Biến cố ngẫu nhiên và xác suất

Chương 1 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT §1: PHÉP THỬ VÀ CÁC LOẠI BIẾN CỐ 1. Phép thử và biến cố. Trong tự nhiên và xã hội, mỗi hiện tượng đều gắn liền với một nhóm các điều kiện cơ bản và các hiện tượng đó chỉ có thể xảy ra khi nhóm các điều kiện cơ bản gắn liền với nó được thực hiện. Do đó khi muốn nghiên cứu một hiện tượng ta cần thực hiện nhóm các điều kiện cơ bản ấy. Nói cách khác, mỗi hiện tượng trong tự nhiên chỉ có thể xảy ra khi một số điều kiện cơ bản liên quan đến nó được thực hiện. Việc thực hiện một số điều kiện liên quan này được gọi là phép thử. Mỗi phép thử có thể có nhiều kết quả khác nhau, các kết quả này gọi là biến cố. Ví dụ1: a) Bật công tắc đèn, bóng đèn có thể sáng hoặc không sáng. Việc bật công tắc đèn là thực hiện một phép thử, còn bóng đèn sáng hoặc không sáng là những biến cố. b) Gieo một đồng xu (thực hiện một phép thử) hai biến cố có thể xảy ra: xuất hiện mặt sấp (biến cố A) hoặc xuất hiện mặt ngửa (biến cố B). c) Bắn một viên đạn vào bia (thực hiện phép thử): viên đạn trúng đích hoặc viên đạn không trúng đích là các biến cố. d) Gieo một con xúc xắc khối lập phương (thực hiện 1 phép thử) có thể có 6 khả năng xảy ra: xuất hiện mặt 1 chấm, xuất hiện mặt 2 chấm, …, xuất hiện mặt 6 chấm. Đó là 6 biến cố. e) Đặt một cốc nước ở điều kiện nhiệt độ thường, nước đóng băng hoặc không đóng băng là các biến cố. Vậy biến cố chỉ có thể xảy ra khi phép thử được thực hiện. Phép thử ngẫu nhiên là phép thử khi thực hiện thì người ta không đoán biết trước được kết quả nào trong số các kết quả có thể có của nó sẽ xảy ra. Phép thử trong lý thuyết phải hiểu theo một nghĩa rộng, đó là những thí nghiệm, sự quan sát, sự đo lường, … thậm chí là một quá trình sản xuất ra sản phẩm cũng được coi là một phép thử. 2. Phân loại biến cố: Trong thực tế biến cố được chia làm ba loại. Biến cố ngẫu nhiên: Là kết quả của phép thử ngẫu nhiên. Các biến cố ngẫu nhiên thường được ký hiệu bởi các chữ cái A, B, C … Biến cố chắc chắn: Là biến cố nhất định sẽ xảy ra khi phép thử được thực hiện. Biến cố chắc chắn ký hiệu là chữ U. Biến cố không thể có: Là biến cố không thể xảy ra khi phép thử được thực hiện. Biến cố không thể có được ký hiệu là chữ V. Ví dụ 2: Để cốc nước ở nhiệt độ bình thường () (phép thử), “nước đóng băng” là biến cố không thể có. Gieo một xúc sắc (thực hiện phép thử) thì Có các biến cố ngẫu nhiên như sau: Xuất hiện mặt 1 chấm … Xuất hiện mặt 6 chấm U: “ xuất hiện số chấm nhỏ hơn 7”à U là biến cố chắc chắn V: “ xuất hiện mặt 7 chấm”àV là biến cố không thể có Trong thực tế khi lấy ví dụ về biến cố chắc chắn và biến cố không thể có bao giờ cũng là những hiện tượng hiển nhiên hoặc vô lý trong khuôn khổ của phép thử. Tất cả các biến cố mà chúng ta gặp trong thực tế đều thuộc về một trong ba loại biến cố trên, tuy nhiên biến cố ngẫu nhiên là biến cố thường gặp hơn cả. §2: XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN VỀ XÁC SUẤT Ta đã thấy việc biến cố ngẫu nhiên xảy ra hay không xảy ra trong kết quả của phép thử là điều không thể đoán trước được, tuy nhiên bằng trực quan ta có thể nhận thấy các biến cố ngẫu nhiên khác nhau có những khả năng xảy ra khác nhau. Chẳng hạn biến cố “xuất hiện mặt sấp” khi tung một đồng xu sẽ có khả năng xảy ra lớn hơn nhiều so với biến cố “xuất hiện mặt một chấm” khi tung một con xúc xắc. Khi lặp đi lặp lại nhiều lần cùng một phép thử trong những điều kiện như nhau, người ta thấy tính chất ngẫu nhiên của biến cố mất dần đi và khả năng xảy ra của biến cố sẽ được thể hiện theo những quy luật nhất định. Từ đó ta thấy có thể đo lường (định lượng) khả năng khách quan xuất hiện một biến cố nào đó. Nói cách khác, khả năng xuất hiện của các biến cố