Chuyên đề: Số phức

CHUYÊN ĐỀ. SỐ PHỨC A. TÓM TẮT KIẾN THỨC 1. Khái niệm số phức · Tập hợp số phức: · Số phức (dạng đại số) : (a, b, a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo, i2 = –1) · z là số thực Û phần ảo của z bằng 0 (b = 0) O x y b a M(a;b) Trục thực Trục ảo z là thuần ảo Û phần thực của z bằng 0 (a = 0) Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo. · Hai số phức bằng nhau: 2. Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b được biểu diễn bởi điểm M(a; b) hay bởi trong mp(Oxy) (mp phức) 3. Cộng và trừ số phức: · · · Số đối của z = a + bi là –z = –a – bi · biểu diễn z, biểu diễn z' thì biểu diễn z + z’ và biểu diễn z – z’. 4. Nhân hai số phức : · · 5. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là · ; · z là số thực Û ; z là số ảo Û 6. Môđun của số phức : z = a + bi · · · · · 7. Chia hai số phức: · (z ¹ 0) · · 8. Căn bậc hai của số phức: · Hai căn bậc hai của a > 0 là · Hai căn bậc hai của a < 0 là 9. Phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = 0 (*) (A, B, C là các số thực cho trước, A ). · : (*) có hai nghiệm phân biệt , · : (*) có hai nghiệm phân biệt , · : (*) có 1 nghiệm kép: . Chú ý: Nếu z0 Î là một nghiệm của (*) thì cũng là một nghiệm của (*). Với các phép tính cộng, trừ, nhân chia số phức nói trên, nó cũng có đầy đủ tính chất giao hoán, phân phối, kết hợp như các phép cộng, trừ, nhân, chia số thực thông thường. B. BÀI TẬP (DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC) VẤN ĐỀ 1: CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC Phương pháp giải: Sử dụng các công thức cộng, trừ, nhân, chia và luỹ thừa số phức. Khi tính toán về số phức ta cũng có thể sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ như trong số thực. Chẳng hạn bình phương của tổng hoặc hiệu, lập phương của tổng hoặc hiệu 2 số phức… Dạng 1. Tìm phần thực, phần ảo của một số phức Bài 1: Tìm phần ảo của số phức z, biết ĐS: Phần ảo của số phức z bằng: Bài 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện . Tìm phần thực và phần ảo của z. ĐS: Phần thực là –2, phần ảo là 5. Bài 3: Cho số phức z thỏa mãn . Tìm phần thực và phần ảo của z. ĐS: Phần thực là 2, phần ảo là –3. Bài 4: Tìm phần thực và phần ảo của số phức ĐS: Phần thực là 0, phần ảo là . Bài 5: Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: 1+(1+i) + (1+i)2 + (1+i)3 + … + (1+i)20. ĐS: Phần thực -210, phần ảo: 210+1. Dạng 2. Tìm môđun của số phức Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn . Tìm môđun của số phức ĐS: Bài 2: Tìm môđun của số phức . ĐS: Bài 3: Tìm môđun của số phức ĐS: Dạng 3. Tính giá trị biểu thức i4n = 1; i4n+1 = i; i4n+2 = –1; i4n+3 = – i; "nÎ*. Vậy in Î{–1; 1; – i; i}, "nÎ. Nếu n nguyên âm: Bài 1: Tính giá trị biểu thức: ĐS: . Bài 2: Tính giá trị biểu thức: a); b) ĐS: a); b) Bài 3: Tính giá trị của biểu thức: ĐS: A = 0. Bài 4: Tính . Tìm phần thực, phần ảo của số phức HD: ; Bài 5: Tính: S = i105 + i23 + i20 – i34. ĐS: S = 2. Dạng 4. Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước ; Bài 1: Tìm số phức z thỏa mãn ĐS: Bài 2: Tìm số phức z thỏa mãn: và là số thuần ảo. ĐS: z = 1 + i; z = 1 – i; z = –1 + i; z = –1 – i. Bài 3: Tìm số phức z thỏa mãn: và . ĐS: hoặc . Bài 4: Tìm số phức z thỏa mãn: ĐS: . Bài 5: Tính số phức sau: z = (1+ i)15. ĐS: z = 128 – 128i. Bài 6: Tính số phức sau: z = ĐS: z = 2. Bài 7: Tìm số phức z thoả mãn hệ: ĐS: z =1+ i. VẤN ĐỀ 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH Phương trình có mấy nghiệm? Cho phương trình bậc hai: Az2 +Bz +C = 0 (1) (A, B, C Î, A ¹ 0) (*) Phương pháp: Tính D = B2 – 4AC · : Phương trình (*) có hai nghiệm phức phân biệt , · : Phương trình (*) có hai nghiệm thực phân biệt , · D = 0 : Phương trình (*) có nghiệm kép: . Dạng 1: Phương trình bậc hai Bài 1: (CĐ2010) Giải phương trình trên tập hợp các số phức. ĐS: và Bài 2: (A2009) Gọi và là hai nghiệm phức của phương trình . Tính giá trị của biểu thức . ĐS: . Bài 3: (CĐA09) Giải phương trình sau trên tập hợp các số phức: ĐS: và Bài 4: Giải phương trình : z2 + (1 – 3i)z – 2(1 + i) = 0. ĐS: z1; z2 Dạng 2: Phương trình quy về bậc hai Đối với dạng này ta thường gặp phương trình bậc 3 hoặc phương trình bậc 4 dạng đặc biệt có thể quy được về bậc hai. Đối với phương trình bậc 3 (hoặc cao hơn), về nguyên tắc ta cố gắng phân tích vế trái thành nhân tử ( để đưa về phương trình tích) từ đó dẫn đến việc giải phương trình bậc nhất và bậc hai. Đối với một số phương trình khác, ta có thể đặt ẩn phụ để quy về phương trình bậc hai mà ta đã biết cách giải. 2.1. Phương pháp phân tích thành nhân tử. Bài 1: Cho phương trình sau: z3 + (2 – 2i)z2 + (5 – 4i)z – 10i = 0 (1) 1) Chứng minh rằng (1) nhận một nghiệm thuần ảo. 2) Giải phương trình (1). ĐS: 1) (1) có nghiệm thuần ảo z = 2i ; 2) Bài 2: Giải phương trình: z3 = 18 + 26i, trong đó z = x + yi ; x, y Î ĐS: z = 3 + i. Bài 3: 1) Tìm các số thực a, b để có phân tích: z3 + 3z2 + 3z – 63 = (z – 3)(z2 +az + b) Giải phương trình: z3 + 3z2 + 3z – 63 =0 ĐS: 1) ; 2) Bài 4: Giải phương trình: z4 – 4z3 +7z2 – 16z + 12 = 0 (1) ĐS: Bài 5: Giải phương trình: z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0. ĐS: Bài 6: Giải phương trình , biết rằng phương trình có một nghiệm thuần ảo. HD: Giả sử nghiệm thuần ảo là . Thay vào phương trình Bài 7: Giải phương trình , biết rằng phương trình có một nghiệm thực. HD: . 2.2 Phương pháp đặt ẩn phụ. Đối với các bài toán về số phức, thông thường cách giải gọi số phức z = a + bi (a, b thực) và coi i như một tham số trong bài toán thực. Sau khi biến phức tạp thành đơn giản ta lại giải bài toán phức. Đây được coi như phương pháp vạn năng nhất cho mọi bài. Bài 1: Giải phương trình: (z2 + z)2 + 4(z2 + z) –12 = 0 ĐS: Bài 2: Giải phương trình: (z2 + 3z + 6)2 + 2z(z2 + 3z + 6) – 3z2 = 0 ĐS: Bài 3: Giải phương trình: z4 – 2z3 – z2 – 2z + 1 = 0 ĐS: z =  ; z = . Bài 4: Giải phương trình: z4 – z3 + + z + 1 = 0 ĐS: z1 = 1+ i ; z2 = + i ; z3 = 1– i ; z4 = –i. Bài 5: Giải phương trình: ĐS: Dạng 3: Hệ phương trình Bài 1: Giải hệ phương trình sau: ĐS: () và () Bài 2: Giải hệ phương trình: ĐS: . Bài 3: Giải hệ phương trình: ĐS: Bài 4: Tìm tất cả các số phức sao cho mỗi số liên hợp với lập phương của nó. ĐS: có 5 số phức : VẤN ĐỀ 3: CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH – CỰC TRỊ Trong dạng này ta gặp các bài toán chứng minh một tính chất, hoặc một đẳng thức về số phức. Để giải các bài toán dạng trên, ta áp dụng các tính chất của các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, số phức liên hợp, môđun của số phức đã được chứng minh. z là số thực Û ; z là số ảo Û Bài 1: Cho z1, z2 Î . CMR: E = Î HD: z Î Û z = Bài 2: Chứng minh rằng: Nếu |z1| = |z2 | = 1, z1.z2 ¹ 1 thì A = Î Bài 3: Cho số phức thoả mãn . Chứng minh rằng: . HD: Bài 4: Chứng minh rằng với mỗi số phức z, có ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau xảy ra: hoặc HD: Chứng minh phản chứng. Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của nếu ĐS: VẤN ĐỀ 4: TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC Trong dạng này, ta gặp các bài toán biểu diễn hình học của số phức hay còn gọi là tìm tập hợp điểm biểu diễn một số phức z trong đó số phức z thoả mãn một hệ thức nào đó (thường là hệ thức liên quan đến môđun của số phức). Khi đó, ta giải bài toán này như sau: Giả sử z = x + yi (x,yÎ). Khi đó số phức z biểu diễn trên mặt phẳng phức bởi điểm M(x;y). Ta có: OM = = Sử dụng dữ kiện của đề bài để tìm mối liên hệ giữa x và y từ đó suy ra tập hợp điểm M. Cơ bản cần biết: Với số thực dương R, tập hợp các số phức với = R biểu diễn trên mặt phẳng phức là đường tròn tâm O, bán kính R. Các số phức z, < R là các điểm nằm trong đường tròn (O;R) Các số phức z, >R là các điểm nằm ngoài đường tròn (O;R) Bài 1: (D2009) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện . ĐS: Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(3, –4), bán kính R= 2. Bài 2: (B2010) Trong mp tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn:. ĐS: Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(0, –1), bán kính R=. Bài 3: Giả sử M là điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z. Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn một trong các điều kiện sau đây: 1) =2 2) 3) 4) 5) 1≤ ĐS: 1) đường tròn có tâm tại I(1; –1) và bán kính R = 2. 2) đường thẳng 4x + 2y + 3 = 0. 3) nửa mặt phẳng bên phải trục tung. 4) Elip (E) là: . 5) hình vành khăn tâm A(–1;1) và các bán kính lớn và nhỏ lần lượt là 2 và 1. Bài 4: Xác định các điểm nằm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thoả mãn một trong các điều kiện sau đây: 1) |z + +3| = 4 ; 2) |z + + 1 – i| = 2; 3) 2|z – i| = |z –+2i| ; ĐS: 1) hai đường thẳng song song với trục tung: 2) hai đường thẳng song song với trục hoành y = . 3) parabol y = . Bài 5: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện: |z – 2+3i| = . Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất. HD: * Gọi z = x+yi. Þ … Þ. * Vẽ hình Þ|z|min Þ z. ĐS: . Bài 6: Cho z1 =1+ i; z2 = –1– i. Tìm z3Î sao cho các điểm biểu diễn của z1, z2, z3 tạo thành tam giác đều. HD: Áp dụng kiến thức sau: Giả sử M1(x1; y1) biểu diễn số phức z1 = x1 + y1i; M2(x2;y2) biểu diễn số phức z2 = x2 + y2i Khi đó khoảng cách giữa hai điểm M1M2 bằng môđun của số phức z1 – z2 . Vậy: M1M2 = |z1 – z2| = ĐS: có hai số phức thoả mãn là: z3 = (1+ i) hoặc z3 = –(1– i). Bài 7: Cho các điểm A, B, C, A’, B’, C’ biểu diễn các số phức: . Chứng minh rằng ∆ ABC và ∆ A’B’C’ có cùng trọng tâm G. Tìm số phức biểu diễn G. ĐS: G(2; 1) → z = 2 + i. Bài 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi M là điểm biểu diễn cho số phức z = 3 – 4i; M’ là điểm biểu diễn cho số phức . Tính diện tích tam giác OMM’. ĐS: . C. BÀI TẬP ÔN Dạng 1:Bài toán liên quan đến biến đổi số phức. Bài 1.A10. Cho z thỏa . Tìm Bài 2.A11. Tìm tất cả các số phức z thỏa Bài 3.CĐ11.Cho số phức z thỏa . Tính . Bài 4. D11.Tìm z thỏa Bài 5. Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của pt z2 + 2z +10 = 0. Tính .ĐS: 20, 200. Bài 6.Cho hai số phức z1 và z2 thỏa . Tính . ĐS: 1. Bài 7. Cho hai số phức z1 và z2 thỏa .Tìm số phức . Bài 8.B11. Tìm số phức z biết . Bài 9.B11.Tìm phần thực và phần ảo z biết . Bài 10.D12. Cho số phức z thỏa mãn .Tìm mô đun của số phức Bài 11.A12. Cho số phức z thỏa .Tính mô đun của số phức . Dạng 2:Bài toán liên quan đến phương trình nghiệm phức. Bài 1.CĐ11. Cho số phức z thỏa . Tìm phần thực và phần ảo của . Bài 2. Tìm x, y thỏa . Bài 3. Tìm x, y thỏa . Bài 4. Tìm x, y thỏa . Bài 5.CĐ10. Cho số phức z thỏa . Tìm phần thực và phần ảo của z. Bài 6. Tìm 2 số thực x, y thỏa mãn ĐS: x= 172/61, y = -3/61 . Bài 7. a/ Tìm các số nguyên x, y sao cho số phức z = x + iy thỏa . ĐS: x = 3 ; y = b/ Tìm các số nguyên x, y sao cho số phức z = x + iy thỏa . ĐS: x = 7 ; y = Bài 8 a/ Tìm các số nguyên x, y sao cho số phức z = x + iy thỏa . ĐS: x = 3 ; y = 1 b/ Tìm các số nguyên x, y sao cho số phức z = x + iy thỏa . ĐS: x = 1 ; y = 2 Bài 9.Giải các phương trình sau trên tập số phức. a) 8z2 - 4z + 1 = 0 b) 2z2 – iz + 1 = 0 c) z2 – 4z + 7 = 0 Bài 10.Giải pt biết phương trình có 1 nghiệm thuần ảo. ĐS: 2i, Bài 11. D2012. Viết dạng lượng giác các nghiệm của phương trình Bài 12: CDD2012. Gọi là các nghiệm của phương trình . Tính . Bài 13.Giải phương trình nghiệm phức . ĐS: 0, 1, Bài 14. D2012. Giải phương trình . Bài 15. Tìm số phức z thỏa mãn . Bài 16.Tìm số phức z biết: a) b) Bài 17. Biết là các nghiệm phương trình . Tính a) b) c) d) Dạng 3: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa điều kiện cho trước. Bài 1. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn của số phức z thỏa: a) b) c) d) e) f) Bài 2: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn của số phức z thỏa . Bài 3.Cho số phức z thỏa . Tìm tọa độ điểm biểu diễn của z trong Oxy. Bài 4. Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z = x + yi thỏa mãn điều kiện Bài 5. Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức z trên mặt phẳng tọa độ thỏa mãn: a) b) c) d) Bài 6: Xác định tập điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn : a) z2 là số thực âm b) . ĐS: a)Trục thực Ox từ gốc O. b) Elip c) ĐS: tập hợp cần tìm là hai đường thẳng : y = x D. BÀI TẬP TỔNG HỢP 1)Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:= 1, = 2. 2) Tìm số phức z thỏa mãn và là số thực 3)Gọi là bốn nghiệm của phương trình trên tập số phức tính tổng: . 4) Tìm tất cả các số thực sao cho số phức là nghiệm của phương trình 5) Tìm tất cả các số phức z, bết z2 = 2 + . 6) Tính môđun của số phức z, biết (2z -1)(1+i) +(+ 1)(1-i) = 2-2i. 7) Giải phương trình nghiệm phức : 8) Giải phương trình sau trên tập số phức C: 9) Giải phương trình sau trên tập hợp số phức: z4 – z3 +6z2 – 8z – 16 = 0 . 10)Tìm số phức z biết: và z có phần thực bằng 2 lần phần ảo 11)Cho số phức z thoả mãn và phần ảo của z bằng 4. Tìm z 12) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp các điểm biễn số phức biết rằng 13)Tìm phần thực của số phức z = (1 + i)n , biết rằng n Î N thỏa mãn phương trình log4(n – 3) + log4(n + 9) = 3 14) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa mãn . 15) Cho số phức . Tính mô đun của số phức . 16) Tìm số phức thỏa mãn và . 17) Tìm số phức z thỏa mãn là số thực và . 18) Tìm số phức sao cho là số thuần ảo và 19) Tìm số phức z thỏa mãn: và . 20) ) Gọi và là hai nghiệm phức của phương trình . Tính . 21) Tìm số phức z thoả mãn : . Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị. 22) Giải phương trình sau trên tập phức: z2+3(1+i)z-6-13i=0 23) Tìm môđun của số phức +1, biết . 24) Tìm số phức z thỏa mãn : 25) Tìm số phức z thỏa mãn là số thực và . 26) Tìm số phức z thỏa mãn và .