Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

CHUYÊN ĐỀ: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT I. KHÁI NIỆM VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC: Cho biểu thức với các biến thoả mãn điều kiện D. Ta nói M (M phải là hằng số là giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của biểu thức F khi và chỉ khi nó thỏa mãn hai điều kiện sau: +) Bất đẳng thức đúng với mọi thỏa mãn D. +) Tồn tại thỏa mãn D sao cho . II. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT: 1. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ TỔNG BÌNH PHƯƠNG: A. Kiến thức cần nhớ: Giả sử cần tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P. Ta biến đổi P về dạng , trong đó cùng dấu và D có giá trị không đổi. + ) Nếu không âm thì . Ta có min P = D nếu tồn tại dấu đẳng thức . + ) Nếu không dương thì . Ta có max P = D nếu tồn tại dấu đẳng thức . B. Các ví dụ: Ví dụ 1.1: Cho các số thực x, y thoả mãn x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:. Giải: Ta có: . Theo giả thiết x + y = 2, ta có y = 2 – x nên . Dấu bằng xảy ra x – 1 = 0 x = 1 y = 1. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 4 khi x = 1, y = 1. Ví dụ 1.2: Cho các số thực x, y thoả mãn x + y + 4 = 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: . Giải: Ta có: . Dấu bằng xảy ra x + 2 = 0 x = – 2 y = – 2. Vậy giá trị lớn nhất của A là 32 khi x = – 2, y = – 2. Ví dụ 1.3: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: a) b) . Giải: a) Ta có: . Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2010 khi x = 2, y = – 4. b) Ta có: . . Vậy giá trị nhỏ nhất của B là khi . Nhận xét. Xét biểu thức bậc hai của x, y nhưng các biến không ràng buộc +) Nếu a, b > 0 thì ta có đạt được khi và chỉ khi . +) Nếu a, b < 0 thì ta có đạt được khi và chỉ khi . Ví dụ 1.4: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức: a) b) Giải: a) Ta có: . . Vậy giá trị lớn nhất của A là 37 khi x = y = 5. b) Do đó . Dấu bằng xảy ra . Vậy giá trị lớn nhất của B là 4 khi x = y = 2. Ví dụ 1.5: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: a) b) . Giải: a) Ta có: . Đẳng thức xảy ra . Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 23, đạt được khi x = – 1, y = 1. b) Ta có: . . Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 2, đạt được tại . Ví dụ 1.6: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: a) b) . Giải: a) Ta có: . Đặt thì . . Vậy giá trị nhỏ nhất của A là – 8 khi . b) Đặt x = t + 1 thì ta có: . . Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 162 khi x = 1. Ví dụ 1.7: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: a) b) Giải: a) Ta có: . . Do đó giá trị nhỏ nhất của A là 6, đạt được tại x = 5. b) Ta có: . . Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 3, đạt được tại x = 2. Ví dụ 1.8: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: . b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: . Giải: a) Ta có: (do ) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 2. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là – 2, đạt được tại x = 2. b) Ta có: , do đó; . Dấu bằng xảy ra . Vậy giá trị lớn nhất của B là 14, đạt được tại x = 3. Ví dụ 1.9: Cho các số thực x, y, z thoả mãn 2x + 2y + z = 4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 2xy + yz + zx. Giải: Từ giả thiết ta có z = 4 – 2x – 2y, thế vào biểu thức: Do đó: Suy ra . . Vậy giá trị lớn nhất của A là , đạt được khi . Ví dụ 1.10: Cho các số thực m, n, p thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = m + n + p. Giải: Ta có: (*) Do nên từ (*) suy ra . Vậy . Ta có: +) . Giá trị nhỏ nhất của B là , đạt được khi . +) . Giá trị lớn nhất của B là , đạt được khi . C. Bài tập tự luyện: Bài 1.1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a) c) c) b) Bài 1.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a) b) . Bài 1.3: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: a) b) c) d) Bài 1.4: Cho các số thực x, y thoả mãn x2 + y2 – xy = 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + y2. Bài 1.5: Cho các số thực x, y, z thoả mãn x + y + z = 6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = xy + 2yz + 3zx. Bài 1.6: Cho hai số thực a, b khác 0 thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = ab + 2013. Bài 1.7: Cho các số thực m, n, p thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = m + n + p. Bài 1.8: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất (nếu có) của các biểu thức: a) b) Bài 1.9: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: a) b) Bài 1.10: Cho các số thực x, y thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: . 2. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI: A. Kiến thức cần nhớ: +) Định nghĩa: . +) Tính chất: - Với mọi A R, thì . - Với mọi x, y R, ta có . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x, y cùng dấu, tức là xy 0. - Với mọi x, y R, ta có . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . B. Các ví dụ: Ví dụ 2.1: Cho số thực x. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: a) b) c) d) Giải: a) Cách 1. Áp dụng bất đẳng thức , . Ta có: . Giá trị nhỏ nhất của A là 7, đạt được khi . Cách 2. Áp dụng bất đẳng thức . Ta có: . . Giá trị nhỏ nhất của A là 7, đạt được khi . b) Áp dụng cách 1. Ta có: . Giá trị nhỏ nhất của B là 5, đạt được khi . c) Áp dụng cách 2. Ta có: . Giá trị nhỏ nhất của C là 3, đạt được khi . d) Ta có: . . Giá trị nhỏ nhất của D là 13, đạt được khi . Ví dụ 2.2: Cho số thực x. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: a) . b) . Giải: a) Áp dụng bất đẳng thức . Ta có: . . Giá trị nhỏ nhất của A là 22, đạt được khi . b) Ta có: . . Giá trị nhỏ nhất của B là 9, đạt được khi . Ví dụ 2.3: Cho số thực x. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức : a) b) . Giải: a) Áp dụng bất đẳng thức , dấu đẳng thức có khi và chỉ khi . Ta có: . . Giá trị lớn nhất của A là 7, đạt được khi . b) Vì nên . . Giá trị nhỏ nhất của B là 2, đạt được khi x = 5. Ví dụ 2.4: Cho số thực x. Tìm giá trị nhỏ nhất của: a) với . b) với . Giải: a) Đặt thì nên . Giá trị nhỏ nhất của A là 3, đạt được khi . b) Đặt thì nên . Giá trị nhỏ nhất của B là 2, đạt được khi x = 5. Ví dụ 2.5: Cho các số thực x, y, z thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: . Giải: Ta có: . Không mất tính tổng quát, giả sử . Khi đó . Do nên . và y tùy ý thỏa mãn . Giá trị lớn nhất của A là 6, đạt được khi có một số bằng 3, một số bằng 0 và một số nhận giá trị từ 0 đến 3. Ví dụ 2.6: Cho a, b, c là các số thực thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: . Giải: Ta có: . Sử dụng bất đẳng thức , ta được . Từ đây suy ra: . Dấu bằng xảy ra . Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 2, đạt được khi a = b = 1 và c là một số thực bất kì nằm trong đoạn . C. Bài tập tự luyện: Bài 2.1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a) b) c) d) Bài 2.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a) b) c) d) Bài 2.3: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a) b) Bài 2.4: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a) b) c) Bài 2.5: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: a) b) c) d) Bài 2.6: Cho a < b < c < d là các hằng số cho trước. Với giá trị nào của x thì biểu thức sau nhận giá trị nhỏ nhất: . Bài 2.7: Cho thoả mãn , và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: . Bài 2.8: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Bài 2.9: Cho các số thực a, b thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Bài 2.10: Cho a, b là các số không âm thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . 3. PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC HAI: A. Kiến thức cần nhớ: Xét tam thức bậc hai . Ta có biệt thức . +) Điều kiện có nghiệm của tam thức bậc hai: - Nếu thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm. - Nếu thì phương trình f(x) = 0 vô nghiệm. +) Hệ thức Viet: Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình f(x) = 0 thì . Ngược lại, nếu có hai số x1, x2 thỏa mãn: thì x1, x2 là các nghiệm của phương trình . +) Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của tam thức bậc hai. Ta có: . - Nếu a > 0 thì min f(x) = , đạt được tại . - Nếu a < 0 thì max f(x) = , đạt được tại . B. Các ví dụ: Ví dụ 3.1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) b) Giải: a) Do nên biểu thức xác định với mọi . Gọi y là một giá trị của biểu thức . Khi đó phải tồn tại x để biểu thức đó bằng y, hay phương trình sau có nghiệm +) Nếu y = 1 thì (*) có dạng nên y = 1 là một giá trị mà biểu thức có thể nhận được. +) Nếu thì (*) là một tam thức bậc hai nên (*) có nghiệm khi và chỉ khi , hay Kết hợp cả hai trường hợp ta có . +) . Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 0, đạt được khi x = 0. +) . Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là , đạt được khi x = . b) Vì nên biểu thức xác định với mọi . Gọi y là một giá trị của biểu thức , thì phương trình sau phải có nghiệm x: +) Nếu y = 0 thì (*) có dạng nên y = 0 là một giá trị của biểu thức. +) Nếu thì (*) là một tam thức bậc hai nên (*) có nghiệm khi và chỉ khi , hay . Như vậy . Ví dụ 3.2: Tìm a, b để biểu thức: đạt giá trị lớn nhất bằng 4, giá trị nhỏ nhất bằng – 1. Giải: Gọi m là một giá trị của biểu thức , khi đó phương trình sau phải có nghiệm x: Vì giá trị lớn nhất và nhỏ nhất đều khác 0 nên . Do đó phương trình (*) là phương trình bậc hai, có nghiệm khi và chỉ khi , hay Gọi là hai nghiệm của phương trình Khi đó (**) có nghiệm là , nên P đạt giá trị nhỏ nhất tại m1, đạt giá trị lớn nhất tại m2. Do đó yêu cầu của bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi phương trình (***) có hai nghiệm là – 1 và 4, tức là . Vậy giá trị cần tìm của a, b là a = – 4, b = 3 hoặc a = 4, b = 3. Ví dụ 3.3: Tìm m, n để biểu thức: đạt giá trị lớn nhất bằng 7, giá trị nhỏ nhất bằng . Giải: Ta có: nên P xác định với mọi giá trị của x. Gọi a là một giá trị của biểu thức , khi đó phương trình sau phải có nghiệm x Vì giá trị lớn nhất và nhỏ nhất đều khác nên . Do đó phương trình (*) là phương trình bậc hai, có nghiệm khi và chỉ khi , hay . Yêu cầu của bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi 7 và là hai nghiệm của phương trình , tức là Giải ra ta được m = 10, n = 3 hoặc . Ví dụ 3.4: Cho các số thực x, y thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của x, y. Giải: i) Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của y: Điều kiện tồn tại x thỏa mãn (1) : . +) . Giá trị nhỏ nhất của y là – 1, đạt được khi . +) . Giá trị lớn nhất của y là 2, đạt được khi . 2i) Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của y: Điều kiện tồn tại y thỏa mãn (2): . +) . Giá trị nhỏ nhất của x là , đạt được khi . +) . Giá trị lớn nhất của x là , đạt được khi . Ví dụ 3.5: Cho x, y, z thoả mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của x. Giải: Ta có: Vì các số thực x, y, z thỏa mãn (*) nên y, z là hai nghiệm của phương trình: . Điều kiện có nghiệm của phương trình (**) là: . +) nên y = z = 2. Giá trị nhỏ nhất của x là 1, khi y = z = 2. +) nên y = z = . Giá trị nhỏ nhất của x là , khi y = z = . Ví dụ 3.6: Cho x > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: . Giải: Gọi a là giá trị của biểu thức A, khi đó phương trình sau phải có nghiệm Với thì (*) tương đương với Vì nên (**) là phương trình bậc hai, điều kiện có nghiệm là . Mà a > 0 nên . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 1. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 4, đạt được khi x = 1. Ví dụ 3.7: Cho các số thực x, y, z thoả mãn x2 + y2 = x + 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x + 2y. Giải: Gọi a là một giá trị của biểu thức P, khi đó hệ phương trình sau phải có nghiệm đối với x, y Từ (2) suy ra x = a – 2y, thay vào (1) ta được: Hệ có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (3) có nghiệm, hay . +) . +) . Vậy . Ví dụ 3.8: Cho các số thực x, y, z thoả mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = 2xy + 3yz + 4zx. Giải: Gọi a là một giá trị của biểu thức P, khi đó ta có . Thay z = 1 – x – y, ta được: . Xem đây là một phương trình bậc hai theo x. Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi . Do nên suy ra . Đẳng thức xảy ra . Vậy giá trị lớn nhất của P là , đạt được khi , , . C. Bài tập tự luyện: Bài 3.1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: a) b) c) Bài 3.2: Cho x, y R và . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a) b) c) d) Bài 3.3: Tìm m để giá trị lớn nhất của biểu thức bằng 2. Bài 3.4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: . Bài 3.5: Tìm cặp số thực (x ; y) sao cho y nhỏ nhất thoả mãn:. Bài 3.6: Cho x, y R thay đổi thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: . Bài 3.7: Cho các số thực x, y, z thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z. Bài 3.8: Cho a, b 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: . Bài 3.9: Cho các số thực x, y thoả mãn hệ thức . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x – y + 2004. Bài 3.10: Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của: P = xy + yz + zx. 4. PHƯƠNG PHÁP CÂN BẰNG HỆ SỐ TRONG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC KINH ĐIỂN: CÔ-SI, BU-NHIA-CÔP-XKI: A. Kiến thức cần nhớ: 1. Bất đẳng thức Cô-si: "ai ³ 0 ; i = : "n Î N, n ³ 2. Đẳng thức xảy ra Û a1 = a2 = ... = an 2. Bất đẳng thức Bu-nhia-côp-xki: Với hai bộ số thực bất kì (a1, a2,..., an) và (b1, b2, ...,bn), ta có: (a1b1+ a2b2 +...+ anbn)2 £ Đẳng thức xảy ra Û . Bất đẳng thức Bu-nhia-côp-xki dạng phân thức: Với hai bộ số thực bất kì (a1, a2,..., an) và (b1, b2, ...,bn) với , ta có: Đẳng thức xảy ra Û . 3. Một số bất đẳng thức đơn giản thường gặp: a2 + b2 ³ 2ab b) (a + b)2 ³ 4ab c) 2(a2 + b2) ³ (a + b)2 d) e) B. Các ví dụ: Ví dụ 4.1: Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: . Giải: Từ giả thiết, ta “dự đoán” được y sẽ đạt giá trị nhỏ nhất khi x = 1. Lúc này 3x = 3, , nên nếu áp dụng bất đẳng thức Cô-si trực tiếp kiểu sẽ không cho kết quả như mong muốn. Ta cần điều chỉnh hệ số. Cụ thể là, ta sẽ làm nhỏ 3x bằng cách tách hệ số 3 thành 3 = k + (3 – k) với 0 < k < 3 và viết lại biểu thức y như sau: . Đến đây, sử dụng bất đẳng thức AM-GM và giả thiết, ta được: . Đánh giá này xảy ra dấu bằng khi và chỉ khi . Do vậy là số thích hợp nhất để thêm vào ở đây. Với giá trị này của k, ta có với dấu bằng xảy ra khi x = 1. Vậy giá trị nhỏ nhất của y là khi x = 1. Ví dụ 4.2: Cho a, b, c là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Giải: Nhận xét rằng các biến a, b, c trong biểu thức P có vai trò tương tự nhau (ta gọi là đối xứng). Đặc điểm của đa số các bất đẳng thức đối xứng là dấu bằng xảy ra khi các biến bằng nhau. Chính vì vậy, ta dự đoán rằng biểu thức P sẽ đạt giá trị nhỏ nhất khi a = b = c. Lúc này, ta có: . Phân tích đến đây, ta càng thấy rõ việc đánh giá như ở phần trước có nhiều vấn đề. Và ta cần khắc phục nó. Ta sẽ làm nhỏ các phân thức bằng cách tách các hệ số 1 của chúng thành với và viết lại biểu thức P như sau: Đến đây, ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM như sau: (đánh giá này có dấu bằng khi a = b = c) và Từ đó suy ra: . Và việc làm ta cần làm bây giờ là chọn số thích hợp sao cho các đánh giá trên cùng xảy ra đẳng thức khi a = b = c. Các đánh giá trên cùng xảy ra đẳng thức khi: . Thay a = b = c vào (*), ta được (thỏa ). Như vậy là số thích hợp nhất ở đây. Lúc này ta có: . Dấu bằng xảy ra khi a = b = c. Vậy giá trị nhỏ nhất của P là , đạt được khi a = b = c. Ví dụ 4.3: Cho các số thực a, b thỏa mãn và a + b = 11. Tìm giá trị lớn nhất của: P = ab. Giải: Từ giả thiết , a + b = 1 và dạng của P, ta dự đoán được đẳng thức sẽ xảy ra khi a = 3 và b = 8. Chính điều này sẽ gợi cho ta sử dụng bất đẳng thức Cô-si như sau: Mà 8a + 3b = 3(a + b) + 5a = 33 + 5a 33 + 5.3 = 48 nên . Do đẳng thức xảy ra khi a = 3, b = 8 nên ta có kết luận maxP = 24. Ví dụ 4.4: Tìm giá trị lớn nhất của A = (2x – x2)(y – 2y2) với 0 x 2 ; 0 y . Giải: Với 0 x 2 ; 0 y thì 2x – x2 0 và y – 2y2 0 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: 2x – x2 = x(2 – x) y – 2y2 = y(1 – 2y ) = (2x – x2)(y – 2y2) Dấu “=” xảy ra khi x = 1 ; y = . Vậy giá trị lớn nhất của A là , đạt được khi x = 1 ; y = . Ví dụ 4.5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: trong đó x, y là những số thực lớn hơn 1. Giải: Viết biểu thức P về dạng: . Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số dương ta có: Do đó, P đạt giá trị nhỏ nhất là 8 khi x = y = 2. Ví dụ 4.6: a) Cho . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: . b) Cho . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: . Giải: a) Ở bài này, một ý tưởng tự nhiên là sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho tử thức để loại bỏ căn thức. Tuy nhiên, do chưa biết được dấu đẳng thức sẽ xảy ra tại đâu nên ta cần bổ sung thêm tham số phụ vào. Cụ thể, ta sử dụng bất đẳng thức Cô-si như sau: Do đó: . Vì ta cần đánh giá với M là hằng số, nên ta nghĩ ngay đến việc chọn k sao cho giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của x. Số k thích hợp đó là . Lúc này ta có: . Đẳng thức xảy ra khi . Vậy giá trị lớn nhất của P là , đạt được khi x = 2. b) Biểu thức P có thể được viết dưới dạng: . Đến đây, ta có thể thấy được bản chất của bài toán là: +) Tìm giá trị lớn nhất của với . +) Tìm giá trị lớn nhất của với . +) Tìm giá trị lớn nhất của với . Thực hiện tương tự bài toán trước, ta đánh giá: . Chọn , ta được . Đẳng thức xảy ra khi . Vậy max . Tương tự, ta cũng có: đạt được khi y = 8. đạt được khi z = 12. Vậy khi x = 4, y = 8 và z = 12. Ví dụ 4.7: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: . Giải: Điều kiện: Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhia-côp-xki: (ac + bd)2 (a2 + b2)(c2 + d2). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi . Chọn với . Ta có: Vì y > 0 nên ta có: Dấu “=” xảy ra (Thỏa mãn (*)) Vậy giá trị lớn nhất của y là 2, đạt được khi x = 3. Ví dụ 4.8: Cho x, y, z là ba số dương thay đổi luôn thỏa điều kiện x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhia-côp-xki, ta có: Do đó: Dấu bằng xảy ra . Mặt khác ta có: Từ (1) và (2) suy ra . Vậy min P = 3 khi x = y = z = 1. Ví dụ 4.9: Cho x, y > 0 và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: . Giải: Ta quan sát và có nhận xét . Đại lượng x + y xuất hiện ở đây liên quan đến giả thiết. Chính vì vậy, ta nghĩ ngay đến việc áp dụng BĐT Bu-nhia-cop-xki dạng phân thức, ta có: Ta lại có: Đẳng thức xảy ra . Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3, đạt được khi. Ví dụ 4.10: Giả sử a, b, c là các số thực dương thoả mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: . Giải: Sử dụng bất đẳng thức Bu-nhia-côp-xki dạng phân thức, ta có: . Từ đây suy ra: . Bây giờ, sử dụng bất đẳng thức Cauchy với chú ý rằng (do giả thiết), ta được: Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi . Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 5, đạt được khi . C. Bài tập tự luyện: Bài 4.1: Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: a) b) Bài 4.2: Cho thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: . Bài 4.3: Cho x, y là các số thực thỏa mãn x + y + xy = 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x2 + y2. Bài 4.4: Cho a, b, c là các số dương thoả mãn a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = a3 + b3 + c3. Bài 4.5: Với a, b là các số thực dương thoả mãn a2 + b2 = 2, hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Bài 4.6: Cho . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . Bài 4.7: Cho a, b, c là các số dương thoả mãn a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = a3 + b3 + c3. Bài 4.8: Cho thỏa mãn a + b + c = 6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = abc. Bài 4.9: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: . Bài 4.10: Cho ba số dương x, y, z thoả mãn điều kiện: . Tìm giá trị lớn nhất của xyz. 5. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT BIẾN PHỤ HOẶC SỬ DỤNG BIỂU THỨC PHỤ: A. Kiến thức cần nhớ: - Bằng cách đặt biến phụ và sử dụng các phép biến đối tương đương. Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản ta có thể chuyển biến thức đã cho về biểu thức đơn giản hơn, dễ xác định cực trị hơn. - Để tìm cực trị của 1 biểu thức nào đó, đôi khi người ta xét cực trị của 1 biểu thức khác có thể so sánh được với nó, nếu biểu thức phụ dễ tìm cực trị hơn. Chẳng hạn: Để tìm cực trị của biểu thức A với A > 0, ta có thể xét cực trị của biểu thức: , – A, kA, k + A, |A| , A2 (k là hằng số). Ví dụ 5.1: Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = x4 + 6x3 + 13x2 + 12x + 12. Giải : A = x4 + 6x3 + 13x2 + 12x + 12 = ( x4 + 6x3 + 19x2 + 30x + 25) – 6 (x2 + 3x + 5) + 17 A = (x2 + 3x + 5)2 – 6 (x2 + 3x + 5) + 17 Đặt: x2 + 3x + 5 = a A = a2 – 6a + 17 = a2 + 6a + 9 + 8 = (a – 3)2 + 8 ³ 8 do (a – 3)2 ³ 0, "a. Þ min A = 8 Û a – 3 = 0 Û a = 3 Û x2 + 3x + 2 = 0 Û Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 8, đạt được khi x = – 1, y = – 2. Ví dụ 5.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của: B = 2. – 5 với x, y > 0. Giải: Đặt = a ³ 2 Þ = a2 – 2 Þ B = 2.(a2 – 2) – 5a + 6 = 2a2 – 5a + 2 Ta thấy: a ³ 2 Þ B = 2a2 – 5a + 2 ³ 0 Þ min B = 0 Û a = 2 Û x = y > 0 Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 0, đạt được khi x = y > 0. Ví dụ 5.3: Cho x, y, z > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của: C = . Giải: Đặt a =; b = ; c = . Þ = Þ ; ; Khi đó: C = = Theo bất đẳng thức Cô-si với a, b, c > 0 ta có: Þ C ³ Þ min C = Û a = b = c Û x = y = z > 0. Vậy giá trị nhỏ nhất của C là đạt được khi x = y = z > 0. Ví dụ 5.4: Tìm giá trị lớn nhất của A = . Giải: a) Xét x = 0 Þ A = 0 giá trị này không phải là giá trị lớn nhất của A vì với x ¹ 0 ta có A > 0. b) Xét x ¹ 0 đặt P = khi đó Amax Û Pmin Với cách đặt trên ta có: P = Ta có: x2 + (theo bất đẳng thức Cô-si) Þ P ³ 2 + 1 = 3 Þ Pmin = 3 Û x = 1 Do đó: Amax = Û x = 1. Ví dụ 5.5: Tìm giá trị nhỏ nhất của B = với x > 0. Giải: Đặt P1 = – B như vậy P1max Û Mmin Ta có: P1 = với x > 0 Þ P > 0 Đặt P2 = > 0 với x > 0 khi đó P2 Min Û P1 Max P2 = = P2 = (do ³ 0, "x > 0) Þ P2 Min = 8008 Û x = 2002 Þ P1 Max = Û x = 2002 Û BMin = – Û x = 2002 Vậy BMin = – Û x = 2002 Ví dụ 5.6: Cho số thực x thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Giải: Đặt . Suy ra: . Từ đó ta có: . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi . Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 41, đạt được khi x = 1 hoặc x = 2. Ví dụ 5.7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A, biết: . Giải: Đặt , ta có: . Do đó: . Vậy . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi . Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 8, đạt được khi x = 2. Ví dụ 5.8: Cho a, b, c dương và a + b + c = 3.Tìm giá trị lớn nhất của Giải: Do a, b, c > 0 Þ C > 0. Đặt: P = C2 khi đó Û CMax Ta có: P = Û P £ (12 + 12 + 12) (5a + 4b + 5b + 4c + 5c + 4a) theo Bu-nhia-côp-xki P £ 3.9(a + b + c) = 81 do a + b + c = 3 Þ PMax = 81 Û a = b = c = 1 Û = 81 Û a = b = c = 1 Û CMax = 9 Û a = b = c = 1 Vậy giá trị lớn nhất của C là 9, đạt được khi a = b = c = 1 C. Bài tập tự luyện: Bài 5.1: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x2 + 4 – x + . Bài 5.2: Cho x, y > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của: B = . Bài 5.3: Tìm giá trị nhỏ nhất của: C = – + 2014 với x, y > 0. Bài 5.4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của: D = . Bài 5.5: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện: xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: . Bài 5.6: Cho x, y, z > 0 và x2 + y2 + z2 = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của A . Bài 5.7: Cho x, y, z, t > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của B = . Bài 5.8: Cho x, y > 0 và 7x + 9y = 63. Tìm giá trị lớn nhất của C = x.y. Bài 5.9: Cho x2 + y2 = 52. Tìm giá trị lớn nhất của D = 2x + 3y. Bài 5.10: Cho x, y > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của E = . 6. PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC: A. Kiến thức cần nhớ: +) Xét tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c thì . +) Bất đẳng thức tam giác. Với ba điểm M, N, P bất kì ta luôn có:. - Bất đẳng thức xảy ra dấu bằng khi M, N, P thẳng hàng và điểm M nằm ngoài đoạn NP. - Bất đẳng thức xảy ra dấu bằng khi M, N, P thẳng hàng và điểm M nằm trong đoạn NP. +) Nếu thì . B. Các ví dụ: Ví dụ 6.1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: a) b) . Giải: a) . Xét các điểm , ta có: . Theo bất đẳng thức tam giác, ta có: . Vì P thuộc trục hoành và M, N nằm khác phía so với trục hoành (do tung độ hai điểm trái dấu), nên đẳng thức xảy ra khi ba điểm thẳng hàng. Điều đó xảy ra khi và chỉ khi: . Vậy giá trị nhỏ nhất của A là , đạt được khi . Chú ý : Có nhiều cách chọn điểm, chẳng hạn với , ta có: . Theo bất đẳng thức tam giác . b) Ta có: . Xét các điểm , ta có: Theo bất đẳng thức tam giác, ta có: . khi và chỉ khi: . Vậy giá trị nhỏ nhất của B là , đạt được khi . Ví dụ 6.2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . Giải: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy lấy các điểm A(x – 2 ; 1), B(x + 3 ; 2). Ta chứng minh được: , Mặt khác ta có: Dấu “=” xảy ra khi A thuộc đoạn OB hoặc B thuộc đoạn OA . Vậy giá trị lớn nhất của A là , đạt được khi x = 7. Ví dụ 6.3: Cho các số thực x, y, z thoả mãn , với a là số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: . Giải: Bổ đề: Cho tam giác nhọn ABC. Khi đó: . Xét tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Trên các cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho AM = x, BN = z, CP = y. Rõ ràng: nên Vậy ta có , nên giá trị lớn nhất của P là a2, đạt được khi có một số bằng a và hai số còn lại bằng 0. Ví dụ 6.4: Cho các số thực x, y thoả mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: . Giải: Xét các điểm , ta có: Sử dụng bất đẳng thức tam giác, ta được: . Để đẳng thức xảy ra, ta cần có: Thử lại, ta thấy bộ (2 ; 2) thỏa mãn điều kiện đẳng thức (ta kiểm tra bộ này thỏa rồi nên không cần kiểm tra các bộ còn lại), do đó min . Ví dụ 6.5: Cho a, b, c là các số thực bất kì. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Giải: Xét các điểm . Ta có: Sử dụng liên tiếp các bất đẳng thức tam giác, ta được: . Mặt khác, ta lại có: Do đó: . Đẳng thức xảy ra khi . Vậy giá trị nhỏ nhất của P là , đạt được khi . C. Bài tập tự luyện: Bài 6.1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: a) b) . Bài 6.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: a) b) Bài 6.3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: . Bài 6.4: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức: a) b) Bài 6.5: Cho x, y là hai số thực thỏa mãn điều kiện: . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: . III. MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỌN LỌC CỰC TRỊ THI VÀO LỚP CHUYÊN VÀ HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN: Bài 1: Cho x, y là 2 số dương thỏa x + y = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = . Bài 2: Cho hai số dương x, y sao cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Bài 3: Cho x, y, z là ba số dương thỏa mãn xyz = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Bài 4: Với ba số thực dương x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = 3x2 + 3y2 + z2. Bài 5: Cho ba số x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Bài 6: Cho x, y là các số không âm. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Bài 7: Cho x, y là các số nguyên dương thỏa mãn x + y = 2003. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x(x2 + y) + y(y2 + x). Bài 8: Cho các số thực không âm x, y, z thoả mãn : . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 5x – 6y + 7z. Bài 9: Cho a, b, c là các số thực thoả mãn điều kiện : . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = 6a + 7b + 2006c. Bài 10: Cho x > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: . Bài 11: Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x + y + z. Bài 12: Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x + y + 2z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2x2 + 2y2 – z2. Bài 13: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:. Bài 14: Cho . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: . Bài 15: Cho x3 + y3 + 3(x2 + y2) + 4(x + y) + 4 = 0 và xy > 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Bài 16: Cho các số thực x, y, z thoả mãn điều kiện x + y + 2z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 2x2 + 2y2 – z2 Bài 17: Cho các số thực x, y thoả mãn x > 8y > 0. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: . Bài 18: Cho a, b là các số thực thoả mãn điều kiện : . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = a2 – 2a – b. Bài 19: Cho các số thực x, y thoả mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: . Bài 20: Cho . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: . Bài 21: Cho . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: . Bài 22: Cho các số thực a, b, c > - 1 thoả mãn a2 + b2 + c2 = 27. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Bài 23: Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Bài 24: Tìm giá trị nhỏ nhất của , với a, b, c, d là các số dương. Bài 25: Cho a, b, c > 0 và a2 + b2 + c2 = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của . Bài 26: Cho a, b là các số dương và ab = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . Bài 27: Cho ba số dương a, b, c có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Bài 28: Cho các số thực x, y, z thoả mãn x + y + z = 6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = xy + 2yz + 3zx. Bài 29: Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Bài 30: Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn: x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = . Bài 31: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : trong đó x, y, z là các số dương thayđổi thỏa mãn điều kiện x2 + y2 + z2 ≤ 3. Bài 32: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn: . Tìm GTNN của: . Bài 33: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = (x + y)(x + z) trong đó x, y, z là ba số dương thay đổi luôn thỏa mãn điều kiện: (x + y + z)xyz = 1. Bài 34: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Bài 35: Cho các số thực x, y thoả mãn x2 + y2 + xy = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Bài 36: Với a, b là các số thực dương thoả mãn a2 + b2 = 2, hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Bài 37: Cho a > 0, b > 0, c > 0 và a + b + c = 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: .