ngẫu nhiên nói chung khác nhau, để đo khả năng này, người ta phải tìm một công cụ, công cụ đó chính là xác suất. Xác suất của một biến cố là một con số đặc trưng khả năng khách quan xuất hiện biến cố đó khi thực hiện phép thử. Khả năng khách quan ở đây là do những điều kiện xảy ra của phép thử quy định chứ không tùy thuộc ý muốn chủ quan của con người. Vậy bản chất của xác suất của một biến cố là một số xác định. Để tính xác suất của một biến cố, người ta xây dựng các định nghĩa về xác suất. Có nhiều định nghĩa khác nhau về xác suất đó là: định nghĩa cổ điển, định nghĩa thống kê, định nghĩa hình học và định nghĩa theo tiên đề. 1. Định nghĩa cổ điển về xác suất. Ví dụ 3: Thực hiện phép thử “ tung một xúc xắc đều đặn và đồng chất” ( khối lập phương đều đặn và đồng chất để đảm bảo khả năng xuất hiện các mặt là như nhau). Gọi A là biến cố “xuất hiện mặt chẵn chấm”. Ta phải xác định xác suất của biến cố A. Khi tung con xúc xắc đều đặn và đồng chất, ta thấy có thể có 6 trường hợp có thể xảy ra: xuất hiện mặt 1 chấm, xuất hiện mặt 2 chấm, v.v…, xuất hiện mặt 6 chấm.Những trường hợp này thỏa mãn 2 điều kiện: Chúng duy nhất, tức trong kết quả của phép thử chỉ xảy ra một và chỉ một trong các trường hợp đó. Các trường hợp đó có khả năng xảy ra như nhau. * Các trường hợp thỏa mãn hai điều kiện: Duy nhất Khả năng xảy ra như nhau * Được gọi là các kết cục duy nhất đồng khả năng. Trong số 6 kết cục duy nhất đồng khả năng đó ta thấy chỉ có 3 kết cục mà nếu các kết cục này xảy ra thì biến cố A sẽ xảy ra. Đó là : xuất hiện mặt 2 chấm, xuất hiện mặt 4 chấm, xuất hiện mặt 6 chấm. * Các kết cục xảy ra thì biến cố A xảy ra gọi là các kết cục thuận lợi cho biến cố. Vậy trực quan thấy khả năng xảy ra biến cố A là Định nghĩa 1 : Xác suất xuất hiện biến cố A trong một phép thử là tỷ số giữa số kết cục thuận lợi cho A và tổng số các kết cục duy nhất đồng khả năng có thể xảy ra khi thực hiện phép thử đó. Kí hiệu là xác suất của biến cố A Số kết cục thuật lợi cho biến cố A Số kết cục duy nhất đồng khả năng của phép thử 2. Tính chất của xác suất. Từ định nghĩa xác suất ta suy ra các tính chất sau: a) Xác suất của biến cố ngẫu nhiên là một số dương nằm trong khoảng giữa không và một. Thật vậy, vì số kết cục thuận lợi cho một biến cố ngẫu nhiên luôn luôn thỏa mãn do đó từ đó b) Xác suất của biến cố chắc chắn bằng 1. P(U)=1 Thật vậy, nếu U là biến cố chắc chắn thì tất cả các kết cục duy nhất đồng khả năng có thể xảy ra trong phép thử đều thuận lợi cho biến cố xảy ra. Do đó Và ta có . c) Xác suất của biến cố không thể có bằng không. Thật vậy, Nếu V là biến cố không thể có thì trong số các kết cục duy nhất đồng khả năng có thể xảy ra trong phép thử không có kết cục nào thuận lợi cho biến cố xảy ra. Như vậy và Chú ý: Vậy xác suất của một biến cố bất kỳ luôn thỏa mãn Các mệnh đề đảo của tính chất b và c chưa chắc đã đúng, có nghĩa nếu một biến cố có xác xuất bằng 1 thì chưa chắc đã là biến cố chắc chắn, và nếu một biến cố xác suất bằng 0 thì chưa chắc đã là biến cố không thể có. 3. Các phương pháp tính xác suất bằng định nghĩa cổ điển. Phương pháp suy luận trực tiếp: Nếu số các kết cục của phép thử là nhỏ và việc suy đoán là khá đơn giản thì có thể sử dụng phương pháp suy luận trực tiếp. Ví dụ 4: Trong một hộp kín đựng quả cầu có cùng kích thước và trọng lượng, trong đó có quả cầu trắng, còn lại là cầu đen. Rút ngẫu nhiên ( rút hú họa) một quả. Tìm xác suất rút được quả cầu trắng. Giải: gọi A là biến cố “ lấy được quả cầu trắng”. Khi lấy ngẫu nhiên ở hộp ra một quả cầu ta có thể lấy được bất kỳ quả nào trong số quả cầu có trong hộp, như vậy ta có số kết cục duy nhất đồng khả năng có thể xảy ra trong phép thử là . Biến cố A sẽ xảy ra khi ta lấy được một trong số quả