Chuyên đề Số phức - Nông Thu Trang

Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 1 SỐ PHỨC I. Mở đầu: Do nhu cầu phát triển của Toán học, các nhà Toán học đã lần lượt đưa ra các loại số mới. Từ tập các số tự nhiên, đến tập các số nguyên, tập số hữu tỷ rồi rộng hơn là tập số thực. Tuy nhiên nếu chỉ dừng lại ở tập số thực thì một phương trình đơn giản như 2 1 0x   không có nghiệm, vậy cần xây dựng tập số mới để phương trình trên có nghiệm, hay rộng hơn là các phương trình bậc hai có biệt thức 0  vẫn có nghiệm. Tập số mới cần được xây dựng sao cho phải phong phú hơn các số thực và có thể coi số thực là trường hợp riêng của tập đó. Người ta đã đưa ra khái niệm số phức. II. Số phức và các phép toán trên số phức: 1. Khái niệm số phức: Một biểu thức dạng : z a bi  , ,a b R (1) được gọi là một số phức. Trong đó: i là số thỏa mãn 2 1i   , gọi là đơn vị ảo a gọi là phần thực của z, ký hiệu : Re( )a z b gọi là phần ảo của z, ký hiệu : Im( )b z . Dạng (1) gọi là dạng chính tắc (hay dạng đại số) của số phức. Tập hợp tất cả các số phức ký hiệu là C . Đặc biệt : * Khi 0b  ta có số phức z a chính là số thực. * Khi 0a  ta có số phức dạng z bi gọi là số thuần ảo. * Hai số phức z a bi  và w  c di gọi là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau, nghĩa là: a c z w b d      . Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 2 2. Các phép toán trên số phức : Cho hai số phức z a bi  và w  c di . Ta có các phép toán sau :  Phép cộng : w ( ) ( ) ( ) ( )        z a bi c di a c b d i  Phép trừ: w ( ) ( ) ( ) ( )        z a bi c di a c b d i  Phép nhân: .w ( )( ) ( ) ( )      z a bi c di ac bd ad bc i  Phép chia: 2 2 2 2 ( 0)w            z a bi ac bd bc ad i c di c di c d c d Xét phép toán cộng và phép nhân hai số phức, ta dễ dàng thấy chúng có đầy đủ tính chất như phép cộng và phép nhân hai số thực là tính giao hoán, kết hợp, phân phối của phép nhân với phép cộng. Với phép toán cộng : * Tính chất giao hoán : Czzzzzz  211221 ,, * Tính chất kết hợp : Czzzzzzzzz  321321321 ,,),()( * Cộng với 0 : Czzz  ,00 * Với mỗi số phức z a bi  , ,a b R , nếu kí hiệu số phức z a bi    , ,a b R , thì ta có ( ) ( ) 0z z z z      . Số –z được gọi là số đối của số phức z. Với phép toán nhân : * Tính chất giao hoán : Czzzzzz  211221 ,,.. * Tính chất kết hợp : Czzzzzzzzz  321321321 ,,),()( * Tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng : Czzzzzzzzzzzzzzzzz  32132313213121321 ,,,)(,)( * Nhân với đơn vị : Czzz  ,.11. Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 3 * Với mỗi số phức z a bi  , , , , 0a b R a b  , nếu kí hiệu 1 2 2 2 2 a b z i a b a b      thì ta có: 1 1 1  zz z z . Số 1z gọi là nghịch dảo của số phức z. Với những tính chất trên, có thể coi tập các số thực là trường hợp riêng của tập các số phức. 3. Biểu diễn hình học của số phức: Mỗi số phức  z a bi  , a b R được biểu diễn bởi một điểm M(a;b) trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ngược lại mọi điểm M(a;b) trong mặt phẳng Oxy đều có thể xem là ảnh của số phức a + bi. Do đó mặt phẳng Oxy còn được gọi là mặt phẳng phức. Các số phức dạng 0z a i  (ta đồng nhất với số thực a) được biểu diễn bởi các điểm M(a,0) trên trục Ox, do đó trục Ox còn được gọi là trục thực. Trục Oy được gọi là trục ảo, các điểm nằm trên trục ảo tương ứng với các số phức dạng ,z bi b R  . 4. Số phức liên hợp: Cho số phức  z a bi . Số phức  z a bi được gọi là số phức liên hợp của z. Về mặt hình học hai số phức z và z được biểu diễn bởi hai điểm đối xứng nhau qua trục thực Ox. O M(a;b) x a b . y Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 4 Một số tính chất của số phức liên hợp : 1.  z z z là số thực. 2.   z z z là số thuần ảo 3. Cwzwzwz  ,, 4. Cwzwzwz  ,,.. 5. Cwz w z w z       ,, . 5. Dạng lượng giác của số phức : Cho số phức  z a bi có ảnh là điểm M trên mặt phẳng Oxy. Giả sử 0z  , khi đó điểm M  gốc O. Đặt: , ( , )r OM Ox OM    . Khi đó r là một số thực dương, gọi là modun của z, kí hiệu z . y x y M O a b r  M(a;b) M’(a;-b) x O Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 5  gọi là argument của z, kí hiệu ( )Arg z . ( )Arg z không duy nhất mà sai khác nhau Zkk ,2  . Chiếu vuông góc véc tơ  OM lên hai trục Ox và Oy ta được: cos sin    a r b r   Khi đó: cos sin ( os sin )     z a bi r ir r c i    . Vậy có: ( os sin ) z r c i  (2) Trong đó 2 2 , cos , sin    a b r a b r r   . Số phức z viết dưới dạng (2) được gọi là dạng lượng giác. Một số phép toán thực hiện trên dạng lượng giác của số phức : Cho hai số phức : 1 1 2 2( os sin ), ( os sin )   z r c i z r c i    . Ta dễ dàng chứng minh các công thức sau:  Phép nhân:  1 2 1 2 os( ) sin( )   z z r r c i     Phép chia:  1 1 2 2 2 os( ) sin( ) ( 0)     z r c i z z r     .  Phép nâng lên lũy thừa : Với ( os sin ) z r c i  thì Nnninrz nn  ),sin(cos  (3). Công thức (3) còn được gọi là công thức Moivre. Chú ý rằng công thức (3) vẫn đúng trong trường hợp n nguyên bằng không hoặc âm, nghĩa là nó đúng với mọi Zn .  Căn bậc n của số phức : Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 6 Xét phương trình na z . Giả sử ( os sin ) (cos sin )     z r c i a i      Vì na z nên (cos sin ) ( os sin )   n n i n r c i     . Suy ra n r  Zkkn  ,2  Hay  n r , 2 , 0,1,2,..., 1    k k n n n    . Vậy có n căn bậc n khác nhau của số phức 0z  là: 2 2 cos sin , 0,1,2,..., 1                     n k k k z r i k n n n n n     . Các ảnh của kz là các đỉnh của một đa giác đều n cạnh nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính n r . 6. Modun của số phức: Xét số phức  z a bi . Theo định nghĩa trên, mô đun của số phức z được kí hiệu và xác định: 2 2z a b  . Ta dễ dàng chứng minh được các tính chất sau: 1. Czzz  |,||| 2. Czzzz  ,||. 2 3. Czzzzzz  212121 ,|,||||.| Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 7 4. 0,,, || || || 221 2 1 2 1  zCzz z z z z 5. Czzzzzz  212121 ,|,||||| . III. Một số dạng bài tập số phức trong các kỳ thi TN THPT và TSĐH: Dạng 1 - Tìm các thành phần của số phức (phần thực , phần ảo, mođun): Ví dụ1. Tìm phần thực, phần ảo và môđun của các số phức sau: a. 2 3z i   b. (2 4 ) (3 5 )z i i    c. 2 2(2 4 ) (3 5 )z i i    d. (2 4 )(3 5 )  z i i e. 2 3 43 4 5 7    z i i i i f. 2 4 3 5 i z i    . Giải Theo định nghĩa số phức, ta có: a. 2 3   z i phần thực: 2, a phần ảo: 3b , môđun 2 2( 2) 3 13   z . b. (2 4 ) (3 5 ) 1 1, 1, 2           z i i i a b z . c. Do 2 1 i , ta có: 2 2 2 2(2 4 ) (3 5 ) (4 16 16 ) (9 30 25 )         z i i i i i i (4 16 16) (9 30 25) 4 14       i i i 4, 14, 2 53   a b z . d. 2(2 4 )(3 5 ) 6 10 12 20 6 2 20 26 2           z i i i i i i i . 26, 2, 2 170   a b z . e. 2 3 43 4 5 7 3 4 5 7 1 5 1, 5, 26                z i i i i i i i a b z . Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 8 f. 2 4 (2 4 )(1 3 ) 7 1 7 1 + , , 2 1 3 10 5 5 5 5            i i i z i a b z i . Ví dụ 2 (CĐ Khối A, B, D – 2009 CB). Cho số phức z thỏa mãn: 2(1 ) (2 ) 8 (1 2 )i i z i i z      . Tìm phần thực và phần ảo của z. Giải Ta có: 2(1 ) (2 ) 8 (1 2 )     i i z i i z     2(1 2 )(2 ) 8 (1 2 ) 2 (2 ) (1 2 ) 8 (1 2 ) 8 8 (1 2 )8 10 15 2 3 . 1 2 5 5                             i i i z i i z i i i z i i z i i ii i z i i Vậy phần thực của z: 2,a phần ảo: 3 b . Ví dụ 3 (ĐH Khối A – 2010 CB). Tìm phần ảo của số phức z: 2( 2 ) (1 2 )z i i   . Giải Ta có: 2 2( 2 ) (1 2 ) (2 2 2 )(1 2 ) (1 2 2 )(1 2 ) 5 2           z i i i i i i i i 5 2  z i . Vậy phần ảo của z là - 2 . Ví dụ 4 (ĐH Khối A, A1 2014). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện : Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 9  2 3 5   z i z i . Tìm phần thực và phần ảo của z. Giải Giả sử     z x yi z x yi . Ta có:  2 3 5 (2 )( ) 3 5 3 ( ) 3 5 3 3 2 5 3                              z i z i x yi i x yi i x y x y i i x y x x y y Vậy phần thực của z là 2, phần ảo của z là -3. Ví dụ 5(ĐH Khối B 2014). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện :  2 3 1 1 9   z i z i Tính modun của z. Giải Giả sử     z x yi z x yi . Ta có:         2 3 1 1 9 2( ) 3 1 ( ) 1 9 5 3 3 1 9 5 3 1 2 2 3 3 9 3                                  z i z i x yi i x yi i x y x y i i x y x z i x y y Vậy 2 3 13  z i . Ví dụ 6 (ĐH Khối A – 2010 NC). Cho số phức z thỏa mãn 3(1 3 ) 1    i z i . Tìm môđun của số phức z iz . Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 10 Giải Ta có : 3 2 3(1 3 ) 1 3 3 9 3 3 8 4 4 1 1 1               i i i i z i i i i . Suy ra 4 4  z i . Do đó ( 4 4 ) ( 4 4 ) 8 8         z iz i i i i . Vậy 8 2 z iz . Ví dụ 7 (TSĐH Khối A, A1 – 2012). Cho số phức z thỏa mãn 5( ) 2 1     z i i z . Tính modun của số phức 21  w z z . Giải Đặt     z x yi z x yi . Ta có: 5( ) 2 1 5( ) 2 1 5 5(1 ) (2 )( 1) 5 5(1 ) (2 2 ) (2 1)                            z i i z x yi i i x yi x y i i x yi x y i x y y x i 5 2 2 1 5(1 ) 2 1 1               x x y x y y x y Do đó 1 z i . 2 21 1 (1 ) (1 ) 2 3          w z z i i i . Vậy w = 2 3 13i  . Bài tập 1. Tìm phần thực, phần ảo và modun của số phức trong các trường hợp sau: Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 11 a. (2 5 )(3 4 )z i i   b. 2 3 i z i    c. (1 )(2 )(3 ) (3 )(5 ) i i i z i i i       d. 3 (2 3 ) 4 5 i z i    e. 2006 2 3 3 2 i z i        f.   2 3 3 2 (2 ) (3 4 ) 3 (1 ) i i z i i        2. (TN THPT – 2010 CB). Cho hai số phức 1 21 2 , 2 3z i z i    . Xác định phần thực và phần ảo của số phức 1 22z z . Đáp số : Phần thực -3, phần ảo 8. 3. (TN THPT – 2010 NC). Cho 2 số phức 1 22 5 , 3 4z i z i    . Xác định phần thực và phần ảo của số phức 1 2z z . Đáp số: Phần thực 26, phần ảo 7. 4. (CĐ Khối A, B, D – 2010 CB). Cho số phức z thỏa mãn : 2(2 3 ) (4 ) (1 3 )i z i z i      Xác định phần thực và phần ảo của z. Đáp số : Phần thực -2, phần ảo 5. 5. (ĐH Khối B - 2011 NC). Tìm phần thực và phần ảo của số phức z biết 3 1 3 1        i z i . 6. (ĐH Khối D - 2012). Cho số phức z thỏa mãn: 2(1 2 ) (2 ) 7 8 (1 ) i i z i i       . Tìm modun của số phức 1w i z   . Đáp số : 5w . 7. (ĐH Khối D - 2013 CB). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 12 (1 )( ) 2 2   i z i z i . Tìm modun của số phức 2 - 2 1  z z w z . Đáp số : 10w . 8. (ĐH Khối D - 2014). Cho số phức z thỏa mãn: (3 )(1 ) 5 8 1    z z i z i . Tìm modun của z. Đáp số: 13w . Dạng 2. Tìm tập hợp số phức thỏa mãn điều kiện cho trước : Ví dụ 1. Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp các số phức thỏa mãn điều kiện: a. Phần thực của z bằng hai lần phần ảo của nó. b. Phần thực của z thuộc đoạn [-1, 2]. c. Phần thực của z thuộc đoạn [-1, 2] và phần ảo của z thuộc đoạn [1, 3]. d. z 2 . e. 2 z 3  . Giải Giả sử  z x yi . a. Theo đề bài ta có: 2x y hay 2 x y  . Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z có phần thực bằng hai lần phần ảo là đường thẳng 2 x y  trong mặt phẳng Oxy. b. Do phần thực của z thuộc đoạn [-1, 2] nên ta có 1 2x   . Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 13 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là phần mặt phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng 1x   và 2x  trong mặt phẳng Oxy. c. Phần thực của z thuộc đoạn [-1, 2] và phần ảo của z thuộc đoạn [1, 3] nên ta có 1 2  x và 1 3 x . Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là hình chữ nhật giới hạn bởi các đường thẳng 1x   , 2x  và 1, 3y y  trong mặt phẳng Oxy. d. Ta có : 2 2 z x y . Do đó 2 2z 2 2   x y hay 2 2 4 x y . Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm O(0 ;0), bán kính 2 trong mặt phẳng Oxy. e. Ta có 2 2 2 22 z 3 2 3 4 9         x y x y . Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là hình vành khăn giới hạn bởi hai đường tròn tâm O(0;0), bán kính 2 và đường tròn tâm O(0;0), bán kính 3. Ví dụ 2. Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện ( 2)( )z z i  là số thực. Giải Giả sử     z x yi z x yi . Ta có: 2 2( 2)( ) ( 2)( ) 2 ( 2 2 )             z z i x yi x yi i x x y y x y i ( 2)( ) z z i là số thực 2 2 0   x y . Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng 2 2 0  x y trong mặt phẳng Oxy. Ví dụ 3 (TSĐH Khối B – 2010). Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa mãn : (1 )z i i z   . Giải Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 14 Giả sử z x yi  . Ta có : 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 ) (1 )( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) 2 1 0 ( 1) 2 z i i z x yi i i x yi x yi i x y x y i x y x y x y x y y x y                                 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(0;1), bán kính 2 trong mặt phẳng Oxy. Ví dụ 4. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện : 4 4 10z i z i    . Giải Giả sử  z x yi . Ta có : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 10 4 4 10 ( 4) ( 4) 10 ( 4) ( 4) 2 ( 4) ( 4) 100 ( 16) 16 34 ( ) 32( ) 16 16 34 68( ) 25 9 225 1 9 25                                                         z i z i x yi i x yi i x y x y x y x y x y x y x y x x y x y x x y x y x y Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng Oxy là Ellip có phương trình 2 2 1 9 25   x y . Bài tập Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 15 1. (TSĐH Khối D – 2009). Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện : (3 4 ) 2z i   . Đáp số : Đường tròn tâm I(3 ; - 4), bán kính 2. 2. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn : a. (2 )( )z i z  là số ảo tùy ý. b. 2 3 2z i z z i    . c. 1 3z  . Đáp số: a. Đường tròn tâm I(1; 1 2 ), bán kính 5 2 . b. Các đường thẳng y = 4 và y = 2. c. Hình vành khăn giới hạn bởi hai đường tròn tâm O(0 ;0), bán kính 1 và đường tròn tâm O(0 ;0), bán kính 3 . Dạng 3 – Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước: Ví dụ 1 (TSĐH Khối D – 2011CB). Tìm số phức z biết (2 3 ) 1 9   z i z i . Giải Giả sử     z x yi z x yi . Ta có: (2 3 ) 1 9 ( ) (2 3 )( ) 1 9 3 (3 3 ) 1 9 3 1 2 3 3 9 1                                  z i z i x yi i x yi i x y y x i i x y x x y y Vậy 2 z i . Ví dụ 2 (TSĐH Khối B – 2011CB). Tìm số phức z biết 5 3 1 0     i z z . Giải Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 16 Giả sử     z x yi z x yi . Ta có:   2 2 2 2 2 2 2 5 3 1 0 5 3 0 ( ) 5 3 0 5 ( 3) 0 1 35 0 2 0 23 0 3 3                                                         i z zz z i x y x yi i z x y x y i x yx y x x x xy y y Vậy 1 3  z i hoặc 2 3 z i . Ví dụ 3 (TSĐH Khối B – 2009 (CB). Tìm số phức z thỏa mãn | (2 ) | 10z i   và z.z 25 . Giải Giả sử  z x yi . Ta có: 2 2 2 2 ( 2) ( 1) 102 10| (2 ) | 10 25. 25 ( )( ) 25 3, 4 5, 0                                 x yx yi iz i x yz z x yi x yi x y x y Vậy có hai số phức thỏa mãn điều kiện bài toán là 3 4 z i và 5z . Ví dụ 4 (TSĐH Khối D -2010). Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện | | 2z và 2z là số thuần ảo. Giải Giả sử z x yi  . Ta có: *  2 2| | 2 2 2 1      z x yi x y . * 2 2 2 2( ) 2    z x yi x xyi y Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 17 2z là số thuần ảo  2 2 0 2  x y . (1), (2) 2 2 2 2 1, 12 1, 10               x yx y x yx y Vậy có hai số phức thỏa mãn điều kiện bài toán là 1 z i và 1 z i . Ví dụ 5. Tìm số phức z thỏa mãn 1 1 (1) 3 1 (2)          z z i z i z i Giải Giả sử z x yi  . Từ (1) ta có: 2 2 2 2 1 1 1 1 ( 1) ( 1)                      z z z i x yi x yi i z i x y x y x y Từ (2): 2 2 2 2 3 1 3 3 ( 3) ( 1) 1 1                         z i z i z i x yi i x yi i z i x y x y y x y Vậy số phức z cần tìm là 1 z i . Bài tập 1. Tìm số phức z thỏa mãn các hệ thức sau: a. 1 2  z z i b.      2 2 3 1 1 3     iz i i z i Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 18 c. ( ) 4 6 1 2 2        z z i z z i i i Đáp số: a. 3 2 2  z i b. 3 3 2 2  z i c. 1 10  z i 2. Tìm số phức z thỏa mãn các hệ thức sau: a. 2 2 2      z z iz b. 3 1  z i iz và 9 z z là số thuần ảo c. (1 3 ) i z là số thực và 2 5 1  z i . Đáp số : a. 1  z i hoặc 1 z i b. 2 ; 5 2 ; 5 2  i i i c. 7 21 5 5  z i hoặc 2 6 z i . Dạng 4 – Dạng lượng giác của số phức: Ví dụ 1 . Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác: a. 1 z i b. 2 2 3 z i c.   1 3  z i i d. 1 3 3     i z i . Giải a. Môđun của z: 2 21 1 2  r . Argument của z : 1 1 os ,sin 42 2    c     . Dạng lượng giác của z : 2( os sin ) 4 4  z c i   . Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 19 b. Môđun của z:   2 22 2 3 4  r . Argument của z : 2 1 2 3 3 os ,sin 4 2 4 2 3      c     . Dạng lượng giác của z : 4( os sin ) 3 3  z c i   . c.   1 3  z i i Ta có : 1 2( os sin ) 4 4   i c i   , 3 2 (cos( ) sin( ) 6 6           i i   . Vậy 2 2 os sin cos( ) sin( ) 4 4 6 6 2 2 os . os( ) sin .sin( ) sin( ). os cos( ).sin 4 6 4 6 6 4 6 4 2 2( os isin ). 12 12                                         z c i i c c i c c               d. Ta có : 2 2 1 3 2( os sin ) 3 3    i c i   , 3 2(cos sin ) 6 6   i i   . Vậy Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 20 2 2 2 22 2 os sin cos sin2( os sin ) 3 3 6 63 3 2(cos sin ) cos sin 6 6 6 6 2 2 2 2 os . os sin .sin sin . os os .sin 3 6 3 6 3 6 3 6 cos sin . 2 2                                c i ic i z i c c c c i i                    Ví dụ 2 (TSĐH Khối B - 2012 NC). Gọi 1 2 ,z z là hai nghiệm phức của phương trình 2 2 3 4 0  z iz . Viết dạng lượng giác của 1z và 2z . Giải Ta có: 2' 3 4 3 4 1       i Phương trình có hai nghiệm phức : 1 2 1 3 , 1 3    z i z i Môđun của 1z và 2z : 1 2 2 r r . Argument của 1z : 1 3 2 os ,sin 2 2 3     c     . Vậy dạng lượng giác của 1z : 1 2 2 2( os sin ) 3 3  z c i   . Argument của 2z : 1 3 os ,sin 2 2 3    c     . Vậy dạng lượng giác của 2z : 2 2( os sin ) 3 3  z c i   . Ví dụ 3 (TSĐH Khối A, A1 – 2013 NC). Cho số phức 1 3 z i . Viết dạng lượng giác của z. Tìm phần thực và phần ảo của số phức 5(1 ) w i z . Giải Ta có : Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 21 Môđun của z: 2 21 ( 3) 2  r . Argument của z : 1 3 cos ,sin 2 2 3         Dạng lượng giác của z: 2( os sin ) 3 3  z c i   5 5 5 1 332( os sin ) 32( ) 16 16 3 3 3 2 2       z c i i i   . Vậy 5(1 ) (1 )(16 16 3 ) 16(1 3) 16(1 3)        w i z i i i . Ví dụ 4. Sử dụng công thức Moivre hãy tính : a.   25 1 i b. 100 1 3 3       i i Giải a. Ta có: 1 2( os sin ) 4 4   i c i   . Áp dụng công thức Moivre ta có:       2525 12 1225 251 2 ( os sin ) 2 2(cos sin ) 2 1 4 4 4 4       i c i i i     . b. Ta có : 2 2 2 os sin os sin os sin 1 3 3 3 3 3 6 6 3 os sin2 os sin 6 66 6 os os sin sin sin os os sin 3 6 3 6 3 6 3 6 cos( ) sin( ) cos sin 3 6 3 6 6 6                                          c i c i c i i i c ic i c c c c i i i                        Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 22 Áp dụng công