Chương 2: Mô tả toán học Phần tử và hệ thống liên tục

9/4/2014 1 Chương 2: Mô tả toán học Phần tử và hệ thống liên tục 2.1 Phương trình vi phân 2.2 Phép biến đổi Laplace 2.3 Hàm truyền 2.4 Sơ đồ khối 2.5 Hàm truyền của các khâu vật lý điển hình 2.6 Graph tín hiệu 2.7 Phương trình trạng thái 9/4/2014 2 2.1 Phương trình vi phân ai , bi : thông số của hệ thống (khối lượng, ma sát, R,L,C,…) r(t) : tín hiệu vào y(t) : tín hiệu ra n = bậc của hệ thống = bậc ph.trình vi phân Với hệ thống thực tế : m  n (nguyên lý nhân quả) 1 1 1 0 1 01 1 n n m m n n m mn n m m d y d y d r d r a a ... a y(t) b b ... b r(t) dt dt dt dt             Tổng quát, quan hệ giữa tín hiệu vào, tín hiệu ra của một hệ thống liên tục tuyến tính bất biến SISO có thể mô tả bằng phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng: 9/4/2014 3 Ví dụ 2.1: Hệ khối lượng – lò xo – giảm chấn m : khối lượng, [kg] b : hệ số ma sát nhớt, [N.s/m] k : độ cứng lo xo, [N/m]  Tín hiệu vào: lực tác dụng F(t), [N]  Tín hiệu ra: lượng di động y(t), [m] 2 2     i ms lx d y m F F(t) F F dt Áp dụng Định luật II Newton : 2 2 d y dy m b ky(t) F(t) dtdt    ms dy F b dt Lực giảm chấn : lxF ky(t)Lực lò xo : F(t) FmsFlx m (+) 9/4/2014 4 Ví dụ 2.2: Mạch điện RLC nối tiếp Theo định luật Kirchhoff :  Tín hiệu vào: điện áp u Tín hiệu ra: điện áp uc   R L Cu u u u L di u L dt 1  Cu idtC Ru Ri 2 2 C C C d u du LC RC u u dt dt    Trong đó:   C du i C dt  C du RC dt 2 2  C d u LC dt 9/4/2014 5 Ví dụ 2.2b: Mạch điện RLC nối tiếp Theo định luật Kirchhoff :  Tín hiệu vào: điện áp u Tín hiệu ra: dòng điện i   R L Cu u u u 2 2    d i di du LC RC i C dt dt dt 1    di Ri L idt u dt C  Lấy đạo hàm hai vế:    di RCi LC idt Cu dt  9/4/2014 6 Ví dụ 2.3: Đặc tính động học vận tốc xe ôtô   dv m bv(t) f(t) dt m : khối lượng xe b : hệ số cản (ma sát nhớt)  Tín hiệu vào: Lực đẩy của động cơ, f(t)  Tín hiệu ra: vận tốc của xe , v(t) f(t) b v(t) 9/4/2014 7 Ví dụ 2.4: Bộ giảm chấn trong xe ôtô/ máy móc m : khối lượng, [kg] b : hệ số ma sát nhớt, [N.s/m] k : độ cứng lo xo, [N/m]  Tín hiệu vào: lượng di động r(t), [m]  Tín hiệu ra: lượng di động y(t), [m] 2 2 d y dy dr m b ky(t) b kr(t) dt dtdt     9/4/2014 8 Bài tập: Viết ptvp mô tả mạch RLC 2 2   C C C d u du RLC L Ru Ru dt dt 2 2   C C C d u du du RLC L Ru L dt dt dt i i Tín hiệu vào: điện áp u Tín hiệu ra: điện áp uc 9/4/2014 9 2.2 Phép biến đổi Laplace Nghieäm y(t) Nghieäm Y(s) 9/4/2014 10 2.2 Phép biến đổi Laplace 2.2.1 Định nghĩa  Cho hàm thời gian f(t) xác định với mọi t0, biến đổi Laplace của f(t) là: s : biến Laplace (biến số phức) L : toán tử biến đổi Laplace F(s): biến đổi Laplce hay ảnh Laplace của f(t) Biến đổi Laplace tồn tại khi tích phân trong biểu thức định nghĩa trên là hội tụ (hữu hạn). st 0 F(s) [f (t)] f (t)e dt    L 9/4/2014 11 2.2 Phép biến đổi Laplace  Cho hàm phức F(s), biến đổi Laplace ngược của F(s) là một hàm thời gian f(t) xác định bởi: Trong đó :  C là đường cong kín được lựa chọn trong miền s  j là số ảo đơn vị (j2 =-1) 1 ts c 1 f (t) [F(s)] F(s)e ds 2 j     L t  0 f(t)  F(s)  f(t) L L -1 9/4/2014 12 2.2.2 Tính chất 1) Tuyến tính 2) Ảnh của đạo hàm 2.2 Phép biến đổi Laplace L [f1(t)  f2(t)] = F1(s)  F2(s) L [kf(t)] = kF(s) 0y( ) là vận tốc ban đầu (tại t=0). y(0) là vị trí ban đầu (tại t=0) 300 5 20 100  y(t) y(t) y(t) Ví dụ : Giải ph.trình vi phân mô tả chuyển động bậc hai: (n 1)f (0), f (0), f (0), ..., f (0) Tổng quát: Giải PTVP bậc n cần n điều kiện đầu: 2 điều kiện đầu: 9/4/2014 13 2a) Nếu các điều kiện đầu khác 0 2.2 Phép biến đổi Laplace ( ) ( 1) 1 [ ( )] ( ) (0)     n n n n i i i f t s F s s fL 2300 5 20 100s Y(s) sY(s) Y(s) R(s)   2300 5 20 100( s s )Y(s) R(s)   2[f (t)] s F(s) sf (0) f (0)  L (3) 3 2[f (t)] s F(s) s f (0) sf (0) f (0)   L 300 5 20 100y(t) y(t) y(t) r(t)   Biến đổi Laplace 2 vế với ĐKĐ =0 ta được: Ví dụ, xét ptvp: ( )[ ( )] ( )n nf t s F sL2b) Nếu các điều kiện đầu = 0 9/4/2014 14 3) Ảnh của tích phân 2.2 Phép biến đổi Laplace 0 ( ) ( )        t F s f t dt s L 4) Ảnh của hàm trễ f(t-T) = f(t) khi t T = 0 khi t<T Ts[f (t T)] e F(s) L 5) Ảnh của tích chập t t 1 2 1 2 1 2 0 0 f (t)*f (t) f ( ). f (t )d f (t ). f ( )d ÑN            1 2 1 2[f (t)*f (t)] F (s).F (s)L 9/4/2014 15 6) Nhân hàm f(t) với e-t 2.2 Phép biến đổi Laplace 0 [ ( )] ( ) [ ( )] ( )         t t ste f t e f t e dt f t F sL L 8) Định lý giá trị đầu t 0 s f (0) limf (t) lim [s.F(s)]     Nhân f(t) với e-t  thay s bằng (s+) trong ảnh Laplace. 