Định nghĩa 2 trong các QT sau:
a) QTNNdừng theo nghĩa rộng, 2 QTNNdừng đồng thời.
b) QTNN Gauss.
c) QT ergodic kỳvọng.
d) QT Poisson, dãy thời điểm đến, dãy thời đoạn trung gian.
e) QT Winner.
f) (Dành cho Điện) Định nghĩa phổcông suất, phổcông suất chéo, các tính chất của
nó. Tính hàmtương quan từphổcông suất.
g) (Dành cho Điện) Phátbiểu định lýnóilên mối liênhệgiữa hàmkỳvọng, hàmtương quan của các
QT đầu vào, đầu ra, tương quan chéo. Định lýtương ứng, hệquảvới các QT dừng.
187 trang |
Chia sẻ: aloso | Lượt xem: 3054 | Lượt tải: 5
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu CAO HỌC : Xác suất thống kê và Quá trình ngẫu nhiên, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
o o 0 o oE[ (t )] E[S(t ) S(t )] E[S(t ) h(s)X(t s)ds]
∞
−∞
ε = − = − −∫$ . (6.7.11)
Hãy lựa chọn lọc (h(t) H( )ω ) để sai số bình phương trung bình nhỏ nhất.
Theo nguyên lý trực giao, lọc h(t) là tối ưu khi và chỉ khi
o 0E[(S(t ) S(t ))X(t)] 0 t .− = ∀$ ¡ ∈
τĐặt , điều này tương đương với ot t= − o 0 oE[(S(t ) S(t ))X(t )] 0− − τ =$ hay
SX XR ( ) h(s)R ( s)ds
∞
−∞
τ = τ −∫ . (6.7.12)
Giải phương trình tích phân này khá dễ nếu ta dùng phép biến đổi Fourier.
Lưu ý rằng vế phải là tích chập Xh( ) R ( )τ ∗ τ , lấy biến đổi Fourier hai vế thì
SX XS ( ) H( )S ( )ω = ω ω .
Từ đó
SX
opt
X
S ( )
H ( )
S ( )
.
ωω = ω (6.7.13)
Rõ ràng, lọc tối ưu không phụ thuộc vào thời điểm lấy mẫu . Nói chung
đây không là lọc khả thi. Ta đưa ra định nghĩa
ot
153
Định nghĩa. Lọc với hàm truyền (6.7.13) được gọi là lọc Wiener bất khả thi.
Sai số bình phương trung bình số của ước lượng ứng với lọc này là cực tiểu
và dễ thấy được tính bởi
2 2
o o oE[ (t )] E[S(t ) h(s)X(t s)ds]
∞
−∞
ε = − −∫ S SR (0) h(s)R (s)ds
∞
−∞
= − ∫ X
S SX
1 [S ( ) H ( )S ( )]d
2
∞
∗
−∞
= ω − ω ωπ ∫ ω (6.7.14)
không phụ thuộc . Nếu tín hiệu và nhiễu là không tương quan ( trực giao, vì
E[N(t)] = 0) thì . Từ đó ta nhận được
ot ⇔
SX S X S NS ( ) S ( ); S ( ) S ( ) S ( )ω = ω ω = ω + ω
Hệ quả. Nếu tín hiệu {S(t)} và nhiễu quy tâm {N(t)} là trực giao thì lọc
Wiener và sai số bình phương trung bình cho bởi biểu thức
S
opt
S N
S ( )
H ( )
S ( ) S ( )
;
ωω = ω + ω
2 S N
o
S N
S ( ) S ( )1E[ (t )] d
2 S ( ) S ( )
∞
−∞
ω ωε = π ω + ω∫ ω . (6.7.15)
Đặc biệt, nếu phổ công suất SS ( )ω và NS ( )ω có giá không giao nhau thì
trên dải băng của tín hiệu và optH ( ) 1ω = optH ( ) 0ω = trên dải băng nhiễu. Đồng
thời . 2 oE[ (t )] 0ε =
Ví dụ 6.23. Tìm lọc Wiener bất khả thi và sai số bình phương trung bình biết
rằng 2S N SN2 2
A) , S ( ) , S ( ) 0.ω = ω = σ ω =α +ωS (
Giải.
j
SN SN
1R ( ) S ( ) e d 0
2
∞
ωτ
−∞
τ = ω ω =π ∫ SNE[S(t )N(t)] R ( ) 0 t, .⇒ + τ = τ = ∀ τ∈ ¡
Vậy {S(t) } và nhiễu quy tâm {N(t)} là trực giao. Theo (6.7.15) thì
opt
2 22 2 2
22 2
A AH ( )
AA [( ) ]( )
ω = =⎡ ⎤ 2σ + α +ωα +ω + σ⎢ ⎥ σα +ω⎣ ⎦
;
opth (t) =ℱ [ ] B t1 2AH( ) e2B −− ω = σ ;
2
2 22
o 2 2
2
2 2
A
1 A 1 AE (t ) d d
A2 2B 2 B
∞ ∞
−∞ −∞
σα +ω⎡ ⎤ε = ω = ω =⎣ ⎦ π π + ω+ σ
A
2B
α +ω
∫ ∫
với 2 2B (A /= α + σ ) .
154
6.7.3. Lọc Wiener khả thi.
a)Trường hợp tổng quát. Nếu ta có quan sát đầy đủ về QT (quá khứ, hiện
tại, tương lai), lọc Wiener khả thi cho ta xấp xỉ tốt về giá trị hiện tại của QT đã
cho. Đó là lời giải tối ưu để giải bài toán là trơn khi có đầy đủ quan sát. Trong một
số ít trường hợp, lọc Wiener (6.7.9) là khả thi. Trái lại, khi lọc tối ưu không khả
thi, người ta tìm cách xấp xỉ nó bởi lọc khả thi. Dù sao, lọc tối ưu cho ta mức “lý
tưởng” về sai số mà lọc xấp xỉ khả thi cần hướng tới. Khi không có đầy đủ quan
sát - chính xác hơn - khi ta chỉ có các quan sát quá khứ và hiện tại về quá trình,
chúng ta chỉ có thể sử dụng lọc khả thi. Vậy, một hướng nghiên cứu khác là chỉ
xét các lọc khả thi, tìm lọc “tốt nhất” trong các lọc như vậy.
Tất nhiên, nếu đặt N(t) X(t) S(t)= − thì luôn có thể coi N(t) là nhiễu và
{X(t)} là tổng của tín hiệu và nhiễu: X(t) S(t) N(t)= + . Tuy nhiên xét trường hợp
tổng quát, không nhất thiết {S(t)} và {N(t)} là không tương quan. Kết quả chính
theo hướng này là định lý sau đây.
Định lý 6.21. Giả sử { } { }X(t) , S(t) là hai QT dừng đồng thời, quy tâm. Xét
các ước lượng của QT { }S(t) tại dạng ot
ot
o oS(t ) h(t s)X(s)ds
−∞
= −∫$ . (6.7.16)
Với sai số , sai số bình phương trung bình tương ứng là o o(t ) S(t ) S(t )ε = − $ o
2
,
0t
2 2
o o 0 o 0E[ (t )] E[S(t ) S(t )] E[S(t ) h(t s)X(s)ds]
−∞
ε = − = − −∫$ . (6.7.17)
Khi đó, lọc tuyến tính khả thi dạng (6.7.16) làm cực tiểu sai số bình phương
trung bình (6.7.17) thoả mãn phương trình
SX XR ( ) h( s)R (s)ds
τ
−∞
τ = τ −∫ . (6.7.18)
Sai số bình phương trung bình ứng với lọc này là
ot
2
o S o SX oE[ (t )] R (0) h(t s)R (t s)ds
−∞
ε = − − −∫ . (6.7.19)
Chứng minh. Chỉ việc áp dụng Định lý 6.20 cho trường hợp (
. Thực vậy, ước lượng (6.7.4) bây giờ có dạng
a; b) o( ; t )= −∞
ok(t) h(t t)= −
ot
o oS(t ) h(t s)X(s)ds
−∞
= −∫$
chính là ước lượng (6.7.16). Phương trình (6.7.8) trở thành
ot
SX o o XR (t , t) h(t s)R (s, t)ds
−∞
= −∫ .
155
Chọn ta nhận được phương trình ot , t= τ = 0
o
Tôi đã đưa vào sách ĐL 9.5
trong [12]về hàm truyền của
lọc khả thi tối ưu(ĐL không
được CM). Song khi dùng ĐL
đó để giải BT 12. ở [14] thì 3
ngày không ra, vần không
khớp, giải cách khác thì được.
Thì ra, ĐL đó sai. SX XR ( ,0) h( s)R (s,0)ds
τ
−∞
τ = τ −∫
chính là phương trình (6.7.18). Theo nguyên lý trực giao, sai số (6.7.6) tính bởi
ot
2
o o oE[ (t )] E S(t ) h(t s)X(s)ds (t )
−∞
⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ε = − − ε⎢ ⎥⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭
∫
ot
o o o oE[S(t ) (t )] E h(t s)X(s)ds (t )
−∞
⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪= ε − − ε⎢ ⎥⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭
∫
−
o ot t
o o o o oE[S(t )[S(t ) h(t s)X(s)ds] h(t s)E[X(s) (t )]ds
−∞ −∞
= − − − − ε∫ ∫
ot
2
o o oE[S (t )] h(t s)E[S(t )X(s)]ds] 0
−∞
= − −∫ .
Như vậy, (6.7.19) được chứng minh.
Nhận xét. i)Nếu đầu vào là tổng của QT tín hiệu {S(t)} với nhiễu {N(t)}, tín
hiệu và nhiễu không tương quan thì
; SNR ( ) 0τ = SX SR ( ) R ( );τ = τ X S NR ( ) R ( ) R ( )τ = τ + τ ;
S ( ℱ[RX )ω = ( )]S τ + ( )ℱ[R N ]τ S NS ( ) S ( )= ω + ω (6.7.20)
phương trình (6.7.17) trở thành
S SR ( ) h( s)[R (s) R (s)]ds
τ
−∞
τ = τ − +∫ N . (6.7.21)
ii) Nếu QT {S(t)} không quy tâm thì dùng phép quy tâm hoá bằng cách xét
QT À SS(t) S(t) (t), X(t) X(t) (t)= −µ = −µXÁÂ , ta có thể áp dụng Định lý 6.21 cho
các QT quy tâm này. Kết quả dễ dàng chuyển về QT xuất phát.
