Cơ sở tự động - Chương 4: Khảo sát tính ổn định của hệ thống

Môn học CƠ SỞ TỰ ĐỘNG Biên soạn: TS. Huỳnh Thái Hồng ề ểBộ mơn đi u khi n tự động Khoa Điện – Điện Tử Đại học Bách Khoa TPHCM Email: hthoang@hcmut.edu.vn Homepage: www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ Giảng viên: HTHồng, NVHảo, NĐHồng, BTHuyền, HHPhương, HMTrí 9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 1 Chương 4 KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG 9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 2  Khái niệm ổn định Nội dung chương 4  Tiêu chuẩn ổn định đại số  Điều kiện cần Ti â h å R h eu c uan out  Tiêu chuẩn Hurwitz  Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)  Khái niệm về QĐNS  Phương pháp vẽ QĐNS  Xét ổn định dùng QĐNS  Tiêu chuẩn ổn định tần số  Tiêu chuẩn ổn định Bode  Ti â h å å đị h N i teu c uan on n yqu s 9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 3 åKhái niệm on định 9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 4 Khái niệm ổn định Định nghĩa ổn định BIBO  Hệ thống được gọi là ổn định BIBO (Bounded Input Bounded Output) nếu đáp ứng của hệ bị chặn khi tín hiệu vào bị chặn Hệ thống u(t) y(t) . y(t) y(t) y(t) 9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 5 Khái niệm ổn định Cưc và zerọ mm bbbbY 1)(  Cho hệ thống tự động có hàm truyền là: nnA 1)(Đ ë ã á h ø à nn nn mm asasasa sss sU ssG      1 1 10 110 )( )(   nn asasasas  110  mm mm bsbsbsbsB   1110)(   at: mau so am truyen tử số hàm truyền  Zero: là nghiệm của tử số hàm truyền, tức là nghiệm của phương trình B(s) = 0. Do B(s) bậc m nên hệ thống có m zero ký hiệu là zi, i =1 2 m  Cực: (Pole) là nghiệm của mẫu số hàm truyền, tức là nghiệm của phương trình A(s) = 0. Do A(s) bậc n nên hệ thống có n cực ký , , . 9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 6 hiệu là pi , i =1,2,m. Khái niệm ổn định Giản đồ cưc zero  Giản đồ cực – zero là đồ thị biểu diễn vị trí các cực và các zero á ú ï - của hệ thong trong mặt phang phức. 9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 7 Khái niệm ổn định Điều kiện ổn định  Tính ổn định của hệ thống phụ thuộc vào vị trí các cực.  H ä th á ù t át û ù ư ù h à thư â ( ù t át û ù ư e ong co a ca cac c ïc co p an ïc am co a ca cac c ïc đều nằm bên trái mặt phẳng phức): hệ thống ổn định.  Hệ thống có cưc có phần thưc bằng 0 (nằm trên truc ảo), các cưcï ï ï ï còn lại có phần thực bằng âm: hệ thống ở biên giới ổn định.  Hệ thống có ít nhất một cực có phần thực dương (có ít nhất một è b â h ûi ë h ú h ù ) h ä h á kh â å đị hcực nam en p a mat p ang p ưc : e t ong ong on n . 9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 8 Khái niệm ổn định Phương trình đặc trưng (PTĐT)  Phương trình đặc trưng: phương trình A(s) = 0  Đ thứ đ ë t ư đ thứ A( ) a c ac r ng: a c s  Chú ý: Hệ thống mô tả bằng PTTT  )()()( ttt BA Hệ thống hồi tiếp Y(s)R(s)    )()( tty u Cx xx Yht(s) 0)()(1 G Phương trình đặc trưng Phương trình đặc trưng   9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 9  sHs 0det  AIs å å áTiêu chuan on định đại so 9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 10 Tiêu chuẩn ổn định đại số Điều kiện cần  Điều kiện cần để hệ thống ổn định là tất cả các hệ số của phương t ì h đ ë t ư h ûi kh ù 0 ø ø d á r n ac r ng p a ac va cung au.  