7) Định lý giá trị cuối t s 0 f ( ) lim f (t) lim [s.F(s)]      9/4/2014 16 2.2.3 Biến đổi Laplace của các hàm cơ bản 1) Hàm bậc thang (hàm bước) đơn vị 2.2 Phép biến đổi Laplace Xét hàm bậc thang K(t)=K.1(t): [1(t)] L [K.1(t)] L st 0 e dt    st 0 1 .e s    1 1 (0 1) s s     K K. [1(t)] s L st 0 1(t).e dt    9/4/2014 17 2) Hàm xung đơn vị (xung Dirac) 2.2.3 Biến đổi Laplace của các hàm cơ bản st 0 (t)e dt    3) Hàm mũ e -t ( >0) t st 0 e e dt     (s )t 0 e s        t[e ] L [ (t)] L t (t) 0 t 0 1  a0 a h 0 0 0 0 0 (t)e dt (t)dt        1 (s )t 0 e dt     1 s   9/4/2014 18 4) Hàm dốc đơn vị 2.2.3 Biến đổi Laplace của các hàm cơ bản t r(t) t.1(t) 0      khi t  0 khi t < 0 ste u t ; v s     2 2 st st st 0 0 0 te e 1 1 [t.1(t)] te dt dt 0 s s s s            L t 2 0 [1(t)] 1 [t.1(t)] 1(t)dt s s          L L L Lấy tích phân từng phần Cũng có thể dùng tính chất ảnh của tích phân: udv uv vdu   Theo cách tương tự, ta tính được ảnh của t2, t3, tn … t.1(t) t0 9/4/2014 19 5) Hàm lượng giác sint, cost, … 2.2.3 Biến đổi Laplace của các hàm cơ bản j t j t cos t jsin t e cos t jsin t e               j t j t st 0 1 e e e dt[ t] 2 cos       L Công thức Euler:    j t j t j t j t1 1cos t e e ; sin t e e 2 2j             1 1 1 ... 2 j s [sin j s t j ]            L 1 1 1 2 s j s j          2 2 s s   2 2s        s j t s j t 0 1 e e dt 2          9/4/2014 20 Một số biến đổi Laplace thường dùng (trang 20) TT f(t) F(s) 1 1(t) 2 3 8 17 18 2 2 s (s )      2 2(s )     te cos t  te sin t  1 s   2 1 (s )  1 / s te tte 1(t) 9/4/2014 21 Bài toán : Biết hàm Y(s) , tìm hàm thời gian y(t)=? Y(s) thường có dạng tỉ số của hai đa thức: 2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược m m 1 m m 1 0 n n 1 n n 1 0 b s b s ... bP(s) Y(s) Q(s) a s a s ... a              PP giải: Phân tích Y(s) thành tổng các phân thức đơn giản, sau đó áp dụng các công thức cơ bản.  Cách phân tích Y(s) phụ thuộc vào loại nghiệm của mẫu số Q(s) (nghiệm đơn/ bội/ phức). n n 1 1 i i i 1 i 1 y(t) [Y(s)] [Y (s)] y (t)       L L (m<n) 9/4/2014 22 1) Mẫu số của Y(s) chỉ có nghiệm đơn 2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược Các hệ số Ai (i=1,2,…,n) xác định bởi: n 1 2 nQ(s) a (s s )(s s )...(s s )    1 2 i n 1 2 i n A A A AP(s) Y(s) ... ... Q(s) s s s s s s s s            i i i s s s s i i i s s A lim [(s s ).Y(s)] [(s s ).Y(s)] Res [Y(s)]       i 1 2 n n s t s t s t s t i 1 2 n i 1 y(t) A e A e A e ... A e       Tra bảng ta có: i 1 i i i s tA A e s s        L  Giả sử Q(s) có n nghiệm đơn s1 , s2 ,…, sn Khi đó có thể phân tích : 9/4/2014 23 2 s 2 A lim [(s 2)Y(s)]     2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược Ví dụ : Tìm y(t) biết 31 2 AA A5s 3 Y(s) 2s(s 2)(s 5) s s 2 s 5          1 s 0 A lim [s.Y(s)]    Giải. Mẫu số của Y(s) có 3 nghiệm đơn s1 =0, s2 =-2 , s3 =-5 và hệ số an=a3=2. Do đó có thể phân tích : 2 5s 3 Y(s) s(2s 14s 20)     3 s 5 A lim [(s 5)Y(s)]     s 5 5s 3 22 11 lim 2s(s 2) 30 15       s 2 5s 3 7 lim 2s(s 5) 12    s 0 5s 3 3 lim 2(s 2)(s 5) 20     9/4/2014 24 2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược 3 7 11 Y(s) 20s 12(s 2) 15(s 5)      1 2t 5t3 7 11y(t) [Y(s)] .1(t) e e 20 12 15      L  t y( ) lim[y(t)] 3 / 20     s 0 y( ) lim [s.Y(s)]    Nhận xét: Tìm giá trị xác lập y() ? Cách 1: Cách 2: Dùng định lý giá trị cuối 2s 0 5s 3 3 lim 202s 14s 20      2t 5t3 7 11e e 20 12 15     9/4/2014 25 2) Mẫu số của Y(s) có nghiệm bội 2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược r n 1 n r kQ(s) a (s s )...(s s )(s s )        1 n r r 2 1 r 2 1 n r kk k A A B B B Y(s) ... ... s s s s s ss s s s              i i i s s A lim [(s s ).Y(s)]    Giả sử Q(s) có (n-r) nghiệm đơn s1 , s2 ,…, sn-r và một nghiệm bội sk lặp r lần Khi đó có thể phân tích : s sk r i r i kr i 1 d B lim (s s ) .Y(s) (r i)! ds            ( i=r,r-1,…,1) ( i=1,2,…,n-r) 9/4/2014 26 2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược s sk r i r i kr i 1 d B lim (s s ) .Y(s) (r i)! ds            2 2 2 k 1 k s s s sk k d B lim (s s ) .Y(s) ; B lim (s s ) .Y(s) ds                  i k k k r 1n r s t s t s t s t i r 2 1 i 1 t y(t) A e B e ... B te B e (r 1)!              1 n r r 2 1 r 2 1 n r kk k A A B B B Y(s) ... ... s s s s s ss s s s               Nếu r =2 (nghiệm kép), cần tìm 2 hệ số B2 , B1 : ( i=r,r-1,…,1) 9/4/2014 27 2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược Ví dụ : Tìm y(t) biết   1 2 2 1 22 A A B B5s 24 Y(s) s(s 4)(s 3) s s 4 s 3s 3           1 2s 0 s 0 5s 24 A lim [s.Y(s)] lim (s 4)(s 3)        Giải. Mẫu số của Y(s) có 2 nghiệm đơn s1=0 ; s2=-4 và một nghiệm kép sk =-3 nên có thể phân tích : 2 5s 24 Y(s) s(s 4)(s 6s 9)      2 2s 4 s 4 5s 24 A lim [(s 4)Y(s)] lim s(s 3)        2 2 s 3 s 3 5s 24 B lim [(s 3) Y(s)] lim s(s 4)        24 2 36 3  4 1 4    9 3 3    9/4/2014 28 2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược 2 1 s 3 s 3 d d 5s 24 B lim [(s 3) Y(s)] lim ds ds s(s 4)                 1 2 2s 3 5s(s 4) (2s 4)(5s 24) B lim s (s 4)           2 2 1 3 1 Y(s) 3s s 4 3(s 3)s 3        1 4t 3t 3t2 1y(t) [Y(s)] e 3te e 3 3        L 2 'u u v v u v v        Lưu ý: 3 1 9 3   9/4/2014 29 3) Mẫu số của Y(s) có nghiệm phức 2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược n 1 n 2 1 2Q(s) a (s s )...