Chuyên đề Tích phân

Trương Văn Đại Cao Học Toỏn Giải Tớch SĐT : 01672828224 CHUYấN ĐỀ TÍCH PHÂN PHẦN 1 : NGUYấN HÀM A. Lí THUYẾT CẦN NẮM 1.Định nghĩa : Cho hàm số f(x) xỏc định trờn K, khi đú : Nguyờn hàm của hàm số f (x) là một hàm số F(x) sao cho F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K. (K là khoảng , đoạn hoặc nửa khoảng) VD1 :  Hàm F(x) = 2 1x  là một nguyờn hàm của f(x) = 2x Vỡ :   '2 1x  =2x  Hàm f(x) = 1 2 x cú 1 nguyờn hàm là x vỡ   ' 1 2 x x  VD2 : Tỡm một nguyờn hàm của cỏc hàm số sau a) f(x) = 2x b) f(x) = sinx c) f(x) = cosx Giải: a) f(x) = 2x Vỡ ' 3 21 3 x x       nờn F(x) = 3 1 3 x là một nguyờn hàm của hàm số f(x) = 2x Chỳ ý : Ta để ý rằng 3 1 3 x + c ( với c là một hằng số) cũng là một nguyờn hàm của hàm số f(x) = 2x . ( vỡ sao ???) b) Lập luận tương tự ta tỡm được F(x) = cos x là một nguyờn hàm của f(x) = sinx và ta cũng cú cos x c  ( với c là một hằng số) cũng là một nguyờn hàm của f(x) = sinx c) Tương tự a , b Nhận xột :  Ta thấy ngay rằng, nếu F(x) là một nguyờn hàm của f(x) thỡ F(x) + C cũng là một nguyờn hàm của f(x).C là một hằng số tựy ý .Bạn đọc lớ giải điều này là tại sao để hiểu thờm về định nghĩa nguyờn hàm nhộ ^^. Trương Văn Đại Cao Học Toỏn Giải Tớch SĐT : 01672828224  Ngược lại , nếu F(x)là một nguyờn hàm của hàm số f(x) thỡ mọi nguyờn hàm khỏc của f(x) đều sai khỏc với F(x) một hằng số cộng. Điều này cú nghĩa là, nếu F(x) và G(x) là 2 nguyờn hàm của một hàm f(x) thỡ tồn tại số C sao cho F(x) = G(x) + C (hoặc G(x) = F(x) + C) Chứng minh :Thật vậy , ta giả sử F(x) và G(x) là 2 nguyờn hàm của một hàm f(x) khi đú ta xột :   ' ' '( ) ( ) ( ) ( )F x G x F x G x   = ( ) ( ) 0f x f x  Suy ra ( ) ( )F x G x =C, vậy F(x) = G(x) + C (đpcm) Lỳc này ta kớ hiệu : ( )f x dx để chỉ tập hợp ( hay họ ) tấc cả cỏc nguyờn hàm của f(x) 2.Tớnh chất của nguyờn hàm : 1.1 ' ( ) ( )f x dx f x C  1.2 . ( ) ( )k f x dx k f x dx  với k là một hằng số ( tức là ta cú thể đưa hằng số ra ngoài dấu tớch phõn) 1.3  ( ) ( ) ( ) g( )f x g x dx f x dx x dx     (tức là nguyờn hàm của một tổng(hay hiệu) bằng tổng (hay hiệu)cỏc nguyờn hàm tương ứng) Chỳ ý : Hàm dưới dấu tớch phõn theo biến gỡ thỡ vi phõn d phải là biến đú . tức là : hàm f(t) thỡ vi phõn phải là dt , hàm f(u) thỡ vi phõn phải là du . Cụ thể là : ( ) ( )f t dt F t C  hoặc (u) (u)f du F C  Nguyờn hàm dạng (u)f dt hay (x)f dt là khụng tớnh được . VD : Tỡm nguyờn hàm   2015 1x dx . Nhận xột : nguyờn hàm này cú dạng u dx với  1 2015 u x      Núi chung , nếu khụng biến đổi thỡ đõy là nguyờn hàm khụng cơ bản và do đú khụng ỏp dụng cụng thức cơ bản để tớnh được . Trương