cầu trắng, như vậy số kết cục thuận lợi cho biến cố A là . Theo định nghĩa cổ điển về xác suất ta có: . Ví dụ 5: Trong hộp có 13 bóng đèn, trong đó có 3 bóng hỏng, 10 bóng chất lượng tốt (mà phải thử mới phân biệt được). Lấy ngẫu nhiên một bóng đèn, tìm xác suất để bóng đèn lấy được có chất lượng tốt. Giải: A: Lấy được bóng đèn có chất lượng tốt Số kết cục duy nhất đồng khả năng là 13 Số kết cục thuận lợi cho A là 10 Vậy Phương pháp dùng sơ đồ Venn: Khi số kết cục là khá lớn và việc suy đoán phức tạp hơn thì có thể dùng sơ đồ Ven ( mô tả các kết cục của phép thử dưới dạng sơ đồ để dễ nhận biết hơn). Trong thực tế có thể dùng loại sơ đồ sau: Sơ đồ dạng bảng Ví dụ 7: Tung hai xúc xắc cùng một lúc, tính xác suất để được tổng số chấm không quá 7. Giải: Để mô tả số các kết cục đồng khả năng và số các kết cục thuận lợi cho biến cố ta kẻ bảng sau XS2 XS1 1 2 3 4 5 6 1 11 12 13 14 15 16 2 21 22 23 24 25 26 3 31 32 33 34 35 36 4 41 42 43 44 45 46 5 51 52 53 54 55 56 6 61 62 63 64 65 66 : Tổng số chấm thu được không quá 7 Vậy số kết cục thuận lợi cho biến cố là =21 Số kết cục duy nhất đồng khả năng là =36 Vậy (dễ thấy số kết cục duy nhất đồng khả năng chính là số chỉnh hợp lặp chập 2 từ 6 phần tử). Sơ đồ hình cây Ví dụ 6: Một gia đình có 3 con, biết mỗi lần chỉ sinh một con, và khả năng sinh gái hoặc trai là như nhau. Tính xác suất để gia đình đó có đúng hai con gái Giải: để mô tả không gian mẫu, và tìm số các kết cục đồng khả năng , chúng ta vẽ sơ đồ hình cây như sau: dễ thấy n=8, m=3à p=3/8 Vậy xác suất để gia đình đó có đúng 2 con giái là 3/8. Sơ đồ dạng tập hợp Ví dụ 8: Trong 1 lớp có 50 học sinh. Trong đó: 20 người chơi môn bóng đá;15 người chơi môn bóng chuyền; 10 người chơi môn bóng rổ; 8 người chơi môn bóng đá và bóng chuyền; 5 người chơi môn bóng đá và bóng rổ; 3 người chơi môn bóng chuyền và bóng rổ; 1 người chơi cả ba môn bóng đá, bóng chuyền và bóng rổ, Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Tìm xác suất để học sinh đó chơi ít nhất một môn bóng. Giải: Gọi : “Chọn ngẫu nhiên một học sinh, được học sinh chơi ít nhất một môn bóng” Ta có sơ đồ dạng tập hợp như sau: Số kết cục duy nhất đồng khả năng , Số kết cục thuận lợi cho biến cố là Vậy Phương pháp dùng các công thức của đại số tổ hợp. Khi số kết cục của phép thử là rất lớn mà khổng thể suy đoán trực tiếp được thì có thể dùng các công thức của giải tích tổ hợp, chủ yếu là các công thức chỉnh hợp, chỉnh hợp lặp, hoán vị và tổ hợp để tìm số các kết cục duy nhất đồng khả năng và số các kết cục thuận lợi cho biến cố. Ví dụ 9: Một người khi gọi điện thoại quên mất hai số cuối của số điện thoại và chỉ nhớ được rằng chúng khác nhau. Tìm xác suất để quay ngẫu nhiên một lần được đúng số cần gọi. Giải: Gọi : “ gọi một lần được đúng số cần gọi” Số kết cục duy nhất đồng khả năng : là số cách để lập nên một cặp 2 số khác nhau từ 10 số tự nhiên đầu tiên, chính là số các chỉnh hợp chập hai từ 10 phần tử . Số kết cục thuân lợi cho xảy ra chỉ có 1,Vậy theo định nghĩa cổ điển về xác suất có Ví dụ 10: Một lớp học có 50 học sinh, trong đó 30 nam. Chọn ngẫu nhiên 7 học sinh, tính xác suất để được đúng 4 nam và 3 nữ. Giải: Số kết cục duy nhất đồng khả năng Số kết cục thuận lợi cho biến cố Vậy 4. Ưu điểm và hạn chế của định nghĩa cổ điển về xác suất. Ưu điểm: Để tìm xác suất của biến cố ta không cần phải tiến hành phép thử ( phép thử chỉ tiến hành giả định). Và nếu thỏa mãn đầy đủ yêu cầu của định nghĩa thì cho phép cho chúng ta tìm được một cách chính xác giá trị của xác suất. Hạn chế của định nghĩa cổ điển về xác suất: Định nghĩa cổ điển đòi hỏi số kết cục duy nhất đồng khả năng có thể xảy ra trong phép thử phải là hữu hạn (trong thực tế có nhiều phép thử mà số kết cục có thể là vô hạn). Hạn chế lớn nhất của định nghĩa này là đòi hỏi các kết cục tính đồng khả năng, mà trong thực tế nhiều khi không thể biểu diễn kết quả của phép thử dưới dạng tập hợp các kết cục duy nhất và đồng khả năng. §3: ĐỊNH NGHĨA THỐNG KÊ VỀ XÁC SUẤT 1. Định nghĩa 2. Tần suất xuất hiện biến cố trong phép thử là tỷ số giữa số phép thử trong đó biến cố xuất hiện và tổng số phép thử được thực hiện . Vậy giả sử một loại phép thử được thực hiện lần, trong đó biến cố được xuất hiện lần, khi đó tần suất xuất hiện biến cố trong phép thử là tỷ số , kí hiệu . Ví dụ 10: Lấy ngẫu nhiên trong kho ra 50 sản phẩm để kiểm tra chất lượng, có 3 phế phẩm, Gọi là biến cố “xuất hiện phế phẩm” vậy tần suất xuất hiện phế phẩm là: Người ta nhận thấy nếu tiến hành các phép thử trong những điều kiện như nhau và số phép thử lớn thì tần suất thể hiện tính ổn định khá rõ ràng. Khi số phép thử khá lớn thì tần suất dao động rất ít xung quanh một giá trị nào đó. Ví dụ 11: Để nghiên cứu khả năng xuất hiện mặt sấp khi tung một đồng xu, người ta tiến hành tung một đồng xu nhiều lần và thu được kết quả sau Người làm thí nghiệm Số lần tung (n) Số lần được mặt sấp (k) Tần suất Buffon Pearson Pearson 4040 12000 24000 2048 6019 12012 0,5069 0,5016 0,5005 Qua ví dụ ta thấy khi số phép thử tăng lên thì tần suất xuất hiện mặt sấp sẽ dao động ngày càng ít hơn xung quanh giá trị không đổi là 0,5. Điều đó cho phép người ta nghĩ tới việc khi số phép thử tăng lên vô hạn, tần suất sẽ hội tụ về giá trị 0,5. 2. Định nghĩa 3 (định nghĩa thống kê về xác suất) : Khi số phép thử tăng lên vô hạn, thì tần suất xuất hiện biến cố sẽ dao động quanh một trị số nào đó. Trị số này được gọi là xác suất xuất hiện của biến cố . Xác suất xuất hiện của biến cố ( theo định nghĩa thống kê) cũng có các tính chất , , . 3. Ưu điểm và hạn chế của định nghĩa thống kê về xác suất. Định nghĩa thống kê về xác suất có ưu điểm lớn là không đòi hỏi điều kiện đồng khả năng như định nghĩa cổ điển, do vậy đáp ứng được nhiều bài toán do thực tế đặt ra như tìm quy luật của thời tiết, tai nạn giao thông, kiểm tra chất lượng sản phẩm v. v… Định nghĩa thống kê về xác suất có tính miêu tả tồn tại hơn là tính kiến thiết ( thiết lập công thức), ta chỉ có “phán đoán” được xác suất sau khi tiến hành một số khá lớn phép thử với tần suất ổn định. Nói cách khác, Định nghĩa thống kê về xác suất chỉ áp dụng được đối với các hiện tượng ngẫu nhiên mà tần suất của nó ổn định. Để xác định được tương đối chính xác giá trị của xác suất ta phải tiến hành trên thực tế một số đủ lớn các phép thử Xác suất được tính sau khi phép thử đã thực hiện, trong thực tế nhiều bài toán rất khó hoặc không thể tiến hành nhiều phép thử. §4: NGUYÊN LÝ XÁC SUẤT LỚN VÀ XÁC SUẤT NHỎ Trong bài toán thực tế ta thường gặp các biến cố có xác suất rất nhỏ, tức gần bằng 0, thậm chí có biến cố có xác suất bằng 0 (theo quan điểm định nghĩa thống kê về xác suất). Khi đó liệu có thể coi các biến cố có xác suất rất nhỏ sẽ không xảy ra khi thực hiện một phép thử? Dễ nhận thấy là không thể kết luận như vậy, vì những biến cố có xác suất bằng 0 vẫn chưa chắc đã là biến cố không thể có, tức là vẫn có thể xảy ra. Tuy nhiên qua nhiều lần quan sát, người ta thấy rằng các biến cố có xác suất nhỏ gần như sẽ không xảy ra khi tiến hành một phép thử. Trên cơ sở đó người ta đưa ra nguyên lý sau: Nguyên lý thực tế không thể có của biến cố có xác suất nhỏ: Nếu một biến cố có xác suất rất nhỏ thì thực tế có thể cho rằng trong một phép thử biến cố đó sẽ không xảy ra. Việc quy định một mức xác suất được coi là rất nhỏ gọi là mức ý nghĩa sẽ tùy thuộc vào từng bài toán cụ thể. Chẳng hạn nếu xác suất để máy bay không an toàn khi bay là 0,01 thì xác suất này chưa có thể coi là nhỏ, và không thể