(s s )(s p )(s p )       1 n 2 1 2 2 2 1 n 2 A A C (s a) C Y(s) ... s s s s s a              Giả sử Q(s) có (n-2) nghiệm đơn s1 , s2 ,…, sn-2 và 2 nghiệm phức p1,2 = a  j Khi đó có thể phân tích : 2 2 n 1 n 2Q(s) a (s s )...(s s )[(s a) ]     Các hệ số Ai , C1 ,C2 xác định bằng : - Phương pháp đồng nhất hệ số đa thức, - hoặc Tính theo công thức: 9/4/2014 30 2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược i i s si A lim [(s s )Y(s)]      1 1 2 1s p 1 C Im (s p )(s p )Y(s)       2 1 2 1s p 1 C Re (s p )(s p )Y(s)       1 n 2 1 2 2 2 1 n 2 A A C (s a) C Y(s) ... s s s s s a              (i=1,…,n-2) i n 2 s t at at i 1 2 i 1 y(t) A e C e cos t C e sin t        Biến đổi Laplace ngược hàm ảnh Y(s) ta được : 9/4/2014 31 2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược Nhận xét : Có thể đưa kết quả về dạng hàm sin hay cos của tổng/hiệu. 2 2 2 2 2 2 sin t cos t sin t cos t                      2 2 sin t cos cos t sin       2 2 sin( t )     Trong đó : 2 2 2 2 arccos arcsin          9/4/2014 32 2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược Ví dụ: Tìm y(t) biết 1 2 2 2 C (s 3) 4C2s 5 A Y(s) s(s 6s 25) s s 6s 25          Giải. Mẫu số của Y(s) có một nghiệm đơn s=0 và hai nghiệm phức p1,2 =-34j nên có thể phân tích : 2 2s 5 Y(s) s(s 6s 25)     1 2 21 2C 3 4(A )s (6A )s 25A Y(s) s(s 6s 25) C C        25A 5 1A C 0  1 26A 3C 4C 2   A 1/ 5 1C 1/ 5  2C 7 / 20 So sánh với Y(s) đã cho, ta được:  9/4/2014 33 2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược 2 2 2 2 2 1 7 1 7 (s 3) (4) (s 3) ( ) 1 15 20 5 20Y(s) 5s s 6s 25 5s (s 3) 4 (s 3) 4 4                 1 3t 3t1 1 7y(t) [Y(s)] e cos4t e sin 4t 5 5 20      L 3t1 1 e (7sin 4t 4cos4t) 5 20    3t1 65 7 4e sin 4t cos4t 5 20 65 65         3t1 65 e sin(4t ) 5 20    7 4 arccos arcsin 65 65   Vôùi 9/4/2014 34 2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược 20 0s s 2s 5 1 A lim [sY(s)] lim 5s 6s 25         1 2 3 4 j1s p s 2s 5 D (s p )(s p )Y(s) s               1 1 1 4 1 C Im D 4 5 5                Cũng có thể tính A, C1 , C2 bằng công thức :    2 1 8j 3 4j1 8j 35 20j 7 4 D j 3 4j 25 5 59 16j                2 1 1 7 7 C Re D 4 5 20             9/4/2014 35 Bài tập: Cho Y(s), tìm y(t)=? 2 18s 126 Y(s) s(s 23s 126)     2 s 20 Y(s) s(2s 16s 30)     (1) (2) (3) (4) (5) (6) 2 3s 40 Y(s) s(s 5)(s 3)     2 6s 15 Y(s) s(s 1)(s 8s 16)      2 s 5 Y(s) s(s 4s 5)     2 15s 225 Y(s) s(s 18s 225)     9t 14t4 9y(t) 1 e e 5 5     9t 9t1y(t) 1 e cos12t e sin12t 2 -    2ty(t) 1 2e sin t 4         3t 5t2 17 3y(t) e e 3 12 4     t 4t 4t15 3 1y(t) e te e 16 4 16 - - +   5t 3t 3t8 5 31 13y(t) e te e 9 4 6 36 - -    9/4/2014 36 2.3 Hàm truyền 1) Định nghĩa: Hàm truyền của hệ thống là tỉ số giữa ảnh Laplace của tín hiệu ra và ảnh Laplace của tín hiệu vào khi các điều kiện đầu bằng 0. Từ PTVP mô tả hệ thống tuyến tính bất biến liên tục : n n 1 m m 1 n n 1 0 m m 1 0n n 1 m m 1 d y d y d r d r a a ... a y(t) b b ... b r(t) dt dt dt dt             Biến đổi Laplace hai vế với ĐKĐ =0 ta được : n n 1 m m 1 n n 1 0 m m 1 0(a s a s ... a )Y(s) (b s b s ... b )R(s)           m m 1 m m 1 0 n n 1 n n 1 0 b s b s ... bY(s) G(s) R(s) a s a s ... a             Lập tỉ số Y(s)/ R(s) ta được hàm truyền G(s): 9/4/2014 37 2.3 Hàm truyền Ví dụ: Tìm hàm truyền hệ lò xo-khối lượng-giảm chấn 2 2 d y dy m b ky(t) F(t) dtdt    Phương trình vi phân: Biến đổi Laplace 2 vế với ĐKĐ =0: 2(ms bs k)Y(s) F(s)   Hàm truyền của hệ thống: 2 Y(s) 1 G(s) F(s) ms bs k     - Tín hiệu vào: lực tác dụng F(t) - Tín hiệu ra: lượng di động y(t) 9/4/2014 38 2) Nhận xét  Khái niệm hàm truyền chỉ dùng cho hệ thống (hay phần tử) tuyến tính bất biến.  Hàm truyền chỉ phụ thuộc vào các thông số và bậc của hệ thống mà không phụ thuộc vào loại và giá trị của tín hiệu vào, tín hiệu ra.  Giả thiết các ĐKĐ =0 nhằm mục đích dùng hàm truyền để nghiên cứu bản chất động học của hệ thống.  