Ví dụ 6.23. Trường hợp đầu vào là nhiễu trắng.
Giả sử đầu vào {X(t) } là nhiễu trắng với hàm tự tương quan .
Theo (6.7.18) thì
XR ( ) ( )τ = δ τ
SXR ( ) h( s) (s)ds h( ), 0.
τ
−∞
τ = τ − δ = τ τ ≥∫
Vậy SX
R ( ) 0
h( )
0 0
τ τ ≥⎧τ = ⎨ τ <⎩
; H( jSX
0
) R ( )e d
∞ − ωτω = τ τ∫ .
b) Lọc Wiener khả thi hai bước. Nói chung, việc xác ưu
thông qua phương trình (6.7.18) là khó khăn. Một hướng k này
là xây dựng lọc tối ưu qua hai bước: Đầu tiên là tẩy trắng lọc
cho nhiễu trắng theo sơ đồ ở Hình 6.23.
156 định lọc khả thi tối
hắc phục tình trạng
tín hiệu, sau đó tìm
X(t) S(t)$Nhiễu trắng W(t) Tẩy trắng
1 1h (t) (H ( ))ω 2 2
h (t) (H ( ))ω
Hình 6.23. Lọc tối ưu khả thi 2 bước.
Đầu tiên phải xây dựng lọc 1H ( )ω để chuyển tín hiệu đầu vào X(t) thành
nhiễu trắng W(t) (vì thế, lọc có tên là tẩy trắng) với cường độ 1. Sau đó lọc 2H ( )ω
được xây dựng theo Ví dụ 6.24 để ước lượng S(t) từ nhiễu trắng W(t). Lọc tối ưu
cần tìm là tích . 1 2H ( )H ( )ω ω
Từ (6.3.11) ta có
2
W X 11 S ( ) S ( ) H ( )= ω = ω ω . (6.7.22)
Ta hãy viết dưới dạng XS ( )ω
2
X X X XS ( ) A ( ) A ( )A ( )
∗ω = ω = ω ω .
Bây giờ chỉ việc chọn
1
X
1H ( )
A ( )
ω = ω ,
biểu thức (6.7.21) sẽ thoả mãn và W(t) sẽ là nhiễu trắng. Tuy nhiên nảy sinh vấn
đề là phải chăng lọc này khả thi? Như đã nhắc đến ở [12] trang 496: Nếu thoả mãn
điều kiện Palay – Wiener (1934)
X
2
logS ( )
d
1
∞
−∞
ω ω < ∞+ω∫
thì có thể phân tích
2
X X X XS ( ) A ( ) A ( )A ( )
∗ω = ω = ω ω sao cho cả hai lọc XA ( )ω
và
X
1
A ( )ω là khả thi.
Giống như công thức (6.3.10), ta có
SW SX 1 SX
1S ( ) S ( ) (H ( )) S ( )
A ( )
∗
∗ω = ω ω = ω ω .
Tóm tắt: Thuật toán tách phổ (đểtìm lọc khả thi tối ưu hai bước).
1.Tách S ( : X )ω
2
X X X XS ( ) A ( ) A ( )A ( )
∗ω = ω = ω ω ; Đặt 1
X
1H ( )
A ( )
ω = ω .
2.Tính SW SX
1S ( ) S ( )
A ( )∗
ω = ω ω ; thu được SWR ( )τ =ℱ
-1
SW[S ( )]ω .
3. Tính j2 SW
0
H ( ) R ( )e d .
∞
− ωτω = τ τ∫
4. Đặt . 1 2H( ) H ( )H ( )ω = ω ω
157
Ví dụ 6.24. SW X2 2
16 16S ( ) ; S ( ) 9
1 1
ω = ω = ++ω +ω .
Ta có thể tách như sau XS ( )ω
2
X 2
25 9 5 3j 5 3jS ( )
1 j 1 j1
+ ω + ω −ω = = ω+ ω − ω+ω .
Chọn lọc tẩy trắng là
1
X
1 1 jH ( ) .
A ( ) 5 3j
+ ωω = =ω + ω
Vậy SW 2
16 1 j 2 2S ( )
5 3j 1 j (5 / 3) j1
− ωω = = +− ω + ω −+ω ω .
Từ Bảng B-2 ở Phụ lục nhận được
SWR ( )τ =ℱ -1 2[ ]+ -1 2[ ](5/3) j− ωℱ
(5 / 3)2e u( ) 2e u( )−τ τ= τ + −τ .
1+jω
Lưu ý rằng số hạng thứ nhất bằng 0 khi τ âm, số hạng thứ hai bằng 0 khi τ
dương, từ đó
j
2
0
H ( ) (2e u( ))e d
∞
−τ − ωτω = τ∫ τ =ℱ[ ℱ 1 2 2[ ]]1 j 1 j− =+ ω + ω .
Từ đó dễ tìm ra và . opt 1 2H ( ) H ( )H ( )ω = ω ω opth (t)
c) Các nghiên cứu khác. Người ta cũng nghiên cứu các bài toán là trơn, lọc,
dự báo cho các trường hợp sau (xem thêm ở [14] tr. 486 – 515):
• Bài toán dự báo. Đó là khi X(t) = S(t) (không có nhiễu), S(t) được
quan sát trên I thuộc vào một trong 3 dạng ( ; t), (t T; t)−∞ − hoặc (0; t). Hãy tìm
ước lượng bình phương cực tiểu dưới dạng lọc khả thi cho giá trị tương lai
với của QT {S(t)} rời rạc hoặc liên tục. S(t )+ λ 0λ ≥
• Bài toán lọc và dự báo. {X(t)} tổng quát, được quan sát trên
. Tìm ước lượng bình phương cực tiểu dạng lọc khả thi cho giá trị tương lai
với của QT {S(t)}.
( :t−∞ )
S(t )+ λ 0λ ≥
• Lọc Kalman. Tìm lọc tối ưu cho dãy số liệu ARMA…
158
Theoretical Questions for Chapter VI
6.1. Reasons that we can't use the voltage spectral density for a random
process.
6.2. Power spectrum for a WSS (wide-sense stationary) process;
autocorrelation function by means of the power spetrum.
6.3. Propeties (with proof) of the power spetrum of real stationary
processes.
6.4. Necesarry and sufficient conditions for a function S( ) thereby ω
a) it is a power spectrum of a real stationary process with a finite power;
b) it is a power spectrum of a complex stationary process with a finite
power.
6.5. Cross-power spectrum of two jointly WSS processes: definition,
calculation of the autocorrelation function using the cross-power spectrum, the
power spectrum of every those process.
6.6. Power spectrum of random sequences: definition, calculation of the
autocorrelation sequence by means of the power spectrum; properties of the
power spectrum and some comment.
6.7. White noise: definition, the autocorrelation function of white noise;
disadvantages and utility of studying white noise; thermal noise.
6.8. Band-limited white noise: definition, the power function and the
autocorrelation one; bandpass white noise.
6.9. White noise sequence.
6.10. Power spectrum of complex random processes: definition, the
relation between a) the autocorrelation function and the power spectrum; b) the
cross- autocorrelation and the cross-power spectrum.
6.11. Essentials about a linear system.
6.12. Nesessary conditions for a input process to be relevant to a given
system.
6.13. Theorem (with proof) above the average function and the auto-
correlation one of the ouput process, the cross-correlation function of the input
and output processes.
6.14. Theorem above the average function and the autocorrelation one of
the ouput process, the cross-correlation function of the input and output
processes when the input process is stationary; consequence: power spectrum,
cross-power spectrum and powers in input and output processes.
6.15. Lowpass process, bandpass process, narrow band process and
amptitude-modulated one; theorem above stationarity and having zero mean of
an amptitude-modulated process; Rice’s theorem (without proof).
6.16. Some knowledge about noise analysis in an AM broacast system.
6.17. Some knowledge about noise analysis in a FM broacast system.
6.18. Application scope of matched filters; the matched filter for white
noise and colored noise.
6.19. Optimal linear estimation: introduction, the orthogonality principle.
6.20. Causal Wiener filter: the general case, the two step-optimal causal
filter.
159
Problems for Chapter VI
6.1. Consider the random sinusoid 0X(t) Asin ( t + U) , t = ω ¡∈
]
where A
and are constants, 0ω [U U 0;2π: . Compute and plot X XR ( ); S ( )τ ω ; XP .
6.2. Let where is unchanged
and U is an uniform random variable on
0X(t) sin( t U); Y(t) cos( t + U)= ω + = ω0 0ω[ ]0;2π . Show that { } { }X(t) , Y(t) are
jointly stationary processes. Find XR ( );τ YR ( )τ ; XYR ( );τ
.
X YS ( ); S ( );ω ω
XYS (ω)
6.3. Let { }N(t) be a WSS zero mean process with the autocorrelation
function 2NR ( . Find S () Pe ,
− ττ = τ∈ ¡ );P .N Xω
6.4. Suppose where A, B are two continuous
uncorrelated random variables and D[A] = 1; D[B] = 2. Show that { is a
WSS process; find its autocorrelation function and the power spectrum.
jt j2tX(t) Ae Be= +
}X(t)
6.5. Consider the random process oX(t) Acos( t )= ω +Θ where A,
. Show that it is not a WSS process. Evaluate the variant
function (the power one) σ and the power spectrum S (
o ,ω ∈ ¡ U[0; /2]Θ π:
2
X (t) X )ω .
Anw. 2X (t)σ =
2 2
o
A A sin(2 t)
2
− π ω
depends on t. { } 22X AP A E[X (t)] ... .2= = =
− 6.6. Consider a LTI system with h(t)=e . Evaluate the response of the
signal
2x / 2
1
x x
y rest (x)
0 x
⎧ ≤⎪= = ⎨ >⎪⎩
1
1
Find the transfer function of the system.