Thí dụ: Hệ thống có phương trình đặc trưng: 23 å0123  sss 0352 24  sss 01254 234 Không on định Không ổn định Ch k á l ä đ ssss ưa et uan ược 9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 11 Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh Qui tắc thành lập bảng Routh  Cho hệ thống có phương trình đặc trưng: 01 1 10  nn asasasa  nn  Muốn xét tính ổn định của hệ thống theo tiêu chuẩn Routh, trước tiên ta thành lập bảng Routh theo qui tắc:  Bảng Routh có n+1 hàng.  Hàng 1 của bảng Routh gồm các hệ số có chỉ số chẳn.  Hàng 2 của bảng Routh gồm các hệ số có chỉ số lẻ.  Phần tử ở hàng i cột j của bảng Routh (i  3) được tính theo â thứcong c: 1,11,2 .   jiijiij ccc  1,2 icới 9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 12 1,1i i cv Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh Dang bảng Routhï 1,11,2 .   jiijiij ccc  1,2 ic 9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 13 1,1i i c Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh Phát biểu tiêu chuẩn  Điều kiện cần và đủ để hệ thống ổn định là tất cả các phần tử nằm ở cột 1 của bảng Routh đều dương. Số lần đổi dấu của các phần tử ở cột 1 của bảng Routh bằng số nghiệm của phương trình đặc trưng nằm bên phải mặt phẳng phức. 9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 14 Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh Thí du 1  Xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng là: ï 01254 234  ssss  Giải: Bảng Routh  Kết luận: Hệ thống ổn định do tất cả các phần tử ở cột 1 bảng 9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 15 Routh đều dương. Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh Thí du 2  Xét tính ổn định của hệ thống có sơ đồ khối: ï 50)(GY(s)R(s) )5)(3( 2  sssss 1)( sH  Giải: Phương trình đặc trưng của hệ thống: 2s 0)().(1  sHsG 01501  )2( . )5)(3( 2  sssss 050)2)(5)(3( 2  sssss 9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 16 0503031166 2345  sssss Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh Thí du 2 (tt) ï  Bảng Routh  Kết luận: Hệ thống không ổn định do tất cả các phần tử ở cột 1 9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 17 bảng Routh đổi dấu 2 lần. Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh Thí du 3  Tìm điều kiện của K để hệ thống ổn định: ï R(s) Y(s) )2)(1( )( 2  ssss KsG  Giải: Phương trình đặc trưng của hệ thống là: 0)(1  sG 01 K  )2)(1( 2  ssss 0233 234  Kssss 9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 18 Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh Thí du 3 (tt) ï  Bảng Routh  Điều kiện để hệ thống ổn định:    0 7 92 K 140  K 9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 19   0K 9 Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh Trường hơp đặc biệt 1 ï  Nếu bảng Routh có hệ số ở cột 1 của hàng nào đó bằng 0, các hệ số còn lại của hàng đó khác 0 thì ta thay hệ số bằng 0 ở cột 1 bởi số  dương nhỏ tùy ý, sau đó quá trình tính toán được tiếp tục. 9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 20 Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh Thí du 4  Xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng là: ï 03842 234  ssss  Giải: Bảng Routh  Kết luận: Vì các hệ số ở cột 1 bảng Routh đổi dấu 2 lần nên phương trình đặc trưng của hệ thống có hai nghiệm nằm bên phải 9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 21 mặt phẳng phức, do đó hệ thống không ổn định . Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh Trường hơp đặc biệt 2 ï  Nếu bảng Routh có tất cả các hệ số của hàng nào đó bằng 0:  Thành lập đa thức phu từ các hệ số của hàng trước hàng có tấtï cả các hệ số bằng 0, gọi đa thức đó là A0(s).  