Chỉ số chính qui của các điểm béo nằm trên hai đường thẳng trong P2

CHỈ SỐ CHÍNH QUI CỦA CÁC ĐIỂM BÉO NẰM TRÊN HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG P2 PHAN VĂN THIỆN Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế Tóm tắt: Chúng tôi sẽ chỉ ra công thức tính chỉ số chính qui của tập các điểm béo nằm trên hai đường thẳng của không gian xạ ảnh P2 bằng phương pháp đại số. Phương pháp của chúng tôi có thể mở rộng để xét các điểm béo trong không gian xạ ảnh Pn, n là số nguyên dương tuỳ ý. 1 GIỚI THIỆU Cho Pn := PnK là không gian xạ ảnh n-chiều trên trường K, K là trường đóng đại số, và R := K[X0; : : : ; Xn] là vành đa thức theo n + 1 biến X0; : : : ; Xn. Cho P1; : : : ; Ps là các điểm phân biệt trong Pn và m1; : : : ;ms là các số nguyên dương. Gọi }1; : : : ; }s là các iđêan nguyên tố thuần nhất trong R xác định bởi các điểm P1; : : : ; Ps tương ứng. Đặt I = } m1 1 ∩ · · · ∩ }mss . Cho Z là lược đồ chiều không xác định bởi I và chúng ta gọi Z := m1P1 + · · ·+msPs là tập s điểm béo trong Pn. Đây chính là lược đồ của tất cả các siêu mặt trong R có số bội ≥ mi tại mọi Pi, i = 1; : : : ; s. Vành toạ độ của Z là A := R=I. Vành A = ⊕ t0 At là vành phân bậc Cohen-Macaulay 1-chiều có số bội là e(A) = s∑ i=1 ( mi + n− 1 n ) : Hàm Hilbert HA(t) = dimK At của A tăng chặt cho đến khi nó đạt đến số bội e(A), từ đó nó dừng. Số nguyên t bé nhất sao cho HA(t) = e(A) được gọi là chỉ số chính qui của tập điểm béo Z, chúng tôi ký hiệu nó là reg(Z) (hay reg(A)). Việc tính toán được chỉ số chính qui reg(Z) là rất khó. Cho đến nay, chỉ có một ít các kết quả về việc tính reg(Z) được công bố. Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế ISSN 1859-1612, Số 04(24)/2012: tr. 5-10 6 PHAN VĂN THIỆN Năm 1984, E.D. Davis và A.V. Geramita [2] tính được chỉ số chính qui của tập điểm béo Z = m1P1 + · · · +msPs trong trường hợp tất cả các điểm P1; : : : ; Ps nằm trên cùng một đường thẳng của Pn: reg(Z) = m1 + · · ·+ms − 1: Một tập điểm trong Pn được gọi là ở vị trí tổng quát nếu không có j + 2 điểm trong chúng nằm trên cùng một j-phẳng với j < n. Năm 1993, M.V. Catalisano, N.V. Trung và G. Valla [1] chỉ ra công thức tính chỉ số chính qui cho tập điểm béo Z = m1P1 + · · ·+msPs trong Pn ở hai trường hợp: ◦ s ≥ 2 và các điểm P1; : : : ; Ps nằm trên một đường cong hữu tỉ chuẩn: reg(Z) = max { m1 +m2 − 1; [( s∑ i=1 mi + n− 2 ) =n ]} : ◦ n ≥ 3, 2 ≤ s ≤ n+2, 2 ≤ m1 ≥ · · · ≥ ms và P1; : : : ; Ps ở vị trí tổng quát trong Pn: reg(Z) = m1 +m2 − 1: Năm 2009, P.V. Thiện [4] đã tính được chỉ số chính qui của s điểm béo Z = m1P1+ · · ·+msPs ở vị trí tổng quát trong Pn, s ≤ n+ 2: reg(Z) = max { h− 1; [( s∑ i=1 mi + n− 2 ) =n ]} ; với h = max{mi1 + · · ·+miq |Pi1 ; : : : ; Piq nằm trên một đường thẳng}: Gần đây, P.V. Thiện [5] đã tính được chỉ số chính qui của s + 2 điểm béo Z = m1P1 + · · ·+ms+sPs+2 không nằm trên một (s− 1)-phẳng trong Pn: reg(Z) = max{Tj| j = 1; : : : ; n}; với Tj = max {[∑q l=1mil + j − 2 j ] | Pi1 ; : : : ; Piq nằm trên một j-phẳng } : Trong bài báo này chúng tôi sẽ chỉ ra công thức tính chỉ số chính qui của các điểm béo nằm trên hai đường thẳng của không gian xạ ảnh P2 bằng phương pháp đại số. Phương pháp của chúng tôi có thể mở rộng để xét các điểm béo trong không gian xạ ảnh Pn, n là số nguyên dương tuỳ ý. CHỈ SỐ CHÍNH QUI CỦA CÁC ĐIỂM BÉO NẰM TRÊN HAI ĐƯỜNG THẲNG 7 2 MỘT SỐ BỔ ĐỀ CẦN DÙNG Chúng tôi sẽ cần đến các bổ đề sau đây, chúng đã được chứng minh trong [1]. Bổ đề 2.1. ([1, Lemma 1]) Cho P1; : : : ; Pr; P là các điểm phân biệt trong Pn và cho } là iđêan xác định bởi điểm P . Nếu m1; : : : ;mr và a là các số nguyên dương, J = }m11 ∩ · · · ∩ }mrr , I = J ∩ }a, thì reg(R=I) = max {a− 1; reg(R=J); reg(R=(J + }a))} : Để ước lượng reg(R=(J + }a)) chúng tôi sẽ dùng bổ đề sau. Bổ đề 2.2. ([1, Lemma 3]) Cho P1; : : : ; Pr; P là các điểm phân biệt trong Pn và m1; : : : ;mr, a là các số nguyên dương. Đặt J = } m1 1 ∩· · ·∩}mrr và } = (X1; : : : ; Xn). Khi đó, reg(R=(J + }a)) ≤ b nếu và chỉ nếu Xbi0 M ∈ J+}i+1 với mọi đơn thức M bậc i theo các biến X1; : : : ; Xn, i = 0; : : : ; a− 1. Để tìm số b trong bổ đề trên, chúng tôi sẽ tìm một số nguyên t = t(J;M) sao cho có t siêu phẳng H1; :::; Ht tránh P và H1 · · ·HtM ∈ J . Với j = 1; :::; t, do có thể viết Hj = X0 +Gj, với Gj ∈ }, nên (X0 +G1) · · · (X0 +Gt)M ∈ J . Vì vậy, có G ∈ } sao cho X t0M +GM ∈ J . Từ đó, X t0M ∈ J + }i+1 và ta có được bổ đề sau. Bổ đề 2.3. Cho P1; : : : ; Pr; P là các điểm phân biệt trong Pn và m1; : : : ;mr, a là các số nguyên dương. Đặt J = }m11 ∩ · · · ∩}mrr và } = (X1; : : : ; Xn). Giả sử rằng với mọi đơn thức M bậc i theo các biến X1; : : : ; Xn, i = 0; : : : ; a− 1 ta tìm được t siêu phẳng H1; :::; Ht tránh P và H1 · · ·HtM ∈ J . Khi đó, reg(R=(J + }a)) ≤ max{t+ i|i = 0; : : : ; a− 1}: 3 CÁC KẾT QUẢ Mệnh đề 3.1. Cho P1; : : : ; Ps là các điểm phân biệt nằm trên một đường thẳng trong P2 và m1; : : : ;ms là các số nguyên dương. Gọi }1; : : : ; }s là các iđêan nguyên tố thuần nhất trong R xác định bởi các điểm P1; : : : ; Ps tương ứng. Đặt J = } m1 1 ∩ · · ·∩}ms1s1 . Khi đó, reg(R=(J + }mss )) = m1 + · · ·+ms − 1: 8 PHAN VĂN THIỆN Chứng minh. Chọn Ps = (1; 0; 0), P1 = (0; 1; 0). Khi đó, }s = (X1; X2), }1 = (X0; X2), }j = (ajX1 − bjX0; X2), j = 2; : : : ; s − 1. Cho M là đơn thức bậc i theo các biến X1; X2, i = 0; : : : ;ms − 1. Với j = 1; : : : ; s − 1, qua mỗi điểm Pj ta luôn lấy được một đường thẳng Hj đi qua Pj và tránh Ps. Khi đó, Hm11 · · ·Hms1s1 M ∈ J: Theo Bổ đề 2.3 ta có reg(R=(J + }mss )) ≤ m1 + · · ·+ms − 1: Mặt khác, do X m1+


