Các định luật của niu-Tơn và phương trình vi phân chuyển động

-135- Phần 3 Động lực học Ch−ơng 11 Các định luật của niu-tơn và ph−ơng trình vi phân chuyển động 11.1. Các khái niệm cơ bản Động lực là phần tổng quát của cơ học. Động lực học nghiên cứu chuyển động của vật thể d−ới tác dụng của lực. Động lực học thiết lập các định luật liên hệ giữa lực tác dụng với những đặc tr−ng động học và áp dụng các định luật đó có thể giải các bài toán kỹ thuật. Vật thể trong động lực học đ−ợc xét d−ới dạng mô hình : chất điểm, cơ hệ, vật rắn. Chất điểm là một điểm hình học có mang khối l−ợng. Chất điểm là mô hình đơn giản nhất và cơ bản nhất của vật thể trong động lực học. Cơ hệ là tập hợp nhiều chất điểm chuyển động phụ thuộc lẫn nhau. Vật rắn là cơ hệ đặc biệt khi khoảng cách giữa hai chất điểm bất kỳ trong đó luôn luôn không đổi. Khác với tĩnh học, lực trong động lực học có thể là không đổi, có thể biến đổi cả về độ lớn và ph−ơng chiều. Lực phụ thuộc vào thời gian nh− lực kéo đầu máy, phụ thuộc vào vị trí của vật nh− lực hấp dẫn, lực đàn hồi của lò xo, phụ thuộc vào vận tốc nh− lực cản của không khí. Một cách tổng quát trong động lực học lực là một hàm của thời gian, vị trí và vận tốc. Ta có : ( )v,r,tFF rrrr = . Trong động lực học các lực đ−ợc phân chia thành nội lực, ngoài lực hay hoạt lực và phản lực liên kết. Nội lực ký hiệu là iF r . iF r là lực tác động t−ơng hỗ -136- giữa các chất điểm trong một cơ hệ. Ngoại lực ký hiệu là các lực do chất điểm hay vật thể ngoài hệ tác dụng vào hệ. Phản lực liên kết ký hiệu eF r N r là lực tác dụng do các vật gây liên kết lên cơ hệ khảo sát. Hoạt lực là các lực tác dụng lên cơ hệ không kể phản lực liên kết, th−ờng ký hiệu là F a r Để khảo sát chuyển động của vật bao giờ cũng chọn tr−ớc một hệ quy chiếu. Hệ quy chiếu không phụ thuộc vào thời gian gọi là hệ quy chiếu quán tính, ng−ợc lại hệ quy chiếu phụ thuộc vào thời gian gọi là hệ quy chiếu không quán tính . 11.2. Các định luật của Niu -Tơn Cơ sở lý luận của động lực học chủ yếu là các định luật của NIU - TON. I-sác Niu Tơn (1643-1727) là nhà bác học lỗi lạc đã đặt nền móng cho cơ học cổ điển và đã xây dựng lý thuyết cơ học hoàn thiện cân đối. Vì thế cơ học cổ điển còn gọi là cơ học Niu - Tơn. Sau đây giới thiệu các định luật của Niu - Tơn và xem nh− là hệ tiền đề của cơ học. Định luật 1(Định luật quán tính) Chất điểm không chịu tác dụng của lực nào sẽ đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều. Trạng thái đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều là trạng thái chuyển động theo quán tính. Khi chuyển động theo quán tính chất điểm sẽ có : và constv =r 0w =r . Định luật 2 (định luật cơ bản của động lực học ) D−ới tác dụng của lực chất điểm sẽ chuyển động với gia tốc cùng ph−ơng chiều với lực (hình 9-1) M v F W Hình 11.1 W.mF rr = -137- m là hệ số tỷ lệ, phụ thuộc vào l−ợng vật chất có trong chất điểm. Theo định luật này lực là nguyên nhân làm cho chất điểm chuyển động có gia tốc. Biểu thức (11-1) cho thấy : Nếu lực F r không đổi m càng lớn càng nhỏ và ng−ợc lại, điều đó chứng tỏ kkối l−ợng m là số do quán tính của vật (tính ỳ của vật) W r Từ hệ thức (11-1) nếu lực là trọng l−ợng của vật sẽ có :P = mg. ở đây g đ−ợc gọi là gia tốc trọng tr−ờng. Hệ thức (11-1) gọi là ph−ơng trình cơ bản của động lực học. Định luật 3 (định luật về tính độc lập tác dụng của lực) D−ới tác dụng đồng thời của một hệ lực chất điểm sẽ chuyển động với gia tốc bằng tổng hình học các gia tốc mà chất điểm thu đ−ợc khi nó chịu tác dụng độc lập từng lực một . n21 w.....www rrrr +++= . (11-2) wr là gia tốc của chất điểm khi hệ lực cùng tác dụng đồng thời ; là gia tốc của chất điểm khi nó chịu tác dụng từng lực: độc lập . n21 w,w,w rrr n21 F,....F,F rrr Từ hệ (11-2) nếu nhân hai vế với khối l−ợng m sẽ đ−ợc : n21 wm.....wmwmwm rrrr +++= Theo định luật hai thì : Do đó ta có : ∑ = =+++= n 1i n21 FF.....FFwm rrrrr (11-3) Hệ thức (11-3) là ph−ơng trình cơ bản của động lực học khi chất điểm chịu một hệ lực tác dụng. Định luật 4 (định luật tác dụng và phản tác dụng ) -138- Lực tác dụng t−ơng hỗ giữa hai chất điểm là những lực cùng ph−ơng, cùng độ lớn và ng−ợc chiều. Định luật này mô tả tác dụng t−ơng hỗ giữa hai chất điểm và là cơ sở nghiên cứu cho động lực học của hệ. Cần chú ý rằng hai lực t−ơng hỗ không phải là một cặp lực cân bằng vì chúng đặt lên hai chất điểm khác nhau. 11-3. Ph−ơng trình vi phân chuyển động của chất điểm và cơ hệ. Xét chất điểm chuyển động trong hệ quy chiếu quán tính oxyz, d−ới tác dụng của các lực n321 F,....F,F,F rrrr . Đối với chất điểm tự do các lực này là các hoạt lực đặt lên chất điểm. Đối với chất điểm không tự do các lực này bao gồm cả hoạt lực và phản lực liên kết. Căn cứ vào ph−ơng trình cơ bản của động lực học ta có thể thành lập ph−ơng trình vi phân chuyển động của chất điểm d−ới các dạng khác nhau. 11.3.1.Dạng véc tơ Gọi véc tơ định vị của chất điểm là rr ta có : r dt rdw 2 2 && rr == Khi đó ph−ơng trình cơ bản viết cho chất điểm nh− sau : ∑ = = n 1i 12 2 F dt rdm rr (11-4) Ph−ơng trình vi phân (11-4) đ−ợc gọi là ph−ơng trình vi phân chuyển động của chất điểm d−ới dạng véc tơ. 11.3.2. Dạng toạ độ Đề các Chiếu ph−ơng trình (9-4) lên