6.7. A random process { }X(t) with the autocorrelation function
a
XR ( ) e
− ττ = (a is a real constant) is the input to a LTI system with the impulse
function h(t) = e u , where b is a real constant, u(t) is an unit step function.
Evalute the autocorrelation of the output process.
bt (t)−
Ans: b aY 2 2
1R ( ) (ae be )
(a b )b
− τ − ττ = −− .
6.8. The discret-time system shown in the figure consists of one unit delay
element and one scaler multiplier (a < 1). The input {X(n)} is white noise
sequence with average power 2σ . Find the power spectrum and the average
power of the output {Y(n)}.
a
Delay 1
Y(n) X(n)
160
2
Y Yj 2
1) ; P R (0) .
1 ae 1 a− ω
σω = = =− −Ans. H(
6.9. Show that the envelop of the autocorrelation sequence of a AR(1)
process is a decaying exponential.
Hint. mR(m) ... ( a) R(0)= = −
2
N
2R(0) 1 a
σ= − .
2
m N
2R(m) ( a) (m 0)1 a
σ= − ≥− , propotional with
m( a)− .
6.10. Suppose from the data we get estimates
µ µ µ µ µR(0) 1; R(1) 0,300; R(2) 0,091; R(3) 0,030; R(m) 0 (m 4)= = = = ≈ > .
a) Let the model be AR(3), find . 1 2a , a , a$ $ $3
b) The results suggest which order p of the model should we choose?
Find parameter estimates of the new model.
Sol. From (6.4.9) we get
2
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 0,300a 0,091a 0,030a
0,300 a 0,300a 0,091a 0
0,091 0.300a a 0,300a 0
0,300 0,091a 0,300a a 0
⎧ + + +⎪ + + +⎪⎨ + + +⎪⎪ + + +⎩
N= σ
=
=
=
⇔
1
2
3
2
N
a 0,2997
a 0,0003
a 0,000
0,8999
= −⎧⎪ = −⎪⎨ = −⎪⎪σ =⎩
3
The prediction equation is
µX(n) 0,2997X(n 1) 0,0003X(n 2) 0,0003X(n 3) N(n)= − − − − − − +
with the error . 2N 0,8999σ =
The values µ2 3a , a
$ are very small. Then we would test with AR(1). For
this new model the system (6.4.9 ) yields
2
1 N
1
1 0,3a
0,3 a 0
⎧ + = σ⎪⎨ + =⎪⎩
1
2
N
a 0,3
0,9100
= −⎧⎪⇔ ⎨σ =⎪⎩
Now the prediction equation is with
. So, the error of the new model increases slightly, but the model is
greatly simplified when we reduce the model order from 3 to 1.
µX(n) 0,3X(n 1) N(n)= − − +
2
N 0,91σ =
This fact is predictable because is the autocorrelation
sequence of AR(1) considered in the Problem 6.9.
µ mR(m) ( 0,3)≈ −
6.11. Power spectrum of an ARMA process is 5 4cosS( )
10 6cos
−ω = − ω
ω . Find
the transform function of the corresponding ARMA filter; show its zeros and
poles. Are the stationary and invertibility conditions valid?
Sol. Because jz jz1cos (e e )
2
−ω = + with z j= ω , so
1
1
5 2(z z ) 2 (z 1/ 2)(z 2)S(z)
3 (z 1/ 3)(z 3)10 3(z z )
−
−
− + − −= = − −− +
161
1
1
11 zz 1/ 2 2L(z) 1z 1/ 3 1 z
3
−
−
−−⇒ = =− −
; 2N
2
3
σ =
Zero: , pole: . Yes. z 1/ 2= z 1/ 3=
6.12. In an AM broacast system the total average transmitted power is
1kW. The channel gain is 3chG 3 2.10
−= . Average noise power at the envelop
detector’s input is and the input signal-to-noise power ratio of the
receiver is 180 (or 22,5 dB).
510 W−
a) What is the average signal power at the input to the envelop detector?
b) Find i i AM(S / N ) .
c) What is the transmitter’s efficiency?
Ans. 4,24W; 56,27dB; 0,1.
6.13. Show that if { has zero mean (may be nonstationary) then the
time-averaged autocorrelation function of
}X(t)
{ }AMX (t) as given by (6.5.17) is
2
X o XAM
1A[R (t , t)] = A A[R (t , t)] cos( )
2
⎡ ⎤ o+ τ + + τ⎣ ⎦ ω τ
and the power spectrum is
2
o
X o oAM
AS ( ) [ ( ) (
2
πω = δ ω−ω + δ ω+ω )] 1
4
+ X o X o[S ( ) S ( )]ω−ω + ω+ω .
Especially, if the process { }X(t) is WSS then
2
AM X o X oAM
1R ( ) R ( ) = [A R ( )]cos( ).
2
τ τ + τ@ ω τ
2 2
AM AM o X
1P E[X (t)]= [A P
2
= + ] .
Proof. Note that
2
0
1E[cos ] = cos d = 0;
2
π
Θ θ θπ∫
2
2 2
0
1 1E[cos ]= cos d = ;
2 2
π
Θ θ θπ∫
2 1E[sin ] =
2
Θ
C,D , E[cos(C+ )cos(D+ )]=⇒∀ ∈ Θ Θ¡ 1... cos(C-D)
2
= .
X o o oFMR (t , t) E[(A +X(t+ ))(A +X(t))cos( (t ) )cos( t )]+ τ = τ ω + τ +Θ ω +Θo
2
o oE[A +A (X(t+ )+X(t))+X(t+ )+X(t)]= τ τ o oE[cos( (t ) )cos( t )]ω + τ +Θ ω +Θ
2
o X
1[A 0 0 R (t , t)] cos( )
2
= + + + + τ ωoτ .
( )2X o XAM 1A[R (t , t)] = A A[R (t , t)] cos( )2⇒ + τ + + τ oω τ . (*)
By Fourie transform and using its linearity and frequency shifting (see
Appendix B-2) we conclude
XAMS ( )ω =ℱ
2
o
o
A cos( )
2
⎡ ⎤ω τ +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
ℱ X o
1 A[R (t , t)]cos( )
2
⎡ ⎤+ τ ω τ⎢ ⎥⎣ ⎦
162
2
o
o o
A [ ( - ) ( )]+
2
= π δ ω ω + δ ω+ω ℱ
j jo o
X
e eA[R (t , t)]
2
ω τ − ω τ⎡ ⎤++ τ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
2
o
o o
A [ ( - ) ( )]
2
= π δ ω ω + δ ω+ω X o X o1 [S ( ) S ( )]4+ ω−ω + ω+ω .
If { }AMX (t) is WSS then XA[R (t , t)] R ( )X+ τ = τ .
6.14. In a FM system the transmitted signal has 10 kW of average power
and a bandwith of approximately 150 kW when a random message with a crest-
factor of 4 is used. The signal passes over a channel for which and
the power spectrum of noise
6
chG 10
−=
2 155.10 / 3−σ = .
a) Find the signal and noise average power and the signal-to-noise power
ratio at the receiver’s input.
b) What is the message’s spectral extent if the output signal-to-noise
power ratio of the receiver is found to be 25 000?
Ans. 10 ; 9.27kHz. 8 -12W; 79,58.10 W; 125,66( or 21dB)−
6.15. An FM signal of peak amptitude 0.1 V at the input to an FM
demodulator results in an input signal-to-noise power ratio of 20. If
rad/s in the FM signal and the effective transmitted signal voltage is
A = 2kV. Find:
5.10∆ω = π
a) ; 2chG ; b)σ
c) If the transmitted message is an audio signal for which
maxX 1,4V, crK 3== / s , find 4XW .10 rad= π ( )oo / N FMS and the
transmitter’s modulation constant λ .
Sol. a) 4ch ch
0,1 1A 2000; G .A 0,1 G .10
2000 2
−= = ⇒ = = .
b) ( )i i 2 2chX N 2FM G A20 P / P 4π= = σ ∆ω
2⇒ σ =
2 2 4 2 3 2
9ch
5
G A ((1/ 2).10 ) (2.10 ) 1,25.10
4. .20 4( 10 ).20
− −π π= =∆ω π .
c)
35
o
2 4
o FM
S 6 .10 .20 13 333
N 3 .10
⎛ ⎞⎛ ⎞ π= =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟π⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(or 41,25dB).
5
5
max
max
.10X 2,24.10
X 1,4
∆ω π∆ω = λ ⇒ λ = = = .
Ans. 0 4 9 4 5,5 10 ; 1,2510 ; 1,33.10 ( 41,25dB), 2,24.10− − =
6.16. Let a message process { }X(t) be gaussian with zero mean. Find the
autocorrelation function of { }FMX (t) (in (6.5.28)) by means of the correlation
coefficient and the variant of the process
t
0
(t) X( )dΓ = α∫ α .
163
Sol. Because the process { }X(t) is gaussian with zero mean then the
proces { }(t)Γ is also gaussian with zero mean.
In addition, is a gaussian random variable.
t
t
(t ) (t) X( )d
+τ
Γ + τ −Γ = α α∫
t
t
(t) E[X( )]d 0
+τ
Γµ = α α =∫ ;
[ ]D (t ) (t)Γ + τ −Γ = t t t t
t t t t
E X(u)du X(v)dv E[X(u)X(v)]dudv
+τ +τ +τ +τ⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫
t t
X
t t
R (u v)dudv
+τ +τ
= −∫ ∫
X
0 0
R (u v)dudv
τ τ
= −∫ ∫
2
X
0
2 R ( )( )d ( )
τ
Γ= α τ −α α σ∫ @ τ
=
that does not depend on t. (To simplify the double integral to the single one let us
put u v ). , v− = α = β
FM oX (t) Acos( t (t))= ω +Θ+Γ
= j( t (t)) j( t (t))o oA e e
2
ω +Θ+Γ − ω +Θ+Γ⎡ ⎤+⎣ ⎦ .
jnE[e ] 0Θ = ⇒ [ ]FM FM FMXFMR (t , t) R (t , t) E X (t )X (t)+ τ = + τ = + τ
[ ] [ ]{ }2 j ( (t ) (t)) -j ( (t ) (t))o oA... E[e ]+E[e ]4 ω τ+λ Γ +τ −Γ ω τ+λ Γ +τ −Γ= =
{ }2 j jj ( (t ) (t)) -j ( (t ) (t))o oA e E[e ] + e E[e ]4 ω τ − ω τλ Γ +τ −Γ λ Γ +τ −Γ= .
Note that is the characteristic function of the normal
random variable
j ( (t ) (t))E[e ]λ Γ +τ −Γ
(t ) (t)Γ + τ −Γ , using (…) we get
FMR (t , t)+ τ
1 12 2 2 22 ( ) ( )j jo o2 2A {e e + e e }
4
− λ σ τ − λ σ τΓ Γω τ − ω τ=
1 2 22 ( )
2o
A cos( )e
2
− λ σ τΓ= ω τ .
6.17. Suppose that a signal is a triangle pulse f (t) A tri (t)τ= and it is
added to noise with power spectrum 2
W
W 2+ω ; where A, ,Wτ are positive
constants. The sum is applied to a matched filter.
a) Find the transfer function optH ( )ω of the matched filter.
b) Find the filter’s impulse response, plot it.
c) Is there some value at which the matched filter is causal one? If yes,
find it.
ot
164
165
.
d) Sketch the block diagram of the network of the transfer function
optH ( )ω
Sol. a) oj topt
N
F ( )H (t) K e
S ( )
∗ − ωω= ω ( )( ) oj t2 2 2KA Sa ( / 2) W eW − ω= τ ωτ + ω .
b) Put L( )ω = ( )( )2 2Sa ( / 2) Wτ ωτ + ω2
( ) ( )2 2 2 2W Sa ( / 2) Sa ( / 2)= τ ωτ + ω τ ωτ 2W= ℱ[tri 2(t)] ( )τ − −ω ℱ
[tri (t)]τ
l(t)⇒ =ℱ 1− [ ] = ℱL( )ω 2W 1− (ℱ[t ) - ℱri (t)]τ 1− ( 2−ω ℱ[t ) ri (t)]τ
=
2
2
2
dW tri (t) (tri (t))
dt
τ τ−
= 2 1W tri (t) [2 ( ) ( ) ( )]τ + δ ω − δ ω+ τ − δ ω− ττ .
Then h (opt o) C l(t t )ω = − with KAC W= .
Clearly with , ot 0> opth ( ) 0, t 0ω = ∀ < if and only if . The plot
of when C = 1 is shown as
ot ≥ τ
opth (ω)
opth ( )ω
2 / τ
1/− τ
τ tot
ot + τot − τ
2W
6.18. Somtimes the cascade (in the figure) can be used to look for a
matched filter for colored noise. A deterministic signal f(t) and colored noise { }N(t) with power spectrum S (N )ω are inputs to the filter. At the first step we
select the whitening filter 1H ( )ω so that 21
N
AH ( )
S ( )
ω = ω , A – cosnt. At the
next stept we make a filter 2H ( )ω that is the matched one for the signal in
the white noise { } . 1
f (t)
1N (t)
a) Explain the term “whitening filter” in the first step.
b) Show that the cascade is a matched filter to f(t) in the noise { }N(t) .
c) Are there any problems to be considered for this two-step filter?
f(t)
N(t)
2H ( )ω
1
1
f (t)
Whit noise N (t)
o
o o
o
f (t)
Y(t) f (t) N (t)
N (t)
= +
1H ( )ω
Sol. a)
1
2
N N 1S ( ) S ( ) H ( ) Aω = ω ω = ⇒{ }1N (t) is white noise.
Through the filter colored noise { }N(t) becomes white noise { } ;
this explains the meaning of the term “whitening filter”.
1N (t)
b) ℱ[ ℱ1F ( )ω = ]1f (t) = 1[f (t)] H ( ) F( )H ( )1ω = ω ω (by (6.2.12)).
By use of (6.6.9) the matched filter to in white noise { } is 1f (t) 1N (t)
oj t2 1H ( ) KF ( )e
− ω∗ω = ω oj t1KF ( )H ( )e− ω∗ ∗= ω ω .
1 2H( ) H ( )H ( )⇒ ω = ω ω =
N N N
1 1 1then
S ( ) T ( ) T ( )
∗⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟ω ω ω⎝ ⎠⎝ ⎠
oj t
N
F ( )K e
S ( )
∗ − ωω
ω , thus the filter is matched.
c) Factor N N NS ( ) T ( )T ( )
∗ω = ω ω ⇒ 1
N
1H ( )
T ( )
ω = ω .
Is the filter causal? Relating to the problem it can be shown that
under the so-called Paley-Wiener (1934) condition
1H ( )ω
N
2
log(S ( ))
d ,
1
∞
−∞
ω ω < ∞+ω∫
XS ( )ω can be factored out as 2NT ( )ω with both NT ( )ω and
N
1
T ( )ω being
causal filters.
It is necesary to search whether 2H ( )ω is the causal filter.
6.19. Find the output signal to the matched filter given in the
Example 6.22.
fY (t)
Ans. f t)Y ( = 2 0K A tri (t t ).ττ −
6.20. A signal 2 2tf (t) 5u(t) t e−= is added to white noise with power
spectrum 2 210 W/Hz−σ = and the sum is applied to the input of a matched filter.
a) Find the transfer function and sketch the impulse response of the filter.
b) Find the signal-to-noise ratio o 0r S / N= .
c) Is the filter causal?
Sol. a) ℱ[f(t)] F( )ω = 3
25.
(2 j )
= + ω .
oj topt 3
2H ( ) K 5. e
(2 j )
∗
− ω⎛ ⎞ω = ⎜ ⎟⎜ ⎟+ ω⎝ ⎠
oj t
3
2( 2K) 5. e
( 2 j )
− ω⎡ ⎤⎛ ⎞= − ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟− + ω⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
.
opth (t) =ℱ 1 opt[H ( )]− ω
o
2 2t
o
t t
( 2K) 5u(t)t e ( 2K)f (t t )−
−
⎡ ⎤= − = − −⎣ ⎦ .
b) From (6.6.10), 2 2tf2
o
Er (100) 5 t e dt 125
∞ −= = =σ ∫ (or 20,97dB).
166
167
0c) , the filter is causal. ot∀ >
6.21. A rectangular pulse f (t) A rest (t)τ= added to white noise with
power spectrum arrives at a receiver. For some practical reasons the receiver
(filter) is not matched but a lowpass simple filter with transfer function
2σ
WH( )
W + j
ω = ω ; W > 0 is a costant.
a) Find the ratio of instantaneous output signal power at any time t
to white noise with power at the filter output. At what time, denoted by
, is the ratio maximum?
2
of (t)
2
oE[N (t)]
ot
b) At the time what the band width W will maximize the signal-to-
noise ratio?
ot
c) Plot the loss in output signal-to-noise ratio that results, compare to a
matched filter for various values of 0 W 5/< ≤ τ . What is the minimum loss?
Sol a) h(t) =ℱ W
W+j
⎛ ⎞⎜ ⎟ω⎝ ⎠
- WtWe u(t)= .
of (t) f (t) h(t) A rest (s)h(t s)ds
+∞
τ
−∞
= ∗ = −∫ W(t-s)A We u(t s)ds
τ −
−τ
= −∫ .
Consider cases of then t ; t ;< −τ − τ ≤ ≤ τ τ < t
(t )
o
Wt
0 t
f (t) A(1 e ) t
2A e sh(W ) t < .
− +τ
−
< −τ⎧⎪= − − τ ≤ ≤⎨⎪ τ τ⎩
τ
It is clear that the function is nonnegative, continuous and gets it
maximum
of (t)
2WA (1 e )− τ− at . Moreover t = τ
22 2
o o
1N E[N (t)] H( ) d
2
∞
−∞
= = σ ω ωπ ∫
2 2
2 2
W Wd
2 2W
∞ 2
−∞
σ σ= ωπ +ω∫ = .
So we conclude
2
o
o
f (t)r(t)
N
= . This ratio maximizes at ot = τ , where
2 2W 2
o 2
8A e sh (W )r(t )
W
− τ τ= σ .
b) with or(t , W) g(u)=
2 2u 2
2
8A e sh (u)g(u)
u
−τ= σ , u W= τ .
Using derivative method it can be shown that the ratio gets its maxima at
the root of the equation 2ue (4u 1) 1 o
0,628u u 0,628 W≈ ⇒ ≈ τ
− + = ⇒ = .
c)
2
2f
max 2 2 2
E 1 2Ar A dt
τ
−τ
τ= = =σ σ σ∫ .
2W 2 2u 2
o
max
r(t ) e sh (W ) e sh4 4
r W
− τ −τ⇒ = =τ
u
u
, u W= τ .
As we see this ratio gets its maxima at uo 0,628≈ with the correspondent
value 0,815. Then the minimal loss is 18,5%.
6.22. A random signal { }X(t) and colored noise { }N(t) are jointly
stationary with autocorrelation functions B WX NR ( ) Ae , R ( ) We
− τ −τ = τ = τ
. (A,B,W 0)>
a) Find the transfer function of the uncausal optimal Wiener filter.
b) Find and sketch the impulse of the filter.
c) Find the minimum mean-squared error of the filter.
Sol. a) By Appendix B-2
ℱ X 2
2B
2( )] A ;B
τ =[R XS ( )ω = +ω
NS ( )ω =ℱ N 22W 2( )] W Wτ =[R . +ω
2 2
opt 2
2 2 2 2
2AB/(B )H ( )
2AB 2W
B W
+ωω =
++ω +ω
2 2
AB 2... G
AB W
λ= = + 2+ λ +ω
where
2 2 2 2
2 2
W (AB B ) ABW (W B ); G
AB W 2 (AB W )
+ − 2
2=+ λ +
t) =
λ = .
b) h ( ℱopt
t1
opt 2
AB[H ( )] (t) G e
AB W
−λ− ω = δ ++ .
When 2
ABG 1
2(AB W )
λ = , = = +
(t)
h(t)
t
2
1
the plot of h is as in the firgure. opt
c)
12 2
2
o 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2AB 2W 2AB 2WE[ (t )] d
2 B W B W
−∞
−∞
⎡ ⎤ε = +⎢ ⎥π +ω +ω +ω +ω⎣ ⎦∫ ω
12 2 2
2
2 2
1 ABW W (AB B ) d
AB W AB W
−∞
−∞
⎡ ⎤+= +ω ω⎢ ⎥π + +⎣ ⎦∫ 2 2
ABW
(AB W )(AB B )
=
+ +
.
6.23. Suppose where S and N are two jointly stationary
uncorrelation processes, N has zero mean and
X S N= +
S 2 2
1S ( ) ,
(1 )
ω = +ω
N
1S ( ) .
1
ω = +ω2 Find the uncausal Wiener filter.
168
6.24. Work the Problem 6.23 for the signal and uncorrelation colored
noise defined by S N2 4
1 1S ( ) , S ( ) .
1 1
ω = ω =+ω +ω
6.25. A random signal { }S(t) and uncorrelated white noise { }N(t) have
respective power spectrums
2
2
S SS S N4 4
S
S ( ) 2 2 P W , S ( )
W
ωω = ω+ω = σ
}
, where
is average power in { while and SSP S(t) SW 2σ are positive constants.
a) Find the transfer function of the Wiener filter for the signal and noise.
b) What is the minimum mean-squared filter error?
c) Evaluate the result of b) for 2SS SP 2W, W 15rad / s, 0,1W / H= = σ = z.
Hint: Use the known integral (Thomas, 1969, p. 249)
2
1 o o 1 2 o
2 2 2 2 4
o 1 22 1 o 2 o
(b b )d a b a b1
2 2a a aa (a 2a a ) a
∞
−∞
− ω ω −=π + − ω + ω∫
1 2a
where are constants and the equation o 1 2 oa , a , a , b and b
2
o 1a aλ + λ + = 0 has
roots with nonnegative image path.
Sol. a) Sopt
S N
S ( )
H ( )
S ( ) S ( )
ωω = =ω + ω
2
SS S
2 4 2 2 4
SS S S
2 2P W
2 2P W W
ω
σ ω + ω + σ .
b)
2
2SS X
4 4
2 S
o 2
2SS S
4 4
S
2 2P W
W1E[ (t )] d
2 2 2P W
W
∞
−∞
ω σ+ωε = ωπ ω + σ+ω
∫ =
2 2
SS S
2 4 2 2 4
SS S S
2 2P W d1
2 2 2 P W W
∞
−∞
− σ ω ω−
π σ ω + ω + σ∫
2
SS S SS S
2 2
SS S SS S
0 (2 2P W ) P W1
2 2. . 2 2P W 2 . 2 2P W
−σ σ σ−⎛ ⎞= =⎜ ⎟π⎝ ⎠ σ + σ σ π + σ
.
c) 2 2o
2.15. 0,1E[ (t )] 0,2315 0,4812
2 2 .2.15 0,1
ε = = =
π +
.
6.26. Suppose that we have to find the estimate of a random telegraph
signal {S(t)} in terms of the sum X(t) S(t) N(t)= + and the past of the sum,
where 2SR ( ) e ,
− λ ττ = NR ( ) L ( );τ = δ τ SNR ( ) 0.τ = Show that
cs
0
1S(t) (c 2 ) X(t s)e ds, c 2 1
L
∞
−= − λ − = λ + λ∫$ .
Sol. 2SX SR ( ) R ( ) e ,
− λ ττ = τ = SXS ( )ω =ℱ SX[R ( )]τ = 2 22.(2 )(2 )
λ
λ + ω .
XS ( )ω =ℱ ℱX[R ( )]τ = S[R ( )]τ +ℱ N[R ( )]τ
2 2
2 2 2 2
4 cL L , c 2 1
L(2 ) (2 )
λ +ω= + = = λ λλ +ω λ +ω
1 + .
169
X X
c j c jS ( ) L . L A ( )A ( )
2 j 2 j
∗⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ω − ω⇒ ω = = ω ω⎜ ⎟ ⎜ ⎟λ + ω λ − ω⎝ ⎠ ⎝ ⎠ X .
1
X
1 2 jH ( ) .
A ( ) L(c j )
λ + ωω = =ω + ω
SW SX
X
1S ( ) S ( )
A ( )∗
ω = ω =ω 2 2
4
(2 )
λ
λ + ω
2 j .
L(c j )
λ − ω
− ω
4 2 j
(2 j ) (2 j ) (c j )L
λ λ − ω= λ − ω λ + ω − ω
4 1
2 j c j(c 2 ) L
1⎡ ⎤λ= +⎢ ⎥λ + ω − ω+ λ ⎣ ⎦
As in Example 6.25, we get 2H ( )ω =… 4 12 j(c 2 ) L
λ= λ + ω+ λ .
opt 1 2H ( ) H ( )H ( )ω = ω ω = 2 jL(c j )
λ + ω
+ ω
4 1
2 j(c 2 ) L
λ
λ + ω+ λ
4 1 1(c 2 )
L(c 2 ) c j c j
λ= = − λ+ λ + ω + ω .
c topth (t) (c 2 )e
−= − λ .
6.27. Suppose where X(t) S(t) N(t)= + 0,2SR ( ) 5e ,− ττ =
Find the MS (mean-squared) estimates of {S(t)} and the
corresponding MS error for the cases:
NR ( ) 5 ( ),τ = δ τ
SNR ( ) 0τ = .
a) the noncausal filter of {S(t)},
b) the causal filter of {S(t)}.
Ans. a). opt 2
0,4H ( )
0,44
ω = +ω , opth (t) =
0,44 t0,44 e
2,2
− .
2
o
1E[ (t )] 1,5076.
0,44
ε = =
b) XS ( )ω
0,44 j 0,44 j5 5
0,2 j 0,2 j
⎛ ⎞⎛ ⎞+ ω −= ⎜ ⎟⎜+ ω − ω⎝ ⎠⎝
ω ⎟⎠
.
1
X
1 0,2 jH ( )
A ( ) 5( 0,44 j )
+ ωω = =ω + ω .
2H ( )ω 11 15(0,2 j )
−= + ω .
opt 1 2H ( ) H ( )H ( )ω = ω ω 11 1 15 0,44 j
−= + ω .
opth (t) = 11 15
− 0,44 te u− (t) .
2E[ (t)]ε 2,3166≈ (1,5 times as much as that in case a)).
170
Câu hỏi ôn tập chương VI
6.1. Tại sao ta không dùng được phổ điện áp cho QTNN?
6.2. Định nghĩa mật độ phổ công suất của QT dừng. Tính hàm tự tương
quan thông qua mật độ phổ.
6.3. Nêu tính chất (có chứng minh) của phổ công suất QT dừng, thực.
6.4. Nêu điều kiện cần và đủ để một hàm S(ω ) là phổ công suất của QT
dừng, thực, công suất hữu hạn; để S(ω ) là phổ công suất của QT dừng (phức),
công suất hữu hạn.
6.5. Mật đổ phổ công suất chéo của hai QT dừng đồng thời: định nghĩa,
tính hàm tương quan chéo thông qua phổ công suất chéo, ứng dụng để tìm phổ
của tổng các QT.
6.6. Phổ công suất cho dãy ngẫu nhiên: định nghĩa, tính hàm tự tương
quan qua phổ công suất; các tính chất và ý nghĩa.
6.7. Nhiễu trắng: định nghĩa, hàm tự tương quan cuả nhiễu trắng; những
bất hợp lý và tác dựng của việc nghiên cứu nhiễu trắng; nhiễu nhiệt.
6.8. Nhiễu trắng dải tần hữu hạn: định nghĩa, công suất, hàm tự tương
quan; nhiễu trắng thông dải.
6.9. Dãy nhiễu trắng.
6.10. Phổ công suất của QTNN phức: định nghĩa, hàm tự tương quan qua
phổ công suất; quan hệ hàm tự tương quan chéo và phổ công suất chéo.
6.11. Căn bản về hệ tuyến tính .
6.12. Điều kiện cần để quá trình đầu vào phù hợp với hệ.
6.13. Phát biểu và chứng minh định lý về hàm trung bình, hàm tự tương
quan QT đầu ra và hàm tương quan chéo đầu vào - đầu ra.
6.14. Phát biểu định lý về hàm trung bình, hàm tự tương quan QT đầu ra
và hàm tương quan chéo đầu vào - đầu ra khi đầu vào là QT dừng - Hệ quả: phổ
công suất, phổ công suất chéo đầu vào - đầu ra, công suất.
6.15. Định nghĩa QT tần thấp, thông dải, dải hẹp, điều biên. Chứng minh
định lý về điều kiện cần và đủ để QT điều biên là dừng, quy tâm. Phát biểu Định
lý về biểu diễn Rice.
6.16. Một số hiểu biết về phân tích nhiễu trong hệ thông tin công cộng
AM.
6.17. Một số hiểu biết về phân tích nhiễu trong hệ thông tin công cộng
FM.
6.18. Phạm vi ứng dụng của lọc thích nghi; lọc thích nghi cho nhiễu trắng,
nhiễu màu.
6.19. Ước lượng tuyến tính tối ưu: Đặt bài toán, nguyên lý trực giao.
6.20. Lọc Wiener khả thi: trường hợp tổng quát, xây dựng lọc khả thi tối
ưu hai bước.
