Các dạng toán đếm trọng tâm

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia! DẠNG 1. BÀI TOÁN ĐẾM NGƯỜI, VẬT Bài 1: Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách xếp trong mỗi trường hợp sau: 1. Bất cứ 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường với nhau. 2. Bất cứ 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường với nhau. Lời giải: 1. Giai ñoaïn 1: Xeáp choã ngoài cho hai nhoùm hoïc sinh, coù 2 caùch xeáp: A B A B A B B A B A B A B A B A B A A B A B A B Giai ñoaïn 2: Trong nhoùm hoïc sinh cuûa tröôøng A, coù 6! caùch xeáp caùc em vaøo 6 choã. Töôïng töï, coù 6! caùch xeáp 6 hoïc sinh tröôøng B vaøo 6 choã. Keát luaän: coù 2.6!6! = 1036800 caùch 2. Hoïc sinh thöù nhaát tröôøng A ngoài tröôùc: coù 12 caùch choïn gheá ñeå ngoài. Sau ñoù, choïn hoïc sinh tröôøng B ngoài ñoái dieän vôùi hoïc sinh thöù nhaát tröôøng A: coù 6 caùch choïn hoïc sinh tröôøng B. Hoïc sinh thöù hai cuûa tröôøng A coøn 10 choã ñeå choïn, choïn hoïc sinh tröôøng B ngoài ñoái dieän vôùi hoïc sinh thöù hai tröôøng A: coù 5 caùch choïn, v.v… Vaäy: coù 12.6.10.5.8.4.6.3.2.1.1 = 26.6!.6! = 33177600 caùch. Bài 2: Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta chọn ra 4 viên bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra không có đủ cả 3 màu? Lời giải: Soá caùch choïn 4 bi trong soá 15 bi laø: 415C = 1365. Caùc tröôøng hôïp choïn 4 bi ñuû caû 3 maøu laø: * 2 ñoû + 1 traéng + 1 vaøng: coù 2 1 14 5 6C C C = 180 * 1 ñoû + 2 traéng + 1 vaøng: coù 1 2 14 5 6C C C = 240 * 1 ñoû + 1 traéng + 2 vaøng: coù 1 1 24 5 6C C C = 300 Do ñoù soá caùch choïn 4 bi ñuû caû 3 maøu laø: 180 + 240 + 300 = 720 Vaäy soá caùch choïn ñeå 4 bi laáy ra khoâng ñuû 3 maøu laø: 1365 – 720 = 645. Bài 3: Người ta xếp ngẫu nhiên 5 lá phiếu có ghi số thứ tự từ 1 đến 5 cạnh nhau. 1. Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu số chẵn luôn ở cạnh nhau? 2. Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu phân thành hai nhóm chẵn lẻ riêng biệt (chẳng hạn 2, 4, 1, 3, 5)? Lời giải: 1. * Xeáp caùc phieáu soá 1, 2, 3, 5 coù 4! = 24 caùch. * Sau ñoù xeáp phieáu soá 4 vaøo caïnh phieáu soá 2 coù 2 caùch. Vaäy: coù 2.24 = 48 caùch xeáp theo yeâu caàu ñeà baøi. 2. * Khi nhoùm chaün ôû beân traùi, nhoùm leû ôû beân phaûi. Soá caùch xeáp cho 2 soá chaün laø 2! caùch. Soá caùch xeáp cho 3 soá leû laø: 3! caùch. Vaäy coù 2.6 = 12 caùch. * Töông töï cuõng coù 12 caùch xeáp maø nhoùm chaün ôû beân phaûi, nhoùm leû ôû beân traùi. Vaäy: coù 12 + 12 = 24 caùch. Bài 4: Người ta viết các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lên các tấm phiếu, sau đó xếp thứ tự ngẫu nhiên thành một hàng. 1. Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được sắp thành? 2. Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số được sắp thành? CÁC DẠNG TOÁN ĐẾM TRỌNG TÂM – P1 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia! Lời giải: Soá coù 6 chöõ soá khaùc nhau coù daïng: abcdef vôùi a ≠ 0 1. Vì soá taïo thaønh laø soá leû neân f ∈ {1, 3, 5}. Do ñoù: f coù 3 caùch choïn a coù 4 caùch choïn (tröø 0 vaø f) b coù 4 caùch choïn (tröø a vaø f) c coù 3 caùch choïn (tröø a, b, f) d coù 2 caùch choïn (tröø a, b, c, f) e coù 1 caùch choïn (tröø a, b, c, d, f) Vaäy: coù 3.4.4.3.2.1 = 288 soá 2. Vì soá taïo thaønh laø soá chaün neân f ∈ {0, 2, 4}. * Khi f = 0 thì (a,b,c,d,e) laø moät hoaùn vò cuûa (1,2,3,4,5). Do ñoù coù 5! soá * Khi f ∈ {2, 4} thì: f coù 2 caùch choïn a coù 4 caùch choïn b coù 4 caùch choïn c coù 3 caùch choïn d coù 2 caùch choïn e coù 1 caùch choïn Do ñoù coù 2.4.4.3.2.1 = 192 soá. Vaäy: coù 120 + 192 = 312 soá chaün. Bài 5: Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 5 cuốn sách Văn, 4 cuốn sách Nhạc và 3 cuốn sách Hoạ. Ông muốn lấy ra 6 cuốn và tặng cho 6 học sinh A, B, C, D, E, F mỗi em một cuốn. 1. Giả sử thầy giáo chỉ muốn tặng cho các học sinh trên những cuốn sách thuộc 2 thể loại Văn và Nhạc. Hỏi có bao nhiêu cách tặng? 2. Giả sử thầy giáo muốn rằng sau khi tặng sách xong, mỗi một trong ba loại sách trên đều còn lại ít nhất một cuốn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? Lời giải: 1. Soá caùch taëng laø soá caùch choïn 6 cuoán saùch töø 9 cuoán coù keå thöù töï. Vaäy soá caùch taëng laø 69A = 60480 2. Nhaän xeùt: khoâng theå choïn sao cho cuøng heát 2 loaïi saùch. Soá caùch choïn 6 cuoán saùch töø 12 cuoán saùch laø: 612A = 665280 Soá caùch choïn sao cho khoâng coøn saùch Vaên laø: 56A .7 = 5040 Soá caùch choïn sao cho khoâng coøn saùch Nhaïc laø: 4 26 8A .A = 20160 Soá caùch choïn sao cho khoâng coøn saùch Hoaï laø: 3 36 9A .A = 60480 Soá caùch choïn caàn tìm laø: 665280 – (5040 + 20160 + 60480) = 579600 Bài 6: Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lí nam. Lập một đoàn công tác 3 người cần có cả nam và nữ, cần có cả nhà toán học và nhà vật lí. Hỏi có bao nhiêu cách? Lời giải: Soá caùch choïn 1 nhaø toaùn hoïc nam, 1 nhaø toaùn hoïc nöõ, 1 nhaø vaät lí nam laø: 1 1 15 3 4C .C .C = 5.3.4 = 60 Soá caùch choïn 1 nhaø toaùn hoïc nöõ, 2 nhaø vaät lí nam laø: 1 23 4C .C = 18 Soá caùch choïn 2 nhaø toaùn hoïc nöõ, 1 nhaø vaät lí nam laø: 2 13 4C .C = 12 Vaäy: coù 60 + 18 + 12 = 90 caùch choïn Bài 7: Một đội văn nghệ có 20 người, trong đó có 10 nam và 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 người sao cho: 1. Có đúng 2 nam trong 5 người đó. 2. Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người đó. Lời giải: 1. Choïn 2 nam vaø 3 nöõ: coù 2 310 10C .C = 5400 caùch. 