Toán kĩ thuật - Hàm phức và ứng dụng

Toán kỹ thuật I. Giải tích Fourier II. Phép biến đổi Laplace III.Hàm phức và ứng dụng Hàm phức và ứng dụng 1. Hàm giải tích 2. Tích phân phức 3. Chuỗi hàm phức 4. Lý thuyết thặng dư 5. Ứng dụng của lý thuyết thặng dư 6. Phép biến đổi bảo giác 2. Tích phân phức a. Tích phân đường phức b. Công thức tích phân Cauchy c. Công thức tích phân Poisson 2. Tích phân phức Tích phân phức Ví dụ: Nhận xét: Không phải hàm phức nào cũng dễ dàng tìm được nguyên hàm => cần tìm phương pháp khác để giải: - Chuyển sang tích phân đường 2 biến x,y. - Dùng các định lý.   22 22 00 1 1 2 2 2     jj zdz z j 2. Tích phân phức a. Tích phân đường phức Định nghĩa:   0 1 ( ) lim      k n k k z kC f z dz f z z 1. Hàm giải tích Một số tính chất và định lý liên quan Tích phân phức cũng mang các tính chất của tích phân thực (xem tài liệu) Ví dụ: Tính tích phân: với C là đoạn AD       . ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )            C C C C i f z dz u x y jv x y dx jdy u x y dx v x y dy j v x y dx u x y dy 2  C z dz 1. Hàm giải tích Một số tính chất và định lý liên quan Giải:         2 2 2 2 2 5 5 2 1 1 3 3 2 1 1 2 2 1 2 36 24 124 10 25 40 3 196 4 3                                        C C C AB BD AB BD I z dz x y dx xydy j xydx x y dy I x dx j x dx j I y dy j y dy j I I I j 1. Hàm giải tích Một số tính chất và định lý liên quan ii. Định lý 3.1: Nếu f(z) liên tục trên C, |f(z)| ≤ M, thì: iii. Định lý 3.2 (bổ đề Green):Nếu miền D có biên C trơn từng đoạn, P(x,y), Q(x,y), ∂P/∂y và ∂Q/∂x liên tục trong và trên biên của D thì: ( ) ; ( )  C f z dz ML L length C             C D Q P Pdx Qdy dxdy x y 1. Hàm giải tích Một số tính chất và định lý liên quan iv. Định lý 3.5 (Định lý Cauchy): Nếu f(z) là giải tích tại mọi điểm thuộc miền D giới hạn bởi đường cong C trơn từng đoạn thì: ( ) 0 C f z dz 1. Hàm giải tích Một số tính chất và định lý liên quan v. Định lý 3.6 (Nguyên lý biến dạng chu tuyến): Nếu đường cong C1 có thể biến dạng thành C2 mà không vượt qua bất kỳ điểm nào mà tại đó f(z) không giải tích thì: Ví dụ: Tính tích phân với C là một đường cong bất kỳ: a. Không chứa gốc tọa độ b. Chứa gốc tọa độ? 1 2 ( ) ( )  C C f z dz f z dz 1  C dz z 1. Hàm giải tích Một số tính chất và định lý liên quan Giải: a. Nếu C không chứa gốc tọa độ, theo định lý Cauchy ta có (gốc tọa độ z0 = 0 là một điểm mà f(z) không giải tích). b. Nếu C chứa gốc tọa độ, theo nguyên lý biến dạng chu tuyến, có thể chọn C là đường tròn z = reiθ (0 ≤ θ ≤ 2π). Khi đó: Kết quả này có thể mở rộng cho tích phân 2 2 0 0 1 1 2                j j j C dz jre d dz jre d j d j z re 1 0 C dz z 0 1  C dz z z 1. Hàm giải tích Một số tính chất và định lý liên quan vi. Định lý 3.7: Nếu f(z) giải tích trong một miền đơn liên D thì tích phân không phụ thuộc vào đường lấy tích phân trong D. 1 0 ( ) z z f z dz 1. Hàm giải tích Một số tính chất và định lý liên quan iv. Nếu đường cong kín C bao quanh n điểm không giải tích của f(z) thì: Trong đó γi là đường cong bao quanh (duy nhất) điểm không giải tích zi. 1 2 ( ) ( ) ( ) ... ( )           nC f z dz f z dz f z dz f z dz 1. Hàm giải tích Một số tính chất và định lý liên quan Ví dụ: Tính tích phân: a. C là đường cong chứa cả hai điểm 1, -2j. b. C chỉ chứa -2j, không chứa điểm 1. Giải: ( 1)( 2 )    C z I dz z z j 1 2 1 1 (1 2 ) (4 2 ) 3 1 5 2 1 1 17 4 . (1 2 )2 (4 2 )2 2 3 5 15 15 1 4 2 . 0 (4 2 )2 2 5 5 5                                     C C dz dz I j j I I z z j a I j j j j j j b I j j j j 1. Hàm giải tích b. Công thức tích phân Cauchy Nếu f(z) giải tích tại mọi điểm thuộc miền D, C là một đường kín, trơn từng đoạn trong D, z0 ∈ D thì: Nếu đạo hàm bậc n của f(z) tồn tại thì: 0 0 1 ( ) ( ) 2   C f z f z dz j z z   ( ) 0 1 0 ! ( ) ( ) 2     n n C n f z f z dz j z z 1. Hàm giải tích b. Công thức tích phân Cauchy Ví dụ: Tính các tích phân sau: C là đường tròn bán kính 1 và có tâm là: i. z = j; ii. z = -j. C là đường cong kín bất kỳ chứa 3 điểm z = 1; -2 và –j. C là đường cong kín chứa điểm z = 1. 1 2 1. 1   z C e I dz z 2 4 3 3 2 2. ( 1)( 2)( ) 3. ( 1)         C C z I dz z z z j z I dz z 1. Hàm giải tích b. Công thức tích phân Cauchy Giải: 1. Tham khảo tài liệu 2. Trong đó C1, C2, C3 là 3 đường cong kín lần lượt chứa (duy nhất một) các điểm 1; - 2 và -j. Theo công thức tích phân Cauchy: 1 2 3 2 2 2 ( 2)( ) 1 ( 1)( ) 2 2 ( 1)( 2)                C C C z dz z dz I z z j z z z j z z dz z z z j 2 2 4 2 2 3(1 ) ( 3)( 2 ) ( 1)( 2)                  j I j j j j j 1. Hàm giải tích b. Công thức tích phân Cauchy Giải: 3.   41 3 13 2 2 3 12 1 1 ( ) ; ( ) ( 1) 1 2 ( ) 12 12 2!                  C z z f z I dz f z z z d I j f z j z j dz 1. Hàm giải tích b. Công thức tích phân Cauchy Định lý Morera: Nếu f(z) liên tục trong miền D và với mọi đường kín C trong D thì f(z) giải tích trong D. Bất đẳng thức Cauchy: Nếu f(z) giải tích trong miền D, C là một đường tròn tâm z0 bán kính r nằm trong D thì: ( ) 0 C f z dz ( ) 0 ! ( ) max ( )    n n z C n M f z r M f z 1. Hàm giải tích c. Công thức tích phân Poisson Công thức tích phân Poisson: 2 2 2 2 2 0 1 ( , ) ( , ) 2 2 cos( )             R r u r u R d R Rr r 1. Hàm giải tích Bài tập: 1. Tính trực tiếp các tích phân sau: 2. Kiểm tra lại kết quả câu 1d bằng cách chuyển sang tích phân thực với 2 biến x,y và đường lấy tích phân là đường thẳng nối liền 2 điểm 0, 3 + j.         1 1 2 0 0 31 2 0 . . cos . .          j j z j z j a e dz b z dz c e dz d z dz 1. Hàm giải tích Bài tập: 3. Tính tích phân sau: Với đường lấy tích phân: a. Nữa đường tròn |z| = 1 ở bên phải mặt phẳng phức b. Dọc theo trục tung. 4. Tính tích phân sau: Với C là: a. Đường thẳng nối 2 điểm z = 2 và z = j2. b. 2 đoạn thẳng, đoạn 1 từ z = 2 đến z = 2 + j2, đoạn 2 từ z = 2 + j2 đến z = j2. c. Một phần tư đường tròn |z| = 2 từ điểm z = 2 đến z = j2.  2 2   j j x jy dz 2( 3 ) C z z dz 1. Hàm giải tích Bài tập: Áp dụng định lý Cauchy và các hệ quả liên quan tính các tích phân sau: Với C là: a. Đường tròn |z| = 1 b. Đường tròn |z| = 3. Với C là: a. Đường tròn |z| = 3 b. Đường tròn |z| = 5. Với C là: a. Đường tròn |z| = 1 b. Đường tròn |z - 2j| = 3 c. Đường tròn |z – 1 + 2j| = 2 2 5. (2 1)( 2)  C zdz z z 5 6. ( 1)( 2)( 4 )   C zdz z z z j 2 sin 2 7. 4 5  C zdz z z 1. Hàm giải tích Bài tập: Với C là: a. Đường tròn |z| = 1 b. Đường tròn |z| = 3. 2 4 8. ( 1)( 2)  C zdz z z