các trục toạ độ oxyz sẽ đ−ợc : -139- ; ∑ = = n 1i iXxm && ; (11-5) ∑ = = n 1i iYym && . ∑ = = n 1i iZzm && ở đây x, y, z là toạ độ của chất điểm trong hệ oxyz, còn Xi, Yi, Zi là hình chiếu của lực lên các trục ox, oy, oz. iF r Hệ ph−ơng trình (11-5) đ−ợc gọi là hệ ph−ơng trình vi phân chuyển động của chất điểm d−ới dạng toạ độ Đề các. 11.3.3. Dạng toạ độ tự nhiên Gọi Wτ, Wη, Wβ là hình chiếu của gia tốc điểm và Fi τ, Fi η, Fi β là hình chiếu của Fi lên các trục của hệ toạ độ tự nhiên. Sau khi chiếu ph−ơng trình (11- 4) lên các trục của hệ toạ độ tự nhiên ta đ−ợc : ; ∑ = ττ == n 1i iFsmmw && ∑ = ηη =ρ= n 1i i 2 Fvmmw ; (11-6) . ∑ = ββ == n 1i iF0mw Đối với cơ hệ chúng ta có thể tách một chất điểm trong hệ ra để xét. Gọi hợp các ngoại lực tác dụng lên chất điểm thứ k đ−ợc tách ra là và hợp các nội lực tác dụng lên nó là . keF r kiF r Ph−ơng trình vi phân chuyển động của chất điểm viết d−ới dạng véc tơ : kekikk FFwm rrr += Trong đó mk và là khối l−ợng và gia tốc của chất điểm thứ k . kw r -140- Khi xét tất cả các chất điểm ta sẽ thu đ−ợc N ph−ơng trình sau : e1i111 FFwm rrr += ; e2i2122 FFwm rrr += ; (11-7) ........................... neninn FFwm rrr += . Hệ ph−ơng trình (11-7) đ−ợc gọi là hệ ph−ơng trình vi phân chuyển động của hệ d−ới dạng véc tơ. Nếu chiếu hệ ph−ơng trình (11.7) lên các trục của hệ toạ độ Đề các hoặc hệ toạ độ tự nhiên ta sẽ đ−ợc hệ ph−ơng trình vi phân chuyển động của cơ hệ d−ới dạng toạ độ Đề các và hệ toạ độ tự nhiên. 11-4. Hai bài toán cơ bản của động lực học Từ ph−ơng trình vi phân chuyển động của chất điểm ta thấy trong động lực học có hai bài toán cơ bản sau đây : - Bài toán cơ bản thứ nhất: Cho biết chuyển động của chất điểm xác định lực đã gây ra chuyển động đó. Bài toán này gọi là bài toán thuận. - Bài toán cơ bản thứ hai: Cho biết các lực tác dụng lên chất điểm và điều kiện ban đầu của chuyển động xác định quy luật chuyển động của chất điểm. Bài toán này gọi là bài toán nghịch. Sau đây giới thiệu cách giải hai bài toán cơ bản nói trên. Đối với bài toán thứ nhất ta thiết lập ph−ơng trình vi phân của chuyển động chất điểm. Từ ph−ơng trình vi phân ta xác định đ−ợc lực tác dụng lên từng chất điểm. Điều cơ bản của bài toán là xác định gia tốc của chất điểm điều này đã đ−ợc giải quyết trong động học. Đối với bài toán thứ hai, ta thay lực vào vế phải của ph−ơng trình vi phân sau đó tích phân ph−ơng trình vi phân tìm đ−ợc. Để tìm dạng chuyển động cụ thể ta xác định hằng số tích phân căn cứ vào các điều kiện ban đầu của chuyển động. Nếu ph−ơng trình vi phân viết d−ới dạng toạ độ Đề các sau khi lấy tích phân hai -141- lần sẽ xuất hiện 6 hằng số tích phân, nghĩa là các nghiêm x, y, z thu đ−ợc là các hàm của thời gian và 6 hằng số tích phân đó : x=f1(t,C1,C2....C6) y= f2(t,C1,C2....C6) z= f3(t,C1,C2....C6) Các hằng số tích phân trên đ−ợc xác định từ các điều kiện ban đầu ; Khi t=0 x=x0 ; y=y0; z=z0 ; 000 zz;yy;xx &&&&&& === Thí dụ 11-1: Chất điểm có khối l−ợng m chuyển động theo đ−ờng enlip x=acoskt và y=bsinkt hãy tìm lực tác dụng lên chất điểm (hình 11-2). Bài giải : M O y b xa v F r Bài toán này thuộc bài toán cơ bản thứ nhất. Căn cứ vào ph−ơng trình chuyển động x=acoskt y=bsinkt Hình 11.2 Xác định đ−ợc : xkktcosakx 22 −==&& ; ; ykktsinbky 22 −==&& Ta có ph−ơng trình vi phân chuyển động nh− sau : xmkFmx 2x −==&& ymkFmy 2y −==&& Lực tác dụng lên chất điểm sẽ là F với : rmkyxmkFFF 22222y 2 x =+=+= -142- Các góc chỉ ph−ơng của F r là : r x F F)x,Fcos( x −== r y F F )y,Fcos( y −== Mặt khác ta cũng có : r x)x,rcos( = r y)y,rcos( = Dễ dàng nhận thấy F r cùng ph−ơng nh−ng ng−ợc chiều với véc tơ định vị rr của chất điểm. Ta có : rmkF r r −= . Thí dụ 11-2 : Để phân loại hạt ng−ời ta cho hạt đi qua một sàng dao động ngang có nhiều lỗ. Biết rằng vận tốc của hạt khi bắt đầu chuyển động qua lỗ (hình 11-3). Hạt có hình dạng cầu, bán kính R. Bỏ qua lực cản của không khí xác định độ dài bé nhất b của lỗ để hạt có thể rơi qua lỗ đ−ợc. 0v r -143- Bài giải: Để hạt rơi qua lỗ sàng trọng tâm của hạt tại vị trí bất đầu chạm mép bên kia của lỗ phải nằm d−ới mặt phẳng ngang của sàng. Để giải quyết đ−ợc điều kiện đó ta xác định quãng đ−ờng hạt đi đ−ợc theo ph−ơng ngang (ph−ơng ox) khi tâm hạt rơi xuống đ−ợc một đoạn x=R. Lực tác dụng lên hạt coi nh− đã biết đó là trọng l−ợng bản thân của nó. Bài toán ở đây thuộc loại bài toán cơ bản thứ hai. R b v→o x y Hình Chọn hệ toạ độ oxy gắn với sàng (hình 11-3) coi sàng đứng yên còn hạt chuyển động so với sàng. Lực tác dụng lên hạt có : Fy = 0 Fx = +mg. Ph−ơng trình vi phân chuyển động của hạt viết đ−ợc : mgxm =&& ; hay ; gx =&& 0ym =&& ; hay ; 0y =&& Tích phân hai vế ph−ơng trình trên ta đ−ợc : Cgtx +=& 21 2 CtC 2 gtx ++= 3Cy =& 43 CtCy += Để xác định hằng số tích phân ta dựa vào điều kiện đầu đã cho của chuyển động. Khi t = 0 suy ra C0xx && = 1=0 x=x0 suy ra C4=0. Thay vào nghiệm đã tìm đ−ợc ta có : 2 gtx 2 = tvy 0= -144- Ph−ơng trình quỹ đạo thu đ−ợc : g x2vy 0= Khi x=R thì g R2vRby 0=−= Suy ra g R2vRb 0+= Để hạt chắc chắn rơi qua lỗ ta phải có : g R2vRb 0+≥ Thí dụ 11.3 : Một chất điểm có khối l−ợng m chuyển động trong mặt phẳng ngang d−ới tác dụng của lực hút về tâm O là rmkF 2 r r −= . ở