171
PHỤ LỤC B - BIẾN ĐỔI FOURIER (LIÊN TỤC)
x(t) X( )↔ ω ; j tX( ) x(t)e dt;
+∞ − ω
−∞
ω = ∫ j t1x(t) X( )e d2
+∞ ω
−∞
= ω ωπ ∫
Bảng B-1 Tính chất của phép biến đổi Fourier
Tính chất Tín hiệu Biến đổi Fourier
Tuyến tính 1 1 2 2a x (t) a x (t)+ 1 1 2 2a X ( ) a X ( )ω + ω
Dịch chuyển thời gian ox(t t )− j toe X(− ω ω)
Dịch chuyển tần số j toe x(t)ω oX( )ω−ω
Lấy tỷ lệ theo thời gian x( t)α 1 X ω⎛ ⎞⎜ ⎟α α⎝ ⎠
Lấy đảo thời gian ( )x t− ( )X −ω
Đối ngẫu X(t) 2 x( )π −ω
Lấy vi phân theo thời gian
dx(t)
dt
n
n
d x(t)
dt
j X( )ω ω
( )nj X(ω ω)
Lấy vi phân theo tần số
( jt)x(t)−
( )njt x(t)−
dX( )
d
ω
ω
n
n
d X( )
d
ω
ω
Tích phân
t
x( )d
−∞
τ τ∫
1x(0) (t) x(t)
jt
π δ −
1X(0) ( ) X( )
j
π δ ω + ωω
X( )d
ω
−∞
ξ ξ∫
Tích chập 1 2x (t) x (t)∗ 1 2X ( )X ( )ω ω
Nhân 1 2x (t) x (t) 1 2
1 X ( ) X ( )
2
ω ∗ ωπ
Lấy liên hợp x (t)∗ X ( )∗ −ω
Khai triển chẵn - lẻ
tín hiệu thực c
x(t) x (t) x (t)= + l
X( ) A( ) jB( )
X( ) X ( )∗
ω = ω + ω
−ω = ω
Thành phần chẵn cx (t) { }Re X( ) A( )ω = ω
Thành phần lẻ x (t)l { }jIm X( ) jB( )ω = ω
Định lý Parseval 2
1x(t)dt X( ) d
2
+∞ +∞
−∞ −∞
= ω ωπ∫ ∫
Điều kiện (đủ) tồn tại x(t)dt∞−∞∫ hội tụ tuyệt đối
171
Bảng B-2 Cặp phép biến đổi Fourier
x(t) X( )ω Ghi chú
1 (t)δ 1
2 o(t t )δ − j toe− ω
3 1 2 ( )πδ ω
4
1 1(t)
2 j2
δ − πt u( )ω
5 j toe ω o2 ( )πδ ω−ω
6 ocos( t)ω o o[ ( ) ( )]π δ ω−ω + δ ω+ω
7 sin o( tω ) o oj [ ( ) ( )]− π δ ω−ω −δ ω+ω
8 u(t)
1( )
j
πδ ω + ω
9 ou(t)cos( t)ω o o 2 2
o
j[ ( ) ( )]
2
π ωδ ω−ω + δ ω+ω + ω −ω
10 ou(t) sin( t)ω o o 2 2
o
jj [ ( ) ( )]
2
π ω− δ ω−ω −δ ω+ω + ω −ω
11 te u(t−α )
1
jω+α 0α >
12 tte u(t)−α 21/( j )−ω+α 0α >
13 2 tt e u(t)−α 32!/( j )−ω+α 0α >
14 3 tt e u(t)−α 43!/( j )−ω+α 0α >
15 te−α 2 2
2α
α +ω 0α >
16 2te−α
21/ 2 /(4 )( / ) e−ω απ α 0α >
17 2 2
1
tα + e
−α ω 0α >
18 Wrest (t) 2W Sa(W )ω W 0>
19 Wtri (t)
2 WW Sa ( )
2
ω W 0>
20
W Sa(Wt)π Wrest ( )ω W 0>
21 2
W Sa (Wt)π Wtri ( )ω W 0>
22 sgn(t) 2 /( j )ω
23
k
(t kT)
∞
=−∞
δ −∑ o o o
k
2( k ),
T
∞
=−∞
πω δ ω− ω ω =∑
172
173
Tài liệu tham khảo
[1] Đào Hữu Hồ, Nguyễn Văn Hữu, Hoàng Hữu Như - Thống kê toán học -
Nxb Đại học Quốc gia Hà nội - 2003.
[2] Tống Đình Quỳ - Giáo trình Xác suất thống kê - Nxb Giáo dục - 1999.
[3] Nguyễn Duy Tiến - Đặng Hùng Thắng - Các mô hình xác suất và ứng dụng
- Phần I- II – III - Nxb Đại học Quốc gia Hà nội - 2001.
[4] Nguyễn Duy Tiến - Vũ Việt Yên - Lý thuyết xác suất - Nxb Giáo dục -
2001.
[5] Ngô Quốc Trung -
[6] Hwei P. Hsu - Schaum s′ outline of theory and problem of probability,
random variables, and random processes - Mc Graw - Hill - 1993.
[7] D. G. Childer - Probability and random processes - IRWIN - 1997.
[8] A. Papoulis - Probability, random variables, and stochastic processes - 3th -
Mc Graw - Hill - 1991.
[9] P. Z. Peebles - Probability, random variables, and random signal principles
- 3th - Mc Ggraw-Hill - 1993.
[10] N. U. Prabhu - Stochastic Storage Processes - Springer -Verlag - 1980.
[11] A.N. Shiryaev - Probability - 2th - Springer - 1996.
[12] Y. Viniotis - Probability and random processes for electrical engineers -
Mc Graw - Hill - 1998 .
[13] И. К. Волков, С. М. Зуев, Г. М. Цьветкова - Случайны процессов.
Москва – МГТУ - им. Баумана - 2003.
[14] И. И. Гихман, А. В. Скороход - Введение в теорию случайных
процессов - Москва - Наука -1977.
[15] Б. Р. Левин - Теоретичесие основы статистичесной раиотехники.
Москва - Наука -1989.
173
KẾ HOẠCH HỌC – THI
Lớp Cao học 19 (11,12-2007)
PHẦN I: Tiểu luận (6điểm)
CƠ ĐIỆN
*5 câu hỏi lý thuyết (có đanh sách
kèm theo)
* câu bài tập, trong đó câu ở
Ch. I
6≤ 2≤
*6 câu hỏi lý thuyết (có đanh sách
kèm theo)
* 7≤ câu bài tập, trong đó câu ở
Ch. I
2≤
PHẦN II: Thi viết (4điểm, 40 phút).
Câu I. Định nghĩa 2 trong các QT sau:
a) QTNNdừng theo nghĩa rộng, 2 QTNNdừng đồng thời.
b) QTNN Gauss.
c) QT ergodic kỳ vọng.
d) QT Poisson, dãy thời điểm đến, dãy thời đoạn trung gian.
e) QT Winner.
f) (Dành cho Điện) Định nghĩa phổ công suất, phổ công suất chéo, các tính chất của
nó. Tính hàm tương quan từ phổ công suất.
g) (Dành cho Điện) Phát biểu định lý nói lên mối liên hệ giữa hàm kỳ vọng, hàm tương quan của các
QT đầu vào, đầu ra, tương quan chéo. Định lý tương ứng, hệ quả với các QT dừng.
Câu II . Một bài tập của Chương I.
Câu III. Cho số liệu (n 7)≤
ix 1x .. nx
iy 1y .. ny
a)Tìm mô hình hồi quy tuyến tính thực nghiệm dạng $y ax b= +$
b) Tìm hệ số phù hợp . 2R
c)Tìm ước lượng cho phương sai chung của mô hình 2σ .
d) Thể hiện dãy các phần dư { }ie lên đồ thị, đánh giá.
e) Kiểm định giả thuyết a = 0.
f) Tìm miền tin cậy cho hệ số a
g) Tìm dự đoán ; đánh giá. 0y(x ); x(y )0
1
Cấu trúc tiểu luận
Trang bìa: Giấy màu
Trang lót: Nội dung giống trang bìa
Nội dung:
Phần I: Câu hỏi lý thuyết (Theo phân công)
Câu 1.2. .....
........... +Nên làm rõ những chỗ như “Dễ dàng thấy rằng”; “dễ suy
ra”,…
+Đánh số theo thứ tự bài tiểu luận.
+Hình vẽ chưa chỉnh phải bỏ đi, vẽ lại, có thể vẽ bằng tay.
+Cần sửa những chỗ đánh máy saỉ ở cuốn “Bài giảng…”.
+Tránh chỉ có cắt dán đơn thuần, cần thể hiện rõ đây là
kiến thức của mình.
Câu 5.7. .....
.......
Câu 6.2. .....
...........
Câu 6.7. .....
.......
Phần II: Bài tập
(Khuyến khích làm các bài mới, chưa chữa, chưa có đáp án hoặc chưa có trả lời đầy
đủ).
Câu 1.2. .....
...........
Câu 5.7. .....
.....………
Câu 6.4 ……
…………
2
(Trang bìa)
Học Viện Kỹ thuật Quân Sự
Khoa Công Nghệ Thông Tin
Tiểu luận
Một số vấn đề của Xác suất, Thống kê
và Quá trình ngẫu nhiên
Họ và tên:
Lớp:
Giáo viên hướng dẫn: Tô Văn Ban
Hà nội 11-2007
3
Thuyết trình.Yêu cầu học viên lên thuyết trình phải chuẩn bị bài kỹ, trình bày như
giáo viên giảng bài. Học viên có thể cắt xén, bỏ bớt nội dung, bỏ bớt “râu ria”, bỏ bớt
chứng minh hoặc một phần chứng minh. Cũng có thể trình bày thế nào đó để bài thuyết
trình được hấp dẫn. Không đọc lại đơn thuần bài viết của giáo viên.
Phản biện.Người phản biện có thể hỏi những chỗ mình chưa hiểu, hoặc hỏi lại
những chỗ dã thuyết trình sai, không chính xác, cũng như những vấn đề khác liên quan.
Chỉ những người thuyết trình tốt hoặc bổ sung - phản biện tốt, hoặc trong lớp thể
hiện chuẩn bị bài tốt mới có thể được điểm 9, 10.
Kế hoạch học tập với lớp CH ĐIỆN I
Néi
dung
ThuyÕt tr×nh Bæ xung -
Ph¶n biÖn I
Bæ xung -
Ph¶n biÖn II
ChuÈn bÞ
M¸y
Ch-
−¬ng 1
Gi¸o viªn Lớp
trưởng
§5.1
§5.2
TrÇn V¨n C¶nh
Ng V¨n Thanh
Ng TrÇn Quang
Bïi ViÖt H¶i
D−¬ng Hïng Th¾ng
L−u H¶i Nam
Ng Thµnh T©n
Mai B¹ch §»ng
P. Thanh TruyÒn
§5.3
§5.4
Ng Ngäc Tïng
TrÇn Xu©n YÕn
TrÇn Ngäc Th¾ng
§Æng Xu©n H¶i
Mai B¹ch D−¬ng
Ng T P Dung
Ba. Hång QuyÕt
Ng V¨n DuÉn
Ng Ngäc Kiªn
§5.5
§5.6
Lª §øc Anh
TrÇn §¹i Léc
Lu¬ng V¨n Tr×nh
TrÇn ThÞ H−êng
TrÇn §øc VÜnh
Tµo Ngäc Kh«i
Ng KiÒu H−ng
Vò V¨n T©m
Vâ Trung Hµ
§6.1
§inh TiÕn NghÜa
Hoµng V¨n ViÖt
TrÇn H÷u L−¬ng
Phïng ChÝ Kiªn
Ng Hoµng Ph−¬ng
Hoµng V¨n §«ng
Ng V¨n Tó
TrÇn ThÞ H−êng
Lª T. Thanh T©m
§6.2
§6.3
§6.5
L− H¶i Nam
Vò ThÞ Quúnh
Ng V¨n Sanh
Ng V¨n TuyÕn
B¹ch Hång QuyÕt
TrÇn §øc VÜnh
TrÞnh Xu©nTrung
Ng. V¨n Tó
4
Kế hoạch học tập với lớp CH ĐIỆN II
Néi
dung
ThuyÕt tr×nh Bæ xung -
Ph¶n biÖn I
Bæ xung -
Ph¶n biÖn II
ChuÈn bÞ
M¸y
Ch-
−¬ng 1
Gi¸o viªn Lớp
trưởng
§5.1
§5.2
§ç TuÊn C−¬ng
Ng« Quang Huy
Ng Träng Thanh
§oµn V¨n Anh
Vò ThÞ Lª H»ng
Hoµng V¨n DuyÓn
Chu Quèc Th¸i
Ng T BÝch Nga
Ng ThÞ B×nh
§5.3
§5.4
KhuÊt V¨n §ång
Ng Xu©n Phó S¬n
Ng Hoµng An
§µo TiÕn VËn
Ng Quang H¶i
Ng ThÞ Th¶o
Chu Quèc Th¸i
Ng V¨n Tó
Ng Ph−¬ng Anh
§5.5
§5.6
Lª Quang Trung
§inh V¨n Hoan
Qu¸ch thÕ Dòng
TrÇn Nh− S¬n
Bïi ThÞ Thuú
§µo TiÕn VËn
§ç Kh¾c Hoµng
Ng V¨n §øc
Ng Thµnh long
§6.1
Do·n V¨n Minh
TrÇn Hång Th¾m
Ng TiÕn Dòng
Ph¹m H¶i YÕn
Ng Quang Minh
Lª Anh Dòng
Ng MËu V−¬ng
Ng Hång Qu©n
TrÇn Q Ph¸t
§6.2
§6.3
§6.5
ÈTÇn Trung Kiªn
PhÝ H÷u NghÜa
Lª Nga ¸nh
§µo Xu©n Huy
Ng V¨n §øc
Ph¹m TiÕn Nguyªn
TrÇn T T H−¬ng
§µo NhËt Quang
§µo ThÕ H÷u
Kế hoạch học tập với lớp CH CƠ
Néi
dung
ThuyÕt tr×nh Bæ xung -
Ph¶n biÖn I
Bæ xung -
Ph¶n biÖn II
ChuÈn bÞ
M¸y
Ch−¬ng 1 Gi¸o viªn Lớp trưởng
§5.1
§5.2
Vò Quang B×nh
Lª Thanh B»ng
Ng §×nh S©m
L¹i Quang §¹o
Hµ Thµnh trung
Ng Ngäc Linh
Léc V¨n Quang
Ng Anh V−îng
§5.3
§5.4
NguyÔn Hµ Hïng
Ng Kiªn Trung
TÞnh §×nh Th×n
NguyÔn SÜ Hoµ
Lª D¨ng Träng
Vò §øc B×nh
Ng ChÝ Thµnh
Lª Xu©n L©n
§5.5
§5.6
Ng Gia NghÜa
Ph¹m V¨n Ngä
Hµ Thµnh Trung
TrÇn Huy Thanh
Ph¹m D− Minh
Ng C¶nh Tïng
Ng Xu©n S¬n
TrÇn V¨n S¬n
§6.1
Bïi SÜ Giang
Ng H÷u Hµ
TiÕn Thanh H−ng
Ng« Do·n Lîi
Ng Anh TuÊn
Ng Anh V−îng
Ph Thanh Toµn
N. T. Thanh Mai
Ôn tập
5
C¥
Líp: Xe m¸y QS, CB. Kho¸: 19 (TT)
TT Hä vµ tªn h.viªn C©u hái
C. I
C©u hái
C.V
§iÓm
T. luËn
§iÓm thi
t¹i líp
KÕt qu¶
1 Vò Quèc B×nh 1-10 2-8-15
2 §oµn Quang Dòng 2-8 3-11-14
3 Vâ Quèc §¹i 1-8 1-12-14
4 L¹i Quang §¹o 6-7 6-8-13
5 NguyÔn M¹nh Hïng 5-8 3-9-13
6 T¹ TiÕn Long 3-9 1-11-18
7 NguyÔn V¨n Ngäc 6-10 6-7-14
8 NguyÔn Träng T©n 1- 1-9-16
9 Hå Xu©n Thµnh 2-11 3-7-13
10 TrÇn Huy Thanh 5-11 2-11-17
11 Ph¹m Thanh Toµn 4-10 2-13-14
12 TrÇn V¨n B×nh 6-9 1-8-13
13 Lu Minh Hïng 4-8 4-10-15
14 TrÇn Ých T¸ch 2-7 5-12-13
15 Bïi V¨n H¶i 1-8 1-9-11
16 Ng« Do·n Lîi 3-7 2-3-11
17 Léc V¨n Quang 6-7 4-9-11
18 NguyÔn ChÝ Thµnh 5-9 2-6-11
19 D¬ng Quang Minh 4-10 6-8-11
20 NguyÔn Gia NghÜa 2-7 5-12-13
21 NguyÔn Xu©n S¬n 1-8 1-9-11
22
6
Líp: Vò khÝ §¹n Kho¸: 19 (TT)
TT Hä vµ tªn h.viªn C©u hái
C. I
C©u hái
C.V
§iÓm
T. luËn
§iÓm thi
t¹i líp
1 §ç Thµnh Biªn 3-7 2-3-16
2 Bïi SÜ Giang 6-7 4-9-11
3 TrÇn B¸ HiÖu 5-9 2-6-15
4 NguyÔn Sü Hoµ 4-10 6-8-18
5 Hå Minh Hïng 5-11 4-6-11
6 NguyÔn Hµ Hïng 6-10 5-7-17
7 Lª Xu©n L©n 2-7 3-10-17
8 T¨ng Xu©n Long 3-8 3-8-14
9 NguyÔn Xu©n Lîi
1-9 5-9-11
10 Ng« V¨n Lu 3-10 2-8-15
11 TrÇn V¨n S¬n 6-11 3-10-13
12 NguyÔn H÷u T©n
5-11 1-9-15
13 Ph¹m V¨n Thä 4-10 4-12-14
14 NguyÔn Anh TuÊn 3-9 1-10-16
15 NguyÔn C¶nh Tïng
2-8 1-11-18
16 Ng« §øc V−îng 1-7 6-10-15
17 NguyÔn Quang Dòng
2-8 2-10-16
18 Lª KiÕn Giang 6-7 1-9-17
19 Vò Tïng L©m 6-9 2-10-16
20 Phan D¬ng Minh 1-10 3-6-13
21 NguyÔn §øc ThuËn
2-11 1-9-17
22 TrÞnh §×nh Th×n 3-10 2-10-13
23 NguyÔn Kh¾c Trinh
3-10 2-10-13
24 Lª §¨ng Träng 4-8 4-10-18
25 NguyÔn Kiªn Trung 3-9 2-9-17
7
Líp: CN CTM Kho¸: 19 (TT)
TT Hä vµ tªn h.viªn
C©u
hái
C. I
C©u hái
C.V
§iÓm
T. luËn
§iÓm
thi t¹i
líp
1 NguyÔn Hoµng ¸nh 4-7 1-7-13
2 Lª Thanh B»ng 5-8 1-9-17
3 NguyÔn Nh §µm 6-9 2-11-17
4 Vò Ngäc Hïng 6-10 4-9-16
5 TiÕn Thanh H−ng 1-11 2-8-15
6 NguyÔn ChÝ L−¬ng 1-10 1-9-14
7 L¹i §×nh Ph¬ng 2-7 3-12-14
8 Hµ Thµnh Trung 3-8 1-11-15
9 §µo Duy ViÖt 4-9 1-7-17
10 NguyÔn Anh V−îng 3-7 3-10-16
11 NguyÔn Trung Anh 2-8 4-8-14
12 Vò §øc B×nh 1-9 5-9-17
13 NguyÔn Cao C−êng 3-10 4-7-13
14 NguyÔn Ngäc Linh 4-11 3-9-18
15 NguyÔn T.
Thanh Mai
5-10 1-7-16
16 NguyÔn Träng Quý 6-12 3-10-16
17 NguyÔn §×nh S©m 6-10 1-9-14
18 NguyÔn Minh Thuû 5-9 2-11-17
19 Ph¹m §øc Ch©u(NCT§) 4-10 6-8-16
Líp: XD C«ng tr×nh Kho¸: 19 (TT)
T
T
Hä vµ tªn h.viªn
C©u hái
C. I
C©u hái
C.V
§iÓm
T. luËn
§iÓm thi
t¹i líp
1 NguyÔn H÷u Hµ 1-10 1-7-16
2 Mai §øc Minh 2-9 3-9-14
3 NguyÔn Thanh TuÊn 3-8 4-8-12
4 NguyÔn TiÕn TÜnh 2-7 5-10-17
5 Ph¹m §øc Phong 3-7 2-12-15
6 NguyÔn M¹nh Hµ 4-8 4-9-15
8
§IÖN I
Líp: Th«ng tin (QS) Kho¸: 19 (TT)
T
T
Hä vµ tªn h.viªn
C©u hái
C. V
C©u hái
C.VI
§iÓ
m
T.
luËn
§iÓm thi
t¹i líp
KÕt
qu¶
1 TrÇn V¨n C¶nh 2-8-15 6-8-20
2 NguyÔn V¨n DuÉn 3-11-14 4-10-15
3 §Æng Xu©n H¶i 1-12-14 5-12-19
4 Phan Hoµng HiÖp 6-8-13 1-9-16
5 Ph¹m V¨n HiÖp 3-9-13 7-13-18
6 Vò §øc HiÖp 1-11-18 4-9-20
7 NguyÔn KiÒu H−ng 6-7-14 2-12-15
8 Tµo Ngäc Kh«i 1-9-16 6-13-20
9 Phïng ChÝ Kiªn 3-7-13 4-6-16
10 TrÇn ViÕt Minh 2-11-17 5-10-20
11 Lu H¶i Nam 2-13-14 3-10-17
12 NguyÔn §×nh Ph¸t 1-8-13 6-8-14
13 NguyÔn Hoµng Ph−¬ng
4-10-15 5-9-16
14 NguyÔn TrÇn Quang 5-12-13 7-13-15
15 B¹ch Hång QuyÕt 1-9-11 3-10-20
16 NguyÔn V¨n Sanh 2-3-16 1-9-15
17 Vò V¨n T©m 4-9-11 4-12-14
18 §oµn V¨n T©n 2-6-15 7-10-17
19 NguyÔn Thµnh T©n 6-8-18 5-11-19
20 NguyÔn Anh Th¸i 4-6-11 6-10-15
21 NguyÔn V¨n Thanh 5-7-17 2-10-16
22 NguyÔn V¨n TuyÕn 3-10-17 7-9-17
23 NguyÔn Ngäc Tïng 3-8-14 4-10-16
24 NguyÔn Xu©n ViÖt 5-9-11 3-12-15
25 TrÇn §øc VÜnh 2-8-15 1-9-17
26
.
Mai B¹ch D¬ng
3-10-13 2-12-13
9
T
T
Hä vµ tªn h.viªn
C©u hái
C. V
C©u hái
C.VI
§iÓ
m
T.
luËn
§iÓm thi
t¹i líp
KÕt
qu¶
27
.
NguyÔn Tµi §¹t
1-9-15 4-10-18
28
.
Vâ Xung Hµ
4-12-14 2-9-14
29
.
NguyÔn Nh Khuª
1-10-16 4-8-14
30
.
TrÇn H÷u L¬ng
1-11-18 4-7-19
31
.
NguyÔn V¨n Tó
6-10-15 1-9-17
32
.
L¬ng V¨n Tr×nh
2-10-16 2-11-17
33
.
TrÞnh Xu©n Trung
1-9-17 4-9-16
34
.
Ph¹m Thanh TruyÒn
2-10-16 2-8-15
35
.
Hoµng V¨n ViÖt
3-6-13 7-9-20
36
.
TrÇn Xu©n YÕn
1-9-17 3-12-14
2-10-13 1-11-15
Líp: Th«ng tin (DS) Kho¸: 19 (TT)
TT Hä vµ tªn h.viªn C©u hái
C.V
C©u hái C.
VI
§iÓm
T. luËn
§iÓm thi
t¹i líp
1 Lª §øc Anh 4-10-18 6-7-20
2 NguyÔn TuÊn Anh
2-9-17 3-10-16
3 NguyÔn ThÞ Ph¬ng Dung 4-8-14 4-8-14
4 Hoµng V©n §«ng 1-7-13 5-9-17
5 NguyÔn DiÔm VÜnh Hµ 1-9-17 4-7-18
6 Bïi ViÖt H¶i 2-11-17 3-13-18
7 §Æng Trung HiÕu 4-9-16 6-7-16
8 TrÇn ThÞ H−êng 2-8-15 3-10-16
9 NguyÔn Ngäc Kiªn 1-9-14 1-9-19
10
TT Hä vµ tªn h.viªn C©u hái
C.V
C©u hái C.
VI
§iÓm
T. luËn
§iÓm thi
t¹i líp
10 TrÇn §¹i Léc 3-12-14 2-11-17
11 §inh TiÕn NghÜa 1-11-15 8-9-20
12 Ch©u Thanh Ph−¬ng 1-7-17 6-8-16
13 Vò ThÞ Quúnh 3-10-16 5-10-15
14 NguyÔn TÊt S¬n 4-8-14 3-12-16
15 Lª ThÞ Thanh T©m 5-9-17 4-9-14
16 NguyÔn N¨ng Thµnh 4-7-13 7-10-19
17 D¬ng Hïng Th¾ng 3-9-18 5-9-15
18 NguyÔn Toµn Th¾ng 1-7-16 6-9-18
19 TrÇn Träng Th¾ng 3-10-16 4-8-20
20 Vò C«ng Trung 1-9-14 2-12-14
21 2-11-17 1-9-16
1-9-13 3-11-17
11
§IÖN II
Líp: §iÒu khiÓn (QS) Kho¸: 19 (TT)
TT Hä vµ tªn h.viªn C©u hái
C.V
C©u hái C.
VI
§iÓm
T. luËn
§iÓm thi
t¹i líp
1 NguyÔn Hoµng An 6-8-16 1-10-20
2 NguyÔn ThÞ Lan Anh 5-10-15 5-7-16
3 Ph¹m ThÞ Ph¬ng Anh 3-12-16 3-9-14
4 §ç TuÊn C¬ng 4-9-18 4-8-19
5 Lª Anh Dòng 1-10-16 5-10-17
6 NguyÔn TiÕn Dòng 5-9-15 2-12-15
7 Qu¸ch ThÕ Dòng 2-9-18 4-9-15
8 KhuÊt V¨n §ång 4-8-14 1-7-16
9 NguyÔn V¨n §øc 2-12-14 1-9-18
10 §ç Kh¾c Hoµng 1-9-12 2-12-20
11 §µo Xu©n Huy 3-11-17 4-9-14
12 TrÇn Trung Kiªn 1-10-16 2-13-19
13 NguyÔn Thµnh Long 1-7-16 1-9-17
14 Do·n V¨n Minh 3-9-14 3-10-16
15 Lª Träng NghÜa 4-8-12 5-11-15
16 Ph¹m TiÕn Nguyªn 5-10-17 1-9-17
17
§µo NhËt Quang
2-12-
15
3-11-16
18 NguyÔn Hång Qu©n 4-9-15 4-8-16
19 TrÇn Nh S¬n 1-7-16 3-9-17
20 §Æng V¨n Thµnh 1-9-18 5-8-19
21 Lª Quang Trung 2-11-13 1-9-14
22 Vò §øc Trêng 4-9-14 3-12-14
23 §µo TiÕn VËn 2-8-13 1-11-20
1-9-17 1-7-17
3-10-16 3-10-16
5-11-15 4-8-14
12
Líp: §iÒu khiÓn (DS) Kho¸: 19 (TT)
TT Hä vµ tªn h.viªn
C©u hái C.V C©u hái C.
VI
§iÓm
T.
luËn
§iÓm thi t¹i
líp
1 §oµn V¨n Anh 1-9-17 5-9-17
2 NguyÔn ThÞ B×nh 3-11-16 4-7-20
3 Ph¹m §øc C¬ng 4-8-16 3-9-18
4 Hoµng V¨n DuyÒn 3-9-17 6-7-16
5 Bïi Minh H»ng 5-8-18 3-10-19
6 NguyÔn ThÞ Thuý H»ng 3-12-14 2-11-17
7 Vò ThÞ LÖ H»ng 1-11-15 8-9-20
8 NguyÔn Quang H¶i 1-7-17 6-8-16
9 Bïi ThÞ Thu HiÒn 3-10-16 5-10-15
10 Ng« Quang Huy 4-8-14 3-12-16
11 NguyÔn Thµnh Qu©n 5-9-17 4-9-14
12 NguyÔn Xu©n Phó S¬n 4-7-13 7-10-19
13 Chu Quèc Th¸i 3-9-18 5-9-15
14 NguyÔn ThÞ Th¶o 1-7-16 6-9-18
15 TrÇn ThÞ Hång Th¾m 3-10-16 4-8-20
16 NguyÔn Träng Thanh 1-9-14 2-12-14
17 Bïi ThÞ Thuû 2-11-17 1-9-16
18 Ph¹m H¶i YÕn 1-9-13 3-11-17
19 PhÝ H÷u NghÜa 2-9-17 3-10-16
13
Líp: Ho¸ Kho¸: 19 (TT)
TT Hä vµ tªn h.viªn C©u hái C.V C©u hái C.
VI
§iÓm
T. luËn
§iÓm thi t¹i
líp
1 Lª Ngäc ¸nh 1-11-18 4-9-20
2 D¬ng Ngäc C¬ 6-7-14 2-12-15
3 NguyÔn TiÕn Dòng 1-9-16 6-13-20
4 NguyÔn Thanh H¶i 3-7-13 4-6-16
5 §inh V¨n Hoan 2-11-17 5-10-20
6 NguyÔn Kh¸nh H−ng 2-13-14 3-10-17
7 §µo ThÕ H÷u 1-8-13 6-8-14
8 NguyÔn Quang Minh 4-10-15 5-9-16
9 NguyÔn ThÞ BÝch Nga 5-12-13 7-13-15
10 TrÇn Quang Ph¸t 1-9-11 3-10-20
11 NguyÔn V¨n Tó 2-3-16 1-9-15
12 NguyÔn MËu V−¬ng 4-9-11 4-12-14
13 TrÇn ThÞ Thanh H−¬ng 2-6-15 7-10-17
14 6-8-18 5-11-19
4-6-11 6-10-15
14
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- CAO HỌC - Xác suất thống kê và Quá trình ngẫu nhiên.pdf