Thay hàng có tất cả các hệ số bằng 0 bởi một hàng khác có á ácác hệ so chính là các hệ so của đa thức dA0(s)/ds, sau đó quá trình tính toán tiếp tục.  Chú ý: Nghiệm của đa thức phụ A0(s) cũng chính là nghiệm của phương trình đặc trưng. 9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 22 Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh Thí du 5  Xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng là: ï 047884 2345  sssss  Giải: Bảng Routh 9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 23 Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh Thí du 5 (tt)  Đa thức phụ: ï 44)( 20  ssA 08)(0  sd sdA  Nghiệm của đa thức phụ (cũng chính là nghiệm của phương trình đặc trưng): s  Kết luận: 044)( 20  ssA js   Các hệ số cột 1 bảng Routh không đổi dấu nên phương trình đặc trưng không có nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức.  Phương trình đặc tính có 2 nghiệm nằm trên trục ảo.  Số nghiệm nằm bên trái mặt phẳng phức là 5 – 2 = 3. 9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 24 Hệ thống ở biên giới ổn định Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Hurwitz Qui tắc thành lập ma trận Hurwitz  Cho hệ thống có phương trình đặc trưng: 01 1 10  nn asasasa  nn  Muốn xét tính ổn định của hệ thống theo tiêu chuẩn Hurwitz, trước tiên ta thành lập ma trận Hurwitz theo qui tắc: Ma trận Hurwitz là ma trận vuông cấp nn.  Đường chéo của ma trận Hurwitz là các hệ số từ a1 đến an . Hàng lẻ của ma trận Hurwitz gồm các hệ số có chỉ số lẻ theo thứ tự tăng dần nếu ở bên phải đường chéo và giảm dần nếu ở bên trái đường chéo. Hàng chẳn của ma trận Hurwitz gồm các hệ số có chỉ số chẳn theo thứ tự tăng dần nếu ở bên phải đường chéo và giảm dần 9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 25 nếu ở bên trái đường chéo. Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Hurwitz Dang ma trận Hurwitzï  aaaa  07531     aaa aaaa   00 0 531 6420  aaa   00 420  na0 Phát biểu tiêu chuẩn  Điều kiện cần và đủ để hệ thống ổn định là tất cả các định thức 9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 26 con chứa đường chéo của ma trận Hurwitz đều dương Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Hurwitz Thí du 1 ï  Xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng là: 0234 23  sss                  240 031 024 0 0 0 20 31 aa aa Giải: Ma trận Hurwitz 31 aa 411  aCác định thức: 102134 31 24 20 31 2  aa aa 0aa 20102 31 24 2 0 0 20 31 3 31 20 31 3  aa aa a aa aa 9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 27  Kết luận: Hệ thống ổn định do các định thức đều dương Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Hurwitz Các hệ quả của tiêu chuẩn Hurwitz  Hệ bậc 2 ổn định nếu phương trình đặc trưng thỏa mãn điều kiện: 200 ia , , i  Hệ bậc 3 ổn định nếu phương trình đặc trưng thỏa mãn điều kiện:     0 3,0 ,0 3021 aaaa iai  Hệ bậc 4 ổn định nếu phương trình đặc trưng thỏa mãn điều kiện:      0 4,0,0 22 3021 aaaa iai 9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 28   04130321 aaaaaaa áPhương pháp quỹ đạo nghiệm so 9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 29 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Định nghĩa  Quỹ đạo nghiệm số là tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng của hệ thống khi có một thông số nào đó trong hệ thay đổi từ 0.  