+ms11 0 X ms1 1 =∈ (X0; X2)m1 ∩ (a2X1 − b2X0; X2)m2 ∩ · · · ∩ (as1X1 − bs1X0; X2)ms1 + (X1; X2)ms = J + }mss nên theo Bổ đề 2.2 ta có reg(R=(J + }mss )) ≥ m1 + · · ·+ms − 1: Từ hai bất đẳng thức trên suy ra reg(R=(J + }mss )) = m1 + · · ·+ms − 1: Mệnh đề 3.2. Cho X = {P1; : : : ; Ps} là tập các điểm phân biệt trong Pn và Y = {Pi1 ; : : : ; Pir} là tập con của X. Cho m1; : : : ;ms là các số nguyên dương. Đặt I = }m11 ∩ · · · ∩ }mss và J = }mi1i1 ∩ · · · ∩ } mir ir . Khi đó, reg(R=I) ≥ reg(R=J): Chứng minh. Chúng ta có thể giả sử Y = {P1; : : : ; Pr} (sau một phép đánh số lại các điểm nếu cần thiết). Khi đó, J = }m11 ∩ · · · ∩ }mrr . Đặt Y1 = {P1; : : : ; Ps1}; : : : ; Ysr = {P1; : : : ; Pr}; J1 = } m1 1 ∩ · · · ∩ }ms1s1 ; : : : ; Jsr = }m11 ∩ · · · ∩ }mrr : Theo Bổ đề 2.1 chúng ta có reg(R=I) = max {ms − 1; reg(R=J1); reg(R=(J1 + }mss ))} ≥ reg(R=J1); reg(R=J1) = max { ms1 − 1; reg(R=J2); reg(R=(J2 + }ms1s1 )) } ≥ reg(R=J2); : : : reg(R=Jsr1) = max { mr+1 − 1; reg(R=Jsr); reg(R=(Jsr + }mr+1r+1 )) } ≥ reg(R=Jsr): Suy ra reg(R=I) ≥ reg(R=J): CHỈ SỐ CHÍNH QUI CỦA CÁC ĐIỂM BÉO NẰM TRÊN HAI ĐƯỜNG THẲNG 9 Định lý 3.3. Cho Z = m1P1 + · · · +msPs là tập điểm béo trong P2 với các điểm P1; : : : ; Ps nằm trên hai đường thẳng phân biệt. Khi đó, reg(Z) = max { h− 1; [ m1 + · · ·+ms 2 ]} với h = max { mi1 + · · ·+miq | Pi1 ; : : : ; Piq cùng thuộc một đường thẳng } : Chứng minh. Đặt I = }m11 ∩ · · · ∩ }mss . Khi đó, reg(Z) = reg(R=I): Giả sử rằng h = m1 + · · · + mr với P1; : : : ; Pr nằm trên đường thẳng l1 (sau một phép đánh số lại các điểm nếu cần thiết). Từ tính chất của h ta có h ≥ [ m1 + · · ·+ms 2 ] : Ta xét hai trường hợp sau: Trường hợp h > [ m1+