2. Coù ít nhaát 2 nam vaø 1 nöõ, coù caùc kieåu choïn sau: * 2 nam vaø 3 nöõ: coù 5400 caùch Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia! * 3 nam vaø 2 nöõ: coù 3 210 10C .C = 5400 caùch * 4 nam vaø 1 nöõ: coù 4 110 10C .C = 2100 caùch Vaäy coù: 5400 + 5400 + 2100 = 12900 caùch. Bài 8: Có 9 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ, 4 viên bi vàng có kích thước đôi một khác nhau. 1. Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó có đúng 2 viên bi đỏ. 2. Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ. Lời giải: 1. Coù: 25C caùch choïn ra 2 vieän bi ñoû. 413C caùch choïn ra 4 vieân bi coøn laïi. Vaäy coù: 25C . 4 13C = 7150 caùch choïn 2. Coù caùc tröôøng hôïp xaûy ra: * 3 xanh, 3 ñoû, 0 vaøng → coù 3 39 5C .C caùch * 2 xanh, 2 ñoû, 2 vaøng → coù 2 2 29 5 4C .C .C caùch * 1 xanh, 1 ñoû, 4 vaøng → coù 1 1 49 5 4C .C .C caùch Vaäy coù taát caû: 3 39 5C .C + 2 2 2 9 5 4C .C .C + 1 1 4 9 5 4C .C .C = 3045 caùch. Bài 9: Có 5 thẻ trắng và 5 thẻ đen, đánh dấu mỗi loại theo các số 1, 2, 3, 4, 5. Có bao nhiêu cách sắp xếp tất cả các thẻ này thành một hàng sao cho hai thẻ cùng màu không nằm liền nhau. Lời giải: Coù 2 khaû naêng: 1. Caùc theû traéng ôû vò trí leû, caùc theû ñen ôû vò trí chaün → coù 5!5! caùch 2. Caùc theû traéng ôû vò trí chaün, caùc theû ñen ôû vò trí leû → coù 5!5! caùch Vaäy taát caû coù: 5!5! + 5!5! caùch. Bài 10: Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người. Trong ngày, cần cử 3 người làm nhiệm vụ ở địa điểm A, 2 người ở địa điểm B, còn 4 người thường trực tại đồn. Hỏi có bao nhiêu cách phân công? Lời giải: Coù taát caû: = =3 2 4 2 2 49 6 9 5 9 7C .C C .C C .C = 1260 caùch Bài 11: Một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách cử 3 người đi dự hội nghị Hội sinh viên của trường sao cho trong 3 người đó có ít nhất một cán bộ lớp. Lời giải: Coù 2 khaû naêng: * 1 caùn boä lôùp vaø 2 hoïc sinh thöôøng: coù 1 22 18C .C * 2 caùn boä lôùp vaø 1 hoïc sinh thöôøng: coù 2 12 18C .C Vaäy soá choïn laø: 1 22 18C .C + 2 1 2 18C .C = 324 caùch. Bài 12: Xếp 3 viên bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 viên bi xanh giống nhau vào một dãy 7 ô trống. Hỏi: 1. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau? 2. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau sao cho 3 viên bi đỏ xếp cạnh nhau và 3 viên bi xanh xếp cạnh nhau? Lời giải: 1. Tröôùc heát xeáp 3 vieân bi ñoû vaøo 7 oâ troáng. Do caùc vieân bi ñoû khaùc nhau neân soá caùch xeáp laø 37A . Sau ñoù xeáp 3 vieân bi xanh vaøo 4 oâ coøn laïi. Do caùc vieân bi xanh gioáng nhau neân soá caùch xeáp laø 34C . Vaäy soá caùch xeáp khaùc nhau laø: 37A . 3 4C = 840 caùch. 2. Tröôùc heát ta caàn chuù yù veà maøu, ñeå ñoû ñöùng caïnh nhau vaø xanh ñöùng caïnh nhau chæ coù 6 caùch xeáp. Sau ñoù, do caùc vieân bi ñoû khaùc nhau, neân ta hoaùn vò caùc vieân bi ñoû vôùi nhau. Soá caùc hoaùn vò laø 3! Vaäy soá caùch xeáp khaùc nhau ñeå caùc vieân bi ñoû ñöùng caïnh nhau vaø caùc vieân bi xanh ñöùng caïnh nhau laø: 6.3! = 36 caùch. Bài 13: Cho A là một hợp có 20 phần tử. 1. Có bao nhiêu tập hợp con của A? 2. Có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng của A mà có số phần tử là số chẵn? Lời giải: Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia! 1. Soá taäp con cuûa A laø: + + + +0 1 2 2020 20 20 20C C C ... C = 2 20 2. Soá taäp con khaùc roãng cuûa A coù soá phaàn töû chaün laø: T = + + +2 4 2020 20 20C C ... C Ta coù: 0 = (1 – 1)20 = − + − +0 1 2 2020 20 20 20C C C ... C ⇒ + + + +0 2 4 2020 20 20 20C C C ... C = + + + 1 3 19 20 20 20C C ... C ⇒ + + + +0 1 2 2020 20 20 20C C C ... C = 2 ( )+ + + +0 2 4 2020 20 20 20C C C ... C ⇒ T = + + +2 4 2020 20 20C C ... C = − 20 0 20 2 C 2 = 219 – 1. Bài 14: Một lớp có 10 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Cần chọn ra 5 học sinh để đi làm công tác “Mùa hè xanh”. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu trong 5 học sinh đó phải có ít nhất: 1. Hai học sinh nữ và hai học sinh nam. 2. Một học sinh nữ và một học sinh nam. Lời giải: 1. Neáu trong 5 hoïc sinh phaûi coù ít nhaát 2 hoïc sinh nöõ vaø 2 hoïc sinh nam thì coù 2 tröôøng hôïp: * 2 nam vaø 3 nöõ: coù 2 310 10C .C caùch. * 3 nam vaø 2 nöõ: coù 3 210 10C .C caùch. Vaäy taát caû coù: 2. 2 310 10C .C = 10800 caùch. 2. Neáu trong 5 hoïc sinh phaûi coù ít nhaát 1 hoïc sinh nöõ vaø 1 hoïc sinh nam thì coù 4 tröôøng hôïp: * 1 nam vaø 4 nöõ: coù 1 410 10C .C caùch. * 2 nam vaø 3 nöõ: coù 2 310 10C .C caùch. * 3 nam vaø 2 nöõ: coù 3 210 10C .C caùch. * 4 nam vaø 1 nöõ: coù 4 110 10C .C caùch. Vaäy taát caû coù: 2. 1 410 10C .C + 2. 2 3 10 10C .C = 15000 caùch. Bài 15: Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy? Lời giải: Soá caùch choïn 4 hoïc sinh töø 12 hoïc sinh ñaõ cho laø: 412C = 495 Soá caùch choïn 4 hoïc sinh maø moãi lôùp coù ít nhaát moät em ñöôïc tính nhö sau: • Lôùp A coù 2 hoïc sinh, caùc lôùp B, C moãi lôùp 1 hoïc sinh. ⇒ Soá caùch choïn laø: 2 1 15 4 3C C C = 120 • Lôùp B coù 2 hoïc sinh, caùc lôùp A, C moãi lôùp 1 hoïc sinh: ⇒ Soá caùch choïn laø: 1 2 15 4 3C C C = 90 • Lôùp C coù 2 hoïc sinh, caùc lôùp A, B moãi lôùp 1 hoïc sinh: ⇒ Soá caùch choïn laø: 1 1 25 4 3C C C = 60 Soá caùch choïn 4 hoïc sinh maø moãi lôùp coù ít nhaát moät hoïc sinh laø: 120 + 90 + 60 = 270 Vaäy soá caùch choïn phaûi tìm laø: 495 – 270 = 225 caùch. Bài 16: Từ một nhóm gồm 15 học sinh khối A, 10 học sinh khối B, 5 học sinh khối C, chọn ra 15 học sinh sao cho có ít nhất 5 học sinh khối A và đúng 2 học sinh khối C. Tính số cách chọn. Lời giải: • Soá caùch choïn 2 hoïc sinh khoái C laø: 25C = 10 • Choïn 13 hoïc sinh trong soá 25 hoïc sinh khoái A vaø B. Soá caùch choïn baát kì laø: 1325C = 5200300 Soá caùch choïn ñöôïc 4 hoïc sinh khoái A vaø 9 hoïc sinh khoái B laø: 4 915 10C C Soá caùch