Thí dụ: QĐNS của hệ thống có PTĐT 042  Kss 9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 30 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Qui tắc vẽ QĐNS  Muốn áp dụng các qui tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số, trước tiên ta phải biến đổi tương đương phương trình đặc trưng về dang:ï 0 )( )(1  sD sNK (1) )( )()(0 sD sNKsG Đặt: 0)(1 sG Gọi n là số cực của G0(s) , m là số zero của G0(s) (1)   độ biên kiệnĐiều 1)(0 sG 0   9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 31   pha kiệnĐiều )12()(0 lsG Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Qui tắc vẽ QĐNS  Qui tắc 1: Số nhánh của quỹ đạo nghiệm số = bậc của phương trình đặc tính = số cực của G0(s) = n.  Qui tắc 2:  Khi K = 0: các nhánh của quỹ đạo nghiệm số xuất phát từ các cực của G0(s).  Khi K tiến đến + : m nhánh của quỹ đạo nghiệm số tiến đến û G ( ) h ù h ø l i ti á đ á th ù ti äm zero cua 0 s , nm n an con ạ en en  eo cac em cận xác định bởi qui tắc 5 và qui tắc 6.  Qui tắc 3: Quỹ đao nghiệm số đối xứng qua truc thưcï ï ï .  Qui tắc 4: Một điểm trên trục thực thuộc về quỹ đạo nghiệm số á å á á 9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 32 neu tong so cực và zero của G0(s) bên phải nó là một so lẻ. Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Qui tắc vẽ QĐNS (tt)  Qui tắc 5: : Góc tạo bởi các đường tiệm cận của quỹ đạo nghiệm số với trục thực xác định bởi :  Qui tắc 6: : Giao điểm giữa các tiệm cận với truc thưc là điểm A mn l    )12( ),2,1,0( l ï ï có tọa độ xác định bởi: zp mn  (pi và zi là các cưc Q i é 7 Đi å ù h h ä ( á ù) û õ đ hi ä á è mnmn OA i i i i       11zerocực ï và các zero của G0(s) )  u tac : : em tac n ap neu co cua quy ạo ng em so nam trên trục thực và là nghiệm của phương trình: 0dK 9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 33  ds Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Qui tắc vẽ QĐNS (tt)  Qui tắc 8: : Giao điểm của quỹ đạo nghiệm số với trục ảo có thể xác định bằng cách áp dụng tiêu chuẩn Routh–Hurwitz hoặc thay s=j vào phương trình đặc trưng. Q i t é 9 G ù á h ù û õ đ hi ä á i h ù u ac : oc xuat p at cua quy ạo ng em so tạ cực p ưc pj được xác định bởi:  nm0 )()(180   ji i ij i ijj ppzp 11 argarg Dang hình hoc của công thức trên là:ï ï j= 1800 + (góc từ các zero đến cực p j )  (góc từ các cưc còn lai đến cưc p j ) 9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 34 ï ï ï Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí du 1 ï  Vẽ QĐNS của hệ thống sau đây khi K=0+. )3)(2( )(  sss KsG R(s) Y(s)  Giải:  Phương trình đặc trưng của hệ thống: 0)(1  sG 01  K (1)  Các cực: 01 p 22 p 33 p )3)(2(  sss 9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 35  Các zero: không có Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí du 1 (tt) ï  Tiệm cận: 0)( 31  l 1)( )1( 3 03 )12()12( 3 2     l -ll mn l   3 5 03 0)]3()2(0[zero     mn OA cực  Điểm tách nhập: (1)  )65()3)(2( 23 ssssssK  d )6103( 2  ss ds K 0dKD đ ù   )( 549.21s loại 9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 36  ds o o   785.02s Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí du 1 (tt) ï  Giao điểm của QĐNS với trục ảo: Cách 1: Dùng tiêu chuẩn Hurwitz Điều kiện ổn định: (1)  065 23  Ksss (2)     0 0 3021 aaaa K      0165 0 K K 300  K  30ghK Thay giá trị Kgh = 30 vào phương trình (2), giải phương trình ta được giao điểm của QĐNS với trục ảo  03065 23  sss     6 5 2 1 js s  9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 37   63 js Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí du 1 (tt) ï  Giao điểm của QĐNS với trục ảo: Cách 2: (1)  065 23  Ksss (2) Thay s=j vào phương trình (2):       065 23  Kjjj   065 23  Kjj    0   062 3 jj     0K   6  05 K    30K  9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 38 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí du 1 (tt) Im s ï 6j Re s 03 2  6j 9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 39 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí du 2 ï  Vẽ QĐNS của hệ thống sau đây khi K=0+. )208( )( 2  sss KsG R(s) Y(s)  Giải:  Phương trình đặc trưng của hệ thống: 0)(1  sG  (1)01  K )208( 2  sss  Các cực: 01 p 243,2 jp  9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 40  Các zero: không có Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí du 2 (tt) ï  Tiệm cận: 0)( 31  l 1)( )1( 3 03 )12()12( 3 2     l -ll mn l   3 8 03 )0()]24()24(0[zero     jj mn OA cực  Điểm tách nhập: (1)  )208( 23 sssK  01  K  )20163( 2  ss ds dK 0dKD đ ù   33.31s h i đi å h h 9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 41 )208( 2  sssdso o    00.22s ( a em tác n ập) Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí du 2 (tt) ï  Giao điểm của QĐNS với trục ảo: (1) 0208 23  Ksss (2)  Thay s=j vào phương trình (2): 23 0)(20)(8)(  Kjjj   0208 23  Kjj    08 2 K     0 0 K    0203      160 20 K   01  K 9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 42 )208( 2  sss Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí du 2 (tt) ï  Góc xuất phát của QĐNS tại cực phức p2: )]()[ (1800 argarg 32122 pppp   )]24()24arg[(]0)24arg[(1800 jjj           90 4 2180 10 tg  905.1531800  0563   n ijm ijj ppzp0 )arg()arg(180 2 . 9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 43  jiii 11 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí du 2 (tt) ï Im s 20j 63 50 +j2 . 0 Re s 4 2 j2 20j 9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 44 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí du 3 ï  Vẽ QĐNS của hệ thống sau đây khi K=0+. )208)(3( )1()( 2   ssss sKsG R(s) Y(s)  Giải:  Phương trình đặc trưng của hệ thống: 0)(1  sG  (1)0)1(1  sK )208)(3( 2  ssss  Các cực: 32 p 244,3 jp 01 p 9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 45  Các zero: 11 z Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí du 3 (tt) ï  Tiệm cận: 0)( 3 )12()12( 1   l ll  1)( )1( 3 14 3 2   l -l mn   3 10 14 )1()]24()24()3(0[zero     jj mn OA cực  Điểm tách nhập: (1)  )1( )208)(3( 2  ssssK  2 234 )1( 608877263  ssss d dK 0)1(1  sK s ss 0 d dKDo đó (không có đi å ù h h ä )    970660 05,167,32,1 j js 9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 46 )208)(3( 2  sssss em tac n ap   .,4,3s Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí du 3 (tt) ï  Giao điểm của QĐNS với trục ảo: (1) (2)0)60(4411 234  KsKsss Thay s=j vào phương trình (2): 0)60(4411 234  KjKj      0 0 K       0)60(11 044 3 24   K K      322 893,5 K  0)1(1  sK    7,61 314,1 K j (loại) 9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 47 )208)(3( 2  ssssVậy giao điểm cần tìm là: HSKĐ giới hạn là: 893,5js  322ghK Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí du 3 (tt) ï  Góc xuất phát của QĐNS tại cực phức p3: )(180 43213   )906,1164,153(3,146180  0 3 7.33 9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 48 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí du 3 (tt) Im s ï +j5,893 33.70 +j2 1 23 0 Re s 3 14 4 j2 9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 49 j5,893 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí du 4 ï  Cho hệ thống điều khiển có sơ đồ khối như sau: )39( 10)( 2  sssGR(s) Y(s) s KKsG IPC )(  Cho KI = 2.7, hãy vẽ QĐNS của hệ thống sau đây khi KP =0+, biết rằng dK / ds=0 có 3 nghiệm là 3  3 1 5P , , . .  Khi KP =270, KI = 2.7 hệ thống có ổn định hay không? 9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 50 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí du 4 (tt) ï  Giải:  Phương trình đặc trưng của hệ thống: 0)()(1  sGsGC  0 39 107.21 2    sssKP (1) 0 )3)(9( 101 2  ss sKP  Các zero: 0z  Các cực: 91 p 32 jp  33 jp  9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 51 1  Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí du 4 (tt) ï  Tiệm cận: 0)(l2/)12()12(   ll 1)(l 2/ 13   mn 9)0()]3()3(9[ jj 213 zero    mn OA cực  Điểm tách nhập: 0dKP     3 3 2 1 s s  ds (loại)   5.13s QĐNS có hai điểm tách nhập trùng nhau tai 3 9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 52 ï  Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí du 4 (tt) ï  Góc xuất phát của QĐNS tại cực phức p2: )]()[ ()(1800 argargarg 3212122 ppppzp  ))]3(3arg())9(3[arg()03arg(1800 jjjj            90 9 390180 10 tg 0 2 169 9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 53 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí d 4 (tt) ụ  Khi KI =2.7, QĐNS của hệ thống nằm hoàn toàn bên trái mặt phẳng phức khi KP =0+, do đó hệ thống ổn định khi KI =2.7, KP =270. 9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 54 å å à áTiêu chuan on định tan so 9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 55 Nhắc lại: Các thông số quan trọng của đặc tính tần số  T à á ét bi â ( ) l ø t à á ø t i đ ù bi â đ ä û đ ë tí h t àan so ca en c : a an so ma ạ o en o cua ac n an số bằng 1 (hay bằng 0 dB). 1)( M  0)( L c c  Tần số cắt pha (): là tần số mà tại đó pha của đặc tính tần số bằng 1800 (hay bằng  radian). 0180)(  rad )(     Độ dự trữ biên (GM – Gain Margin): )( 1 M GM  )(  LGM [dB]   Độ dự trữ pha ( M – Phase Margin): 9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 56 )(1800 cM  Tiêu chuẩn ổn định tần số Biểu đồ Bode Biểu đồ Nyquist 9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 57 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist  Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, biết đặc tính tần số của hệ hở G(s), bài toán đặt ra là xét tính ổn định của hệ thống kín Gk(s). R(s) Y(s) å á å á Tiêu chuan Nyquist: Hệ thong kín Gk(s) on định neu đường cong Nyquist của hệ hở G(s) bao điểm (1, j0) l/2 vòng theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ) khi  thay đổi từ 0 đến +, trong đó l là số cực nằm bên phải mặt phẳng phức của hệ hở G(s) . 9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 58 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist – Thí dụ 1  Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị trong đó hệ hở G(s) có đường, cong Nyquist như hình vẽ. Biết rằng G(s) ổn định. Xét tính ổn định của hệ thống kín. 9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 59 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist – Thí dụ 1 (tt)  Giải: Vì G(s) ổn định nên G(s) không có cực nằm bên phải mặt phẳng phức, do đó theo tiêu chuẩn Nyquist hệ kín ổn định nếu đường cong Nyquist G(j) của hệ hở không bao điểm (1, j0)  Trường hợp: G(j) không bao điểm (1, j0) hệ kín ổn định.  å û å Trường hợp : G(j) qua điem (1, j0) hệ kín ơ biên giới on định;  Trường hơp: G(j) bao điểm (1 j0) hệ kín không ổn địnhï , . 9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 60 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist – Thí dụ 2  H õ đ ù h i ù tí h å đị h û h ä th á h ài ti á â đơ ị bi átay an g a n on n cua e ong o ep am n v , e rằng hàm truyền hệ hở G(s) là: )1)(1)(1( )( 321   sTsTsTs KsG  Giải:  Biểu đồ Nyquist: 9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 61 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist – Thí dụ 2 (tt) Vì G(s) không có cực nằm bên phải mặt phẳng phức, do đó theo tiêu chuẩn Nyquist hệ kín ổn định nếu đường cong Nyquist G(j) của hệ hở không bao điểm (1, j0)  Trường hợp: G(j) không bao điểm (1, j0) hệ kín ổn định.  Trường hợp : G(j) qua điểm (1, j0) hệ kín ở biên giới ổn định;  Trường hơp: G(j) bao điểm ( 1 j0) hệ kín không ổn địnhï  , . 9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 62 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist – Thí dụ 3 Cho hệ thống hở không ổn định có đặc tính tần số như các hình vẽ dưới đây. Hỏi trường hợp nào hệ kín ổn định. 9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 63 Ổn định Không ổn định Tiêu chuẩn ổn định Nyquist – Thí dụ 3 (tt) Cho hệ thống hở không ổn định có đặc tính tần số như các hình vẽ dưới đây. Hỏi trường hợp nào hệ kín ổn định. 9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 64 Không ổn định Tiêu chuẩn ổn định Nyquist – Thí dụ 3 (tt) Cho hệ thống hở không ổn định có đặc tính tần số như các hình vẽ dưới đây. Hỏi trường hợp nào hệ kín ổn định. 9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 65 Ổn định Không ổn định Tiêu chuẩn ổn định Nyquist – Thí dụ 4 h h h á h û ù h ø à đ l ø C o ệ t ong ơ co am truyen ạt a: (K>0, T>0, n>2)nT KsG )( )( 1 s Tìm điều kiện của K và T để hệ thống kín (hồi tiếp âm đơn vị) ổn định.  Giải:  Đặc tính tần số của hệ thống là: nTj KjG )1( )(   K Biên độ:  nTM 1)( 22   9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 66  Pha: )()(  Tntg 1 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist – Thí dụ 4 (tt) å à Bieu đo Nyquist:  Điều kiện ổn định: đường cong Nyquist không bao điểm (1 j0), . Theo biểu đồ Nyquist, điều này xảy ra khi: 1)( M 9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 67 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist – Thí dụ 4 (tt) 1 Ta có:     )()( Tntg Ttg    )(1    tgT   )(n n    tg  1  nT K Do đó: 1)( M  1 11 2 2     n tgT     nT n tgK        12  9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 68 n  Tiêu chuẩn ổn định Bode  Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, biết đặc tính tần số của hệ hở G(s), bài toán đặt ra là xét tính ổn định của hệ thống kín Gk(s). R(s) Y(s)  Ti â h å B d H ä th á kí G ( ) å đị h á h ä th á hởeu c uan o e: e ong n k s on n neu e ong G(s) có độ dự trữ biên và độ dự trữ pha dương: 0 GM địnhổnthốngHệ 0  M 9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 69 Tiêu chuẩn ổn định Bode: Thí dụ  Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị biết rằng hệ hở có biểu đồ Bode, như hình vẽ. Xác định độ dự trữ biên, độ dự trữ pha của hệ thống hở. Hỏi hệ kín có ổn định không? 5c Theo biểu đồ Bode: GM L( ) 2 dBL 35 )(  0270)( dBGM 35 c 000 90270180 )(M M  (C) 180   Do GM<0 và M<0 nên hệ thống kín không 9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 70  C ổn định. Tiêu chuẩn ổn định tần số Chú ý  Trường hợp hệ thống hồi tiếp âm như hình vẽ, vẫn có thể áp dụng tiêu chuẩn ổn định Nyquist hoặc Bode, trong trường hợp này hàm àtruyen hở là G(s)H(s) . R(s) Y(s) Yht(s) 9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 71