thức Moivre ta có: 100 100 1 3 100 100 3 1 cos sin cos sin 6 6 6 6 2 23                   i i i i i     . Ví dụ 5. Hãy tính các căn bậc ba của số phức: 1 3 z i . Giải Ta có: 1 3 2( os sin ) 3 3    z i c i   . Gọi số phức w ( os sin ) r c i  là căn bậc ba của z. Khi đó 3w  z . Theo công thức tính căn bậc n của số phức, ta có : 3 2 2 3 3w 2 os sin , 0,1,2 3 3               k k c i k     . Với k = 0 ta có: 3 31 3 3w 2 os sin 2 os sin 3 3 9 9                    c i c i     . Với k =1 ta có : 3 32 2 2 7 73 3w 2 os sin 2 os sin 3 3 9 9                     c i c i       . Với k = 2 ta có : 3 33 4 4 13 133 3w 2 os sin 2 os sin 3 3 9 9                     c i c i       Vậy số phức z có ba căn bậc ba là 1 2 3w ,w ,w như trên. Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 23 Ví dụ 6. Hãy tính các căn bậc bốn của số phức: 1 3 3    i z i . Giải Theo kết quả ví dụ 4 ta có: 1 3 cos sin 6 63      i z i i   . Gọi số phức w ( os sin ) r c i  là căn bậc bốn của z. Khi đó 4w  z . Theo công thức tính căn bậc n của số phức, ta có : 2 2 6 6w os sin , 0,1,2,3 4 4      k k c i k     . Với k = 0 ta có: 1 6 6w os sin cos sin 4 4 24 24    c i i     . Với k =1 ta có : 2 2 2 13 136 6w os sin cos sin 4 4 24 24      c i i       . Với k = 2 ta có : 3 4 4 25 256 6w os sin cos sin 4 4 24 24      c i i       . Với k = 3 ta có: 4 6 6 37 376 6w os sin cos sin 4 4 24 24      c i i       Vậy số phức z có bốn căn bậc bốn là 1 2 3 4w ,w ,w ,w như trên. Bài tập 1. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác : Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 24 a. 6 2  i b. 2 2 3  i c. 1 2 2   i i d.       8 6 5 1 3 3 1    i i i . Đáp số : a. 7 7 2 2 cos sin 6 6       i   b. 2 2 4 cos sin 3 3       i   c. 1 cos sin 2 2 2        i   d. 142 11 11 cos sin 12 124 2       i   . 2. Sử dụng công thức Moivre hãy tính: a.   6 1 3  i b. 100 1 1       i i c.         15 15 20 20 1 3 1 3 1 1        i i i i Đáp số: a. 64 b. 1 c. – 64 3. Tìm các căn bậc 6 của: a. 1 3   i i b. 1 1 3   i i . Đáp số: a. 12 1 19 24 19 24 cos sin , 0,1,2,3,4,5 72 722         k k i k     . b. 12 1 5 24 5 24 cos sin , 0,1,2,3,4,5 72 722         k k i k     . 4. Tìm các căn bậc 8 của 1 3   i i . Đáp số: 16 1 5 24 5 24 cos sin , 0,1,2,3,4,5,6,7 96 962         k k i k     . 5. Tính 2012 2012 1 z z , biết 1 z z . Đáp số: -1. Dạng 5 - Giải phương trình phức bậc hai: Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 25 Ví dụ 1 (ĐH Khối A – 2009 CB). Gọi 1 2 ,z z là hai nghiệm phức của phương trình 2 2 10 0  z z . Tính giá trị của biểu thức 2 2 1 2 A z z . Giải Ta có: 2' 1 10 9 9      i Phương trình có hai nghiệm phức 1 2 1 1 2 2 1 2 1 3 , 1 3 10 10 10 20.                z i z i z z A z z Ví dụ 2 (CĐ Khối A, B, D – 2010 NC). Giải phương trình 2 (1 ) 6 3 0    z i z i trên tập hợp các số phức. Giải Ta có: 2 2(1 ) 4(6 3 ) 1 2 24 12 24 10            i i i i i i . Giả sử  w x yi là căn bậc hai của  . Ta có :   22 2 2 2 2 24 10 2 24 10 1 5 1 524 2 10 1 1 5 5                                     w z x yi i x y xyi i x y ix y xy x i y Vậy phương trình có các nghiệm phức là 1 2 3 , 1 2  z i z i . Ví dụ 3 (TSĐH Khối D – 2012 NC). Giải phương trình 2 3(1 ) 5 0   z i z i trên tập hợp các số phức. Giải Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 26 Ta có: 2 29(1 ) 20 9(1 2 ) 20 2         i i i i i i . Giả sử  w x yi là căn bậc hai của  . Ta có :   22 2 2 2 2 2 2 2 1 1 10 2 2 1 1 1                                  w z x yi i x y xyi i x y ix y xy x i y Vậy phương trình có các nghiệm phức là 1 2 2 , 1 2     z i z i . Ví dụ 4. Giải phương trình 2 4 3 1 0 2      z z z z . Giải Nhận xét rằng z =0 không phải là nghiệm của phương trình. Chia 2 vế của phương trình cho 2z ta có: 2 2 2 1 1 1 1 1 5 0 0 2 2                       z z z z z z z z Đặt 1  w z z ta có phương trình: 2 1- 3 5 2 0 1 32 2           i w w w i w Với 1- 3 2  i w ta có: 2 1 1 1- 3 2 (1- 3 ) 2 0 1 1 2 2 2               z i i z z i z z z i Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 27 Với 1 3 2   i w ta có: 2 1 1 1 3 2 (1 3 ) 2 0 1 1 2 2 2                 z i i z z i z z z i Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm : 1 i , 1 1 2 2   i ,1 i , 1 1 2 2   i . Ví dụ 5. Giải phương trình 3 2 2 2 0   z iz iz biết phương trình có một nghiệm thuần ảo. Giải Giả sử phương trình có nghiệm thuần ảo là Rbbiz  , . Ta có :         3 2 3 2 2 3 2 3 2 2 0 2 2 0 ( ) 2 2 0 0 1 2 2 0                        bi i bi i bi b i b i b b b i b b b b b .  phương trình có một nghiệm thuần ảo là z = i. Ta có : 3 2 22 2 0 ( )( 2 ) 0 2 2                z i z iz iz z i z i z i z i Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là i , 2 i , 2i . Ví dụ 6. Giải phương trình 3 22(1 ) 3 1 0     z i z iz i biết phương trình có một nghiệm thực. Giải Giả sử Raaz  , là nghiệm thực của phương trình. Khi đó: Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 28    3 2 3 2 2 3 2 2 2(1 ) 3 1 0 2 1 2 3 1 0 2 1 0 1 2 3 1 0                          a i a ia i a a a a i a a a a a . phương trình có một nghiệm z = 1 . Ta có:  3 2 2 1 2(1 ) 3 1 0 1 (1 2 ) 1 0 1                       z z i z iz i z z i z i z i z i . Vậy phương trình đã cho có các nghiệm: 1 ,1 i , i . Bài tập 1 . (CĐ Khối A, B, D – 2009 NC) Giải phương trình 4 3 7 2      z i z i z i . Đáp số: 1 2 ,3 i i . 2. (CĐ Khối , B, D – 2010 NC) Giải phương trình 2 (1 ) 6 3 0    z i z i trên tập số phức. Đáp số: 1 2 ,3 i i . 3. (TSĐH Khối D – 2012 NC). Giải phương trình 2 3(1 ) 5 0   z i z i trên tập hợp các số phức. Đáp số: 1 2  i , 2 i . 4. Giải các phương trình sau: a.     2 2 24 12 0    z z z z b. 5 4 3 2 1 0     z z z z z Đáp số: a. 1 23 1 23 1, 2, , 2 2      i i b. 1 3 1 3 1 3 1 3 1, , , , 2 2 2 2        i i i i . Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 29 5. Giải các phương trình sau: a. 4 3 22 6 8 8 0    z z z z , biết phương trình có một nghiệm 1 z i . b. 3 2(1 2 ) (1 ) 2 0     z i z i z i , biết phương trình có một nghiệm thuần ảo. c. 3 2(3 ) (2 ) 16 2 0      z i z i z i , biết phương trình có một nghiệm thực. Đáp số: a. 1 ,1 , 2 ,2  i i i i . b. 1 1 1 1 , 8 2 , 8 2 2 2 2 2           i i i i i . c. 2,2 ,3 2  i i .