Văn Đại Cao Học Toỏn Giải Tớch SĐT : 01672828224 3.Bảng cỏc nguyờn hàm cơ bản : Nguyờn hàm cỏc hàm số sơ cấp Hàm số hợp tương ứng (dưới đõy u = u(x)) 0dx C dx x C  1 1 x x dx C        (≠ -1) 1 lndx x C x   x xe dx e C  ln x x aa dx C a   cos sinxdx x C  sin cosxdx x C   2 1 tan cos dx x C x   2 1 cot sin dx x C x    0du C du u C  1 1 u u du C        (≠ -1) 1 lndu u C u   u ue du e C  ln u u aa du C a   cosudu sinu C  sinu cosudu C   2 1 tanu cos du C u   2 1 cotu sin du C u    B.MỘT SỐ CHÚ í KHI TèM CÁC NGUYấN HÀM CƠ BẢN Chỳ ý 1 : Gặp nguyờn hàm của một tổng cỏc hàm thỡ ta thường tỏch thành từng tổng cỏc nguyờn hàm để tớnh cho đỡ phức tạp . VD1 : Tỡm 3 2(4 2 1)x x dx  Giải 3 2(4 2 1)x x dx  = 3 24 2 1x dx x dx dx    Trương Văn Đại Cao Học Toỏn Giải Tớch SĐT : 01672828224 = 4 3 1 2 34 2 4 3 x x C C x C     = 4 3 4 2 4 3 x x x C   ( với 1 2 3C C C C   ) Chỳ ý 2 : một số cụng thức biến đổi hay hay dựng  m m m na a  1 n n x x  Chỳ ý 3 : cụng thức hay quờn  ln x x aa dx C a   ; vớ dụ : 3 3 ln 3 x xdx C  VD2 : Tỡm họ cỏc nguyờn hàm của sau a) (2 4)x dx b) 2 1( 4 )x x dx x   c) 2 2(3 )x dx d) ( )( 2)x x dx  e) 4 2 2x dx x f ) 3 1 ( 2 )xx dx x   Chỳ ý 4 : KĨ THUẬT DÙNG VI PHÂN HÀM HỢP ĐỂ TÍNH NGUYấN HÀM Cơ sở của kĩ thuõt này là việc vận dụng cụng thức :     ' d u x u x dx       Nếu để ý chỳng ta sẽ nhận thấy rằng cú những nguyờn hàm mà biểu thức dưới dấu tớch phõn cú dạng sau : ( ).g(x)dxf u Trong đú , ( )duf u là nguyờn hàm cơ bản và ta cú thể tớnh ngay bằng bảng nguyờn hàm cơ bản. Tuy nhiờn lỳc này ta chỉ cú vi phõn trong dấu tớch phõn là dx , do đú ta khụng thể ỏp dụng ngay cụng thức ( )duf u ngay được . Vậy làm sao để tớnh ??? Cõu hỏi này được trả lời khi ta nhỡn lại nguyờn hàm ( ).g(x)dxf u và nhận xột rằng Trương Văn Đại Cao Học Toỏn Giải Tớch SĐT : 01672828224 g(x)dx cú quan hệ với du ,và từ quan hệ này ta cú thể chuyển g(x)dx về vi phõn d(u) . Tới đõy thỡ việc cũn lại chỉ cũn là ỏp dụng bảng nguyờn hàm cơ bản nữa mà thụi . Và để hiểu hơn về kĩ thuật này tụi xin trỡnh bày một vài vớ dụ điển hỡnh sau : VD3 : Tỡm họ cỏc nguyờn hàm sau , 1I    2015 1x dx Nhận xột : Ta thấy rằng   2015 1x dx cú dạng u dx   với u = x+1 gần với cụng thức u du   do đú ta dự đoỏn rằng dx và du cú mối quan hệ với nhau ( đõy là ý tưởng hỡnh thành cỏc bước tỡm nguyờn hàm núi trờn ) Giải : Ta cú , d(x+1)=   ' 1x dx dx  Suy ra dx = d(x+1) . Vậy   2015 1x dx =   2015 1 ( 1)x d x  =   2016 1 2016 x C   Bạn đọc đó hỡnh dung được kĩ thuật này chưa ?, hóy cố gắng hỡnh dung ý tưởng và tự tỡm ra phương phỏp cho trường hợp tổng quỏt sau đõy :   n ax b dx 2015 2 ln ( )x I