Bồi dưỡng khả năng phát hiện và sửa chữa sai lầm trong lời giải bài tập toán cho học sinh - Trần Việt Cường

Trần Việt Cường và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 103(03): 151 - 154 151 BỒI DƯỠNG KHẢ NĂNG PHÁT HIỆN VÀ SỬA CHỮA SAI LẦM TRONG LỜI GIẢI BÀI TẬP TOÁN CHO HỌC SINH Trần Việt Cường1*, Lê Văn Tuyên2 1Trường Đại học Sư phạm – ĐH Thái Nguyên, 2Sở Giáo dục và Đào tạo Tuyên Quang TÓM TẮT Nếu học sinh (HS) có khả năng phát hiện và sửa chữa sai lầm trong giải toán thì sẽ khắc phục được những sai lầm trong giải toán và phát triển các năng lực trí tuệ cho bản thân. Bài báo này, chúng tôi trình bày một số ví dụ theo hướng bồi dưỡng khả năng phát hiện và sửa chữa sai lầm trong giải bài tập toán cho HS. Từ khoá. Học sinh, sai lầm, bồi dưỡng, bài tập toán, sửa chữa. Giải toán có thể xem là một trong những hình thức chủ yếu của hoạt đông toán học của HS. Các bài toán là phương tiện hiệu quả trong việc làm cho HS nắm vững các tri thức, phát triển khả năng tư duy, hình thành các kĩ năng, kĩ xảo cho bản thân. Việc giáo viên (GV) tổ chức dạy học môn Toán cho HS hiệu quả sẽ góp phần nâng cao chất lượng dạy học Toán nói riêng và phát triển khả năng giải quyết vấn đề nói chung cho HS.* Thực tiễn dạy học đã cho thấy, chất lượng học toán của HS còn chưa cao, biểu hiện qua năng lực giải toán còn hạn chế do HS còn mắc nhiều sai lầm trong quá trình giải toán. Vì vậy, khả năng phát hiện và sửa chữa sai lầm của HS là một trong những mấu chốt để góp phần tăng tính hiệu quả của giờ học. Tư duy sai lầm trong hoạt động nhận thức, trong cuộc sống nói chung, trong giải toán nói riêng đem đến những tác hại lớn. Vì vậy, trong dạy học, việc phát hiện sớm những sai lầm của HS trong tư duy nói chung, tư duy giải toán nói riêng để giúp các HS kịp thời sửa chữa có một ý nghĩa rất quan trọng. HS nếu có được khả năng này thì việc học tập môn toán trở nên hiệu quả hơn. Mô tả cho khả năng này, chúng tôi minh hoạ bằng một số ví dụ sau: Ví dụ 1. “Giải bất phương trình 22 6 4 2 2x x x− + ≤ + (1)”. Một số HS giải như sau: Lời giải thứ nhất: Từ (1) ta có * Tel: 0978 626727, Email: tranvietcuong2006@gmail.com ( )222 6 4 2 2x x x− + ≤ + 2 7 0x x⇔ + ≥ 0 7 x x ≥ ⇔  ≤ − Vậy nghiệm của bất phương trình là 0x ≥ và 7x ≤ − . Lời giải thứ hai: Từ (1) ta có ( ) 2 22 72 6 4 0 0 1 2 6 4 2 2 2 x x x x x x x x ≤ − − + ≥ ⇔ ≤ ≤  − + ≤ +  ≥ (*). Vậy nghiệm của bất phương trình (1) là những giá trị của x thỏa mãn (*)”. Hãy nhận xét hai lời giải trên, chỉ ra chỗ chưa hợp lý trong mỗi cách giải và trình bày lại lời giải đúng của bài giải. Qua việc GV cho HS nghiên cứu hai lời giải trên và phân tích tính đúng sai của hai lời giải bài toán đó, HS sẽ nhận thấy được: Ở lời giải thứ nhất, HS đó đã không nắm rõ về bất phương trình tương đương, các phép biến đổi tương đương và việc HS đó làm được như vậy gần như là bản năng tự nhiên. Do đó, lời giải thứ nhất chưa chính xác. Ở lời giải thứ hai, HS đó đã lập luận như trên bởi họ nghĩ, với bất phương trình dạng ( ) ( )f x g x≤ , điều kiện của x là ( ) 0f x ≥ . Do vế trái không âm, mà vế phải không nhỏ hơn vế trái nên vế phải cũng không âm. Vì vậy, hai vế đều không âm, do đó có thể bình 154Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Trần Việt Cường