.246 nm là hằng số mạng, γ0 = 3.03 eV, ωc = γ √ 2/(~ac) là tần số cyclotron, ac = √ ~/(eB), τ là thời gian hồi phục. Thực hiện một số phép tính ta được biểu thức của độ dẫn chéo cho mode K-phonon và Γ-phonon, với µ = K,Γ σµxx =σ µ 0~ωµ (a0 ac )2∑ n,n′ D(εF )C 2 nC 2 n′ × { B1 [ Nµδ(εn′n − ~ωµ − ~Ω) + (Nµ + 1)δ(εn′n + ~ωµ − ~Ω) ] +B2 [ Nµδ(εn′n − ~ωµ − 2~Ω) + (Nµ + 1)δ(εn′n + ~ωµ − 2~Ω) ]} , (7) với σµ0 = e2 ~ D2op 256ρω2µ , εn′n = ~ωc ~vF γ (1− β2)3/4 ( Sn′ √ |n′| − Sn √ |n| ) , B1 = 2m+ j − SnSn′ √ m(m+ j), B2 = a20 8a2c [2 + 6m2 + j(j + 6m)− 2SnSn′(j + 2m) √ m(m+ j)], m = min(|n|, |n′|), j = ||n′| − |n||. Độ dẫn tổng PACR được cho bởi biểu thức σxx = σ K xx + σ Γ xx. (8) Trong phần tiếp theo, chúng tôi sẽ khảo hiệu ứng cộng hưởng cyclotron-phonon và độ rộng vạch phổ bằng phương pháp tính số. 3 KẾT QUẢ TÍNH SỐ VÀ THẢO LUẬN Để làm rõ hơn kết quả thu được từ biểu thức giải tích, chúng tôi sử dụng phương pháp tính số và vẽ đồ thị đối với độ dẫn σµxx cho 2 mode phonon quang (µ = K,Γ) ở biểu thức (7) và độ dẫn tổng σxx ở biểu thức (8). Các thông số được sử dụng là kB = 1.3807× 10−23 J/K, Dop = 1.4 × 109 eV/cm, ρ = 7.7 × 10−8 g/cm2, ~ωK = 162 meV, ~ωΓ = 196 meV, vF = 106 m/s. Các hàm delta trong phương trình (7) mô tả định luật bảo toàn năng-xung lượng. Từ quy tắc lọc lựa, ta thu được điều kiện PACR trong GNR như sau `~Ω = εn′n ± ~ωµ, (9) 74 PHẠM TÙNG LÂM - HUỲNH VĨNH PHÚC trong đó ` = 1 và ` = 2 tương ứng với quá trình hấp thụ 1 photon (hấp thụ tuyến tính) và hấp thụ 2 photon (hấp thụ phi tuyến). Có 3 hình thức của quá trình dịch chuyển PACR [8] - Dịch chuyển chính giữa mức Landau n = 0 và n = ±1,±2,±3, ... - Dịch chuyển đối xứng giữa các mức Landau −n và n′ = +n. - Dịch chuyển bất đối xứng giữa các mức Landau n 0 với |n′| 6= |n|. Trong hình 2a, với ~Ω/~ωc ≥ 1 đỉnh PACR xuất hiện trong quá trình dịch chuyển Hình 2: a) Sự phụ thuộc của σKxx vào ~Ω/~ωc. b) Sự phụ thuộc của σΓxx vào ~Ω/~ωc. Ở đây, a0 = 5 nm, B = 20.7 T, T = 300 K. chính, với ~Ω/~ωc ≥ 1.5 đỉnh PACR xuất hiện trong dịch chuyển đối xứng và với ~Ω/~ωc ≥ 1.8 đỉnh PACR xuất hiện trong dịch chuyển không đối xứng. So với quá trình dịch chuyển chính và dịch chuyển đối xứng thì quá trình dịch chuyển không đối xứng cho đóng góp lớn hơn vào độ dẫn PACR. Trong cả 3 quá trình dịch chuyển, các thành phần phi tuyến cho đóng góp vào độ dẫn PACR nhỏ hơn so với thành phần tuyến tính. Hình 2b mô tả sự phụ thuộc của độ dẫn chéo σΓxx vào ~Ω/~ωc, các kết quả thu được cũng tương tự như tương tác electron với các phonon quang biên vùng. Hình 3 mô tả sự phụ thuộc của độ dẫn tổng σxx vào ~Ω/~ωc tại B = 20.7 T, T = 300 K. Chúng ta có thể thấy rằng, sự tán xạ liên vùng có đóng góp cao hơn cho độ dẫn tổng PACR so với tán xạ nội vùng. Hình 4a mô tả sự phụ thuộc của độ dẫn σxx vào ~Ω/~ωc tại 3 giá trị của nhiệt độ. Từ đồ thị ta nhận thấy rằng, khi ta tăng giá trị của nhiệt độ thì vị trí các đỉnh cộng hưởng không thay đổi, nhưng độ cao