Dùng hàm truyền để mô tả và phân tích hệ thống thuận lợi hơn PTVP vì hàm truyền là phân thức đại số. Quan hệ vào-ra sẽ đơn giản là phương trình đại số: 2.3 Hàm truyền G(s) Y(s) / R(s) Y(s) R(s).G(s)   Tín hiệu ra = tín hiệu vào * hàm truyền 9/4/2014 39 2.3 Hàm truyền 3) Đa thức đặc tính, Phương trình đặc tính - Đa thức ở mẫu số của hàm truyền gọi là đa thức đặc tính: Dựa vào các nghiệm hoặc hệ số của phương trình đặc tính có thể xét tính ổn định của hệ thống (chương 4). n n 1 n n 1 0A(s) a s a s ... a      n n 1 n n 1 0a s a s ... a 0      - Cho mẫu số hàm truyền =0 ta có phương trình đặc tính: 4) Mô tả hệ MIMO Để mô tả hệ MIMO phải dùng ma trận các hàm truyền. Mỗi hàm truyền chỉ ứng với một cặp tín hiệu vào, ra. ij i jG Y / RHệ MIMO 1Y1R 3R 4Y 9/4/2014 40 2.3 Hàm truyền 5) Biểu diễn hàm truyền theo dạng zero-cực-độ lợi Trong đó: zi (i=1,2,…,m) _ là nghiệm đa thức tử số, gọi là các zero. pi (i=1,2,…,n)_ là nghiệm đa thức mẫu số, gọi là các cực (pole); pi cũng chính là nghiệm của phương trình đặc tính. 1 2 m 1 2 n Y(s) (s z )(s z )...(s z ) G(s) K R(s) (s p )(s p )...(s p )         m n b K a  _ là độ lợi (gain). 2 2 4s 28s 40 (s 2)(s 5) G(s) 4 (s 3)(s 10)s 13s 30          Ví dụ: 9/4/2014 41 2.4 Sơ đồ khối 2.4.1 Các thành phần cơ bản 1) Khối chức năng : Tín hiệu ra = tín hiệu vào * hàm truyền Y(s) = U(s)*G(s)G(s) U(s) Y(s) 3) Điểm rẽ nhánh : Tín hiệu ở các nhánh là như nhau u u u e= u1- u2u1 u2 2) Bộ tổng : Tín hiệu ra = tổng đại số các tín hiệu vào u= u1+u3u1 u3 (Bộ so) 9/4/2014 42 2.4 Sơ đồ khối  Đại số sơ đồ khối là thuật toán biến đổi tương đương để rút gọn các sơ đồ khối.  Hai sơ đồ khối là tương đương nếu chúng có cùng quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra.  Với hệ thống có cấu trúc phức tạp, ta tìm cách: 1) Biến đổi SĐK để làm xuất hiện các kết nối cơ bản. 2) Lần lượt tính các hàm truyền tương đương theo nguyên tắc rút gọn dần từ trong ra ngoài.  Sau đây là một số quy tắc biến đổi cơ bản: 2.4.2 Đại số sơ đồ khối 9/4/2014 43 2.4.2 Đại số sơ đồ khối 1) Hệ nối tiếp: G1 U G2 Y Gn Y1 Y2 Y G U 1 2 n 1 2 n Y U.G .G ...G Y G G .G ...G U     1 2 nY U.G U.G ... U.G    1 2 n Y G G G ... G U       2) Hệ song song: Y G UU G1 G2 Gn Y Y1 Y2 Yn Hàm truyền chung G = tổng các Gi U U U Hàm truyền chung G = tích các Gi 9/4/2014 44 2.4.2 Đại số sơ đồ khối 3) Hệ hồi tiếp  Hệ hồi tiếp âm k Y G ( Y.H R)G Y G R 1 G.H        YR kG k Y G (Y.H R)G Y G R 1 G.H       R Y G H  Hệ hồi tiếp dương: R Y G H Y Yht E YR kG 9/4/2014 45 2.4.2 Đại số sơ đồ khối YR k G G 1 G   c c k R c G .GY ( Y.H R)G G Y G G R 1 G .G.H          Hệ hồi tiếp có nhiễu  Hệ hồi tiếp âm đơn vị (hàm truyền hồi tiếp H(s)=1 )  Xét riêng tác động của tín hiệu vào R (coi Z1& Z2=0): R Y G Z2 R Y Gc H G Z1 9/4/2014 46 2.4.2 Đại số sơ đồ khối 1c 1 Z 1 c Y G [( Y.H.G ) Z ]G Y G Z 1 G .G.H         2c 2 Z 2 c Y 1 ( Y.HG G) Z Y G Z 1 G .G.H         c 1 2 i c c c G .G.R G.Z Z Y Y 1 G .G.H 1 G .G.H 1 G .G.H          Đáp ứng tổng hợp: (áp dụng nguyên lý xếp chồng)  Xét riêng tác động của nhiễu Z2 :  Xét riêng tác động của nhiễu Z1 : Z2 R Y Gc H G Z1 9/4/2014 47 2.4.2 Đại số sơ đồ khối 4) Chuyển điểm rẽ ra trước một khối: => Thêm khối G Y Y U G Y G G Y U 5) Chuyển điểm rẽ ra sau một khối: => Thêm khối (1/G) Y G U U Y G 1/G U U 6) Chuyển bộ tổng ra trước một khối: => Thêm khối (1/G) Y= U1G-U2U1 G U2 1/G U1 G U2 Y= U1G-U2 U Y 9/4/2014 48 2.4.2 Đại số sơ đồ khối 7) Chuyển bộ tổng ra sau một khối: => Thêm khối (G) U1 G U2 Y=(U1-U2 )G Y= U1G-U2GU1 G U2 G 8) Đảo vị trí, tách, nhập hai bộ tổng liền nhau: được phép U1 U2 U3 Y U2 U1 U3 YU1 U3 U2 Y Y=U1-U2+U3 Y=U1+U3-U2 9/4/2014 49 2.4.2 Đại số sơ đồ khối  Không được đảo vị trí điểm rẽ và bộ tổng. U1 U2 U4=U1-U2 U3=U1  Không được đảo vị trí 2 bộ tổng nếu giữa hai bộ tổng có điểm rẽ. U1 U2 U3 U5 U4=U1-U2 U1 U3 U2 U4=U1+U3 U5 U1 U2 U4=U1-U2 U3=U1-U2=U4  Lưu ý : 9/4/2014 50 Ví dụ 2.8 Tìm hàm truyền tương đương 21 1 2 2 2 1 1 1 2 21 G G G G G 1 G G K 1 G K G G K      tñ tñ2 tñ 3 1 2 3 3 3 1 1 1 2 2 1 2 3 3 2 2 G G G G GY(s) G (s) R(s) 1 G G K 1 G K G G K G G G K        tñ tñ tñ 1 1 1 G G 1 G K  tñ1 Gtđ1 Gtđ2 9/4/2014 51 Ví dụ 2.9_ Cách giải 1 2 3 2 3 5 G G G 1 G G G  tñ1 1 1 3 G G G 1 G G .(1/ G )   tñ1 tñ2 tñ1 4 4 G G G 1 G G   tñ2 tñ tñ2 Gtđ1 Gtđ2 G5 R A G1 G2 G4G3 B R Y G1 G2 G4 G5 G3 1/G3 A 9/4/2014 52 Nhận xét: Biến đổi sau đây đúng hay sai, vì sao ? R Y G1 G2 G4 G5 G3 A B R Y G1 G2 G4 G5 G3 B G2 9/4/2014 53 Ví dụ 2.9_ Cách giải 2 Gtđ1 Gtđ2 R Y G1 G2 G4 G5 G3 A B R Y G1 G2 G4 G5 G3 G3 2 2 3 5 G G 1 G G G   tñ1 1 1 G G G 1 G G   tñ1 tñ2 tñ1 3 4 3 4 G G G G 1 G G G tñ2 tñ tñ2   B 9/4/2014 54 Ví dụ 2.9_ Cách giải 3 Gtđ1 Gtđ2 R Y G1 G2 G4 G5 G3 A B R Y G2 G4 G5 G3 G3 G G 1 G   tñ1 tñ2 tñ1 3 4 3 4 G G G G 1 G G G tñ2 tñ tñ2   G1 1/G1 1 2 2 3 5 G G G 1 G G G  tñ1 9/4/2014 55 Bài tập 1_ Tìm hàm truyền tương đương Cách 1: 9/4/2014 56 Bài tập 1_ Gtđ1 Gtđ2 R Y G1 G2 G2H1 G4 G3 H2 Cách 2: 1 2 3 1 4 1 2 3 1 4 2 1 2 3 2 4 2 G G G G G G 1 G G G G G G H G G H G H td        9/4/2014 57 Bài tập 2_ Tìm hàm truyền tương đương 1 2 3 1 4 1 2 3 1 4 1 2 1 2 3 2 4 2 G G G G G G 1 G G G G G G G H G G H G H td        9/4/2014 58 Bài tập 3_ Tìm hàm truyền tương đương 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 1 td G G G G G 1 G G G G G G G G G G H      R Y G1 G2 G4 H1 G3 1/G41/G1 9/4/2014 59 Bài tập 12,13_ Tìm hàm truyền tương đương R Y G1 G2 G3 H1 R Y G2G1 9/4/2014 60 Bài tập 14,15_ Tìm hàm truyền tương đương 9/4/2014 61 2.5 Hàm truyền của các khâu vật lý điển hình 2.5.1 Phần tử cơ khí  Hệ lò xo-khối lượng-giảm chấn 2 2 d y dy m b ky(t) F(t) dtdt    Phương trình vi phân: Biến đổi Laplace 2 vế với ĐKĐ =0 : 2(ms bs k)Y(s) F(s)   Hàm truyền bậc hai: 2 Y(s) 1 G(s) F(s) ms bs k     - Tín hiệu vào: lực tác dụng F(t) - Tín hiệu ra: lượng di động y(t) 9/4/2014 62 2.5 Hàm truyền của các khâu vật lý điển hình 2.5.1 Phần tử cơ khí  Trục vít –đai ốc (bàn máy) Phương trình chuyển động: Biến đổi Laplace 2 vế : Hàm truyền tích phân: -Tín hiệu vào: vận tốc góc (t) -Tín hiệu ra:lượng di động y(t) n_số vòng quay/giây P_bước ren vít t t 0 0 P y(t) P n(t)dt . (t)dt 2      P (s) K Y(s) . (s) 2 s s      Y(s) K (s) s   (K=P/2 : hệ số tích phân) 9/4/2014 63 2.5 Hàm truyền của các khâu vật lý điển hình Phương trình vi phân: Biến đổi Laplace 2 vế với ĐKĐ =0 : U(s) (Ls R)I(s)  Hàm truyền bậc nhất: I(s) 1 G(s) U(s) Ls R    2.5.2 Phần tử điện  Mạch RL nối tiếp -Tín hiệu vào: điện áp u(t) -Tín hiệu ra: dòng điện i(t) L R di u u u L Ri dt     9/4/2014 64 2.5 Hàm truyền của các khâu vật lý điển hình Phương trình vi phân: Biến đổi Laplace 2 vế với ĐKĐ =0 : 2 C(LCs RCs 1)U (s) U(s)   Hàm truyền bậc hai: C 2 U (s) 1 G(s) U(s) LCs RCs 1     2.5.2 Phần tử điện  Mạch RLC nối tiếp Tín hiệu vào: điện áp u(t) Tín hiệu ra: điện áp uc(t) 2 2 C C C d u du LC RC u u dt dt    9/4/2014 65 2.5 Hàm truyền của các khâu vật lý điển hình  Mạch RLC nối tiếp & // i - Theo Kirchhoff : C C C C du1 u i dt i C C dt    L C L L C di 1 u u L i u dt dt L      R L C u Ri R i i( )   2 C RLCs Ls R U s LsU s( ) ( ) ( )   - Hàm truyền: C 2 U s Ls G s U s RLCs Ls R ( ) ( ) ( )     R Cu u u  (*) - Lấy Laplace 2 vế, được: C C C du R RC u dt u u dt L   -Tính uR rồi thế vào (*),  2 C C C2 d u du du RLC L Ru L dt dt dt    - Lấy đạo hàm 2 vế rồi quy đồng mẫu số, ta có ptvp: 9/4/2014 66 2.5 Hàm truyền của các khâu vật lý điển hình  Khuếch đại thuật toán (op-amp) 0 2 1 1 2u K(u u ) K(u u )     - Op-amp thường được ghép nối thành các mạch khuếch đại, mạch cảm biến, bộ lọc tín hiệu, bộ điều khiển. - Tín hiệu ngõ ra u0 tỉ lệ với hiệu của hai tín hiệu vào. - Hệ số khuếch đại K105106. 9/4/2014 67  Cảm biến Các cảm biến thường có tín hiệu ra yht(t) tỉ lệ với tín hiệu vào y(t). Ví dụ: - Một cảm biến đo áp suất trong tầm 010 bar và chuyển thành điện áp trong tầm 010V sẽ có hàm truyền là H(s)=K =10/10 = 1 [V/bar] - Một cảm biến nhiệt đo nhiệt độ trong tầm 0500C và chuyển thành điện áp trong tầm 010V sẽ có hàm truyền là H(s)=K =10/500 = 0,02 [V/C] Nếu cảm biến có độ trễ đáng kể thì được mô tả bằng hàm truyền bậc nhất. 2.5 Hàm truyền của các khâu vật lý điển hình 9/4/2014 68 U(s) I(s) (s) 2.5.3 Động cơ điện DC Tín hiệu vào: điện áp u Tín hiệu ra: vận tốc góc  R: điện trở phần ứng L: điện cảm phần ứng Ke: hằng số sức điện động e=Ke: sức điện động ngược Sử dụng 3 phương trình cơ bản: 1) Phương trình mạch điện phần ứng : e di u L Ri K dt     eU(s) LsI(s) RI(s) K (s)     eU(s) K (s) Ls R I(s)    Biến đổi Laplace 2 vế:  Sơ đồ khối (1): 1 Ls R Ke    e 1 U(s) K (s) I(s) Ls R     9/4/2014 69 2.5.3 Động cơ điện DC 2) Phương trình mômen điện từ: mM(t) K i(t) mM(s) K I(s)  Km : hằng số mômen của động cơ I(s) M(s) Km  Sơ đồ khối (2): t d J M(t) B (t) M (t) dt      tM(s) M (s) Js (s) B (s)      3) Phương trình cân bằng mômen cơ: tM(s) M (s) (Js B). (s)    J: mômen quán tính của đcơ và tải quy về trục động cơ B: hệ số ma sát của đcơ và tải quy về trục động cơ Mt : mômen phụ tải (nhiễu)  Sơ đồ khối (3): M(s) (s) Mt(s) 1 Js B 9/4/2014 70 2.5.3 Động cơ điện DC Kết nối các SĐK (1),(2),(3) ta được SĐK chung của động cơ DC: Dùng đại số SĐK tìm hàm truyền động cơ (coi nhiễu Mt=0): Km M(s) (s) Mt(s) 1 Js B U(s) I(s) (s) Ke 1 Ls R m m m e m e K K(s) (Ls R)(Js B) G(s) K KU(s) (Ls R)(Js B) K K 1 (Ls R)(Js B)               m 2 m e K(s) G(s) U(s) LJs (LB RJ)s K K RB        (2-47 tr.45) 9/4/2014 71 9/4/2014 72 9/4/2014 73 9/4/2014 74 2.5.3 Động cơ điện DC Nếu đặt : Thì hàm truyền có dạng: e L / R  _là hằng số thời gian điện m J / B  _là hằng số thời gian cơ m m 2 m ee m m e e m e m K K / RB G(s) K KRB( s 1)( s 1) K K s ( )s 1 RB                     Nếu bỏ qua điện cảm: m m em m e m e K RB K K(s) K K G(s) RJU(s) RJs RB K K Ts 1 s 1 RB K K           Nhận xét : Tổng quát, động cơ DC điều khiển vận tốc được mô tả bằng hàm truyền bậc hai, nếu bỏ qua điện cảm thì có thể mô tả bằng hàm truyền bậc nhất. (2-49) (2-48 tr.46) 9/4/2014 75 2.5.3 Động cơ điện DC  Nếu động cơ được điều khiển góc quay  (định vị); Do =d/dt  (s)=s.