Các kết quả ứng dụng phương pháp phân rã giải bài toán ô nhiễm môi trường - Nguyễn Đình Dũng

T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 1(45) Tập 2/N¨m 2008 48 C¸c kÕt qu¶ øng dông ph−¬ng ph¸p ph©n r· gi¶i bµi to¸n « nhiÔm m«i tr−êng NguyÔn §×nh Dòng - Vò Vinh Quang (Khoa C«ng nghÖ Th«ng tin - §H Th¸i Nguyªn) 1. Më ®Çu VÊn ®Ò m«i tr−êng lu«n lµ vÊn ®Ò ®−îc quan t©m cña bÊt kú mét ®Þa ph−¬ng cã nÒn c«ng nghiÖp ph¸t triÓn. Trong m«i tr−êng kh«ng khÝ, khÝ quyÓn c¸c thµnh phÇn cña chóng cïng víi c¸c chÊt th¶i ë d¹ng khÝ cña c¸c khu c«ng nghiÖp pha trén lÉn nhau vµ dÞch chuyÓn nhê giã vµ khuyÕch t¸n, nhê vËy mét sè thµnh phÇn vËt chÊt ®ang tõ kh«ng ®éc h¹i trë thµnh ®éc h¹i ®èi víi cuéc sèng sinh vËt. Qu¸ tr×nh nµy dÉn ®Õn t×nh tr¹ng « nhiÔm khÝ quyÓn, v× vËy vÊn ®Ò b¶o vÖ, gi÷ g×n m«i tr−êng lµ hÕt søc cÇn thiÕt. §iÒu ®ã ®Æt ra nh÷ng bµi to¸n vÒ sù « nhiÔm khÝ quyÓn cÇn ®−îc gi¶i quyÕt. M« h×nh bµi to¸n lan truyÒn khÝ th¶i g©y ra bëi nguån ph¸t th¶i ®−îc m« pháng bëi ph−¬ng tr×nh truyÒn t¶i khuyÕch t¸n nh− sau: f zzz w y v x u t =∆− ∂ ∂ ∂ ∂ −+ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ϕµϕγσϕϕϕϕϕ trªn ],0( TG × )1.1( Trong ®ã G lµ miÒn kh«ng gian quan s¸t. Víi ®iÒu kiÖn ban ®Çu g=ϕ khi 0=t )2.1( Trong ®ã ),,,( tzyxϕ lµ nång ®é cña khÝ th¶i trong m«i tr−êng t¹i ®iÓm ),,( zyx ë thêi ®iÓm t , wvu ,, lÇn l−ît lµ c¸c thµnh phÇn cña vÐc t¬ vËn tèc giã V  theo ph−¬ng zyx ,, , f lµ c«ng suÊt khÝ th¶i, g lµ ph©n bè nång ®é ban ®Çu cña chÊt khÝ th¶i, σ lµ ®Æc tr−ng hÖ sè biÕn ®æi khÝ th¶i trong qu¸ tr×nh lan truyÒn, γµ, lµ hÖ sè khuÕch t¸n rèi ngang vµ th¼ng ®øng, ∆ lµ to¸n tö Laplace hai chiÒu. §Ó h¹n chÕ, chóng ta sÏ nghiªn cøu bµi to¸n trong miÒn [ ] [ ] [ ]HYXG ,0,0,0 ××= víi bÒ mÆt HS Σ∪Σ∪Σ= 0 trong ®ã Σ lµ mÆt xung quanh cña miÒn G , 0Σ lµ mÆt ®¸y d−íi (khi 0=z ), HΣ lµ mÆt ®¸y trªn (khi Hz = ). Do ë líp d−íi khÝ quyÓn (líp tiÕp gi¸p víi mÆt ®Êt) víi ®é chÝnh x¸c cao cã thÓ xem kh«ng khÝ lµ chÊt kh«ng nÐn ®−îc nªn vÐc t¬ vËn tèc giã V  ®−îc thÓ hiÖn bëi ph−¬ng tr×nh liªn tôc. 0= ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z w y v x u . Ngoµi ra, thµnh