+ms 2 ] : Khi đó, h− 1 = max{h− 1; [m1+


+ms 2 ]} : Ta sẽ chứng minh reg(Z) = h− 1. Đặt J = }m11 ∩ · · · ∩ }mrr . Theo Mệnh đề 3.2 ta có, reg(R=I) ≥ reg(R=J): Đặt J1 = } m1 1 ∩ · · · ∩ }mr1r1 . Sử dụng Bổ đề 2.1 ta có reg(R=J) ≥ reg(R=(J1 + }mrr )): Do các điểm P1; : : : ; Pr nằm trên đường thẳng nên theo Mệnh đề 3.1 ta có reg(R=(J1 + } mr r )) = h− 1: Từ các bất đẳng thức trên ta suy ra reg(Z) ≥ h− 1. Mặt khác, từ [3, Theorem 1] ta có reg(Z) ≤ h− 1: Do đó, reg(Z) = h− 1: Trường hợp h = [ m1+


+ms 2 ] : Ta sẽ chứng minh reg(Z) = h. Từ [3, Theorem 1] ta có reg(Z) ≤ h: 10 PHAN VĂN THIỆN Vì vậy, ta còn phải chứng minh reg(Z) ≥ h. Gọi l2 là đường thẳng sao cho P1; : : : ; Ps ∈ l1∪l2. Do h = [ m1+


+ms 2 ] nên Pr+1; : : : ; Ps ∈ l2 và h = mr+1 + · · ·+ms. Chọn Ps = (1; 0; 0), P1 = (0; 1; 0) và Pr = (0; 0; 1). Khi đó, }s = (X1; X2), }1 = (X0; X2), }r = (X0; X1) và }j = (X0; ajX2−bjX1), j = 2; : : : r−1. DoXhms0 Xms11 =∈ (X0; X2) m1 ∩ (a2X1 − b2X0; X2)m2 ∩ · · · ∩ (ar1X1 − br1X0; X2)mr1 ∩ (X0; X1)mr + (X1; X2) ms nên Xhms0 X ms1 1 =∈ J + }mss . Theo Bổ đề 2.2 ta có reg(R=(J + }mss )) ≥ mr+1 + · · ·+ms = h: Định lý 3.3 đã được chứng minh xong. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] M.V. Catalisano, N.V. Trung, G. Valla (1993). A sharp bound for the regularity index of fat points in general position. Proc. Amer. Math. Soc. 118, 717-724. [2] E.D. Davis, A.V. Geramita (1984). The Hilbert function of a special class of 1-dimensional Cohen-Macaulay graded algebras. The Curves Seminar at Queen’s, Queen’s Papers in Pure and Appl. Math. 67, 1-29. [3] P.V. Thien (1999). On Segre bound for the regularity index of fat points in P2. Acta Math. Vietnamica 24, 75-81. [4] P.V. Thien (2009). Chỉ số chính qui của s điểm béo ở vị trí tổng quát trong Pn, s ≤ n+ 2. Tạp Chí Khoa Học, Đại học Huế 53, 119-125. [5] P.V. Thien (2012). Regularity index of s + 2 fat points not on a linear (s − 1)-space. Comm. Algebra 40, 1-12. Title: THE REGULARITY INDEX OF FAT POINTS ON TWO LINES IN P2 Abstract: We will show a formula to compute the regularity index of fat points lying on two lines in P2 by algebraic method. Our method can be extend to consider fat points in the projective space Pn, n positive integer. TS. PHAN VĂN THIỆN Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế