Chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay quanh một trục cố định của vật rắn

-72- Ch−ơng 6 Chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay quanh một trục cố định của vật rắn Chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay quanh một trục cố định là hai chuyển động cơ bản của vật rắn. Sau này sẽ rõ, các chuyển động khác của vật rắn đều là kết quả tổng hợp của hai chuyển động nói trên. 6.1. Chuyển động tịnh tiến của vật rắn. 6.1.1. Định nghĩa Chuyển động của vật rắn gọi là tịnh tiến khi một đ−ờng thẳng bất kỳ gắn với vật có ph−ơng không đổi trong quá trình chuyển động . Cần phân biệt giữa chuyển động tịnh tiến với chuyển động thẳng. Trong chuyển động tịnh tiến quỹ đạo của một điểm cũng có thể là thẳng cũng có thể là cong. Thí dụ : Pít tông trong động cơ ô tô, máy kéo là vật rắn chuyển động tịnh tiến, mọi điểm trên nó có quỹ đạo là thẳng. C2 BA Khâu Ab trong cơ cấu hình bình hành OABO1 (hình 6.1) chuyển động tịnh tiến, mọi điểm trên nó có quỹ đạo là một đ−ờng tròn. Hình 6.1 6.1.2. Tính chất của chuyển động tịnh tiến. Định lý 6.1: Khi vật rắn chuyển động tịnh tiến mọi điểm trên vật có chuyển động nh− nhau nghĩa là quỹ đạo, vận tốc và gia tốc nh− nhau. r r B rr A A1 B1 B A a Z' O Z Hình 6.2 Chứng minh định lý : Giả tiết vật rắn chuyển động tịnh tiến -73- trong hệ tọa độ oxyz (hình 6.2). Lấy hai điểm A và B bất kỳ trên vật. Tại thời điểm t hai điểm A và B có véc tơ định vị Ar r , Br r . Theo hình vẽ ta có : ABrr AB += rr (6.1) Trong quá trình chuyển động, theo định nghĩa là véc tơ không đổi. Suy ra quỹ đạo điểm B là tập hợp của các điểm nằm trên quỹ đạo điểm A đã rời đi một đoạn thẳng bằng về độ lớn và ph−ơng chiều của véc tơ AB AB . Nói khác đi nếu ta dời quỹ đạo AA1 của điểm A theo véc tơ AB thì AA1 sẽ trồng khít lên quỹ đạo BB1. Ta đã chứng minh đ−ợc quỹ đạo của điểm A và B nh− nhau. Từ biểu thức ( 6.1) dễ dàng suy ra : A AB B vdt )AB(d dt rd dt rd v r rrr =+== , vì 0 dt AB = và dt vd dt vd AB rr = hay BA ww rr = Vì điểm A và B lấy bất kỳ do đó định lý đã đ−ợc chứng minh. Do tính chất trên của chuyển động tịnh tiến nên khi nói vận tốc và gia tốc một điểm nào đó trên vật chuyển động tịnh tiến cũng có thể hiểu đó là vận tốc và gia tốc của vật. 6.2. Chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố định. 6.2.1. Khảo sát chuyển động của cả vật. 6.2.1.1. Định nghĩa và ph−ơng trình chuyển động. Chuyển động của vật rắn đ−ợc gọi là chuyển động quay quanh một trục cố định khi trên vật tìm đ−ợc hai điểm cố định trong suốt thời gian chuyển động. Đ−ờng thẳng đi qua hai điểm cố định đó gọi là trục quay. Thí dụ : Cánh cửa quay quanh trục bản lề ; Phần quay của động cơ điện ; Ròng rọc cố định....là các vật rắn chuyển động quay quanh một trục cố định . -74- Mô hình vật rắn quay quanh một trục cố