đi máy bay đó. Còn nếu xác suất của một máy sản xuất giày sản xuất ra phế phẩm là 0,01 thì trong thực tế có thể coi là máy đó sản xuất tốt. Hoàn toàn tương tự Nguyên lý thực tế chắc chắn xảy ra của các biến cố có xác suất lớn: Nếu biến cố ngẫu nhiên có xác suất gần bằng 1 thì thực tế có thể cho rằng biến cố đó sẽ xảy ra trong một phép thử. Cũng như trên việc quy định một mức xác suất đủ coi là lớn tùy thuộc vào từng bài toán cụ thể. §5: MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ Ở trên chúng ta đã có các phương pháp tính trực tiếp xác suất của các biến cố bằng định nghĩa cổ điển và định nghĩa thống kê về xác suất. Song việc áp dụng các định nghĩa này không phải lúc nào cũng tiện lợi và có thể dùng được. Vì vậy người ta tính xác suất của các biến cố dựa vào xác suất đã biết của các biến cố khác có liên quan tới nó và nhờ áp dụng các định lý cơ bản của lý thuyết xác suất, do đó chúng ta cần biết về mối quan hệ giữa các biến cố. 1. Định nghĩa 1. Biến cố C được gọi là tổng của hai biến cố A và B, kí hiệu C=A+B, nếu C sẽ xảy ra khi có ít nhất một trong hai biến cố ấy xảy ra. Ví dụ 12: Hai người cùng bắn vào một bia, gọi A là biến cố “ Người thứ nhất bắn trúng bia” B là biến cố “ Người thứ hai bắn trúng bia” C là biến cố “ Bia trúng đạn” Rõ ràng biến cố C sẽ xảy ra khi có ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra. Vậy C=A+B 2. Định nghĩa 2. Biến cố A được gọi là tổng của n biến cố , kí hiệu , nếu A sẽ xảy ra khi có ít nhất một trong n biến cố ấy xảy ra. 3. Định nghĩa 3. Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nhau nếu chúng không thể đồng thời xảy ra trong một phép thử. Ví dụ 13: Hai người cùng bắn vào một bia, gọi A là biến cố “ Người thứ nhất bắn trúng bia” B là biến cố “ Người thứ hai bắn trúng bia” àA,B là hai biến cố không xung khắc Ví dụ 14: Một người bắn một viên đạn vào bia, gọi A là biến cố “Bia trúng đạn” B là biến cố “Bia không trúng đạn ” à A,B là hai biến cố xung khắc 4. Định nghĩa 4. Nhóm biến cốđược gọi là xung khắc từng đôi nếu bất kì hai biến cố nào trong nhóm này cũng xung khắc với nhau . 5. Định nghĩa 5. Các biến cố được gọi là nhóm biến cố đầy đủ nếu trong kết quả của phép thử sẽ xảy ra một và chỉ một trong các biến cố đó Ví dụ 15: Khi tung một con xúc sắc, gọi với là xuất hiện mặt i chấm , thì là nhóm biến cố đầy đủ 6. Định nghĩa 6. Hai biến cố được gọi là đối lập với nhau nếu chúng tạo nên một nhóm đầy đủ các biến cố. Ví dụ 16: Bật công tắc, “ đèn sáng” và “ đèn không sáng” là hai biến cố đối lập. Chú ý: Khi nhóm biến cố đầy đủ chỉ có hai biến cố, thì chúng đối lập. Hai biến cố đối lập thì xung khắc, nhưng ngược lại chưa chắc đúng. 7. Định nghĩa 7. Biến cố C được gọi là tích của hai biến cố A, B nếu C sẽ xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố A và B cùng xảy ra, kí hiệu C=A.B. Ví dụ 17: Một máy có hai bộ phận, biết rằng máy chỉ hoạt động khi cả hai bộ phận hoạt động tốt, A “bộ phận thứ nhất hoạt động tốt” B “bộ phận thứ hai hoạt động tốt” C “máy hoạt động tốt” à rõ ràng C=A.B 8. Định nghĩa 8. Biến cố A được gọi là tích của n biến cốnếu A chỉ xảy ra khi và chỉ khi cả n biến cố trên cùng đồng thời xảy ra, kí hiệu . 9. Định nghĩa 9. Hai biến cố A,B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm thay đổi xác suất xảy ra của biến cố kia và ngược lại Khi biến cố này xảy ra hay không xảy ra làm cho xác suất xảy ra của biến cố kia thay đổi thì hai biến cố đó gọi là phụ thuộc.. Ví dụ 18: Trong hộp có 3 cầu trằng và 2 cầu đen, lấy ngẫu nhiên lần lượt hai quả cầu A: “ lấy được cầu trắng ở lần 1’ B: “ lấy được cầu trắng ở lần 2” Rõ ràng P(B) phụ thuộc vào lần một lấy được cầu trắng hay không à A,B là hai biến cố phụ thuộc * Nhưng nếu lấy lần lượt hai quả cầu theo phương pháp hoàn lại àkhi đó A,B là các biến cố độc lập * Tính chất tương hỗ của các biến cố độc lập: Nếu A, B độc lập với nhau thì có cũng độc lập. 10. Định nghĩa 10. Các biến cố được gọi là độc lập từng đôi với nhau nếu mỗi cặp 2 trong n biến cố đó độc lập với nhau. §6: ĐỊNH LÝ CỘNG VÀ NHÂN XÁC SUẤT Định lý cộng xác suất . Định lý: Xác suất của tổng hai biến cố xung khắc bằng tổng xác suất của các biến cố đó Chứng minh: Giả sử khi phép thử được thực hiện có n kết cục duy nhất đồng khả năng kết cục thuận lợi cho biến cố A kết cục thuận lợi cho biến cố B 0 kết cục thuận lợi cho đồng thời cả A, B(do A,B xung khắc) Vậy số kết cục thuận lợi cho biến cố A+B là + à Chú ý: Định lý chỉ là điều kiện cần chứ không phải là điều kiện đủ để A,B xung khắc. Hệ quả Hệ quả 1: Xác suất của tổng n biến cố xung khắc từng đôi bằng tổng xác suất của các biến cố đó Hệ quả 2: Nếu các biến cố tạo thành một nhóm đầy đủ các biến cố thì tổng xác suất của chúng bằng 1 Hệ quả 3: Tổng xác xuất của hai biến cố đối lập bằng 1 Các ví dụ. Ví dụ 1: Xác suất để một xạ thủ bắn trúng điểm 10 là 0,1và bắn trúng điểm 9 là 0,2, bắn trúng điểm 8 là 0,25 và bắn trúng ít hơn 8 điểm là 0,45 Tìm xác suất để xạ thủ ấy: * Được ít nhất 9 điểm * Được không quá 8 điểm Giải: gọi A: “ Xạ thủ bắn trúng ít nhất 9 điểm” B: “ Xạ thủ bắn trúng không quá 8 điểm” : “Xạ thủ bắn trúng điểm 10” : “ Xạ thủ bắn trúng điểm 9” : “ Xạ thủ bắn trúng điểm 8” : “ Xạ thủ bắn trúng ít hơn 8 điểm” Khi đó có à=0,1+0,2 ( do vàlà xung khắc) à ( do, xung khắc) Ví dụ 2: Xác suất để sản phẩm sản xuất ra là chính phẩm bằng 0,9. Tìm xác suất để sản phẩm sản xuất ra là phế phẩm. Giải: A : “ Sản phẩm sản xuất ra là chính phẩm” B: “Sản phẩm sản xuất ra là phế phẩm” A, B là hai biến cố đối lập do đó P(B)=1-0,9=0,1 Ví dụ 3: Trong hòm có n sản phẩm, trong đó có m chính phẩm, lấy ngẫu nhiên k sản phẩm, tìm xác suất để trong đó có ít nhất một chính phẩm. Giải: A : “ trong k sản phẩm lấy ra có ít nhất một chính phẩm” : “ k sản phẩm lấy ra đều là phế phẩm ” A, là hai biến cố đối lập do đó P(A)=1-P() à Định lý nhân xác suất Định lý: Xác suất của tích hai biến cố A và B bằng tích xác suất của một trong hai biến cố đó với xác suất có điều kiện của biến cố còn lại. P(AB)=P(A).P(B/A)=P(B).P(A/B) Hệ quả của định lý nhân. Hệ quả 1: Nếu P(B)>0 thì xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B xảy ra được tính bởi: Hệ quả 2: nếu P(A)>0 thì Hệ quả 3: Xác suất của tích n biến cố bằng tích xác suất của n biến cố đó trong đó xác suất của mỗi biến cố tiếp sau đều được tính với điều kiện tất cả các biến cố trước đã xảy ra. Định lý:( đk để hai biến cố độc lập) Định lý: Xác suất của tích 2 biến cố độc lập bằng tích của các xác suất thành phần: P(AB)=P(A)P(B) (1). Chú ý: (1) là điều kiện cần và đủ để A,B độc lập Hệ quả 1: Nếu A,B độc lập thì : Hệ quả 2: Nếu A,B độc lập thì : Hệ quả 3: Xác suất của tích n biến cố độc lập toàn phần bằng tích các xác suất toàn phần Các ví dụ Ví dụ 1: Trong kho có 10 sản phẩm, trong đó 7 sản phẩm xấu. Rút hú họa 3 sản phẩm. Tìm xác suất để cả 3 sản phẩm này đều xấu. Giải: : “rút lần thứ i được sản phẩm xấu” (i=1,2,3) A: “ rút được cả 3 sản phẩm xấu” Rõ ràng A xảy ra khi đồng thời (i=1,2,3) xảy ra à Áp dụng hệ quả của định lý nhân xác suất có: = Cách khác: rút 3 sản phẩm, Số các kết cục đồng khả năng ; Số các kết cục thuận lợi cho biến cố Vậy theo định nghĩa cổ điển về xác suất Ví dụ 2: Một chiếc máy bay lần lượt ném mỗi lần một quả bom xuống một chiếc cầu cho đến khi trúng thì dừng. Tìm xác suất máy bay ném bom trúng cầu mà tốn không quá 2 quả bom. Biết xác suất ném bom trúng cầu không đổi và bằng 0,7. Giải: Bi : “ quả bom thứ i trúng cầu” : “ Quả bom thứ i không trúng cầu” A: “ máy bay ném bom trúng cầu mà tốn không quá 2 quả bom” Do đó à (do xung khắc) à (dođộc lập) §7: PHÁT TRIỂN ĐỊNH LÝ CỘNG VÀ NHÂN XÁC SUẤT Phát triển định lý cộng xác suất . Định lý: Xác suất của tổng hai biến cố không xung khắc bằng tổng xác suất của các biến cố đó trừ đi xác suất của tích các biến cố. P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) Chứng minh: giả sử khi phép thử được thực hiện có Số kết cục duy nhất đồng khả năng là n Số kết cục thuận lợi cho biến cố A là Số kết cục thuận lợi cho biến cố B là Số kết cục thuận lợi cho A và B là k Số kết cục thuận lợi cho A+B là +-k à Chú ý: Nếu A,B là các biến cố độc lập thì P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B) Nếu A,B là các biến cố phụ thuộc:P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B/A) Định lý 2 Định lý: Xác suất của tổng n biến cố không xung khắc và độc lập toàn phần với nhau bằng 1 trừ đi tích xác suất của các biến cố đối lập với các biến cố đó Các ví dụ. Ví dụ 1: Hai máy bay ném bom 1 mục tiêu, mỗi máy bay ném 1 quả với xac suất trúng mục tiêu tương ứng là 0,7; 0,8. Tìm xác suất để mục tiêu trúng bom. Giải: Gọi : “ máy bay thứ 1 ném bom trúng mục tiêu” : “ máy bay thứ 2 ném bom trúng mục tiêu” A : “ mục tiêu bị trúng bom” à Cách 1: ( do ;là các biến cố không xung khắc, và độc lập nhau) Cách 2: Áp dụng định lý 2 có Ví dụ 2: Xác suất để động cơ thứ nhất của máy bay bị trúng đạn là 0,2; xác suất để động cơ thứ hai của máy bay bị trúng đạn là 0,3; xác suất để phi công bị trúng đạn là 0,1. Tìm xác suất để máy bay rơi. Biết rằng máy bay rơi khi hoặc cả hai động cơ bị trúng đạn hoặc phi công bị trúng đạn. Giải: Gọi A : “ động cơ thứ 1 bị trúng đạn” B : “ động cơ thứ 2 bị trúng đạn” C: “ phi công bị trúng đạn” D: “máy bay rơi” à D=C+A.B , Các biến cố C và AB không xung khắc, do đó có: P(D)=P(C)+P(AB)-P(C.A.B)à Do các biến cố A,B,C độc lập nhau, có P(D )=P(C)+P(A)P(B)-P(A)P(B)P(C)=0,2.0,3+0,1-0,2.0,3.0,1=0,154 Bài toán becnuli Trong nhiều bài toán thực tế chúng ta thường gặp những trường hợp cùng một phép thử được lặp lại nhiều lần. Trong kết quả của mỗi phép thử có thể xảy ra hoặc không xảy ra một biến cố A nào đó. Và ta không quan tâm đến biến cố A xảy ra ở phép thử nào, mà quan tâm đến tổng số lần xảy ra của biến cố A trong cả dãy phép thử đó. Chẳng hạn: nếu tiến hành sản xuất hàng loại một loại chi tiết nào đó thì ta thường quan tâm đến tổng số chi tiết đạt tiêu chuẩn của cả quá trình sản xuất (chứ không quan tâm đến việc : “sản phẩm thứ mấy đạt tiêu chuẩn”) Trong những bài toán như vậy cần phải biết cách xác định xác suất để biến cố A xảy ra một số lần nhất định trong kết quả của cả một dãy phép thử. Một số khái niệm: Dãy phép thử: Một phép thử được lặp lại nhiều lần, ta gọi là một dãy phép thử Dãy phép thử độc lập: Một dãy phép thử được gọi là độc lập với nhau nếu việc xuất hiện hay không xuất hiện một biến cố bất kỳ trong phép thử này không phụ thuộc vào việc xuất hiện của biến cố đó trong các phép thử còn lại. Ví dụ: Tung 1 xúc xắc 7 lần à ta được dãy 7 phép thử độc lập Bài toán Becnuli Giả thiết:- Có dãy n phép thử độc lập Mỗi phép thử chỉ có hai kết cục Xác suất xuất hiện biến cố A trong mỗi phép thử như nhau là p Hỏi: Tính xác suất để biến cố A xuất hiện x lần trong dãy n phép thử (hay ) à Chứng minh: Gọi “ xảy ra biến cố A trong phép thử thứ i” với : “ không xảy ra biến cố A trong phép thử thứ i” với B: “Trong n phép thử biến cố A xảy ra đúng x lần” Rõ ràng biến cố B xảy ra bằng nhiều cách, trong đó xảy ra biến cố A đúng x lần và không xảy ra biến cố A đúng n-x lần, có thể biểu diễn biến cố B như sau: Thực chất đây là việc chọn x phép thử từ n phép thử (mà trong x phép thử này biến cố A xảy ra), nói một cách khác ở vế trái của công thức (1) là tổng của biến cố. Các biến cố thành phần của tổng này xung khắc nhau và các biến cố độc lập nhau, nên có: Vậy được gọi là công thức Becnuli Chú ý: Những bài toán thỏa mãn 3 giả thiết của bài toán Becnuli ở trên gọi là thỏa mãn lược đồ Becnuli hay có lược đồ Becnuli Ví dụ Ví dụ 1: Một đề thi trắc nghiệm gồm có 10 câu hỏi, mỗi câu có 5 cách trả lời, trong đó chỉ có một phương án đúng. Một học sinh trả lời một cách hoàn toàn hú họa, tính xác suất để học sinh đó thi đỗ, biết rằng để đỗ phải trả lời đúng ít nhất 8 câu. Giải: gọi B: “học sinh đó thi đỗ” - Coi trả lời một câu hỏi là một phép thử à có 10 phép thử độc lập - Mỗi phép thử chỉ có hai kết cục:Trả lời đúng (A), hoặc trả lời sai - P(A)=0,2 trong mọi phép thử Bài toán thỏa mãn lược đồ Becnuli, do đó Công thức xác suất đầy đủ Công thức xác suất đầy đủ:Giả sử biến cố A xảy ra đồng thời với nhóm biến cố đầy đủ . Lúc đó xác suất của biến cố A được tính bằng công thức sau: ( khi đó các biến cố thường được gọi là các giả thuyết) Nói cách khác: giả sử là một nhóm đầy đủ các biến cố , xét biến cố A sau cho: A xảy ra chỉ khi một trong các biến cố xảy ra thì có công thức (*) Chứng minh: Vì là nhóm biến cố đầy đủ nên (biến cố chắc chắn) Vì các biến cố xung khắc từng đôi à các biến cố tích cũng xung khắc từng đôi, do đó từ (***) có: Chú ý: Người ta áp dụng công thức xác suất đầy đủ khi phép thử có nhiều hơn một bước thử. Mấu chốt ở đây là thành lập được nhóm biến cố đầy đủ, thông thường người ta lấy nhóm biến cố đầy đủ là các kết quả có thể có của bước thử thứ 1. Nhóm biến cố đầy đủ không duy nhất, để tính xác suất của biến cố A có thể dựa vào nhóm đầy đủ này hay nhóm đầy đủ khác, miễn là quan hệ giữa A và nhóm đầy đủ phải phù hợp, tức là A xảy ra thì một trong các biến cố của nhóm đầy đủ phải xảy ra. Ví dụ: Có 2 hộp đựng sản phẩm, hộp thứ nhất có 10 sản phẩm trong đó có 9 chính phẩm, hộp thứ hai có 20 sản phẩm trong đó có 18 chính phẩm. Từ hộp thứ nhất lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm bỏ sang hộp thứ 2. Tìm xác suất để lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ hộp thứ 2 được chính phẩm. Giải: Gọi A: “lấy được chính phẩm từ hộp 2” Biến cố A xảy ra đồng thời với một trong hai biến cố sau: : “Sản phẩm bỏ từ hộp 1 sang hộp 2 là chính phẩm” : “ Sản phẩm bỏ từ hộp 1 sang hộp 2 là phế phẩm” Có (,) tạo thành nhóm biến cố đầy đủà áp dụng công thức xác suất đầy đủ có: Công thức Bayet Công thức Bayet: Giả sử biến cố A xảy ra đồng thời với nhóm đầy đủ các biến cố , khi đó: Chú ý: thường được gọi là các giả thuyết Các được xác định trước khi phép thử được tiến hành gọi là các xác suất tiên nghiệm Các xác suất gọi là các xác suất hậu nghiệm ( được xác định sau khi phép thử đã tiến hành và biến cố A đã xảy ra) Vậy công thức Bayets cho phép đánh giá lại xác suất xảy ra các giả thuyết sau khi đã biết kết quả của phép thử là biến cố A đã xảy ra. Theo công thức Bayet thì các biến cố lập thành một nhóm đầy đủ (vì chúng xung khắc từng đôi và ) à có thể coi nhóm biến cố là nhóm đầy đủ để áp dụng công thức xác suất đầy đủ hoặc Bayet tiếp lần nữa (nếu cần) Ví dụ: Tỷ lệ người dân nghiện thuốc lá là 30%, biết rằng tỷ lệ người viêm họng trong số người nghiện thuốc lá là 60%, còn tỷ lệ người viêm họng trong số người không hút thuốc lá là 40% . Chọn ngẫu nhiên một người, biết rằng người đó viêm họng, tính xác suất người đó nghiện thuốc. Nếu người đó không bị viêm họng tính xác suất để người đó nghiện thuốc. Giải: Gọi A: “Chọn ra một người bị viêm họng” : “Người được chọn ra là người nghiện thuốc” : “Người được chọn ra là người không nghiện thuốc” Nhóm biến cố đầy đủ ở đây là {,} Ta có P()=0,3 P()=0,7 P(A/)=0,6 P(A/)=0,4 Áp dụng công thức xác suất đầy đủ có P(A)=0,3.0,6+0,7.0,4=0,46 a) b) .