(s) nên sơ đồ khối có thêm khâu tích phân 1/s. Hàm truyền: Nếu bỏ qua điện cảm: m m em m e m e K RB K K(s) K K G(s) U(s) s(RJs RB K K ) s(Ts 1)RJ s s 1 RB K K             (2-50 tr.46) Km M(s) (s) Mt(s) 1 Js B U(s) I(s) (s) Ke 1 Ls R 1 s (s) m m e (s) K G(s) U(s) s[(Ls R)(Js B) K K )]       9/4/2014 76 2.6 Graph tín hiệu (sơ đồ dòng tín hiệu)  Đường tiến (path, P): gồm các nhánh liên tiếp nối từ nút nguồn đến nút đích và chỉ đi qua mỗi nút một lần. Hàm truyền của đường tiến bằng tích các hàm truyền của các nhánh trên đường tiến đó. 2.6.1 Các thành phần của graph  Nút, nhánh: - Mỗi nút là một điểm, biểu diễn một tín hiệu trong hệ thống. - Nhánh là đường nối trực tiếp hai nút. Trên mỗi nhánh có vẽ mũi tên chỉ hướng tín hiệu và ghi hàm truyền giữa hai nút. - Nút nguồn chỉ có nhánh đi ra. Nút đích chỉ có nhánh đi vào. X2=G.X1GX1 P1= G1G2 G3 G4 P2= G1G5 G4G4 G5 G1 G2 G3 G6 G1G2 G3, G2G3G4, G1G3 G4, G1G5G6G3 G4 có là đường tiến? 9/4/2014 77 2.6 Graph tín hiệu  Vòng kín (loop, L): là đường khép kín gồm các nhánh liên tiếp và chỉ đi qua mỗi nút một lần. Hàm truyền của vòng kín bằng tích các hàm truyền của các nhánh trong vòng kín đó. L1 dính với L2 ở một nút; L1 không dính với L3 L2 dính với L3 ở hai nút L1 , L2 và L3 đều dính với đường tiến P1 P1= G1G2 G3G4 L1= -G1G2 H1 L2= G3G4 H2 L3= -G4 H3 G1 G2 -H1 G3 G4 H2 1 -H3 1  Dính (touching)= có ít nhất một nút chung.  Không dính (none-touching)= không có nút nào chung 9/4/2014 78 2.6 Graph tín hiệu :Tổng hàm truyền của các vòng kín có trong graph. :Tổng các tích hàm truyền của các cặp vòng kín không dính. :Tổng các tích hàm truyền của các bộ ba vòng kín không dính. : Định thức con thứ k, suy ra từ  bằng cách bỏ đi các vòng kín có dính với đường tiến thứ k.  Dính (touching)= có ít nhất một nút chung  Không dính (none-touching)= không có nút nào chung. iL i j mL L L i jL L k 2.6.2 Công thức Mason k k k 1 G P    G : Hàm truyền của hệ thống; Pk : Hàm truyền của đường tiến thứ k;  : Định thức của graph tín hiệu. i i j i j m i i, j i, j,m 1 L L L L L L ...        9/4/2014 79 2.6 Graph tín hiệu  Nhận xét  Nếu các vòng kín và đường tiến có chung một nhánh Gi thì chúng sẽ dính nhau. Trường hợp này chỉ cần kiểm tra các hàm truyền L và P, không cần phải kiểm tra trên sơ đồ graph.  Các vòng kín và đường tiến không có nhánh Gi nào chung vẫn có thể dính nhau, hoặc không dính. Khi đó phải kiểm tra cụ thể trên sơ đồ graph. -------------  Nếu hệ thống cho ở dạng sơ đồ khối, muốn áp dụng được công thức Mason ta phải chuyển SĐK thành sơ đồ graph. Khi chuyển cần lưu ý: - Có thể gộp 2 bộ tổng hoặc 2 điểm rẽ liền nhau thành 1 nút - Có thể gộp 1 bộ tổng và 1 điểm rẽ liền sau nó thành 1 nút. - Không thể gộp 1 điểm rẽ và 1 bộ tổng liền sau nó thành 1 nút. 9/4/2014 80 Ví dụ 1_ứng dụng Graph tín hiệu Sơ đồ khối Graph tín hiệu 9/4/2014 81 Ví dụ 1_ứng dụng Graph tín hiệu Các đường tiến: P1= G1G2G3G4 Các vòng kín: L1= -G1G2 L2= G2G3 H1 L3= -G3G4 Cả 3 vòng kín đều dính với P1 nên: 1 1  Áp dụng công thức Mason ta có hàm truyền của hệ : L1 không dính với L3 nên: 1 2 1 331 (L L LL ) L        1 2 3 4td 1 1 1 2 2 3 1 3 4 1 2 3 4 G G G G1 G P 1 G G G G H G G G G G G         9/4/2014 82 Ví dụ 2_ứng dụng Graph tín hiệu Graph tín hiệu Sơ đồ khối 9/4/2014 83 Ví dụ 2_ứng dụng Graph tín hiệu Các đường tiến: P1= G1G2G3 ; P2= G1G4 Các vòng kín: L1= -G1G2G3 L2= -G1G4 L3= -G2H1 L4= -G2G3H2 L5= -G4H2 Cả 5 vòng đều dính với P1, P2 nên: 1 2 1    1 2 3 1 41 1 2 2 td 1 2 3 1 4 2 1 2 3 2 4 2 G G G G GP P G 1 G G G G G G H G G H G H            Hàm truyền của hệ tính theo công thức Mason: 1 2 3 4 51 (L L L L L )      Cả 5 vòng đều dính nhau nên: 9/4/2014 84 Ví dụ 3_ ứng dụng Graph tín hiệu G1 G2 G3 G4 G5 1 G6 G7 -H2 -H1R Y G7 R G3 G4G1 H2 H1 G2 G5 G6 Y 9/4/2014 85 Ví dụ 3_ ứng dụng Graph tín hiệu ( = ví dụ 2.14 tr. 61) Các đường tiến: P1= G1G2G3G4G5 P2= G1G6G4G5 P3= G1G2G7 Các vòng kín: L1= -G4H1 ; L2= -G2G7 H2 ; L3= -G2G3G4 G5H2 ; L4= -G6G4G5H2 L1 không dính với L2 nên  = 1- (L1+L2 +L3+L4) +L1L2 Cả 4 vòng kín đều dính với P1 và P2 nên 1= 2 =1 L1 không dính với P3 nên 3= 1- L1 Hàm truyền của hệ : 1 2 3 4 5 1 6 4 5 1 2 7 4 1 4 1 2 7 2 6 5 4 2 2 3 4 5 2 4 1 2 7 2 G G G G G G G G G G G G (1 G H ) 1 G H G G H G G G H G G G G H G H G G H          1 1 2 2 3 3 Y(s) 1 G(s) (P P P ) R(s)         G1 G2 G3 G4 G5 1 G6 G7 -H2 -H1R Y 9/4/2014 86 2.7 Mô hình phương trình trạng thái 2.7.1 Giới thiệu  Mô hình hàm truyền có một số điểm hạn chế: - Chỉ áp dụng được với điều kiện đầu bằng 0. - Chỉ mô tả được quan hệ tuyến tính một vào, một ra (SISO). - Chỉ áp dụng được cho hệ tuyến tính bất biến, không dùng được cho hệ phi tuyến hay hệ có thông số biến đổi theo thời gian.  Để khắc phục, người ta dùng mô hình phương trình trạng thái.  Trạng thái của hệ thống là tập hợp nhỏ nhất các biến (gọi là biến trạng thái) mà nếu biết giá trị các biến này tại thời điểm t=t0 và biết các tín hiệu vào ở t t0, ta hoàn toàn có thể xác định được đáp ứng của hệ thống tại mọi thời điểm t t0. Với hệ tuyến tính bất biến, thời điểm đầu thường được chọn là t0=0. 9/4/2014 87 2.7 Mô hình phương trình trạng thái  Để mô tả hệ thống bậc n cần dùng n biến trạng thái, hợp thành véctơ cột gọi là véctơ trạng thái, ký hiệu là:   T 1 2 nx x x ... x  Sử dụng biến trạng thái ta có thể chuyển ph. trình vi phân bậc n mô tả hệ thống thành hệ gồm n phương trình vi phân bậc nhất viết dưới dạng ma trận như sau : x(t) Ax(t) Br(t) y(t) Cx(t) Dr(t)      Trong đó: x(t) là véctơ trạng thái r(t) là tín hiệu vào, y(t) là tín hiệu ra của hệ.  Với hệ tuyến tính bất biến MIMO thì A, B, C, D là các ma trận hệ số.  Với hệ tuyến tính bất biến SISO thì A là ma trận, B là vectơ cột, C là vectơ hàng, D là một hằng số. : Phương trình trạng thái : Phương trình ngõ ra 9/4/2014 88 2.7 Mô hình phương trình trạng thái 11 12 1n 21 22 2n n1 n2 nn a a ... a a a ... a A ... ... ... ... a a ... a             n 1 2 b b B b              1 2 nC c c ... c 1D d const.   Nếu hệ tuyến tính bất biến SISO có hàm truyền với bậc tử số nhỏ hơn bậc mẫu số (gọi là hệ hợp thức chặt) thì D = 0.  Biến trạng thái không nhất thiết phải là các thông số đo được (biến vật lý). Các biến không đại diện cho các đại lượng vật lý (chỉ là biến toán học) cũng có thể chọn làm biến trạng thái.  Việc chọn biến trạng thái không phải chỉ theo một cánh duy nhất. Do đó: Một hệ thống có thể mô tả bằng nhiều phương trình trạng thái khác nhau, tuỳ thuộc vào cách chọn các biến trạng thái. 9/4/2014 89 Ví dụ : Lập ph.trình trạng thái mô tả động cơ DC mM(t) K i(t) d M(t) J B (t) dt     3 phương trình cơ bản: -Phương trình điện : e di u L Ri K dt     -Ph. trình mômen điện từ: -Phương trình cân bằng mômen cơ: (để đơn giản, xem mômen tải =0) (1) (2) (3) (1)  di dt  (2) và (3)  d dt   d J M(t) B (t) dt     (4) (5) eKR 1i u L L L    mK Bi J J   9/4/2014 90 e1 1 2 2m R / L K / Lx x 1/ L u x x 0K / J B / J                       Ví dụ : Lập ph.trình trạng thái mô tả động cơ DC e 1 1 2 KR 1 x x x u L L L     m 2 1 2 K B x x x J J   Đặt 2 biến trạng thái 1 2x i ; x   (4) và (5)     1 2 x 0 1 x         e m R / L K / L A K / J B / J        1/ L B 0      x Ax Bu Cx Du        C 0 1 D 0 9/4/2014 91 Ví dụ 2.15 (trang 63) _Lập phương trình trạng thái  Các phương trình cân bằng lực: 2 2 1 2 2 1 2 2F b (y y ) k (y y ) m y      2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1b y y k (y y ) b y k y m y       Đặt 4 biến trạng thái: 1 1 2 2 3 1 4 2x y ; x y ; x y ; x y    Ta viết được hệ phương trình trạng thái : 9/4/2014 92 1 3 2 4 x x x x   2 1 2 2 3 1 1 2 1 2 3 4 1 1 1 1 k b b b1 x y (k k )x x x x m m m m         2 2 2 2 4 2 1 2 3 4 2 2 2 2 2 k k b b 1 x y x x x x F(t) m m m m m       1 1 1 2 2 1 2 22 2 1 1 1 13 3 4 42 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 1 0 0 0 0 0 1x x 0 k k k b b bx x 0. .F m m m mx x 1 x xk k b b m m m m m                                               A x B rx Ví dụ 2.15 (trang 63)  9/4/2014 93 1 1 2 1 2 3 2 4 x y x x1 0 0 0 y x x0 1 0 0 x                           Ví dụ 2.15 (trang 63) C xy x(t) Ax(t) B.F(t) y(t) Cx(t) D.F(t)      Dạng tổng quát : Trong đó A, B, C được xác định như trên. Hằng số D=0. 9/4/2014 94 2.7.2 Lập ph.trình trạng thái từ ph.trình vi phân 1) Ph.trình vi phân không chứa đạo hàm tín hiệu vào  Xét hệ thống tuyến tính SISO có ph.trình vi phân: Áp dụng cách đặt biến như trên, ta sẽ tìm được phương trình trạng thái mô tả hệ thống (trường hợp này có D=0): n n 1 n 1 0 0n n 1 d y d y a ... a y(t) b r(t) dt dt        (Nếu an≠ 1 ta chia hai vế cho an để đưa về dạng trên) Quy tắc đặt biến trạng thái: -Biến thứ nhất bằng tín hiệu ra: x1 =y -Biến sau bằng đạo hàm của biến trước: xi= xi-1 (i=2,..,n) x Ax Br y Cx     9/4/2014 95 2.7.2 Lập ph.trình trạng thái từ ph.trình vi phân 2) Ph.trình vi phân có chứa đạo hàm tín hiệu vào  Xét hệ thống tuyến tính SISO có ph.trình vi phân: Áp dụng cách đặt biến như trên, ta sẽ xác định được các hệ số . Từ đó lập được ph.trình trạng thái mô tả hệ thống, trong đó: n n 1 n n 1 n 1 0 n n 1 0n n 1 n n 1 d y d y d r d r a ... a y(t) b b ... b r(t) dt dt dt dt             (Nếu an≠ 1 ta chia hai vế cho an để đưa về dạng trên) Quy tắc đặt biến trạng thái: - Nếu bậc vế phải < vế trái (tức bn=0), đặt x1 =y Nếu bậc vế phải = vế trái (tức bn≠0), đặt x1 =y- 0r - Đặt biến thứ i (i=2,3,…,n): - Và đặt n n 1 n n 2 n 1 1 2 0 1 nx a x a x ... a x a x r         1 1i i ix x r   1 2 0[ ... ] ; T n nB D b      9/4/2014 96 2.7.2 Lập ph.trình trạng thái từ ph.trình vi phân Ví dụ 1: Lập phương trình trạng thái của hệ có ph.trình vi phân: Giải. Đặt hai biến trạng thái: 5y(t) 2y(t) 7y(t) r(t)   1 2 1x y ; x x   2x y Phương trình trạng thái: 1 2 2 1 2 x x 7 2 1 x x x r 5 5 5         Viết theo dạng ma trận: 1 1 2 2 x x0 1 0 .r x 7 / 5 2 / 5 x 1/ 5                         1 2 x y 1 0 x       x Ax Br y Cx      9/4/2014 97 2.7.2 Lập ph.trình trạng thái từ ph.trình vi phân Ví dụ 2: Lập phương trình trạng thái của hệ có ph.trình vi phân: Giải. Đặt các biến trạng thái: y 5y 6y 8y 8r 24r     1 2 1 1 3 2 2 x y x x r x x r        1 1 2 1 2 1 3 2 1 y x y x x r y x r x r r          Ta được: 3 2 1 2y x r r   3 2 1y 5y 6y 8y (x r r)      3 2 1(5x 5 r 5 r)     2 1 1(6x 6 r) 8x   3 3 2 1 3x 5x 6x 8x r     (Chọn đặt sao cho triệt tiêu được các thành phần xi )3x Đặt 9/4/2014 98 2.7.2 Lập ph.trình trạng thái từ ph.trình vi phân Hệ phương trình trạng thái của hệ thống là: So sánh ph.trình trên với ph.trình đã cho, ta được: Dạng ma trận: 1 2 1 3 2 1y 5y 6y 8y r ( 5 )r ( 5 6 )r               1 2 1 2 3 2 1 3 2 1 0 5 8 8 5 6 24 24 5 6 16                          1 2 1 2 2 3 2 3 3 3 2 1 3 1 2 3 x x r x x x r x 8r x 5x 6x 8x r 8x 6x 5x 16r                    1 1 2 2 3 3 x x 00 1 0 x 0 0 1 x 8 r 8 6 5 16x x                                 9/4/2014 99 2.7.2 Lập ph.trình trạng thái từ ph.trình vi phân Ví dụ 3: Lập phương trình trạng thái của hệ có ph.trình vi phân: Và đặt: Giải. Đặt các biến trạng thái như sau: y 7y 4y 2r 8r 3r      1 0 2 1 1 x y r x x r     2 1 2 0 1 2 2 1 2x a x a x r 7x 4x r        1 0 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 2 1 07x 4x r r r y x r y x r x r r y x r r                   Ta được: 2 1 2 1 0y 7y 4y ( 7x 4x r r r)        2 1 0 1 0(7x 7 r 7 r) (4x 4 r)         Đáp ứng ngõ ra:   1 1 2 3 x y x 1 0 0 x x          9/4/2014 100 2.7.2 Lập ph.trình trạng thái từ ph.trình vi phân Hệ phương trình trạng thái của hệ thống là: Dạng ma trận: 0 1 0 1 2 1 0 2 1 0 2 7 8 6 7 4 3 3 7 4 37                           1 1 0 2 2 2 1 2 1 2 x x r x 2 x 7x 4x r 4x 7x 37r             1 1 2 2 x x0 1 6 r 4 7x x 37                         1 2 x y 0 1 2r x        So sánh ph.trình trên với ph.trình đã cho, ta được: 0 1 0 2 1 0y 7y 4y r ( 7 )r ( 7 4 )r              9/4/2014 101 2.7.3 Lập ph.trình trạng thái từ hàm truyền, sơ đồ khối Cách 1: Hàm truyền  ph.trình vi phân  ph.trình trạng thái (Xem cách giải ví dụ 2.19 trang 69 sách ĐKTĐ ) Ví dụ: Cách 2: Đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ khối Ví dụ: y 5y 6y 8y 8r 24r     3 2 Y(s) 8s 24 G(s) R(s) s 5s 6s 8       3 2(s 5s 6s 8).Y(s) (8s 24).R(s)     (tiếp tục giải như ở ví dụ 2 mục 2.7.2 ) Lấy Laplace ngược 2 vế  9/4/2014 102 2.7.4 Tìm hàm truyền từ phương trình trạng thái  Xét hệ thống tuyến tính SISO có ph.trình trạng thái: - Để tránh phải tính ma trận nghịch đảo, có thể dùng công thức: x Ax Br y Cx Dr      Hệ thống sẽ có hàm truyền: 1Y(s)G(s) C(sI A) B D R(s)     1 det(sI A BC)G(s) C(sI A) B D 1 D det(sI A)          - Phương trình đặc tính của hệ thống: det(sI A) 0  (xem chứng minh tr. 71_sách ĐKTĐ) 9/4/2014 103 2.7.4 Tìm hàm truyền từ phương trình trạng thái Ví dụ 2.21 (trang 71) Xét hệ thống có ph.trình trạng thái: 1G(s) C(sI A) B D  Cách 1: Hàm truyền 1 1 2 2 x (t) x5 1 2 r(t) x (t) x1 0 0                          1 2 x (t) y(t) 1 0,5 x (t)        1 0 5 1 s 5 1 (sI A) s 0 1 1 0 1 s                       1 1 a b d b1 M c d c adet(M)              1 2 s 1 s 11 1 (sI A) 1 s 5 1 s 5det(sI A) s 5s 1                   Hàm truyền của hệ thống =? 9/4/2014 104 2.7.4 Tìm hàm truyền từ phương trình trạng thái 1 2 s 1 s 11 1 (sI A) 1 s 5 1 s 5det(sI A) s 5s 1                  1 2 2 s 1 2 2s1 1 (sI A) B 1 s 5 0 2s 5s 1 s 5s 1                        1 2 2 2s1 2s 1 C(sI A) B 1 0,5 2s 5s 1 s 5s 1             1 2 2s 1 G(s) C(sI A) B D s 5s 1        9/4/2014 105 2.7.4 Tìm hàm truyền từ phương trình trạng thái 1 0 5 1 s 5 1 sI A s 0 1 1 0 1 s                         s 5 1 2 sI A BC 1 0,5 1 s 0               1 det(sI A BC)G(s) C(sI A) B 1 det(sI A)        2 2 2 s 7s 2 2s 1 G(s) 1 s 5s 1 s 5s 1           Cách 2: Hàm truyền s 5 1 2 1 s 7 2 1 s 0 0 1 s                       9/4/2014 106 Tổng kết chương 2  Một hệ thống có thể mô tả bằng 1 trong 3 dạng mô hình: Ph.trình vi phân, hàm truyền và ph.trình trạng thái.  Ba dạng mô hình này có thể chuyển đổi qua lại. Ph.trình vi phân Hàm truyền Ph.trình trạng thái L -1 L Đặt x 1( ) ( )  G s C sI A B D