dx x   Nhận xột :cũng với tư tương như cõu trước , ta thấy rằng 2015 2 ln ( )x I dx x   cú dạng 2 .f(x)I u dx   với u = lnx và f(x) = 1 x gần với cụng thức u du do đú ta dự đoỏn rằng ( )f x dx = 1 dx x và du cú mối quan hệ với nhau ( đõy là ý tưởng hỡnh thành cỏc bước tỡm nguyờn hàm núi trờn ) Giải : Ta cú , d(lnx)= 1 dx x Suy ra dx x =d(lnx) Vậy 2015 2 ln ( )x I dx x   = 2015ln ( ) (ln )x d x Trương Văn Đại Cao Học Toỏn Giải Tớch SĐT : 01672828224 =  2016ln 2016 x C Tới đõy thỡ tụi nghĩ rằng bạn đọc đó hỡnh dung được kĩ thuật này một cỏch rừ ràng lắm rồi , hóy chứng minh điều đú bằng cỏch tự tỡm ra phương phỏp cho trường hợp tổng quỏt sau đõy ln ( )n x c dx x   , hơn thế nữa bạn đọc cú thể thấy rằng việc xuất hiện lnx và 1 x trong biểu thức dưới dấu tớch phõn cú thể là dấu hiệu để ta sử dụng kĩ thuật vi phõn ở trờn ^^. 2015 3 2 (1 tanx) cos I dx x    Giải : Ta cú , d(1+tanx) =   ' 2 1 tan cos dx x dx x   Suy ra 2cos dx x = d(1+tanx) Vậy 2015 3 2 (1 tanx) cos I dx x    = 2015(1 tanx) (tan 1)d x  = 2016(1 tanx) 2016 C   Như vậy là tụi đó trỡnh bày 3 vớ dụ theo tụi là, mang tớnh điển hỡnh để bạn đọc tiện hỡnh dung về mặt phương phỏp, sau đõy tụi xin giới thiệu thờm 1 hệ thống bài tập nữa để bạn đọc tự rốn lyện thờm nhộ BÀI TẬP TỰ LUYỆN : Bài tập 1 : CHỨNG MINH CÁC CễNG THỨC SAU ; Trương Văn Đại Cao Học Toỏn Giải Tớch SĐT : 01672828224 Bài tập 3 : TÍNH CÁC TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH SAU ;     2015 2015 2015 cos sin ) I cos sin ; ) I ; ) I cos sin 1 x x x x e a x xdx b dx c dx x x e              2 43 4 2 2 ln 1 2 3 ) ; ) ; ) 1 3 2 x x d I dx e I dx f I x x dx x x x                 52015 2g) 1 ; ) 1 2 ; ) sin 2015 1I x dx h x x dx i I x dx       Chỳ ý 5 : NGUYấN HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Theo kinh nghiệm chủ quan của tụi , tụi cho rằng khi tỡm nguyờn hàm của một số hàm lượng giỏc chỳng ta phải đặc biệt chỳ ý đến cỏc cụng thức biến đổi sau ;  2 1 cos 2 sin 2 x x    2 1 cos 2 cos 2 x x    2 2sin cos 1x x  hay ý nghĩa hơn ta viết 2 21 sin cosx x   2 2cos 2 cos sin 1 cos cos 2 2 x x x x x                 suy ra : 2 2cos cos sin 2 2 x x x    sin 2 2sin cos 1 sin sin 2 2 x x x x x              suy ra : sin 2sin cos 2 2 x x x     2 1 sin 2 sin cosx x x      ' 2 2 1 tan 1 tan cos x x x    suy ra :  2 2 1 tan (tan ) tan 1 (tan ) tan cos x dx d x x C dx d x x C x                Gặp  tan ;cotF x x dx thường thỡ ta biến đổi thành  sin ;cosF x x dx , tức là biến đổi sin tan cos cos cot sin x x x x x x       VD4: Tỡm họ cỏc nguyờn hàm sau 2 2 2 2) sin ; ) cos ; ) tan ; ) cot ; ) ; sin dx a xdx b xdx