và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 103(03): 151 - 154 152 phương hai vế để được bất phương trình tương đương [ ]2 ( ) 0 ( ) ( ) f x f x g x ≥  ≤ . Với lập luận như thế, HS sẽ đã tìm được 7; 0 1; 2x x x≤ − ≤ ≤ ≥ . Ở lời giải thứ hai, dễ thấy khi 7x ≤ − không thỏa mãn bất phương trình (1) do khi đó 2x + 2 < 0. Do đó, lời giải thứ hai là chưa chính xác. Những HS có mức độ nhận thức cao hơn sẽ nhận ra, nguyên nhân sai lầm là “Nếu vế trái dương, vế trái nhỏ hơn hoặc bằng vế phải thì vế phải sẽ dương” chỉ đúng với những giá trị của x là nghiệm của bất phương trình, do đó ( ) ( )f x g x≤ tương đương với [ ]2 ( ) 0 ( ) ( ) f x f x g x ≥  ≤ trên tập nghiệm của bất phương trình chứ không phải là tương đương trên tập xác định. Trong bài toán trên thực ra hệ điều kiện đầy đủ như sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 0 0  ≥  ≤ ⇔ ≥  ≤ f x f x g x g x f x g x . Lời giải đúng: Tập xác định của bất phương trình (1) là: 1 2 x x ≤  ≥ . Ta có (1) ( ) 2 22 2 6 4 0 2 2 0 2 6 4 2 2 x x x x x x  − + ≥  + ≥  − + ≤ + . 2 1 0 1 1 2 0 7 x x x x x x x  ≥  ≤ ≤ ≤ ⇔ ≥ − ⇔  ≥ ≥  ≤ − Vậy nghiệm của bài toán là 0 1x≤ ≤ và 2x ≥ . Ví dụ 2. “Cho ∆ABC biết AB = 3cm, AC = 5cm và BC = 7cm. Tính giá trị tích vô hướng .AB AC uuur uuur , độ lớn góc A và độ lớn góc giữa hai đường thẳng AB và AC. Một số HS giải như sau: Lời giải thứ nhất: Ta có . 3.5 15AB AC = = uuur uuur . Suy ra .cos 1| | . | | AB ACA AB AC = = uuur uuur uuur uuur . Vậy số đo của góc A bằng 00 hay góc giữa hai đường thẳng AB và AC là 00. Lời giải thứ hai. Ta có ( )2 2 21 15. 2 2AB AC AB AC BC= + − = − uuur uuur Suy ra . 1cosA = 2| | . | | AB AC AB AC = − uuur uuur uuur uuur . Vậy góc A bằng 1200 hay góc giữa hai đường thẳng AB và AC bằng 1200”. Hãy bình luận về hai lời giải trên, chỉ ra chỗ chưa hợp lý trong mỗi cách giải và trình bày lại lời giải đúng cho bài giải. Qua việc GV tiến hành tổ chức cho HS nghiên cứu hai lời giải trên và phân tích tính đúng sai của hai lời giải bài toán đó, HS sẽ nhận thấy được: Nếu HS có khả năng về giải toán sẽ nhận thấy ở lời giải thứ nhất, HS đó đã không nắm chắc các kiến thức về vectơ, độ dài véctơ và tích vô hướng của hai vectơ. Do đó lời giải thứ nhất là chưa chính xác. Nếu HS có khả năng về giải toán sẽ nhận thấy ở lời giải thứ hai, HS đó đã có sự nhầm lần về cách xác định góc giữa hai vectơ và góc giữa hai đường thẳng. Do đó lời giải thứ hai là chưa chính xác. Lời giải đúng: Ta có ( )2 2 21 15. 2 2AB AC AB AC BC= + − = − uuur uuur Suy ra . 1cos 2| | . | | AB ACA AB AC = = − uuur uuur uuur uuur . Vậy góc A bằng 1200 hay góc giữa hai đường thẳng AB và AC bằng 600. Ví dụ 3. Cho ∆ABC biết CA = a, CB = b. Lấy hai điểm A’, B’ sao cho ' , 'CA ma CB nb= = uuur r uuur r . Gọi I là giao điểm của A’B và B’A. Hãy biểu thị vectơ CI uur theo hai vectơ ,a b rr . 155Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Trần Việt Cường và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 103(03): 151 - 154 153 Một HS giải như sau: Ta có ' 'CA ma CA mCA= ⇔ = uuur r uuur uuur => 'CA m CA = ' ' 1 ' CA A A CA m + ⇒ = ' ' 1 CA m A A m ⇒ = − . Ta có ' 'CB nb CB nCB= ⇔ = uuur r uuur uuur => ' 'CB CB BB n n CB CB − = ⇒ = ' 1BB CB n ⇒ = . Vậy B chia đoạn B’C theo tỉ số 1 - n, A’ chia đoạn AC theo tỉ số 1 m m− và I chia đoạn AB’ theo tỉ lệ x. Ta có B, I, A’ thẳng hàng, áp dụng định lý Mênêlaúyt, ta có: (1 ). . 