phÇn th¼ng ®øng cña vÐc t¬ vËn tèc giã triÖt tiªu trªn c¸c mÆt ®¸y 0=w khi Hzz == ,0 T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 1(45) Tập 2/N¨m 2008 49 §Ó x¸c ®Þnh duy nhÊt nghiÖm ),,,( tzyxϕ cña bµi to¸n (1.1), chóng ta cÇn x¸c ®Þnh c¸c ®iÒu kiÖn rµng buéc nång ®é cña khÝ th¶i ϕ trªn biªn S cña miÒn G . Tõ thùc tÕ vµ lý thuyÕt vÒ ph−¬ng tr×nh vËt lý to¸n, chóng ta cã thÓ viÕt c¸c ®iÒu kiÖn biªn cña bµi to¸n lan truyÒn khÝ th¶i g©y ra bëi nguån ph¸t th¶i nh− sau 0=ϕ trªn Σ , αϕϕ = ∂ ∂ z trªn 0Σ , )3.1( 0= ∂ ∂ z ϕ trªn HΣ trong ®ã 0≥α lµ hÖ sè hÊp thô hoÆc ph¶n x¹ mÆt ®¸y. Sù tån t¹i vµ duy nhÊt nghiÖm cña bµi to¸n ®ang xÐt ® ®−îc chøng minh mét c¸ch chÆt chÏ nhê ®¼ng thøc ®èi ngÉu. 2. Ph−¬ng ph¸p ph©n r· Do ®é phøc t¹p cña ph−¬ng tr×nh cïng víi nh÷ng gi¶ thiÕt vÒ ®iÒu kiÖn biªn vµ gi¸ trÞ ban ®Çu lµ rÊt chÆt nªn viÖc t×m nghiÖm t−êng minh cña bµi to¸n trong tr−êng hîp tæng qu¸t lµ kh«ng thùc hiÖn ®−îc, do ®ã viÖc ®Ò xuÊt c¸c ph−¬ng ph¸p ®Ó t×m nghiÖm xÊp xØ cña bµi to¸n lµ mét trong nh÷ng h−íng nghiªn cøu ®ang ph¸t triÓn trªn thÕ giíi. Tuy nhiªn, viÖc sö dông ph−¬ng ph¸p sè ®Ó gi¶i quyÕt bµi to¸n còng gÆp rÊt nhiÒu khã kh¨n nh− sè chiÒu lín, miÒn ®ang xÐt lµ phøc t¹p v.v...V× vËy ®Ó kh¾c phôc nh−îc ®iÓm trªn chóng t«i ®−a ra ph−¬ng ph¸p ph©n r nhiÒu thµnh phÇn cho bµi to¸n vµ chøng minh tÝnh æn ®Þnh v« ®iÒu kiÖn vµ ®é chÝnh x¸c cÊp hai theo thêi gian vµ kh«ng gian cña ph−¬ng ph¸p. Sö dông ph−¬ng tr×nh liªn tôc vµ trõ vÕ tr¸i cña ph−¬ng tr×nh )1.1( cho biÓu thøc 0)( 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z w y v x uϕ , chóng ta thu ®−îc ph−¬ng tr×nh f zzz w z w y v y v x u x u t =∆− ∂ ∂ ∂ ∂ −+ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ ϕµϕγσϕϕϕϕϕϕϕϕ ) 2 () 2 () 2 ( víi .) 2 ( ,) 2 ( ,) 2 ( 3 2 2 2 2 2 1 σϕϕϕγϕϕϕ ϕµϕϕϕ ϕµϕϕϕ + ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ = zzz w z wL yy v y vL xx u x uL Gi¶ thiÕt nghiÖm cña bµi to¸n )1.1( , (1.2), (1.3) ®ñ tr¬n trong miÒn ],0[ TG × . Chóng ta phñ miÒn G b»ng l−íi sai ph©n T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 1(45) Tập 2/N¨m 2008 50 { }MmLlKkmhzlhykhx zmylxk ,0,,0,,0),,,( =======Ω . C¸c to¸n tö vi ph©n iL ®−îc xÊp xØ b»ng c¸c to¸n tö sai ph©n iA σϕϕγϕϕϕ µϕϕϕϕ µϕϕϕϕ +− + = − + = − + = zz zz yy yy xx xx wwA vv A uuA )( 2 )()( , 2 )()( , 2 )()( * ** 3 ** 2 ** 1 )1.2( trong ®ã kÝ hiÖu **** ,,, γwvu lµ nh÷ng hµm l−íi ®−îc x¸c ®Þnh bëi c¸c c«ng thøc: 2 1 * 2 1 * 2 1 * 2 1 * ,,, −−−− ==== m m m mllkk wwuvuu γγ Trong c¸c biÓu thøc trªn, chóng ta chØ viÕt c¸c chØ sè theo mét h−íng vµ kh«ng viÕt c¸c chØ sè cña c¸c h−íng kh¸c. Khi viÕt c¸c chØ sè d−íi mlk ,, sÏ t−¬ng øng c¸c h−íng cña c¸c biÕn zyx ,, , vÝ dô: 2 1 −k u thay cho lmk u 2 1 − . B»ng viÖc ®−a vµo c¸c kÝ hiÖu trªn, hÖ thøc )1.2( cã thÓ viÕt l¹i nh− sau: m z mm m mm m z m m m m m y lll y llll l x kkk x kkkk k hh ww A hh vv A hh uu A σϕ ϕϕγϕϕγϕϕ ϕ ϕϕϕµ ϕϕ ϕ ϕϕϕµ ϕϕ ϕ + −−− − − = +− − − = +− − − = − − + + − − + + −+ − − + + −+ − − + + 2 1 2 11 2 11 2 11 2 1 3 2 11 1 2 11 2 1 2 2 11 1 2 11 2 1 1 )()( 2 )( )2.2(2 2 )( 2 2 )( 1,1,1,1,1,1 −=−=−= MmLlKk . C¸c ®iÒu kiªn biªn )3.1( ®−îc ph©n r nh− sau: 0=kϕ t¹i Kkk == ,0 , 0=lϕ t¹i Lll == ,0 , )3.2( m z mm h αϕϕϕ =−+1 t¹i 0=m , 01 =− − z mm h ϕϕ t¹i Mm = trong ®ã kÝ hiÖu )3,2,1( =iAi lµ c¸c to¸n tö xÊp xØ cÊp hai cña c¸c to¸n tö vi ph©n iL t−¬ng øng. §©y lµ c¸c to¸n tö kh«ng ©m v× gi¶ thiÕt ®Æc tr−ng hÖ sè biÕn ®æi khÝ th¶i, c¸c hÖ sè khuÕch t¸n T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 1(45) Tập 2/N¨m 2008 51 rèi ngang vµ th¼ng ®øng γµσ ,, trong qu¸ tr×nh lan truyÒn vµ c¸c thµnh phÇn wvu ,, cña vÐc t¬ vËn tèc giã kh«ng ©m. §Æt .3,2,1==Λ ααα jj A Bµi to¸n lan truyÒn khÝ th¶i g©y ra bëi nguån ph¸t th¶i )1.1( , )2.1( , )3.1( cã thÓ ®−îc xÊp xØ víi ®é chÝnh x¸c cÊp hai bëi c¸c s¬ ®å sai ph©n: L−îc ®å sai ph©n d¹ng thø nhÊt: 1 1 3 2 1 )1()1( − − Λ−=Λ+ jj jj ϕτϕτ 22 EE , 0,0 3 2 3 2 0 == −− j K j ϕϕ , 3 2 2 3 1 2 )1()1( −− Λ−=Λ+ jjjj ϕτϕτ 22 EE , 0,0 3 1 3 1 0 == −− j L j ϕϕ , 3 1 33 )1())(1( − Λ−=−Λ+ jjjjj f ϕττϕτ 22 EE , 0, 1 0 01 = − = − − z j M j Mj z jj hh ϕϕ αϕϕϕ , ))(1()1( 33 1 3 jjjjj fτϕτϕτ +Λ−=Λ+ + 22 EE , 0, 3 1 1 3 1 3 1 0 3 1 0 3 1 1 = − = − + − + + ++ z j M j Mj z jj hh ϕϕ αϕϕϕ , 3 1 2 3 2 2 )1()1( ++ Λ−=Λ+ jjjj