c xdx d xdx e x     2 2 2 2 cos 2 f) ; g) ; h) sin 2 x cos3 ; cos sin cos sin dx x dx xdx x x x x   Giải : Trương Văn Đại Cao Học Toỏn Giải Tớch SĐT : 01672828224 a) Ta cú 2 1 cos 2 1 1 sin cos 2 2 2 2 x xdx dx x dx             1 2 1 1 1 1 1 1 cos 2 sin 2 sin 2 2 2 2 4 2 2 dx xdx x C x C x x C                             Với 1 2C C C  . b) Ta cú 2 1 cos 2 1 1 cos cos 2 2 2 2 x xdx dx x dx             1 2 1 1 1 1 1 1 cos 2 sin 2 sin 2 2 2 2 4 2 2 dx xdx x C x C x x C                             Với 1 2C C C  . c) Ta cú :    2 2 2tan 1 tan 1 1 tan 1xdx x dx x dx               2 1 21 tan tan tanx dx dx x C x C x x C           Với 1 2C C C  . d) Ta cú :    2 2 2co t 1 cot 1 1 cot 1xdx x dx x dx               2 1 21 cot cot cotx dx dx x C x C x x C            Với 1 2C C C  . e) Phõn tớch :  Ta để ý rằng : sin 2sin cos 2 2 x x x  , do đú sin 2sin cos 2 2 dx dx x xx    Lại tiếp tục : 2 21 sin cosx x  , do đú 2 2sin cos 1 1 2 2 2 22sin cos sin cos sin cos 2 2 2 2 2 2 x x dx dx dx x x x x x x       Vỡ 2 2 2 2sin cos sin cos sin cos 2 2 2 2 2 2 sin cos sin cos sin cos cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x      nờn ta cú Trương Văn Đại Cao Học Toỏn Giải Tớch SĐT : 01672828224 2 2sin cos sin cos sin cos 1 1 12 2 2 2 2 2 2 2 2sin cos cos sin cos sin 2 2 2 2 2 2 x x x x x x dx dx dx dx x x x x x x                                   sin cos sin cos 1 1 1 12 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2cos sin cos sin 2 2 2 2 x x x x x x x x d d d d x x x x                                                 1 2 1 ln cos ln sin 4 2 2 x x C C                    Vậy bài giải là : Ta cú 2 2sin cos 1 1 2 2 sin 2 22sin cos sin cos sin cos 2 2 2 2 2 2 x x dx dx dx dx x x x x x xx        sin cos sin cos 1 12 2 2 2 2 2cos sin cos sin 2 2 2 2 x x x x dx dx dx x x x x                                 sin cos sin cos 1 1 1 12 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2cos sin cos sin 2 2 2 2 x x x x x x x x d d d d x x x x                                                 1 2 1 1 ln cos ln sin ln cos ln sin 4 2 2 4 2 2 x x x x C C C                        Với 1 2C C C  f) Ta cú 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin cos sin dx x x x x dx dx dx x x x x x x x x           1 22 2 1 1 tan cot tan cot cos sin dx dx x C x C x x C x x            Với 1 2C C C  . g) Ta cú 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos 2 cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin x x x x x dx dx dx dx x x x x x x x x        Trương Văn Đại Cao Học Toỏn Giải Tớch SĐT : 01672828224      1 22 2 1 1 cot tan cot tan sin cos