choïn ñöôïc 3 hoïc sinh khoái A vaø 10 hoïc sinh khoái B laø: 3 1015 10C C ⇒ Soá caùch choïn sao cho coù nhieàu nhaát 4 hoïc sinh khoái A laø: 4 915 10C C + 3 10 15 10C C = 13650 + 455 = 14105 Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia! ⇒ Soá caùch choïn sao cho coù ít nhaát 5 hoïc sinh khoái A laø: ( )− +13 4 9 3 1025 15 10 15 10C C .C C .C = 5186195 • Vaäy soá caùch choïn sao cho coù ít nhaát 5 hoïc sinh khoái A laø: ( ) − + 2 13 4 9 3 105 25 15 10 15 10C C C .C C .C = 51861950 Bài 17: Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ. Lời giải: Coù 1 43 12C C caùch phaân coâng caùc thanh nieân tình nguyeän veà tænh thöù nhaát. Vôùi moãi caùch phaân coâng caùc thanh nieân tình nguyeän veà tænh thöù nhaát, thì coù 1 42 8C C caùch phaân coâng caùc thanh nieân tình nguyeän veà tænh thöù hai. Vôùi moãi caùch phaân coâng caùc thanh nieân tình nguyeän veà tænh thöù nhaát vaø tænh thöù hai, thì coù 1 41 4C C caùch phaân coâng caùc thanh nieân tình nguyeän veà tænh thöù ba. Vaäy taát caû coù: 1 43 12C C . 1 4 2 8C C . 1 4 1 4C C = 207900 caùch phaân coâng. BÀI TẬP LUYỆN TẬP Baøi 1: Cho 10 câu hỏi, trong đó có 4 câu lý thuyết và 6 bài tập. Người ta cấu tạo thành các đề thi. Biết rằng trong mỗi đề thi phải gồm 3 câu hỏi, trong đó nhất thiết phải có ít nhất 1 câu lý thuyết và 1 bài tập. Hỏi có thể tạo ra bao nhiêu đề thi? ĐS: • Đề gồm 2 câu lý thuyết và 1 bài tập: 2 14 6. 36C C = • Đề gồm 1 câu lý thuyết và 2 bài tập: 1 24 6. 60C C = Vậy có: 36 + 60 = 96 đề thi. Baøi 2: Một lớp học có 40 học sinh, trong đó gồm 25 nam và 15 nữ. Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn một ban cán sự lớp gồm 4 em. Hỏi có bao nhiêu cách chọn, nếu: a) Gồm 4 học sinh tuỳ ý. b) Có 1 nam và 3 nữ. c) Có 2 nam và 2 nữ. d) Có ít nhất 1 nam. e) Có ít nhất 1 nam và 1 nữ. ĐS: a) 440C b) 1 325 15.C C c) 2 225 15.C C d) 1 3 2 2 3 1 425 15 25 15 25 15 25. . .C C C C C C C+ + + e) 4 4 440 25 15C C C− − Baøi 3: Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau. Người ta muốn chọn từ đó ra 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy lên 3 bì thư đã chọn. Một bì thư chỉ dán 1 tem thư. Hỏi có bao nhiêu cách làm như vậy? ĐS: 1200. Baøi 4: Một túi chứa 6 viên bi trắng và 5 viên bi xanh. Lấy ra 4 viên bi từ túi đó, có bao nhiêu cách lấy được: a) 4 viên bi cùng màu? b) 2 viên bi trắng, 2 viên bi xanh? ĐS: a) 20. b) 150. Baøi 5: Từ 20 người, chọn ra một đoàn đại biểu gồm 1 trưởng đoàn, 1 phó đoàn, 1 thư ký và 3 ủy viên. Hỏi có mấy cách chọn? ĐS: 4651200. Baøi 6: Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ (các bông hoa xem như đôi một khác nhau), người ta muốn chọn ra một bó hóa gồm 7 bông, hỏi có bao nhiêu cách chọn bó hoa trong đó: a) Có đúng 1 bông hồng đỏ? b) Có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ? ĐS: a) 112 b) 150.