định biểu diễn trên hình vẽ (6.3). Để xác định vị trí của một vật ta dựng hai mặt phẳng : mặt phẳng π1 chứa trục quay cố định trong không gian , mặt phẳng π2 cũng chứa trục quay nh−ng gắn với vật. Khi vật chuyển động mặt phẳng π2 chuyển động theo, nếu xác định đ−ợc góc ϕ hợp bởi giữa π1 và π2 thì vị trí của vật đ−ợc xác định. Vì vậy góc ϕ là thông số định vị của vật. Khi vật quay góc ϕ biến đổi liên tục theo thời gian nghĩa là : ϕ = ϕ(t) (6.2) Ph−ơng trình (6.2) chính là ph−ơng trình chuyển động của vật rắn quay quanh một trục cố định. ϕπ1 π2 A B C Z Hình 6.3 6.2.1.2. Vận tốc góc và gia tốc góc của vật . Giả tiết trong khoảng thời gian ∆t = t1 - t0 vật rắn quay đ−ợc một góc : ∆ϕ = ϕ1 - ϕ0 Ta gọi tỷ số t∆ ϕ∆ là vận tốc góc trung bình của vật trong khoảng thời gian ∆t ký hiệu là ωtb . Lấy giới hạn của vận tốc góc trung bình khi ∆t dần tới không đ−ợc : ω=ϕ=∆ ϕ∆ →∆ dt d tlim0t ω gọi là vận tốc góc tức thời của vật. Nh− vậy vận tốc góc tức thời của vật rắn bằng đạo hàm bậc nhất theo thời gian của góc quay ϕ. Dấu của ω cho biết chiều quay của vật. Nếu ω > 0 có nghĩa là vật quay theo chiều d−ơng đã chọn và nếu ω < 0 thì vật quay ng−ợc theo chiều d−ơng đã chọn. Trị số ω đ−ợc tính bằng rad/giây viết tắt là 1/s. Để biểu diển cả về tốc độ quay và ph−ơng chiều quay của vật ta đ−a ra -75- khái niệm véc tơ vận tốc góc ωr . Véc tơ ωr đ−ợc xác định nh− sau : độ lớn của nó tốc độ góc ω, h−ớng dọc theo trục quay về phía sao khi nhìn từ mút của ω sẽ thấy vật quay quanh trục theo ng−ợc chiều kim đồng hồ. ωr = ω.kr với kr là véc tơ đơn vị trên trục quay. (hình 6.4). Z B A ωr εr k r B A ωr εr k r Z Hình 6.4a Hình 6.4b Vì vậy vận tốc góc cho biết tốc độ quay và chiều quay của vật do đó sự biến thiên của nó theo thời gian phản ánh tính biến đổi của chuyển động đó. Ta có định nghĩa gia tốc góc nh− sau : Gia tốc góc của vật ký hiệu là ε bằng đạo hàm bậc nhất theo thời gian của vận tốc góc hay đạo hàm bậc hai theo thời gian của góc quay. 2 2 dt d dt d ϕ=ω=ε (6.4). Đơn vị tính gia tốc là rad/(giây)2 viết tắt là 1/s2. Cũng nh− vận tốc, gia tốc có thể biểu diễn bằng một véc tơ εr xác định bằng đạo hàm theo thời gian của véc tơ . Ta có : ωr k.k. dt d dt d rrrr ε=ω=ω=ε Nh− vậy véc tơ gia tốc góc εr cũng nằm trên trục quay, khi ε > 0 thì εr cùng chiều với (hình 6.4a) và khi ε < 0 thì ωr εr ng−ợc chiều với (hình 6.4b). ωr -76- 6.1.1.3. Chuyển động quay đều và biến đổi đều. Nếu chuyển động quay có vận tốc góc ω không đổi ta nói chuyển động quay là đều. Khi đó biểu thức (6.3) rút ra : dϕ = ωdt. Nếu tích phân hai vế theo các cận t−ơng ứng ta có : ∫∫ ω=ϕ ϕ ϕ t 0t0 dtd hay ϕ = ϕ0 + ω(t - t0) . Với t0 = 0 thì ph−ơng trình chuyển động có thể viết : ϕ = ϕ0 + ωt . ở đây ϕ0 là góc quay ban đầu ứng với t = t0 = 0 . Nếu chọn ϕ0 = 0 thì ph−ơng trình còn lại là : ϕ = ωt . ở đây có thể tính đến vận tốc ω bằng biểu thức )s/rad( t ϕ=ω . Từ công thức này nếu tính vận tốc góc cho bằng n vòng/phút thì dễ dàng suy ra vận tốc góc tính theo radian/giây theo biểu thức : )s/rad(1,0 30 n. ≈π=ω . Nếu gia tốc ε là không đổi, chuyển động quay của vật gọi là chuyển động quay biến đổi đều.Từ biểu thức (6.4) suy ra : ∫ ∫ ϕ ϕ ε=ω 0 0 t t dtd hay ω = ω0 + εt. Mặt khác ta có : dt dϕ=ω nên có thể viết : dϕ = ω0dt + εtdt. Lấy phân tích hai vế ta đ−ợc : 2 tt 2 00 ε+ω+ϕ=ϕ -77- Nếu chọn ϕ0 = 0 thì 2 tt 2 0 ε+ω=ϕ 6.2.2. Khảo sát chuyển động của một điểm trên vật rắn chuyển động quay quanh một trục. Khảo sát điểm M nằm trên vật rắn quay quanh một trục cố định, cách trục quay một đoạn h. Khi vật rắn quay điểm M vạch ra một đ−ờng tròn bán kính h nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục quay có tâm c nằm trên trục quayAZ. (Hình 6.5). Bằng ph−ơng pháp toạ độ tự nhiên ta có thể viết ph−ơng trình chuyển động của điểm M : B A C h M VM ω Z Hình 6.5 S= h . ϕ(t). S là cung mà điểm M đi đ−ợc, t−ơng ứng với góc quay ϕ(t) mà vật quay đ−ợc. Vì ϕ là hàm của thời gian nên S cũng là hàm của thời gian. Biểu thức (6.5) là ph−ơng trình chuyển động của điểm M. Vận tốc của điểm M dễ dàng xác định nhờ biểu thức (5.8) ta có : ω=ϕ== .h dt d.h dt dsv (6.6). Vận tốc điểm M có trị số bằng h.ω và có ph−ơng tiếp tuyến với quỹ đạo có chiều h−ớng theo chiều quay của vật (hình 6.5) và nằm trong mặt phẳng của quỹ đạo. )MCv( M ⊥r Từ biểu thức (6.6) ta thấy vận tốc của điểm tỷ lệ với khoảng cách từ điểm tới trục quay và có thể biểu diễn theo hình vẽ (6.6). vr AV BVω A C B Cũng theo ph−ơng pháp toạ độ tự Hình 6.6 -78- nhiên ta có thể xác định đ−ợc gia tốc của điểm M. M n M t M www rrr += . ε=ω== .h dt dh dt dvw tM 2 222 n M .hh hvw ω=ω=ρ= ở đây nếu ε > 0 chiều của Mtwr cùng chiều với vr , nếu ε < 0 thì Mtwr ng−ợc chiều với vr . Còn chiều của luôn h−ớng từ M về tâm c. nMw Gia tốc điểm M xác định đ−ợc cả về độ lớn lẫn ph−ơng chiều. 422222M2nM2tM hh..hwww ω+ε=ω+ε=+= Mw r hợp với bán kính MC một góc à xác định bởi biểu thức : 2nw wr tg ω ε==à (xem hình 6.7). M à ε W W A I C N W N I à à AW M M C W τM à ε v W M n MW Hình 6.7 Hình 6.8 Từ biểu thức xác định wM ta thấy gia tốc của điểm M tỷ lệ bậc nhất với khoảng cách từ điểm tới trục quay. Có thể biểu diễn quy luật phân bố gia tốc các điểm nh− ở hình ( 6.8.) Thí dụ 6.1 : Một bánh đà đang quay với vận tốc n = 90 vòng/phút ng−ời ta hãm cho nó quay chậm dần đều cho đến khi dừng hẳn hết 40 giây. Xác định số -79- vòng quay bánh đà quay đ−ợc trong thời gian hãm đó. Bài giải: Ph−ơng trình chuyển động của bánh đà là : 2 tt 2 ε−ω=ϕ ; ω0 = ω0 - εt. ở đây ta chọn góc quay ban đầu ϕ0 = 0 . Tại thời điểm t0 = 0 30 n 0 π=ω tại thời điểm t = t1 khi bánh đà dừng hẳn ω = ω1 = 0. Suy ra : ω = 0 =ω0 - εt hay t30 n t 0 π=ω=ε Thay vào trên ta t c : 1 30 ntN2 −π=π=ϕ hay 30 120 ntN 1 == Từ khi bắt đầu p vòng nữa. Thí dụ 6.2 : Trọn bán kính r trên đó lắp b R2 nh− hình vẽ ( 6.9 ). C và có gia tốc a không đ tốc và gia tốc của điểm Bài giải: Vì vật B chuyển đ VB = at. Điểm A có vận tốìm đ−ợ11 t60 nt 60 n π=π , (vòng) hanh cho đến khi dừng hẳn bánh đà còn quay đ−ợc 30 g vật B rơi xuống truyền chuyển động quay cho trống có ánh răng 1 bán kính R1 ăn khớp với bánh răng 2, bán kính ho biết trọng vật đ−ợc thả xuống không vận tốc ban đầu ổi. Xác định quy luật chuyển động của bánh răng 2, vận M trên vành bánh răng 2 tại thời điểm t = 2 giây. ộng xuống theo quy luật nhanh dần với gia tốc a nên : c bằng vận tốc điểm B -80- VA = ω1r = at. Trong đó ω1 là vận tốc góc của trục bánh răng 1. Suy ra : r at 1 =ω Để xác định vận tốc góc ω2 của bánh răng 2 căn cứ vào vận tốc điểm ăn khớp C của hai bánh răng, ta có : M C v ω2 R2 ω1 R1 A r VC = ω1R1 = ω2R2, Hay r at. R R. R R 2 1 1 2 1 2 =ω=ω . Vận tốc góc bánh răng 2 là hàm của thời gian. Dễ dàng tìm đ−ợc góc quay của bánh răng 2. Ta có : 2 1 B dt d r at. R R 2 2 1 2 ϕ==ω Hình 6.9 hay atdt. rR Rd 2 1 2 =ϕ . Chọn ϕ0 = 0 ứng với t0 = 0 và ϕ1 ứng với t = t1. Sau đó tích phân hai vế ta đ−ợc : at. rR2 R 2 1 2 =ϕ 2 . Đây chính là ph−ơng trình chuyển động của bánh răng 2. Vận tốc của điểm M trên vành bánh răng 2 bằng vận tốc của điểm C. Ta có : at. r RRVV 111cM =ω== (m/s ) Khi t= 2 giây gia tốc của điểm M cũng nh− gia tốc điểm C. Ta có : -81- 2 dt d.R.R 22 t cWƯ ω=ε= với a. rR R dt d 2 12 =ω Thay vào biểu thức gia tốc tiếp tuyến và pháp tuyến của điểm C ta có : a. r R w 1tC = 2 2 2 22 1 2 22 2 2 2 1 .2 2 22 n C trR aR r ta. R R RRw ==ω= Với t = 2 sẽ đ−ợc : 2 2 22 1n C rR aR4 w = Gia tốc toàn phần của điểm C là ; 22 2 22 11 22 2 44 1 22 2 22 1 2c rR aR161 r aR rR aR8 r.R aRRw +=+= 6.2.3.Truyền chuyển động quay của vật rắn quanh các trục song song Khảo sát tr−ờng hợp rất phổ biến trong kỹ thuật cơ khí là sự truyền chuyển động quay của các bánh răng trụ . 6.2.3.1. Truyền chuyển động quay của các bánh răng trụ có trục quay cố định Tr−ớc hết ta xét hai bánh răng 1 và 2 quay quanh hai trục O1 và O2 cố định biểu diễn trên hình 6.10. Hình 6.10a là hai bánh răng ăn khớp ngoài còn hình 6.10.b là hai bánh răng ăn khớp trong. Nếu gọi A là điểm ăn khớp của hai bánh răng ta có nhận xét rằng vận tốc của điểm A trên hai bánh răng bằng nhau nghĩa là: ⏐ω1⏐.r1 = ⏐ω2⏐.r2 -82- ω1 ω20 1 2 1 0 2 A Trong đó r1 và r2 là bán kính của hai bánh răng 1 và 2. Từ kết quả trên suy ra biểu thức sau: ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ω ω 2 1 ăn khớp ngoài = - 1 2 r r = - 1 2 z z (6.11) Hình 6-10a ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ω ω 2 1 ăn khớp trong = 1 2 r r = 1 2 z z (6.12) ω1 0 1 1 Aω2 02 2 z1 và z2 là số răng của bánh răng 1 và 2. Tiếp theo ta xét tr−ờng hợp hệ có nhiều bánh răng trụ ăn khớp với nhau và có trục quay cố định (Hình 6.11). Hình 6-10b Tr−ớc hết khảo sát các bánh răng ăn khớp ngoài. Theo biểu thức (6.1) áp dụng cho các cặp bánh răng tiếp theo ta có: ω10 1 0 2 0 3 ω2 ω3 Hình 6 - 11 1 2 2 1 r r−=ω ω ; 2 3 3 2 r r−=ω ω ; ... ; ( ) 1n n1n n 1n r r 1 − −− −=ω ω Hay 1 2 2 1 r r−=ω ω ; 1 3 3 1 r r=ω ω ; .....; ( ) 1 n1n n 1 r r 1 −−=ω ω Một cách tổng quát ta có: ( ) 1 nk n 1 r r 1−=ω ω (6.13) ở đây k là số cặp bánh răng ăn khớp ngoài. Nếu số cặp bánh răng ăn khớp -83- ngoài là chẵn thì ωn cùng chiều với ω1 và số cặp bánh răng ăn khớp ngoài là lẻ thì ωn ng−ợc chiều với ω1. Nói cách khác đi nếu n chẵn thì ωn ng−ợc chiều với ω1 và n lẻ thì ωn cùng chều với ω1. Trong tr−ờng hợp các bánh răng ăn khớp trong. Theo biểu thức (6.2) áp dụng cho các cặp bánh răng tiếp theo dễ dàng nhận đ−ợc kết quả: 1 n n 1 r r=ω ω (6.14) Điều này chứng tỏ vận tốc góc của các bánh răng tiếp theo không đổi chiều và chỉ phụ thuộc vào tỷ số giữa hai bán kính r1 và rn. 6.2.3.2. Truyền chuyển động quay của các bánh răng trụ có trục quay nằm trên giá di động Khảo sát sự truyền chuyển động của các bánh răng cho trên hình (6.12) ở đây bánh răng 1 cố định còn bánh răng 2 và 3 có trục C và B nằm trên giá AB giá này quay quanh A với vận tốc góc ωAB. ω A B AB (1) (2) (3) Bài toán đặt ra là phải xác định vận tốc góc của 2 bánh răng 2 và 3. Để đ−a bài toán về tr−ờng hợp đã xét ở 6.2.3. ta phải tìm cách cố định giá AB. Muốn vậy ta cho toàn bộ hệ quay ng−ợc lại với vận tốc góc ωAB quanh A. Ph−ơng pháp này gọi là ph−ơng pháp Vilít. Khi đó các vận tốc góc t−ơng đối ωK' của các khâu sẽ là ωK' = ωk - ωAB. Trong đó ωK là vận tốc góc tuyệt đối. Rõ ràng lúc này giá AB sẽ có vận tốc là ωAB' = ωAB - ωAB = 0. Còn các bánh răng 1 và 2 có các vận tốc t−ơng đối là: Hình 6-12 ω1' = ω1 - ωAB và ω2' = ω2 - ωAB Với kết quả này ta có thể tính đ−ợc ω1' và ω2' theo kết quả đã khảo sát ở mục 6.2.3 và từ đó xác định đ−ợc ω2 và ω3. -84- Thí dụ6-3 : Khảo sát các bánh răng trên hình (6.12 ) cho biết bánh răng 1 có bán kính R1. Giá AB quay với vận tốc góc ωAB. Bánh răng 3 có bán kính R3. Xác định vận tốc của bánh răng 3. Bài giải: ω A B AB (1) (2) (3) −ωAB 1ω′ 3ω′ AB Gọi vận tốc góc tuyệt đối của các bánh răng là ω1, ω2, ω3. Vì bánh răng 1 cố định nên ω1 = 0. áp dụng ph−ơng pháp Vilít vào hệ ta có: Hình 6-13 ω1' = 0 - ωAB; ω2' = ω2 - ωAB; ω3' = ω3 - ωAB còn ωAB' = 0 nghĩa là giá AB đứng yên. áp dụng công thức (6. 13) cho tr−ờng hợp này với k = 2 ta có: 1 3 ' 3 ' 1 r r=ω ω hay 1 3 AB3 AB r r=ω−ω ω− Suy ra: ω3 = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − 3 1 r r 1 .ωAB Nếu r1 r3 thì ω3 ng−ợc chiìu với ωAB và đặc biệt r1 = r3 thì ω3 = 0 bánh răng 3 sẽ chuyển động tĩnh tiến.