dx dx x C x C x x C x x             Với 1 2C C C  . h) Ta để ý rằng   1 sin 2 x cos 3 sin 5 sin 2 x x x  do đú   1 1 1 sin 2 x cos3 sin 5 sin sin 5 sin 2 2 2 xdx x x dx xdx xdx       1 2 1 1 1 1 cos5 cos cos5 cos 10 2 10 2 x C x C x x C                      Với 1 2C C C  . BÀI TẬP TỰ LUYỆN : Tớnh cỏc tớch phõn bất định sau: 3 4 3 2 2010 2 3 2 1 – ln ) ; ) ; ) ; ) 3 2 2 1 1 ; ) cos 1 sin x a b c e dx x x x x x x x x dx x dx dx d x x x dx x                        2 34 5 4 3 3 2 43 2 3 1 4 3 1 1 f) ; ) x ; ) x dx ; ) x 2 x dx x ; )x x xdx g dx h dx j x xx i                        3 4 2 22 33 1 1 x 4k) x 1 x- x 2 dx ; ) x dx ; ) x dx dx ; 0) ax b dx xx ; ) xl m x n                          2-5x 2 3 4 x e 1 p) ; ) x x a x b dx ; ) 2 1-cos2xdx ; ) e ; )x xx x x dx q r e dx t dxs          C .MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TèM NGUYấN HÀM : 1.Phương phỏp đổi biến số. Giả sử ta cần tớnh tớch phõn ( )dxI f x  Đổi biến số dạng 1: Nếu f(x) cú thể biểu diễn dưới dạng   ,1( ) ( ) ( )f x f x x  , tức là   ,1 ( ) ( ) dxI f x x   . Lỳc này ta tớnh tớch phõn I như sau : 2 2 3 3 1 1 2 ( 1) 1 ) ; v) ; ) ; ) x x x u dx dx x dx y dx xx x x x             Trương Văn Đại Cao Học Toỏn Giải Tớch SĐT : 01672828224  Đổi biến ,t ( ) ( )x dt x dx     Thay vào I ta được   ,1 ( ) ( )dx ( ) dtI f x x f t    MỘT SỐ KIỂU ĐỔI BIẾN THƯỜNG DÙNG : 1. Nếu hàm có chứa dấu ngoặc kèm theo luỹ thừa thì đặt t là phần bên trong dấu ngoặc nào có luỹ thừa cao nhất. 2. Nếu hàm chứa mẫu số thì đặt t là mẫu số. 3. Nếu hàm số chứa căn thức thì đặt t là phần bên trong dấu căn thức. 4. Nếu tích phân chứa x dx thì đặt xlnt  . 5. Nếu tích phân chứa xe thì đặt xet  . 6. Nếu tích phân chứa x dx thì đặt xt  . 7. Nếu tích phân chứa 2x dx thì đặt x 1 t  . 8. Nếu tích phân chứa xdxcos thì đặt xsint  . 9. Nếu tích phân chứa xdxsin thì đặt xcost  . 10. Nếu tích phân chứa xcos dx 2 thì đặt tgxt  . 11. Nếu tích phân chứa xsin dx 2 thì đặt gxcott  . Đổi biến số dạng 2: Giả sử ta muốn tớnh tớch phõn ( )dxI f x  mà khụng dựng được phộp đổi biến dạng 1 thỡ ta cú thể đổi biến như sau :  Đặt (t)x  với (t) là hàm cú đạo hàm liờn tục và cú hàm ngược . Khi đú tớch phõn cần tớnh được đưa về dạng đơn giản hơn như sau :   ,( ) dx (t) (t)dtI f x f     MỘT SỐ KIỂU ĐỔI BIẾN THƯỜNG DÙNG : Dấu hiệu Cỏch chọn 2 2a x sin 2 2 ost 0 t x a t t x a c               2 2x a   ; sin 2 2 0; \ ost 2 a x t t a x t c                         Trương Văn Đại Cao Học Toỏn Giải Tớch SĐT : 01672828224 2 2a x   tan ; 2 2 cot 0; x a t t x a t t                  a x a x a x a x      x=a.cos2t   x a b x  x=a+   2sinb a t