Các định luật cơ bản phân tích mạch điện

Chương 2 CÁC ĐỊNH LUẬT CƠ BẢN PHÂN TÍCH MẠCH ĐIỆN Các định luật Kirrchoff • Hệ phương trình mạch điện trong miền thời gian • Các điều kiện đầu để giải hệ phương trình mạch điện bằng phương pháp tích phân • Phương pháp dòng điện vòng và phương pháp điện áp nút • Biến đổi Fourrier và hệ phương trình mạch điện trong miền tần số • Biến đổi Laplace và hệ phương trình mạch điện trong miền tần số phức • Công thức Héavisaid • Phương pháp nguồn tương đương • Phương pháp xếp chồng Định luật Kirrchoff 1 • Tổng đại số các dòng điện trong các nhánh nối vào một nút bằng không – Chọn chiều qui ước cho dòng điện trong các nhánh – Số phương trình độc lập tuyến tính viết theo định luật Kirrchoff 1 là N-1 ∑ = K k ti 0)( Định luật Kirrchoff 2 • Tổng đại số các điện áp trên các nhánh trong một vòng kín bằng tổng đại số các nguồn sức điện động kể cả nguồn dòng được chuyển thành nguồn sức điện động tương đương có mặt trong vòng kín đó – Chọn chiều qui ước cho vòng – Số phương trình độc lập tuyến tính viết theo định luật Kirrchoff 2 là M-N+1 ∑∑ = K k K k tetu )()( Hệ phương trình mạch điện trong miền thời gian • Một cách tổng quát số ẩn cần tìm gồm: – N dòng điện ik(t) và – N điện áp uk(t) trong tất cả các nhánh • Như vậy cần thiết lập 2N phương trình độc lập tuyến tính bao gồm: – N-1 phương trình theo định luật Kirrchoff 1 – M-N+1 phương trình theo định luật Kirrchoff 2 – N phương trình theo định luật Ohm Xác định các điều kiện đầu • Luật đóng ngắt trên các thông số quán tính – Dòng điện qua thông số điện cảm phải biến thiên liên tục ngay cả tại thời điểm xảy ra đột biến trên các thông số của mạch điện – Điện áp trên các thông số điện dung phải biến thiên liên tục ngay cả tại thời điểm xảy ra đột biến trên các thông số của mạch điện Xác định các điều kiện đầu • Luật đóng ngắt tổng quát – Từ thông móc vòng trên các thông số điện cảm trong một vòng kín phải biến thiên liên tục ngay cả tại thời điểm xảy ra đột biến trên các thông số của mạch điện – Tổng điện tích trong các thông số điện dung trên các nhánh nối vào một nút phải biến thiên liên tục ngay cả tại thời điểm xảy ra đột biến trên các thông số của mạch điện Phương pháp dòng điện vòng • Chọn các dòng điện vòng làm ẩn • Thiết lập công thức biến đổi vòng • Thay thế các dòng điện nhánh trong các phương trình theo định luật Kirrchoff 2 bằng các dòng điện vòng • Hệ phương trình dòng điện vòng nhận được gồm M- N+1 phương trình, đúng bằng số vòng cơ bản ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −= =∑ = lk lk lk a tiati kl L l vklk l vòng thuockhôngnhánh0 chiêu vòng nguocnhánh1 u vòngêchi cùngnhánh1 )()( 1 Phương pháp điện áp nút • Chọn một nút làm gốc (có điện áp bằng không) • Thiết lập công thức biến đổi nút cho tất cả các nhánh • Trường hợp có hai nhánh có ghép hỗ cảm với nhau, phải thiết lập hệ phương trình cho hai nhánh để giải và tìm ra quan hệ giữa hai dòng điện nhánh đó với các điện áp nút • Thay thế các dòng điện nhánh trong các phương trình theo định luật Kirrchoff 1 theo công thức biến đổi nút • Hệ phương trình điện áp nút nhận được có số phương trình bằng N-1 { }kBAkk euuYti +−=)( Nhận xét • Việc giải hệ phương trình mạch điện sẽ dễ dàng hơn khi số ẩn và số phương trình càng ít, vì vậy phương pháp dòng điện vòng và điện áp nút thường được sử dụng • Phương pháp tích phân để giải hệ phương trình vi phân tuyến tính chỉ hữu dụng đối với mạch đơn giản, chỉ có một hoặc hai vòng, khi mạch phức tạp hơn cần chuyển hệ phương trình mạch điện thành dạng hệ phương đại số tuyến tính Biến đổi Fourrier • Biến đổi thuận • Biến đổi ngược • Biến đổi F của đạo hàm • Biến đổi F của tích phân ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +=⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧= −=⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧= = −= ∫∫ ∫ ∫ ∞− − ∞ ∞− ∞ ∞− 