Chuyển động tổng hợp của điểm

-85- Ch−ơng 7 Chuyển động tổng hợp của điểm 7.1. Chuyển động tuyệt đối, chuyển động t−ơng đối và chuyển động kéo theo. Chuyển động tổng hợp của điểm là chuyển động đ−ợc tạo thành khi điểm tham gia hai hay nhiều chuyển động đồng thời. Ta xét bài toán trong mô hình sau đây : Khảo sát chuyển động của điểm M trên hệ toạ độ động o1x1y1z1 gắn trên vật A. Vật A lại chuyển động trong hệ toạ độ cố định oxyz (xem hình 7.1). x y z O x1 y1 z1 M A r ro z1 o1 y1 x1 k1 j1 i1 Chuyển động của điểm M so với hệ cố định oxyz gọi là chuyển động tuyệt đối. Vận tốc và gia tốc của chuyển động tuyệt đối ký hiệu là : av r và aw r . Hình 7.1 Chuyển động của điểm M so với hệ động o1x1y1z1 gọi là chuyển động t−ơng đối ký hiệu là và . rv r rw r Chuyển động của hệ động (vật A) so với hệ cố định oxyz gọi là chuyển động kéo theo. Vận tốc và gia tốc của điểm thuộc vật A ( hệ động ) bị điểm M chiếm chỗ ( trùng điểm ) trong chuyển động kéo theo là vận tốc và gia tốc kéo theo của điểm M và ký hiệu là : ev r và ew r . Nh− vậy chuyển động tuyệt đối của điểm M là chuyển động tổng hợp của hai chuyển động t−ơng đối và kéo theo của nó. Thí dụ : Con thuyền chuyển động với vận tốc ur so với n−ớc. Dòng n−ớc chảy với vận tốc vr so với bờ sông. ở đây chuyển động của con thuyền so với bờ sông là chuyển động tuyệt đối . Chuyển động của con thuyền so với mặt n−ớc là chuyển động t−ơng đối với vận tốc .uvr rr = Chuyển động của dòng n−ớc so với -86- bờ là chuyển động kéo theo, vận tốc của chuyển động kéo theo . vve rr = Theo định nghĩa trên ta thấy, để xét chuyển động t−ơng đối ta xem hệ động nh− cố định. Khi đó ph−ơng trình chuyển động viết d−ới dạng véc tơ nh− sau : 11111111 kzjyixMOr rrrrr ++== . (7-1) ở đây 1i r , 1j r , 1k r là các véc tơ đơn vị trên các hệ động. Khi xét chuyển động t−ơng đối nh− ở trên đã nói các véc tơ 1i r , 1j r , 1k r đ−ợc xem nh− không đổi. Còn các toạ độ x1 , y1 , z1 là các hàm của thời gian. x1 = x1(t) ; y1 = y1(t) ; z1 = z1(t). Muốn xét chuyển động kéo theo của điểm ta chỉ cần cố định nó trong hệ động khi đó ph−ơng trình chuyển động của M so với hệ cố định oxyz là ph−ơng trình chuyển động kéo theo. Ta có : 111111010 kzjyixrrrOMr rrrrrrr +++=+== (7-2). Trong ph−ơng trình (7.2) vì ta cố định điểm trong hệ động nên các toạ độ x1 , y1 , z1 là không đổi, còn 1i r , 1j r , 1k r là các véc tơ biến đổi theo thời gian. )t(rr 00 rr = ; )t(ii rr = ; )t(jj rr = ; )t(kk rr = . 7.2. Định lý hợp vận tốc. Xét điểm M chuyển động t−ơng đối trong hệ động o1x1y1z1 với vận tốc ; Hệ động chuyển động trong hệ cố định oxyz kéo theo điểm M chuyển động với vận tốc kéo theo (xem hình 7-2). Để xác định vận tốc tuyệt đối ta thiết lập ph−ơng trình chuyển động tuyệt đối của điểm M. Ta có : rv r ev r r o r a x y z O x1 y1 z1 M c1 c2 ve v r v 1 r o1 Hình 7.2 111111010 kzjyixr)t(rrr rrrrrrr +++=+= (7-3) -87- Ph−ơng trình này giống ph−ơng trình (7-2) nh−ng cần l−u ý là mọi tham số của ph−ơng trình đều là các hàm của thời gian. Đạo hàm bậc nhất theo thời gian ph−ơng trình (7-3) ta đ−ợc : ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +++== 1111111110a kdt dzj dt dyi dt dx dt kdz dt jdy dt idx dt rd dt rdv rrrrrrrrr Trong kết quả tìm đ−ợc, nhóm số hạng thứ nhất ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +++ dt kdz dt jdy dt idx dt rd 111 0 rrrr chính là đạo hàm bậc nhất theo thời gian của ph−ơng trình (7-2) (ph−ơng trình chuyển động kéo theo ) là vận tốc kéo theo ev r . Nhóm các số hạng còn lại : ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + 111111 kdt dzj dt dyi dt dx rrr là đạo hàm bậc nhất theo thời gian của ph−ơng trình (7.1) (ph−ơng trình chuyển động t−ơng đối ) do đó đ−ợc thay thế bằng vận tốc t−ơng đối rv r . Thay các kết quả vừa tìm đ−ợc vào vận tốc tuyệt đối ta đựơc : rea vvv rrr += . Định lý 7.1 : Trong chuyển động tổng hợp của điểm vận tốc tuyệt đối bằng tổng hình học vận tốc kéo theo và vận tốc t−ơng đối : rea vvv rrr += . (7-4) 7.3. Định lý hợp gia tốc Để thiết lập biểu thức của gia tốc tuyệt đối ta đạo hàm bậc hai theo thời gian ph−ơng trình chuyển động tuyệt đối của điểm (ph−ơng trình 7.3). Ta có : ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +++=== 121 2 12 1 2 12 1 2 2 2 12 2 12 2 12 0 2 a 2 a kdt zdj dt ydi dt xd dt kdz dt jdy dt idx dt rd dt vd dt rdw rrrrrrrrrr -88- ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++ dt kd dt dz dt jd dt dy dt id dt dx2 111111 rrr Trong kết quả tìm đ−ợc nhóm các số hạng thứ nhất : ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +++ 2 2 12 2 12 2 12 0 2 dt kdz dt jdy dt idx dt rd rrrr là đạo hàm bậc hai theo thời gian của ph−ơng trình (7.2) ( ph−ơng trình chuyển động kéo theo ) có thể thay bằng gia tốc kéo theo ew r . Nhóm các số hạng thứ hai : ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + 121 2 12 1 2 12 1 2 k dt zdj dt ydi dt xd rrr là đạo hàm bậc hai theo thời gian của ph−ơng trình (7.1) ( ph−ơng trình chuyển động t−ơng đối ) có thể thay bằng gia tốc t−ơng đối rw r . Nhóm các số hạng còn lại : ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + dt kd dt dz dt jd dt dy dt id dt dx2 111111 rrr đ−ợc gọi là gia tốc quay hay gia tốc Koriolit ký hiệu là . kw r Thay các kết quả tìm đ−ợc vào biểu thức của gia tốc tuyệt đối ta đ−ợc : krea wwww rrrr ++= . Ta đi đến định lý sau đây gọi là định lý hợp gia tốc. Đinh lý 7.2 : Trong chuyển động tổng hợp của điểm gia tốc tuyệt đối bằng tổng hình học của gia tốc kéo theo, gia tốc t−ơng đối và gia tốc Koriolit. krea wwww rrrr ++= . (7.5) 7.4. Gia tốc Koriolit. Gia tốc Koriolit kw r đ−ợc xác định theo biểu thức : ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ += dt kd dt dz dt jd dt dy dt id dt dx2w 111111k rrr r -89- Khi hệ động có chuyển động quay thì các véc tơ đơn vị 1i r , 1j r , 1k r sẽ quay theo khi đó đạo hàm của nó theo thời gian khác không. Trong tr−ờng hợp hệ động không tham gia chuyển động quay thì các đạo hàm của nó sẽ bằng không và do đó gia tốc Koriolit sẽ không có vì vậy gia tốc này còn đ−ợc gọi là gia tốc quay. Gia tốc Koriolit biểu diễn ảnh h−ởng chuyển động quay của hệ động đến gia tốc của điểm. Nếu vận tốc góc của hệ động (vận tốc góc kéo theo ) là thì khi hệ động quay quanh trục o eϖ 1ε với vận tốc góc ωe thì đạo hàm bậc nhất theo thời gian của các véc tơ đơn vị 1i r , 1j r , 1k r chính là vận tốc đầu mút của chúng trong chuyển động quay quanh trục o1ε. (xem hình 7.3). z x yA O k1 j1 i1 vA ωe ε Ta có : 1e 1 i dt id rr r ìω= 1e1 jdt jd rr r ìω= 1e 1 k dt kd rr r ìω= Thay các kết quả biểu thức trên vào biểu thức của ta đ−ợc : kw r Hình 7.3 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++= dt kd dt dz dt jd dt dy dt id dt dx 2w 111111k rrr r ( ) ( ) ( )⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ω+ω+ω= kx dt dz jx dt dy ix dt dx 2 C 1 C 1 C 1 rrrrrr re1 1 1 1 1 1 e v2kdt dz j dt dy i dt dx x2 rr rrrr ìω=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++ω= Nh− vậy gia tốc Koriolit bằng hai lần tích hữu h−ớng giữa vận tốc góc kéo theo và véc tơ vận tốc t−ơng đối. -90- rek v2w rrr ìω= . ( 7.6) Từ (7.6) ta có thể xác định độ lớn của gia tốc Koriolit theo biểu thức : ( )rerek v.sinv.2w ωω= . Ta thấy ngay gia tốc Koriolit bằng không trong tr−ờng hợp sau : - Khi hệ động chuyển động tịnh tiến nghĩa là khi ωe = 0 ; - Khi động điểm đứng yên trong hệ động, nghĩa là khi 0vr =r ; - Khi chuyển động t−ơng đối theo ph−ơng dọc theo trục quay của chuyển động kéo theo nghĩa là khi góc hợp giữa eωr và rvr bằng không hoặc bằng 1800 . ω e vr r w k Hình 7.4 Hình 7.4 ω e wK M v'r vr e ωTheo (7.6) gia tốc Koriolit có ph−ơng vuông góc với mặt phẳng chứa hai véc tơ eωr và có chiều sao cho khi nhìn từ mút của nó xuống mặt phẳng đó sẽ thấy rv r eωr quay ng−ợc chiều kim đồng hồ đi một góc nhỏ hơn 1800 sẽ đến trùng với (xem hình 7.4). rv r Hình 7.5 Trong thực hành ta có thể xác định ph−ơng chiều của nh− sau : kw r Chiếu véc tơ vận tốc t−ơng đối rv r lên mặt phẳng vuông góc với trục quay của chuyển động kéo theo. Sau đó quay hình chiếu rv r đó đi một góc 900 theo chiều quay của eω trong mặt phẳng trên (xem hình 7.5) ta sẽ xác định đ−ợc ph−ơng chiều của gia tốc Koriolit. Sau đây sẽ giới thiệu một số ví dụ vận dụng các định lý hợp vận tốc và hợp gia tốc trong chuyển động tổng hợp của điểm. -91- Thí dụ 7.1: Tay quay OA của cơ cấu tay quay cu lit quay quanh trục O vuông góc với mặt phẳng của cơ cấu. Đầu A của tay quay nối bằng khớp bản lề với con tr−ợt B. Con tr−ợt B có thể tr−ợt trong máng BC của cu lit. Máng BC có thể chuyển động tịnh tiến lên xuống nhờ rãnh h−ớng dẫn E. Xác định vận tốc, gia tốc của máng BC cũng nh− vận tốc gia tốc của con tr−ợt so với cu lit BC. A E D CB O Cho biết tay quay có chuyển động quay đều với vận tốc góc n = 120 vòng/phút. Độ dài OA = 1 = 30cm (xem hình 7.6). Hình 7.6 Bài giải: Nếu chọn hệ động gắn với cu lit (máng BC) và hệ cố định gắn với trục quay O thì chuyển động của con tr−ợt A trong máng là chuyển động t−ơng đối. Chuyển động của máng tịnh tiến lên xuống là chuyển động kéo theo còn chuyển động của A quay quanh O là chuyển động tuyệt đối. Tr−ớc hết ta có thể xác định đ−ợc vận tốc tuyệt đối và gia tốc tuyệt đối của điểm A. Vận tốc của tay quay OA. )s/rad(4 30 120. 30 n. π=π=π=ω . r B3 C3 B1 C1 A1 xr E D B A3 O A wr ϕ w r v r v rvr e w r e a Vị trí của cơ cấu đ−ợc xác định bằng góc quay của tay quay OA : ϕ = ωt = 4πt (rad). Đầu A của tay quay thực hiện chuyển động tròn tâm O bán kính OA = 1. Vận tốc của điểm A : Va = ω.1 = 4π.30 = 120π ≈ 3,77 m/s. Hình 7.7 -92- av r có ph−ơng vuông góc với OA h−ớng theo chiều quay ω (xem hình 7.7). av r chính là vận tốc tuyệt đối của điểm A : va = vA. Vì tay quay quay đều nên gia tốc điểm A chỉ có một thành phần pháp tuyến. n AA ww rr = về độ lớn wA = ω2.1 = 16π2.1 = 16π2.30 ≈ 4733 cm/s2 ; = 47,33 m/s2 Gia tốc có chiều h−ớng từ A vào O. Gia tốc tuyệt đối của điểm A là Aw r Aw r . Để tìm vận tốc của máng (vận tốc kéo theo) và vận tốc của con tr−ợt A trong máng (vận tốc t−ơng đối) ta áp dụng định lý hợp vận tốc. Ta có : rea vvv rrr += ở đây Aa vv rr = đã biết cả độ lớn và ph−ơng chiều. evr là vận tốc của máng chuyển động tịnh tiến lên xuống do đó có ph−ơng thẳng đứng. Còn là vận tốc của con tr−ợt dọc theo máng BC nên có ph−ơng nằm ngang. Từ định lý hợp vận tốc ta có thể nhận đ−ợc một hình bình hành mà đ−ờng chéo là còn hai cạnh là và . Dễ dàng tìm đ−ợc các véc tơ vận tốc kéo theo rv r av r ev r rv r ev r và nh− trên hình (7.7). Ta có : rv r )s/m(t.4sin.77,3sin.vv Ae π=ϕ= )s/m(t.4cos.77,3cos.vv Ar π=ϕ= Ph−ơng chiều của các vận tốc ev r và rv r nh− hình vẽ. Để xác định gia tốc kéo theo và t−ơng đối (gia tốc của máng và gia tốc của con tr−ợt trong máng) ta áp dụng dịnh lý hợp gia tốc. -93- krea wwww rrrr ++= . Trong bài toán này hệ động chuyển động tịnh tiến nên ta chỉ còn biểu thức : 0wk =r rea www rrr += . ở đây gia tốc tuyệt đối đã đ−ợc xác định. Gia tốc kéo theo ew r có ph−ơng thẳng đứng còn gia tốc t−ơng đối rw r có ph−ơng năm ngang. Cũng dễ dàng nhận thấy các véc tơ gia tốc kéo theo ew r và gia tốc t−ơng đối rw r là hai cạnh của hình bình hành nhận gia tốc làm đ−ờng chéo (xem hình 7.7). Ta có : aw r t.4cos.33,47cos.ww Ae π=ϕ= t.4sin.33,47sin.ww Ar π=ϕ= Ph−ơng chiều của gia tốc ew r và rw r nh− trên hình vẽ 7.7 . Kết quả trên cho thấy vận tốc, gia tốc của máng BC ( ve, wed ) và vận tốc, gia tốc con tr−ợt trong máng ( vr , wr ) là hàm của thời gian. Ta có thể xác định chúng tại các vị trí đặc biệt sau : Khi ϕ1 = 4πt = 0 ta có ve = 0 ; vr = 3,77 m/s We = 47,33 m/s ; wr = 0 Khi ϕ2 = 4πt = π / 2 ta có ve = 3,7 m / s ; vr = 0 we= 0 m / s ; wr = 3,77 m / s Thí dụ 7.2 : Động điểm M chuyển động bắt đầu từ đỉnh O của nón dọc theo đ−ờng sinh OC với vận tốc không đổi vr = 24 cm / s . Nón cũng đồng thời quay bắt đầu cùng thời điểm xuất phát của điểm M theo quy luật ϕ = 0,125t2. Xác định vận tốc tuyệt đối và gia tốc tuyệt đối của động điểm M tại thời điểm t = 4 giây. (xem hình 7.8). Cho biết góc đỉnh nón là 600. -94- Bài giải Trong bài toán này chuyển động của điểm M dọc theo đ−ờng sinh OC là chuyển động t−ơng đối. Nh− vậy vận tốc t−ơng đối của điểm đã biết. z B A α O ωe εe k C r vr ev r M vr Vr = 24 cm / s = 0,24 m / s có ph−ơng chiều từ O đến C. a Chuyển động quay của nón quanh trục AB với quy luật ϕ = 0,125t2 là chuyển động kéo theo. Để xác định đ−ợc vận tốc kéo theo của điểm ta phải xác định vị trí của nó tại thời điểm t1 trên nón. Hình 7.8 Ta có OM = vr.t = 24.4 = 96 cm Khoảng cách từ động điểm tại vị trí đang xét tới trục quay AB là : MK = OM.sin300 = 96.0,5 = 48 cm. z B A C M vr wτek εr e ωr e O α wk wne y x Vận tốc kéo theo tại thời điểm t1 là : t25,0 dt d e =ϕ=ω với t = t1 = 4 giây ωet1 = 0,25.4 = 1 rad / s ; Gia tốc góc trong chuyển động kéo theo là : )s/rad(25,0 dt d 2 2 2 e =ϕ=ε Hình 7.9 Các véc tơ ωe và εe biểu diễn trên hình vẽ (7.9). Các véc tơ vận tốc kéo theo ev r và vận tốc t−ơng đối là tại thời điểm trv r 1 = 4s đ−ợc biểu diễn trên hình 7.8. Về độ lớn vận tốc kéo theo xác định đ−ợc : ve = MK . ωe = 48,1 cm / s ≈ 0,48 m / s . -95- áp dụng định lý hợp vận tốc ta có : rea vvv rrr += Về độ lớn vận tốc tuyệt đối của M tại thời điểm t1 là : )s/m(5364,0)s/cm(64,532448vvVV 222r 2 eMa ==+=+== . Để xác định gia tốc tuyệt đối của M, từ định lý hợp gia tốc ta có : kreMa wwwww rrrrr ++== Chuyển động kéo theo là chuyển động tròn nên re n ee www rrr += . Trong đó : có ph−ơng chiều h−ớng từ M về K (xem hình 7.9), có độ lớn : . n ew r )s/cm(481.48.MKw 22e n e ==ω= r ew r có ph−ơng chiều trùng với ph−ơng chiều ev r có độ lớn : )s/cm(1225,0.48.MKw 22e r e ==ε= . Gia tốc t−ơng đối trong tr−ờng hợp này bằng không còn gia tốc Koriolit có ph−ơng chiều nh− trên hình vẽ. Có độ lớn : rw r kw r wk = 2ωe . vr .sin300 = 2.1.24.0,5 = 24 (cm / s2) . Chiếu biểu thức trên lên hai trục Mxy nh− trên hình ta có : wx = we r + wk = 12 + 24 = 36 cm / s 2 = 0,36 m/ s2. wy = we n = 48 cm / s2 = 0,48 m / s2. Gia tốc tuyệt đối của điểm )s/cm(c604836www 2222y 2 xM =+=+= . Ph−ơng và chiều của wM có thể xác định bằng các góc chỉ ph−ơng xác định nh− sau : ( ) 6,0 w w xwcos M x M == ; ( ) 8,0w w ywcos M y M == Thí dụ 7.3. : Cơ cấu điều chỉnh ly tâm biểu diễn nh− hình vẽ 7.10. Tại -96- thời điểm đang xét quả cầu quay quanh điểm treo O cùng với thanh OM với vận tốc góc và gia tốc góc ω1 = 2 rad / s và ε1 = 0,2 rad / s2. Cơ cấu quay quanh trục thẳng đứng với vận tốc góc và gia tốc góc ω2 =4 rad / s và ε2 = o,8 rad / s2. Xác định vận tốc tuyệt đối và gia tốc tuyệt đối của quả cầu M tại thời điểm đó. Cho biết kích th−ớc của cơ cấu tại vị trí đang xét là : l = 40 cm ; e = 5 cm ; α = 300. Bài giải ze C ve M vr R ε2 α ll ε ω1 e o ω2 1 vM = vA Trong bài toán này, chuyển động của cơ cấu quay quanh trục thẳng đứng là chuyển động kéo theo. Vận tốc góc kéo theo ωe = ω2 = 4 rad / s và gia tốc góc trong chuyển động kéo theo là εe = ε2 = 0,8 rad / s2. Chuyển động của quả cầu M quay quanh O là chuyển động t−ơng đối.Vận tốc góc trong chuyển động t−ơng đối là ωr = ω1 = 2 rad / s và gia tốc góc trong chuyển động t−ơng đối là εr = ε1 = 0,2 rad / s2. Hình 7.10 Quỹ đạo chuyển động t−ơng đối của M là đ−ờng tròn bán kính Quỹ đạo chuyển động kéo theo của M là đ−ờng tròn nằm tr vuông góc với trục quay AB và có bán kính : CM = R = e+1sin300 = 5+40.0,5 = 25 cm. Vận tốc tuyệt đối của điểm M đ−ợc xác định nh− sau : reMa vvvv rrrr +== ; ve = R.ωe = 25.4 = 100 cm / s ve có ph−ơng tiếp tuyến với quỹ đạo của chuyển động kéo t chiều quay của cơ cấu ; Vr tiếp tuyến với quỹ đạo của chuyển độn nghĩa là vuông 1 và tâm 0 ong mặt phẳng heo , h−ớ theo g t−ơng đối có -97- góc với thanh OM h−ớng theo chiều quay của ωr , có trị số Vr = l.ωr = 40.2 = 80 cm/s Nh− vậy hai véc tơ và ev r rv r vuông góc với nhau vì vậy độ lớn vận tốc tuyệt đối xác định đ−ợc : )s/cm(12880100vvv 222r 2 eM =+=+= . Ph−ơng chiều của VM xác định nh− trên hình vẽ 7.10. Vì chuyển động t−ơng đối và chuyển động kéo theo đều là chuyển động tròn nên biểu thức gia tốc tuyệt đối của điểm M ta có thể viết : n r r rke n e r M wwwwww rrrrrr ++++= . (a) Sau đây xác định độ lớn và ph−ơng chiều của các thành phần gia tốc ở vế phải . We t = R . εe = 25 . 0,8 = 20 cm / s2 . Wet cùng ph−ơng chiều với vận tốc kéo theo . n ew r = R. ω22 = 25.16 = 400cm/s2. H−ớng từ M vào C wrr = 1 . εr = 40 . 0,2 = 8 cm / s2. rrwr h−ớng theo chiều của vr . wr n = 1 . ω2r = 40 . 4 = 160 cm / s2. nrwr h−ớng từ M vào O wk = 2ωe . vr sin(ωetvr) = 2 . 4. 80 .0,866 = 554 cm / s2 ở đây góc < ( ) 0re 60v, =ω rr C R M wK wτr εr εe ωe ωr wne wnr wtc Z x α O nên sin(ωe,vr) = 0,866. Ph−ơng chiều của xác định theo ph−ơng pháp thực O hành sẽ tìm thấy nh− ở hình vẽ (7.11) . kw r y Để xác định gia tốc tuyệt đối Mw r ta chiếu ph−ơng trình (a) lên 3 trục xyz chọn nh− hình vẽ. Với cách chọn hệ trục trên ta thấy gia tốc kw r và rew r nằm trên trục x các gia tốc new r , rrw r , nrw r năm trong mặt phẳng yMz. Hình 7.11 Kết quả chiếu lên các trục thu đ−ợc :wx = - wk - wen = - -98- 554 - 20 = -574 cm / s2. wy = we r . cos300 - wr n . sin300 - we n ; = 8 . 0,866 - 160 . 0,5 - 400 = -473 cm / s2 ; Cuối cùng ta có : ( ) ( ) ( ) =+−+−=++= 2222z2y2xM 142473574wwww = 869 cm / s2 = 8,69 m / s2 Để xác định ph−ơng chiều của M ta phải xác định các góc chỉ ph−ơng của chúng đối với các trục : ( ) 869 574 w w xwcos M x M −== ; ( ) 869 473 w w ywcos M y M −== ( ) 869 142 w w zwcos M z M == .