đây rr là véc tơ định vị còn k là hệ số tỷ lệ. Hãy tìm ph−ơng trình chuyển động và quỹ đạo của chất điểm. Cho biết tại thời điểm ban đầu t0 = 0 , x0 = 1 , y0 = 0 , 0x =& , 0vy =& (hình 11-4) Bài giải: Bài toán này thuộc bài toán cơ bản thứ hai. Ph−ơng trình vi phân chuyển động của chất điểm viết d−ới dạng véc tơ : rmkWm 2 r r −= chọ hệ toạ độ oxy nh− hình vẽ ta có thể thiết lập ph−ơng trình vi phân d−ới dạng toạ độ Đề các nh− sau : mxkxm 2−=&& mykym 2−=&& Khử khối l−ợng m ở hai vế ph−ơng trình trên ta đ−ợc : M y x y F O l x Hình 11.4 -145- 0xkx 2 =−=&& 0yky 2 =−=&& Nghiệm tổng quát của hai ph−ơng trình có dạng: x=c1coskt + c2sinkt y=c3coskt + c4sinkt Các hằng số tích phân c1, c2, c3, c4 đ−ợc xác định từ các điều kiện đầu của chuyển động. Ki t =t0 = 0 có : x = x0 = l = C1; 2kC0x ==& y = y0 = 0 = C3; 40 kCvy ==& Suy ra : C1 = 1; C2 = 0; C3 = 0; và C4 = v0/k Ph−ơng trình chuyển động chất điểm đ−ợc viết : x=lcoskt; y = (v0sinkt)/k Khử t trong ph−ơng trình trên sẽ tìm đ−ợc ph−ơng trình quỹ đạo dạng 1 k/v y l x 22 0 2 2 2 =+ Đây là ph−ơng trình đ−ờng enlip nhận các trục ox, oy là trục Thí dụ 11-4: Con lắc toán học gồm chất điểm M có khối l−ợng m treo vào đầu sợi dây không dãn và không trọng l−ợng, chuyển động trong mặt phẳng thẳng đứng. Xác định phản lực N của dây (hình vẽ 11-5). Cho biết lúc đầu con lắc ở vị trí M0 và có vận tốc v0 ϕ ϕo P → h τ N → Mo vo → M Bài giải : Xét chuyển động của chất điểm M. Các Hình 11.5 -146- lực tác dụng lên nó gồm P và N. Có thể thiết lập ph−ơng trình vi phân viết d−ới dạng tọa độ t− nhiên nh− său : ϕ−=ϕ−= sinmgsinPsm && (a) NcosmgNcosPVm 2 +ϕ−=+ϕ−=ρ (b) Thay lϕ = s vào ph−ơng trình (a) Ta đ−ợc : ϕ−=ϕ sinmgml && hay : 0sin l g =ϕ+ϕ&& Xét dao động là nhỏ lấy sinϕ ≈ ϕ, ta có (c) Trong đó : 0k2 =ϕ+ϕ&& l gk2 = Nghiệm tổng quát của ph−ơng trình này là : ϕ = Asin(kt + ∝) A, ∝ là hằng số đ−ợc xác định bằng điều kiện đầu của chuyển động . Để tìm N căn cứ vào ph−ơng trình (b). Ta có : ϕ+= cosmg l mvN 2 Để tính v2 ta chú ý : ϕ ωω=ϕϕ ω=ω=ϕ d d dt d d d dt d dt d2 Thay kết quả trên vào ph−ơng trình ( c) ta có : 0sin l g =ϕ+ϕ&& ta có : ϕ−=ωω sin l g dt d ccos l gd +ϕ−=ωω -147- Hằng c đ−ợc xác định từ điều kiện ban đầu. Gọi góc ban đầu và vận tốc góc ban đầu kà ϕ0 và ω0 ta sẽ có : 02 2 0 0 2 0 cos l g l2 vcos l g 2 c ϕ−=ϕ−ω= Thay c vào biểu thức (c) ta đ−ợc : 02 2 02 cos l g l vcos l g2 ϕ−+ϕ=ω ; 0 2 0 222 cos(cosgl2vlv ϕ−ϕ+=ω= Cuối cùng nhận đ−ợc : )cos2cos3 gl v(PN 0 2 0 ϕ−ϕ+= Nh− vậy phản lực N phụ thuộc vào điều kiện ban đầu và vị trí của điểm M. Kết quả này cũng đúng cho cả khi dao động là không nhỏ.