của chúng thay đổi. Từ đó, ta có thể khẳng định rằng trong quá trình này, vị trí cộng hưởng không phụ thuộc vào nhiệt độ. Lý do của điều này là trong đối số của hàm delta không chứa thông số nhiệt độ, dẫn tới vị trí CỘNG HƯỞNG CYCLOTRON-PHONON TRONG GRAPHENE NANORIBBON 75 Σxx K Σxx G Σxx K + Σxx G B = 20.7 T T = 300 K 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 Ñ W Ñ Ωc Σ x x H1 0- 4 e2 Ñ L Hình 3: Sự phụ thuộc của σxx = σKxx + σ Γ xx vào ~Ω/~ωc. Ở đây, a0 = 5 nm, B = 20.7 T, T = 300 K. — T = 100 K --- T = 300 K ×-× T = 500 K aL 0.90 0.95 1.00 1.05 1.10 1.15 1.20 ÑWÑΩ c Σ x x H1 0- 4 e2 Ñ L è è è è è è è è è è è è è è è è è è è è è é é é é é é é é é é é é é é é é é é é é é bL 200 250 300 350 400 4 6 8 10 Nhiet do HKL D o ro n g v ac h ph o Hm eV L Hình 4: a) Sự phụ thuộc của σxx vào ~Ω/~ωc tại các giá trị khác nhau của nhiệt độ. b) Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ PACR vào nhiệt độ. Đường chấm tròn màu trắng và màu đen tương ứng với quá trình hấp thụ phi tuyến và quá trình hấp thụ tuyến tính. Ở đây, a0 = 5 nm, B = 20.7 T. của các đỉnh cộng hưởng không phụ thuộc vào nhiệt độ. Đồ thị cũng cho thấy rằng, khi nhiệt độ tăng, tán xạ electron-phonon tăng dẫn tới độ dẫn tăng theo nhiệt độ. Sử dụng phương pháp Profile, chúng tôi tìm được sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ vào nhiệt độ như ở hình 4b. Ngược lại với hệ chuẩn hai chiều, trong đó độ rộng vạch phổ tăng theo nhiệt độ theo quy luật căn bậc hai [3, 4, 5], ở đây chúng ta thấy rằng độ rộng vạch phổ trong GNR tăng rất yếu theo nhiệt độ. Điều này cho thấy rằng nhiệt độ không ảnh hưởng mạnh đến độ rộng vạch phổ trong GNR. Hình 5a mô tả sự phụ thuộc của độ dẫn σxx vào ~Ω/~ωc tại 3 giá trị khác nhau của từ trường. Từ đồ thị ta nhận thấy rằng, khi giá trị của từ trường tăng thì các đỉnh PACR dịch chuyển về phía bên trái đồ thị. Kết quả này là phù hợp, vì khi giá trị của từ trường B tăng thì tần số cyclotron ωc tăng, nên vị trí của đỉnh cộng hưởng phụ 76 PHẠM TÙNG LÂM - HUỲNH VĨNH PHÚC — B = 20 T --- B = 25 T ×-× B = 30 T aL 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 ÑWÑΩc Σ x x H1 0- 4 e2 Ñ L è è è è è è è è è è è è è è è è è é é é é é é é é é é é é é é é é é bL 18 20 22 24 264 6 8 10 12 Tu truong HTL D o ro n g v ac h ph o Hm eV L Hình 5: a) Sự phụ thuộc của σxx vào ~Ω/~ωc tại các giá trị khác nhau của từ trường. b) Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ PACR vào từ trường. Đường chấm tròn màu trắng và màu đen tương ứng với quá trình hấp thụ phi tuyến và quá trình hấp thụ tuyến tính. Ở đây, a0 = 5 nm, T = 300 K. thuộc tỉ lệ ~Ω/~ωc giảm xuống. Sử dụng phương pháp Profile, chúng tôi tìm được giá trị của độ rộng vạch phổ PACR tăng theo từ trường như ở hình 5b. Thật vậy, khi từ trường tăng thì bán kính cyclotron ac giảm, dẫn tới xác suất tán xạ electron-phonon quang tăng. Ngoài ra, từ đồ thị chúng ta cũng thấy rằng, độ rộng vạch phổ trong quá trình hấp thụ phi tuyến nhỏ hơn trong quá trình hấp thụ tuyến tính. 4 KẾT LUẬN Trong bài báo này, chúng tôi đã tính được độ dẫn PACR trong GNR do sự tương tác của electron với phonon quang tâm vùng và biên vùng, khảo sát hiệu ứng cộng hưởng cyclotron-phonon và độ rộng vạch phổ của các đỉnh cộng hưởng với quá trình hấp thụ phi tuyến và hấp thụ tuyến tính. Kết quả tính số và vẽ đồ thị cho thấy dưới tác dụng của từ trường ngoài, quá trình tương tác của electron-phonon gây ra sự chuyển mức năng lượng của electron thỏa mãn định luật bảo toàn năng lượng. Quá trình dịch chuyển không đối xứng cho đóng góp chủ yếu vào độ dẫn PACR so với quá trình dịch chuyển chính và dịch chuyển đối xứng, sự tán xạ liên vùng cho đóng góp cao hơn cho độ dẫn tổng PACR so với tán xạ nội vùng. Độ cao của các đỉnh cộng hưởng phụ thuộc vào nhiệt độ và từ trường nhưng vị trí các đỉnh cộng hưởng thì không phụ thuộc vào nhiệt độ mà phụ thuộc vào từ trường, từ trường càng tăng thì các đỉnh cộng hưởng càng dịch chuyển về phía có năng lượng lớn hơn. Độ rộng vạch phổ tăng theo nhiệt độ và từ trường đối với cả trường hợp phi tuyến và tuyến tính, nhưng độ rộng vạch phổ của các đỉnh PACR phi tuyến nhỏ hơn tuyến tính. CỘNG HƯỞNG CYCLOTRON-PHONON TRONG GRAPHENE NANORIBBON 77 Lời cảm ơn: Nghiên cứu này được tài trợ bởi Quỹ phát triển khoa học và công nghệ quốc gia (NAFOSTED) trong đề tài mã số 103.01-2013.73. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Pound A., Carbotte J.P., Nicol E.J. (2011), Phys. Rev. B 84, 085125. [2] Das Sarma S., Adam S., Hwang E.H., Rossi E. (2011), Rev. Mod. Phys. 83, 407. [3] Phuc H.V., Dinh L., Phong T.C. (2013), Superlattices Microstruct. 59, 77. [4] Phuc H.V., Tung L.V. (2014) Superlattices Microstruct. 71, 124. [5] Phuc H.V, Thao N.T.T., Dinh L., Phong T.C. (2014) J. Phys. Chem. Solids 75, 300. [6] Ma N., Zhang S., Liu D., Zhang E. (2011) Phys. Lett. A 375, 3624. [7] Stauber T., Peres N.M.R., Guinea F. (2007) Phys. Rev. B 76, 205423. [8] Mori N., Ando T. (2011) J. Phys. Soc. Jpn. 80, 044706. Title: CYLOTRON-PHONON RESONANCE IN GRAPHENE NANORIBBON Abstract: In this paper, we study the theory of phonon-assisted cyclotron resonance (PACR) in graphene nanoribbon (GNR) via two-photon absorption process when elec- trons are scattered by zone-center and zone-edge optical phonons. Using perturbation methods, we obtain the analytical expression of the diagonal conductivity. From the nu- merical method, we consider the dependence of the diagonal conductivity on temperature and magnetic field. Using the profile method, we obtain PACR-linewidth dependence on temperature and magnetic field. The result shows that the linewidth of the resonance peak increases with magnetic field and temperature. Keywords: cyclotron-phonon resonance, graphene nanoribbons PHẠM TÙNG LÂM Học viên Cao học, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế TS. HUỲNH VĨNH PHÚC Khoa Vật lý - Trường Đại học Đồng Tháp