1 1 m n x m − = − 1 (1 ) ' m AI x m n IB − ⇒ = − Hay 1 . '(1 ) mIA IB m n − = − uur uuur 1 . '(1 ) 11 (1 ) mCA CB m nCI m m n − − − ⇒ = − − − uuur uuur uur (1 ) (1 ) 1 1 m n m mCA CB mn mn − − = + − − uuur uuur Hãy bình luận về lời giải bài toán trên, chỉ ra chỗ chưa hợp lý trong lời giải bài toán và trình bày lại lời giải bài giải cho hoàn chỉnh. Qua việc GV cho HS nghiên cứu và phân tích tính đúng sai của lời giải bài toán trên, HS sẽ nhận thấy được: Trong quá trình giải bài toán trên, HS đó đã xác định nhầm vị trí điểm I (I nằm trong ∆ABC). Mặc dù kết quả cuối cùng trong lời giải là đúng, nhưng lời giải này vẫn chưa chính xác, vì đã làm “thu hẹp” điều kiện của m, n là m > 0, n > 0. Mặt khác, HS đã xác định nhầm: Từ tỉ số của hai đoạn thẳng ' 1BB n CB = − đã suy ra ngay điểm B chia đoạn thẳng B’C theo tỉ số 1 - n và cũng làm tương tự như thế đối với điểm A’. Lời giải đúng: Vì I nằm trên A’B và AB’ nên tồn tại các số x và y sao cho: . ' (1 )CI x CA x CB= + − uur uuur uuur (1 ) 'yCA y CB= + − uuur uuur hay . . (1 ) (1 )x m a x b ya y nb+ − = + − r r r r Vì hai vectơ ar , b r không cùng phương nên ta có 1 1 (1 ) 1 mx y nhay x x n y mn = − = − = − − Vậy: (1 ) 11 1 1 m n nCI a b mn mn − −  = + −  − −  uur r r (1 ) (1 ) 1 1 m n n m a b mn mn − − = + − − r r Tóm lại, qua phân tích một vài ví dụ trên bước đầu cho chúng ta thấy, bồi dưỡng cho HS khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề trong giải bài tập toán sẽ giúp cho việc học tập môn toán trở nên hiệu quả, HS sẽ khắc phục được những sai lầm trong giải bài tập toán và giúp HS nắm vững các tri thức, phát triển tư duy, hình thành các kĩ năng, kĩ xảo cần thiết cho bản thân. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Lê Thị Thu Hà (2007), Rèn luyện kỹ năng giải toán cho HS bằng phương pháp véctơ trong chương trình hình học 10 (chương I, II - Hình học 10, sách giáo khoa nâng cao), Luận văn Thạc sỹ Giáo dục học. [2]. Nguyễn Bá Kim (2004), Phương pháp dạy học môn Toán, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm Hà Nội. [3]. Từ Đức Thảo (2012), Bồi dưỡng năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh trung học phổ thông trong dạy học Hình học, Luận án Tiến sĩ Giáo dục học. 156Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Trần Việt Cường và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 103(03): 151 - 154 154 SUMMARY FOSTERING THE ABILITY TO DETECT AND REPAIR MISTAKES IN MATH SOLUTION FOR STUDENTS Tran Viet Cuong1*, Le Van Tuyen2 1College of Education - TNU 2Education and Trainning Department of Tuyenquang If the student has the ability to detect and repair errors in computing will overcome the mistakes in the settlement and development of intellectual capacity for themselves. This paper, we present some examples in the direction of fostering the ability to detect and correct mistakes in solving the exercises for students. Keyword. Students, mistakes, fostering, math, correct mistakes. Ngày nhận bài:31/1/2013, ngày phản biện:22/2/2013, ngày duyệt đăng:26/3/2013 * Tel: 0978 626727, Email: tranvietcuong2006@gmail.com 157Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên