Bµi 3:Chương 4 – Trường điện từ biến thiên

1 Trần Quang Việt – BMCS – Khoa ðiện – ðHBK Tp.HCMa et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/12-13 Chương 4 – Trường ñiện từ biến thiên 4.1. Trường ñiện từ biến thiên và tính chất sóng 4.2. ðịnh lý Poynting 4.3. Trường ñiện từ biến thiên ñiều hòa 4.4. Sóng ñiện từ phẳng ñơn sắc 4.5. Sự phân cực của sóng ñiện từ phẳng ñơn sắc  Trần Quang Việt – BMCS – Khoa ðiện – ðHBK Tp.HCMa et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/12-13 4.1. Trường ñiện từ biến thiên và tính chất sóng
Trường ñiện từ biến thiên là trường ñiện từ có các ñại lượng ñặc trưng thay ñổi theo không gian và thời gian
Quan hệ giữa các ñại lượng trường với mật ñộ nguồn tuân theo hệ phương trình Maxwell, các ñiều kiện biên và các phương trình liên hệ trong các môi trường chất: D rotH = J + t ∂ ∂

  B rotE = - t ∂ ∂

 VdivD = ρ
 divB = 0
 VdivJ = - t ρ∂ ∂  1t 2t SH - H = J 1t 2tE - E = 0 1n 2n sD - D = ρ 1n 2nB - B = 0 s 1n 2nJ - J = - t ρ∂ ∂ D = E ε

 B = H µ

 J = E σ 
 2 Trần Quang Việt – BMCS – Khoa ðiện – ðHBK Tp.HCMa et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/12-13
ðể tính trường ñiện từ biến thiên ñược sinh ra bởi mật ñộ nguồn là dòng ñiện và ñiện tích ta dùng các hàm thế: thế vô hướng và thế vectơ.
ðịnh nghĩa thế vectơ: divB = 0
 div(rotA) = 0
 ⇒ B = rotA


ðịnh nghĩa thế vô hướng: B rotE = - t ∂ ∂

 A rot(E + ) = 0 t ∂ ⇒ ∂

 rot(grad ) = 0ϕ ϕ ∂ − − ∂

 AE = grad t ⇒
Tính ña trị của các hàm thế: ( ) , )ϕ


 ֏A, (B E ( , , )ϕ ∂⇒ − ∂


 ֏ fA+gradf ) (B E t 4.1. Trường ñiện từ biến thiên và tính chất sóng  Trần Quang Việt – BMCS – Khoa ðiện – ðHBK Tp.HCMa et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/12-13
ðiều kiện phụ Lorentz: ñược chọn lợi dụng tính ña trị và ñịnh lý Helmholtz (một vectơ sẽ ñược xác ñịnh khi biết rot & div) divA = - t ϕ εµ ∂ ∂
 (ðiều kiện Lorentz)
Thiết lập phương trình d’Alembert cho thế vectơ: D rotH = J t ∂ + ∂

  E rotB = J t µ εµ ∂⇒ + ∂

  2 t ϕ εµ µ εµ∂ ∂⇒ + − ∆ − ∂ ∂


  2 Agrad(divA ) A = J t 2 εµ µ∂⇒ ∆ − − ∂

  2 A A = J t ⇒ 2 2 1 v µ∂∆ − − ∂

  2 AA = J t 1 v εµ = 4.1. Trường ñiện từ biến thiên và tính chất sóng 3 Trần Quang Việt – BMCS – Khoa ðiện – ðHBK Tp.HCMa et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/12-13
Thiết lập p.trình d’Alembert cho thế vô hướng: divD = vρ
 ⇒ divE = vρ ε ⇒
 Adiv( grad ) = t vρϕ ε ∂ ⇒ − − ∂
 divA= - t vρϕ ε ∂ ⇒ ∆ + ∂
 2 ρϕϕ εµ ε ∂∆ − − ∂ v 2 = t ⇒ 2 2 1 v ρϕϕ ε ∂∆ − − ∂ v 2 = t 1 v εµ = 4.1. Trường ñiện từ biến thiên và tính chất sóng  Trần Quang Việt – BMCS – Khoa ðiện – ðHBK Tp.HCMa et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/12-13
Nghiệm của phương trình d’Alembert – thế chậm:  Tính thế ñiện của ñiện tích ñiểm q=q(t) 2 2 1 0 v ϕϕ ∂∆ − ∂ 2 = t  Chọn hệ tọa ñộ cầu gốc trùng q(t)  ϕ=ϕ(r,t)  PT d’Alembert cho ϕ ñược viết lại: 2 2 1 v ϕ ϕ∂ ∂ ∂  ⇒ − ∂ ∂ ∂  2 2 2 1 r = 0 r r r t 1(r,t)= U(r,t) r ϕ 2 2 2 1U U v ∂ ∂ ⇒ − ∂ ∂2 2 = 0 r t , ðặt: τ = r v ⇒ 2 2U U τ ∂ ∂ − ∂ ∂2 2 = 0 t (PT sóng), ðặt: 4.1. Trường ñiện từ biến thiên và tính chất sóng 4 Trần Quang Việt – BMCS – Khoa ðiện – ðHBK Tp.HCMa et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/12-13 τ τ−1 2U=K f(t )+K g(t+ ) U U τ ∂ ∂  − ∂ ∂  = 0 t U U τ ∂ ∂  + ∂ ∂  = 0 t ⇒ ⇒ τ−U= f(t ) τ+U= g(t ) ⇒  PT sóng ñược viết lại: U U τ τ ∂ ∂ ∂ ∂   + −  ∂ ∂ ∂ ∂   = 0 t t U U τ τ ∂ ∂ ∂ ∂   − +  ∂ ∂ ∂ ∂   = 0 t t  Lưu ý: U U τ τ ∂ ∂ ∂ ∂       ∂ ∂ ∂ ∂    = t t 4.1. Trường ñiện từ biến thiên và tính chất sóng  Trần Quang Việt – BMCS – Khoa ðiện – ðHBK Tp.HCMa et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/12-13  Ý nghĩa của : sóng +r vận tốc v/ vτ− −f(t )=f(t r ) 4.1. Trường ñiện từ biến thiên và tính chất sóng 5 Trần Quang Việt – BMCS – Khoa ðiện – ðHBK Tp.HCMa et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/12-13  Ý nghĩa của : sóng -r vận tốc v/ vτ +g(t+ )=g(t r ) 4.1. Trường ñiện từ biến thiên và tính chất sóng  Trần Quang Việt – BMCS – Khoa ðiện – ðHBK Tp.HCMa et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/12-13  Do hệ tọa ñộ cầu nên chỉ có hướng +r, hay U=Kf(t-r/v) ( ) / vϕ⇒ K r,t = f(t-r ) r với f(t) liên quan tới nguồn sinh ra ϕ  Nếu q không thay ñổi theo t thì: ( ) q r = 4 rϕ piε  Vậy khi q thay ñổi theo t thì: /( ) vϕ piε q(t-r ) r,t = 4 r  Trường hợp thể tích V mang ρv(t) 1 4 V ρϕ piε − ∫ (t R/v)dV(t)= R 4.1. Trường ñiện từ biến thiên và tính chất sóng 6 Trần Quang Việt – BMCS – Khoa ðiện – ðHBK Tp.HCMa et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/12-13  Tương tự, nghiệm của phương trình: V J(t-R/v)dV A(t)= 4 R µ pi ∫ 
 2 2 A A =- J t εµ µ∂∆ − ∂

 
Ý nghĩa của thế chậm:  Trường ñiện từ biến thiên có khả năng lan truyền trong không gian dưới dạng sóng ñiện từ  Công cụ toán quan trọng ñể tính trường ñiện từ bức xạ bởi anten 4.1. Trường ñiện từ biến thiên và tính chất sóng  Trần Quang Việt – BMCS – Khoa ðiện – ðHBK Tp.HCMa et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/12-13 4.2. ðịnh lý Poynting
Áp dụng kết quả giải tích vectơ ta có: div(E×H)=HrotE-ErotH






Áp dụng hệ phương trình Maxwell: )B Ddiv(E×H)=-H -E(J t t ∂ ∂ + ∂ ∂





  1 1 2 2 =-JE- HB - ED t t ∂ ∂       ∂ ∂    





Lấy tích phân 2 vế trong V: 1 1 2 2V div(E×H)dV=- JEdV- HBdV - EDdV V V V d d dt dt             ∫ ∫ ∫ ∫

 




 m e d d(W +W )(E×H)dS=P + dtS − ∫



  (Lưu ý: dS hướng ra khỏi V) 7 Trần Quang Việt – BMCS – Khoa ðiện – ðHBK Tp.HCMa et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/12-13 4.2. ðịnh lý Poynting
Theo ñịnh luật bảo toàn & chuyển hóa NL: m e d d(W +W )PdS=P + dtS − ∫


  dP : Công suất tổn hao nhiệt trong V m ed(W +W ) dt : Thay ñổi NL ñiện từ trong V (E×H)dS S − ∫



  : Công suất gửi vào trong V qua S  CS ñiện từ P E×H=


 : Vectơ Poynting (mật ñộ dòng cs ñiện từ) : ðịnh lý Poynting
Tính công suất ñiện từ qua mặt S: ( )EMP PdS S W= ∫


  Trần Quang Việt – BMCS – Khoa ðiện – ðHBK Tp.HCMa et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/12-13 4.3. Trường ñiện từ biến thiên ñiều hòa
Quy luật biến thiên theo thời gian của trường phụ thuộc vào quy luật biến thiên của nguồn (mật ñộ ñiện tích và mật ñộ dòng ñiện). Trong kỹ thuật ta thường gặp tín hiệu nguồn biến thiên ñiều hòa, mặt khác một tín hiệu bất kỳ ñều có thể biểu diễn thành tổng các tín hiệu ñiều hòa dùng chuỗi Fourier (tín hiệu tuần hoàn) hoặc tích phân Fourier (tín hiệu không tuần hoàn)  khảo sát trường ñiều hoàn là cơ bản và thực tế.
Một vectơ trường biến thiên ñiều hòa sẽ có dạng: ) ) )x y zxm x ym y zm zX=X cos( t+ a +X cos( t+ a X cos( t+ aω ω ωΨ Ψ + Ψ
    xm xm ym ym zm zmX =X (x,y,z);X =X (x,y,z);X =X (x,y,z) x x y y z z(x,y,z); (x,y,z); (x,y,z)Ψ = Ψ Ψ = Ψ Ψ = Ψ 8 Trần Quang Việt – BMCS – Khoa ðiện – ðHBK Tp.HCMa et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/12-13 4.3. Trường ñiện từ biến thiên ñiều hòa
Biểu diễn phức trường biến thiên ñiều hòa: )) )yx zj( t+j( t+ j( t+ x y zxm ym zmX=Re{ X e }a +Re{ X e }a Re{ X e }aωω ωΨΨ Ψ+
    )) )yx zj( t+j( t+ j( t+ cx y zxm ym zmX=Re{ X e a +X e a +X e a } =Re{ X }ωω ω • ΨΨ Ψ
   
 )) )yx zj ( t+j( t+ j( t+ c x y zxm ym zmX =X e a +X e a +X e a ωω ω • ΨΨ Ψ
    j tX e ω • =
 yx zjj j x y zxm ym zmX =X e a +X e a +X e a • ΨΨ Ψ
    X
 cX •
 X •
 Vectơ vật lý (miền thời gian) Vectơ biên ñộ phức tức thời Vectơ biên ñộ phức (miền phức – tần số)  Trần Quang Việt – BMCS – Khoa ðiện – ðHBK Tp.HCMa et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/12-13 4.3. Trường ñiện từ biến thiên ñiều hòa
Hệ phương trình Maxwell dạng phức: D rotH J t ∂ = + ∂

  ⇒ E rotH E t σ ε ∂ = + ∂


 ⇒ E rot H E t C C Cσ ε • • • ∂ = + ∂


 )j t j t j trot(H E j Ee e eω ω ωσ ωε • • • = +


 ⇒ ⇒ ( )rot H j Eσ ωε • • = +

 Tương tự, ta có hệ phương trình Maxwell dạng phức: ( )rot H j Eσ ωε • • = +

 rot E j Hωµ • • = −

 /div E vρ ε • • =
 0divH • =
 (1) (2) (3) (4) ~ rot H j Eω ε • • =

 rot E j Hωµ • • = −

 /div E vρ ε • • =
 0divH • =
 (1) (2) (3) (4) Hoặc ~ ( / )jε ε σ ω= − : ñộ thẩm ñiện phức 9 Trần Quang Việt – BMCS – Khoa ðiện – ðHBK Tp.HCMa et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/12-13
Vectơ Poynting trung bình – Công suất ðT trung bình: Re{ } Re{ }c cP(t)=E×H E H= × i i




 *1 2Re{ } Re{ } ( )cE E E Ej t j t j te e eω ω ω−= = + i i i i



 *1 2Re{ } Re{ } ( )cH H H Hj t j t j te e eω ω ω−= = + i i i i



Với: 2 * * 2 * *1 1 1 1 4 4 4 4P(t)= E H E H E H E Hj t j te eω ω−× + × + × + × i i i i i i i i








 ⇒ 2 *1 1 2 2Re{ } Re{ }P(t)= E H E Hj te ω× + × i i i i




 ⇒ ⇒ *1 2 Re{ } E H= × i i


 4.3. Trường ñiện từ biến thiên ñiều hòa 2( / )W m S >= ∫


 EM<P P dS ⇒ ( )W  Trần Quang Việt – BMCS – Khoa ðiện – ðHBK Tp.HCMa et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/12-13 4.3. Trường ñiện từ biến thiên ñiều hòa
Ví dụ: Trong môi trường có µ=µ0, tồn tại trường ñiện có vectơ cường ñộ trường ñiện: 810 cos(2 .10 3 ) ( / )E z xe t z a V mpipi pi pi−= −
  Hãy xác ñịnh vectơ cường ñộ trường từ gắn với trường ñiện trên? Tính CSðT trung bình qua hình vuông a=2m trong măt phẳng z=1mm