ϕτϕτ 22 EE , 0,0 3 2 3 2 0 == ++ j L j ϕϕ , 3 2 1 1 1 )1()1( + + Λ−=Λ+ jjjj ϕτϕτ 22 EE , 0,0 11 0 == ++ j K j ϕϕ . L−îc ®å sai ph©n d¹ng thø hai: 0 2 14 3 1 14 3 = +Λ+− − − − − jj j jj ϕϕ τ ϕϕ , 0,0 4 3 4 3 0 == −− j K j ϕϕ , 0 2 4 3 4 2 2 4 3 4 2 = +Λ+− −−−− jj j jj ϕϕ τ ϕϕ , 0,0 4 2 4 2 0 == −− j L j ϕϕ , 0 2 4 2 4 1 3 4 2 4 1 = +Λ+− −−−− jj j jj ϕϕ τ ϕϕ , 0, 4 1 1 4 1 4 1 0 4 1 0 4 1 1 = − = − − − − − −− z j M j Mj z jj hh ϕϕ αϕϕϕ , j jj fτϕϕ 24 1 4 1 += −+ , 0 2 4 1 4 2 3 4 1 4 2 = +Λ+− ++++ jj j jj ϕϕ τ ϕϕ , 0, 4 2 1 4 2 4 2 0 4 2 0 4 2 1 = − = − + − + + ++ z j M j Mj z jj hh ϕϕ αϕϕϕ , 0 2 4 2 4 3 2 4 2 4 3 = +Λ+− ++++ jj j jj ϕϕ τ ϕϕ , 0,0 4 3 4 3 0 == ++ j L j ϕϕ , T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 1(45) Tập 2/N¨m 2008 52 0 2 4 3 1 1 4 3 1 = +Λ+− + + + + jj j jj ϕϕ τ ϕϕ , 0,0 110 == ++ j K j ϕϕ . L−îc ®å sai ph©n d¹ng thø ba: 0 2 13 2 1 13 2 = +Λ+− − − − − jj j jj ϕϕ τ ϕϕ , 0,0 3 2 3 2 0 == −− j K j ϕϕ , 0 2 3 2 3 1 2 3 2 3 1 = +Λ+− −−−− jj j jj ϕϕ τ ϕϕ , 0,0 3 1 3 1 0 == −− j L j ϕϕ , j jj j jj f=+Λ+− −− 2 3 1 3 3 1 ϕϕ τ ϕϕ , 0, 1001 = − = − − z j M j Mj z jj hh ϕϕ αϕϕϕ , j jj j jj f=+Λ+− ++ 2 3 1 3 3 1 ϕϕ τ ϕϕ , 0, 3 1 1 3 1 3 1 0 3 1 0 3 1 1 = − = − + − + + ++ z j M j Mj z jj hh ϕϕ αϕϕϕ , 0 2 3 1 3 2 2 3 1 3 2 = +Λ+− ++++ jj j jj ϕϕ τ ϕϕ , 0,0 3 2 3 2 0 == ++ j L j ϕϕ , 0 2 3 2 1 1 3 2 1 = +Λ+− + + + + jj j jj ϕϕ τ ϕϕ , 0,0 110 == ++ j K j ϕϕ . ThuËt to¸n sö dông ph−¬ng ph¸p ph©n r gi¶i bµi to¸n « nhiÔm )1.1( , )2.1( , )3.1( sÏ xuÊt ph¸t tõ ®iÒu kiÖn ban ®Çu 0ϕ g= vµ tõ tÝnh æn ®Þnh cña l−îc ®å ph©n r sÏ t×m ®−îc nghiÖm cña bµi to¸n vi ph©n víi ®é chÝnh x¸c )( 22 τ+hO . C¸c thuËt to¸n ®Òu dÉn ®Õn gi¶i c¸c hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè tuyÕn tÝnh víi ma trËn cã d¹ng ba ®−êng chÐo tho¶ mn tÝnh chÐo tréi vµ cho phÐp thùc hiÖn thuËt to¸n truy ®uæi víi ®é phøc t¹p tÝnh to¸n )(nO . 3. Mét sè kÕt qu¶ thùc nghiÖm XuÊt ph¸t tõ t− t−ëng cña ph−¬ng ph¸p ph©n r gi¶i gÇn ®óng bµi to¸n « nhiÔm khÝ quyÓn, chóng t«i tiÕn hµnh cµi ®Æt thuËt to¸n ph©n r b»ng ng«n ng÷ lËp tr×nh MATLAB trªn m¸y tÝnh PC ®èi víi l−îc ®å sai ph©n thø nhÊt. Ph−¬ng ph¸p thùc nghiÖm ®−îc ¸p dông b»ng c¸ch cho tr−íc nghiÖm ®óng ),,,( tzyxu vµ tõ ®ã x¸c ®Þnh c¸c ®iÒu kiÖn biªn vµ hµm vÕ ph¶i, tiÕn hµnh t×m nghiÖm xÊp xØ cña bµi to¸n b»ng thuËt to¸n ph©n r thø nhÊt. ViÖc ®¸nh gi¸ ®é chÝnh x¸c cña tÝnh to¸n dùa vµo sai sè { }j mlkjmlkjmlk tzyx ,,,,, *),,,(max ϕϕε −= lµ sai sè lín nhÊt gi÷a nghiÖm ®óng ϕ vµ nghiÖm xÊp xØ *ϕ t×m ®−îc tõ thuËt to¸n trªn toµn l−íi ®iÓm. Tr−êng hîp 1: Chóng t«i sÏ ¸p dông thuËt to¸n ph©n rE ®Ó t×m nghiÖm gÇn ®óng cña bµi to¸n vµ so s¸nh víi nghiÖm ®óng ®Ó ®¸nh gi¸ ®é chÝnh x¸c cña thuËt to¸n. XÐt bµi to¸n (1.1) víi c¸c tham sè m«i tr−êng .0,0,1,1,1 ============ gwvuTHYX γσµα T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 1(45) Tập 2/N¨m 2008 53 Hµm vÕ ph¶i tzzyyxx tzzyyxxtzzxx tzzyytzzyxx tzzyyxzzyyxxtzyxf 22 222 2222 2222 )1)(1()1( )21212)(1()1()1)(1(2 )1)(1(2)1)(21)(1( )1)(1()21()1)(1()1(),,,( −−−+ ++−−−−−−+ +−−+−−−+ +−−−+−−−= NghiÖm ®óng: ),,,( tzyxϕ = tzzyyxx 22)1)(1()1( −−− . KÕt qu¶ thùc nghiÖm ®−îc cho bëi b¶ng 1 B¶ng 1: Sai sè øng víi c¸c l−íi chia T* L−íi chia Ox L−íi chia Oy L−íi chia Oz Sai sè tuyÖt ®èi 10 10 10 10 0.0111 20 20 20 20 0.0042 30 30 30 30 0.0025 50 50 50 50 0.0013 100 100 100 100 6.033×10-4 Trong ®ã T* = τ T . Tr−êng hîp 2: Trong tr−êng hîp nµy, sÏ ¸p dông thuËt to¸n ph©n rE t×m nghiÖm xÊp xØ cña bµi to¸n víi hµm vÕ ph¶i tuú ý vµ tõ ®ã x¸c ®Þnh h×nh d¸ng nghiÖm cña bµi to¸n b»ng ®å thÞ. XÐt bµi to¸n (1.1) víi c¸c tham sè m«i tr−êng .0,0,1,2,1,1 ============ gwvuTHYX γσµα Hµm vÕ ph¶i xyzttzyxf 100),,,( = , l−íi chia 100* ==== TMLK Sù ph©n bè nång ®é khÝ th¶i ë ®é cao 5.0=z t¹i thêi ®iÓm Tt = ®−îc m« t¶ bëi h×nh 1. H×nh 1: §å thÞ nghiÖm t×m tõ ph−¬ng ph¸p ph©n rE T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 1(45) Tập 2/N¨m 2008 54 4. NhËn xÐt vµ kÕt luËn Néi dung cña bµi b¸o ® ®Ò cËp ®Õn viÖc gi¶i quyÕt bµi to¸n « nhiÔm khÝ quyÓn bao gåm c¸c néi dông: 1. § ®−a ra m« h×nh bµi to¸n « nhiÔm khÝ quyÓn vµ kh¼ng ®Þnh sù tån t¹i nghiÖm vµ duy nhÊt nghiÖm cña bµi to¸n. 2. ThiÕt lËp l−îc ®å ph©n r gi¶i bµi to¸n « nhiÔm khÝ quyÓn, ®¶m b¶o sù æn ®Þnh v« ®iÒu kiÖn vµ sù héi tô cña ph−¬ng ph¸p víi ®é chÝnh x¸c cÊp hai theo thêi gian vµ kh«ng gian mµ kh«ng ®ßi hái tÝnh giao ho¸n cña to¸n tö sai ph©n. 3. § thùc hiÖn viÖc cµi ®Æt thuËt to¸n trªn m¸y tÝnh ®iÖn tö, c¸c kÕt qu¶ thùc nghiÖm ® kh¼ng ®Þnh tÝnh ®óng ®¾n cña thuËt to¸n. 4. ViÖc cµi ®Æt c¸c thuËt to¸n theo c¸c ph−¬ng ph¸p ph©n r cßn l¹i còng ®−îc thùc hiÖn t−¬ng tù trªn m«i tr−êng MATLAB. 5. C¸c kÕt qu¶ ® ®¹t ®−îc ® kh¼ng ®Þnh tÝnh h÷u hiÖu cña ph−¬ng ph¸p vµ më ra kh¶ n¨ng gi¶i quyÕt c¸c bµi to¸n « nhiÔm trªn m¸y tÝnh ®iÖn tö
Tãm t¾t Trong bµi b¸o nµy chóng t«i ®−a ra m« h×nh cña bµi to¸n « nhiÔm khÝ quyÓn ®ång thêi chøng minh sù tån t¹i vµ duy nhÊt nghiÖm cña bµi to¸n, ®Ò xuÊt ph−¬ng ph¸p ph©n r gi¶i xÊp xØ bµi to¸n vµ chøng tá sù héi tô cña nghiÖm xÊp xØ, c¸c kÕt qu¶ thùc nghiÖm ® kh¼ng ®Þnh tÝnh kh¶ thi cña ph−¬ng ph¸p. Summary This paper is to present a problem of air polution and to prove the existence and uniqueness of the solution of. Along with this, we present dispersion method for solving this problem and prove the convergence of the solution and experimental results, which will help to assure the feasibility of this method. Tµi liÖu tham kh¶o [1] Dang Quang A (2002), “Monotone difference schemes for solving some problems of air polution”, Advances in Nature Sciences, 3(4), pp. 297-304. [2] Dang Quang A & Ngo Van Luoc (1992), “Extract solution of astationary problem of air pollution”, Proc. of the NCST of Vietnam, 4(2), pp. 39-46. [3] Dang Quang A & Nguyen Dong Anh (1996), “On numerical modeling for dispersion of active pollutants from an elevated point source”, Vietnam Journal of math, 24(3), pp. 315-325. [4] Ngo Van Luoc, Dang Quang A & Nguyen Cong Dieu (1993), “Analytic and numerical solution of some problems of air pollution”, SEA Bull. Math, pp. 105-117. [5] Marchuk, G. I. (1974), Numerical Methods in environmental problems, Moscow, Nauka (Russian). [6] Marchuk, G. I. (1989), Methods of numerical mathematics, Moscow, Nauka (Russian). [7] NguyÔn C«ng §iÒu (1993), “Gi¶i sè bµi to¸n « nhiÔm khÝ quyÓn b»ng ph−¬ng ph¸p lu©n h−íng”, Tin häc vµ ®iÒu khiÓn, 9(2), pp. 14-21.