0 1 1 )()(1)()( )0()()()( )exp()( 2 1)( )exp()()( dttsS j dttsFTS sSj dt tdsFTS djSts dtjtsS ωωω ωωω ωωωπ ωω Hệ phương trình mạch điện trong miền tần số • Áp dụng các công thức biến đổi Fourrier vào hệ phương trình mạch điện trong miền thời gian để chuyển sang miền tần số, sẽ thu được hệ phương trình đại số tuyến tính • Hệ phương trình dòng điện vòng trong miền tần số • Hệ phương trình điện áp nút trong miền tần số )()()( )()()( ωωω ωωω ngNNN VVV IUY EIZ = = Biến đổi Laplace ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +=⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −=⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ = ∞<− −= ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∞− ∞+ ∞− ∞ ∞ 0 0 0 )()(1)( )0()()( )exp()( 2 1)( )()exp( )exp()()( 1 1 dttssF s dttsLT fssF dt tdsLT dsstsF j tf dttft dtsttfsF j j σ σπ σ • Biến đổi thuận • Biến đổi ngược • Biến đổi L của đạo hàm • Biến đổi L của tích phân Hệ phương trình mạch điện trong miền biến đổi Laplace • Áp dụng các công thức biến đổi Laplace vào hệ phương trình mạch điện trong miền thời gian để chuyển sang miền biến đổi Laplace, sẽ thu được hệ phương trình đại số tuyến tính • Hệ phương trình dòng điện vòng trong miền biến đổi Laplace, • Hệ phương trình điện áp nút trong miền biến đổi Laplace, )()()( )()()( sIsUsY sEsIsZ ngNNN VVV = = Công thức Héavisaid • Nghiệm của hệ phương trình mạch điện trong miền biến đổi Laplace có dạng phân thức hữu tỷ • Tuỳ vào các nghiệm của H2(s), có thể tìm lại biểu thức trong miền thời gian theo các trường hợp sau ∏ ∏ ∑ ∑ = = = = − − === N k k M i i N k k k M i i i ss ss K sb sa sH sHsF 1 1 0 0 1 1 )( )( )( )()( Trường hợp H2(s) chỉ có nghiệm đơn • Được khai triển như sau • Biểu thức thời gian tương ứng ∑ ∑ = = = = −== N k kk k k k N k k k tsA sH sHA ss A sH sHsF 1 2 2 ' 1 12 1 )exp(f(t) (s)H cua nghiêm là s voi, )( )( )( )()( k Trường hợp H2(s) có cặp nghiệm phức liên hợp • Được khai triển như sau • Biểu thức thời gian tương ứng [ ]∑∑ ∑∑ −+ +== −+ +== ++= = = ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −+−+−== 2 11 * 2 ' * 1* 2 2 ' 1 2 1 * * 12 1 ])arg[cos(.2)exp(f(t) hoplien phuc nghiêm là *s voi, )( )( (s)H cua nghiêm là s voi, )( )( )( )()( k k pNp pk kk t k N k kk k k k k k k pNp pk k k k k p k k k AteAtsA sH sHA sH sHA ss A ss A ss A sH sHsF k ωσ Trường hợp H2(s) có nghiệm bội bậc r • Được khai triển như sau • Biểu thức thời gian tương ứng )exp(. )!1( )exp(f(t) ]))(( ! 1 (s)H cuađon nghiêm là s voi, )( )( )()( )()( 1 0 1 1 2 2 ' 1 1 1 02 1 lim[ k ts ir tA tsA sssF i A sH sHA ss A ss A sH sHsF l r i ir l rN k kk ir l ss l k k k rN k r i ir l l k k i l i i ∑∑ ∑ ∑ − = −−− = − → − = − = − −−+= −= = −+−== Phương pháp nguồn tương đương • Định lý Thévernil-Neurton – Nếu một mạch điện có thể chia làm hai phần, nối với nhau bằng 2 cực và không có ghép hỗ cảm từ với nhau, thì phần mạch có nguồn cung cấp có thể thay thế bằng một nguồn sức điện động tương đương với Etđ bằng điện áp hở mạch trên hai đầu cực và trở kháng tương đương bằng toán tử điện áp hở mạch chia cho dòng điện ngắn mạch • Các bước thực hiện – Chia mạch điện thành các phần nhỏ có nguồn tác động, sao cho mạch tổng thể sẽ đơn giản hơn – Chuyển đổi các phần mạch có nguồn thành nguồn sức điện đông tương đương – Vẽ lại sơ đồ tương đương để tính toán đáp ứng cần thiết Phương pháp xếp chồng • Nguyên lý xếp chồng: Đáp ứng của tổ hợp tuyến tính các tác động bằng tổ hợp tuyến tính của các đáp ứng thành phần • Đối với mạch tuyến tính bất biến, có thể áp dụng nguyên lý xếp chồng để phân tích theo các bước như sau – Cho từng nguồn tác động làm việc, các nguồn khác tạm thời thay thế bằng ngắn mạch nếu là nguồn áp, bằng hở mạch nếu là nguồn dòng – Tính toán đáp ứng cho từng nguồn riêng lẻ – Tổng hợp các đáp ứng thành phần Bài tập • Xem các bài tập có giải mẫu ở chương 2 • Làm các bài tập trang . . .