Bất biến của giới hạn thuận qua phép lấy thương

TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 35.2017 44 BẤT BIẾN CỦA GIỚI HẠN THUẬN QUA PHÉP LẤY THƯƠNG Phạm Thị Bích Hà1, Lê Xuân Dũng2 TÓM TẮT Bài báo chứng minh giới hạn thuận được bảo toàn qua phép lấy thương đối với hệ thuận tổng quát. Đây là sự mở rộng một số kết quả xét trên một số hệ thuận đặc biệt của J. J. Rotman. Từ khóa: Giới hạn thuận, A-môđun trái. 1. GIỚI THIỆU Cho là một vành và là họ các R-môđun trái (gọi tắt là R-môđun) trên tập sắp thứ tự bộ phận Giới hạn thuận của luôn tồn tại (xem trong [3], [5], [6]). Ngay sau khi ra đời các khái niệm này có những ứng dụng quan trọng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của Đại số và Hình học đại số, chẳng hạn đối với Đại số giao hoán trong [4, Section 1] đưa ra cách tính môđun đối đồng địa phương thông qua tính giới hạn thuận. Để phát huy hiệu quả ứng dụng của khái niệm giới hạn thuận trong các lĩnh vực khác, các nhà toán học quan tâm nghiên cứu đến cấu trúc và tính bất biến của giới hạn thuận qua một số phép toán (xem trong [1], [2], [3], [4]). Mục đích chính của bài báo này là mở rộng các kết quả của phép lấy giới hạn thuận qua phép lấy thương của J. J. Rotman [5, Section 5.2]. Ngoài phần giới thiệu, bài báo chia thành hai mục. Mục 2 xây dựng một hệ thuận mới từ hai hệ thuận ban đầu (Mệnh đề 2.4). Mục 3 trình bày kết quả chính của bài báo về tính bất biến của giới hạn thuận qua phép lấy thương (Định lý 3.4) và khi xét hai hệ thuận đặc biệt ta nhận được các kết quả của J. J. Rotman [5, Section 5.2] (Hệ quả 3.5, Hệ quả 3.6). 2. HỆ THUẬN Trong bài viết luôn giả thiết là vành và M là R-môđun trái (gọi tắt là R-môđun). Giả sử là một tập sắp thứ tự bộ phận, không mất tính tổng quát ta kí hiệu quan hệ đó là . Một tập sắp thứ tự bộ phận I được gọi là một tập định hướng nếu với mọi luôn tồn tại sao cho và . Định nghĩa 2.1. Giả sử là một họ các R-môđun và là một tập tựa sắp thứ tự bộ phận. gọi là một hệ thuận các R-môđun ứng với tập chỉ số nếu với mọi sao cho luôn tồn tại một đồng cấu thỏa mãn hai điều kiện sau: 1, 2 Giảng viên khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Hồng Đức R { }i i IM  .I { }i i IM  R I " " ,i j I k I i k j k  i i IG  I  i i IG  I ,i j I i j :ij i jG G  TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 35.2017 45 là đồng cấu đồng nhất với mọi . Nếu sao cho thì , nghĩa là biểu đồ sau giao hoán: Hệ thuận được định nghĩa như trên kí hiệu là . Ví dụ 2.2. Cho dãy các môđun con của R-môđun như sau: Khi đó, ta có họ là hệ thuận trên tập định hướng trong đó là phép nhúng từ vào Ví dụ 2.3. Đặt là môđun con của Theo [3, Ví dụ 2.5], ta xem là tập chỉ số trên chính nó và họ là hệ thuận trên tập định hướng Giả sử là các R-môđun sao cho tồn tại một đơn cấu các R-môđun và lần lượt là các hệ thuận các môđun con tương ứng của M và N trên các tập định hướng và trong đó và là các phép nhúng. Giả sử hai họ và thỏa mãn tính chất sau: với mọi tồn tại sao cho . Khi đó ta có thể xây dựng được hệ thuận mới từ hai họ như sau: Mệnh đề 2.4. Giả sử ta có hai môđun và hai họ môđun con thỏa mãn các điều kiện như trong lập luận trên. Khi đó Đặt cùng với quan hệ , xác định như sau: nếu và và I là một tập định hướng. Tồn tại họ đồng cấu trong đó sao cho họ các phần tử là một hệ thuận trên tập định hướng Chứng minh. Với mọi cặp phần tử do là tập định hướng nên tồn tại sao cho . Khi đó tồn tại sao cho Vì là tập định hướng nên tồn tại sao cho nên :ii i iG G  i I k I i j k  .i j ik k j    , ii jG G  M 0 1 nM M M      , ( )ii jM i j   , :ij i jM M  iM .jM {A |A   }.M   ', , 'AAA A A  . ,M N : .f N M  ', ( )ii jA i j  M  , ( ) u u vB u v  N M N, ij u v  ', ( )ii jA i j  MA =  , ( ) u vB u v  NB= uN iM ( )u if B A A,B ,M N A,B {( , ) ( ) | ( ) }i u u iA B f B A   A,B " " ( , ) ( , )i u j vA B A B i j u v ( , ) ( , ) : / ( ) / ( ), i u j v i u j vA f B A f B  ,i j u v  ( , ) ( , ){( , ), ( , )} i u i u j vA B i j u v   . ( , ), ( , ) ( ( ) , ( ) )i u j v u i v jA B A B f B A f B A  I , N wN , u v w kM ( ) .w kf B A M tM , ,i j k t TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 35.2017 46 Do vậy và thỏa mãn . Vậy là tập định hướng. Với mọi cặp phần tử luôn xác định dãy đồng cấu các R-môđun ( , ) ( , )/ ( ) / ( ) / ( ) i u u j j vi i u j u j vA f B A f B A f B    , trong đó ( , ) ( ( )) ( ) ( )i u ij i u j i ui a f B a f B   và ( , ) ( ( )) ( ). u j v j u j va f B a f B    Đặt ( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , ), ( ( )) ( ) ( ). i u u i u i u i j v j v j j v i u j i vi a f B a f B       Giả sử Ta có Vậy là một hệ thuận trên tập định hướng 3. PHÉP LẤY THƯƠNG QUA GIỚI HẠN THUẬN Mục này, trình bày các kết quả chính của bài báo. Trước hết ta nhắc lại khái niệm của giới hạn thuận và cấu trúc của giới hạn thuận khi tập chỉ số là tập định hướng. Định nghĩa 3.1. ([3, trang 237]) Giả sử là một hệ thuận các R-môđun ứng với tập chỉ số . Giới hạn thuận của hệ , kí hiệu là hoặc là một R-môđun và một họ đồng cấu các R-môđun sao cho , trong đó , thỏa mãn tính chất: với mọi R-môđun X và họ các đồng cấu sao cho , tồn tại duy nhất một đồng cấu làm cho biểu đồ sau giao hoán: Mệnh đề 3.2. ([3, Proposition 5.23 và Lemma 5.30]) Giới hạn thuận của một hệ thuận các mô đun R-môđun trên một tập chỉ số sắp thứ tự luôn tồn tại và được xác định như sau: ( ) .w tf B A w( , ) tA B I w( , ), ( , ) ( , )i u j v tA B A B A B  ( , ), ( , ) , , i u j vA B A B i j u v   w( , ) ( , ) ( , ).i u j v tA B A B A B  ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ( )) ( ( ) ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ( )). j v i u j v i j i t w j v i u t w j i v t j i w i i u t i w t w i u a f B a f B a f B a f B a f B                  ( , ) ( , ){( , ) , ( , )} i u i u j vA B i j u v   J . G I G limi I iG lim iG : limi i iG G   ii j j   i j :i ig G X i i j jg g  : lim ig G X    , ,ii j IM i j  lim ( ) / ,i iM M S  TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 35.2017 47 trong đó và là đồng cấu nhúng thứ i. Hơn nữa, nếu là một tập định hướng, ta có Mỗi phần tử của luôn viết được dưới dạng . khi và chỉ khi tồn tại sao cho và Nhận xét. Theo Mệnh đề 2.4, ta có ba họ và là các hệ thuận, kết hợp với mệnh đề trên ta thấy giới hạn thuận của các họ này tồn tại và được xác định như sau: trong đó và trong đó và trong đó và Nếu thỏa mãn thêm điều kiện với mọi thỏa mãn ta có thể xây dựng được một đơn cấu từ vào như trong bổ đề sau: Bổ đề 3.3. Cho hai họ , tập được xác định như nêu trong Mệnh đề 2.4 và với mọi sao cho thỏa mãn Khi đó tồn tại một đơn cấu từ vào Hơn nữa, Chứng minh: { ( ) - ( ) | , , , }ij j i i i i iS m m i j I i j m M      :i i iM M  I lim iM ( )i im S  ( ) 0i im S   t I i t ( ) 0. i t im  A,B I 1lim { ( ) | , },i i i i i iA a S i a A     M M : , ( ) (...,0, ,0,...)i i i i i i iA A a a  M 1 { ( ) - ( ) | , , }. i j j i i i i iS a a i a A i j     M 2lim { ( ) | , },u u u u u uB b S u b B     N N : , ( ) (...,0, ,0,...)u u u u u u uB B b b  N 2 { ( ) - ( ) | , , }. u v v u u u u uS b b u b B u v     N ( , ) ( , )lim { ( ( )) | ( , ) , }, ( )i u i A B i u i u i u i i u A a f B S A B a A f B       J J i u( , ) {(A ,B ) } ( , ) : , ( ) (0,..., ( ),...,0) ( ) ( ) i i i u i u i u i u u u A A a B a f B f B f B     J ( , ) ( , ) ( , ) ( , ){ ( ( )) - ( ( )) | ( , ) , ( , ) ( , )}. i u j v j v i u i u i u i u i i i u j vS a f B a f B A B a A A B A B       J, A,B ( , ), ( , )i u j vA B A B I, ( , ) ( , )i u j vA B A B . . u v i u j vB B f f  limu uB N limi iA M  ', ( ) ,ii jA i j  MA =  , ( ) u u vB u v  NB= I ( , ), ( , )i u j vA B A B I ( , ) ( , )i u j vA B A B . . . u v i u j vB B f f  limu uB N lim .i iA M 1lim { ( ) | , ( ) , ( )}.i u i i u i i uB a S u f B A a f b       M N TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 35.2017 48 Lấy tồn tại sao cho , để cho gọn ta đặt . Xét tương ứng Trước hết ta cần chứng minh là một ánh xạ. Lấy , hay Tồn tại sao cho trong đó Theo Mệnh đề 2.4 (i), tồn tại và thỏa mãn Đặt dẫn đến do đó Theo Mệnh đề 3.2 (ii), tồn tại sao cho hay Theo tính chất của hai họ tồn tại sao cho Theo Mệnh đề 2.4 (i), tồn tại và thỏa mãn Do vậy từ ta có suy ra Vì và nên và Dẫn đến Đặt dẫn đến do đó Ta có Theo Mệnh đề 3.2 (ii) ta có hay Vậy là một ánh xạ. Lấy . Tồn tại sao cho trong đó Khi đó ta có Theo Mệnh đề 2.4 (i), tồn tại và thỏa mãn Đặt dẫn đến ( ) ( ) ( ),w w u u v vb b b    2 2( ) ( ) ( ) 0.u u v v w wb b S b S       Do vậy 2 2 t 1( ( ) ( ) ) ( ( ) ) ( ) ,u u v v w w tg b b S g b S a S         trong đó Vì vậy Từ đó ta nhận được 2( ) lim ,uu u ub S B    N iM ( )u if B A ( )i ua f b 2 1: lim lim , ( ( ) ) ( )u iu i u u i ig B A g b S a S      N M g 2 2( ) ( )u u v vb S b S    2( ) ( ) 0.u u v vb b S    ,i jM 2 1 2 1( ( ) ) ( ) , ( ( ) ) ( ) ,u u i i v v j jg b S a S g b S a S         ( ), ( ).i u j va f b a f b  w( , ) tA B I w( , ), ( , ) ( , ).i u j v tA B A B A B ( ) ( ), u v w w u w vb b b   ( ) ( ) ( ),w w u u v vb b b    2 2( ) ( ) ( ) 0.u u v v w wb b S b S       ,z w z N ( ) 0wz wb  ( ) ( ). u v z u z vb b  A,B, kM ( ) .z kf B A q( , ) pA B I w q( , ),( , ) ( , ).t k z pA B A B A B ( ) ( ) u v z u z vb b  ( ) ( )u vq u q vb b  ( ( )) ( ( )). u v q u q vf b f b  u q( , ) ( , )i pA B A B v q( , ) ( , ),j pA B A B ( ( )) ( ( )) ( )u i iq u p u p if b f b a    ( ( )) ( ( )) ( ). v j j q v p v p jf b f b a    ( ) ( )i jp i p ja a  ( ) ( ) ,i jt t i t ja a a   ( ) ( ) ( ) ,t t i i j ja a a    1 1( ) ( ) ( ) .i i j j t ta a S a S      ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0.t t i t j i jp t p t i p t j p i p ja a a a a           1( ) ( ) 0i i j ja a S    1 1( ) ( ) .i i j ja S a S    g 2 2( ) , ( ) limuu u v v ub S b S B      N ,i jM 2 1 2 1( ( ) ) ( ) , ( ( ) ) ( ) ,u u i i v v j jg b S a S g b S a S         ( ), ( ).i u j va f b a f b  2 2 1( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) ,u u v v i i j jg b S g b S a a S         w( , ) tA B I w( , ),( , ) ( , ).i u j v tA B A B A B w( ) ( ) , u v w w u w vb b b B    w( ).ta f b w( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). u v i j i j t w u w v t u t v t i t ja f b f b f b f b f b a f a            1 1 2( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ).i i j j t t u u v va a S a S g b b S           TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 35.2017 49 Giả sử Theo Mệnh đề 3.2 (ii) tồn tại sao cho Ta lại có Vì là đơn cấu nên theo Mệnh đề 3.2 (ii) ta nhận được Vậy là đơn cấu. Theo kết quả trên, ta có thể xem là môđun con của do đó không mất tính tổng quát ta có thể viết thay cho môđun thương và thay cho . Từ đó ta có thể phát biểu kết quả chính của bài báo như sau: Định lý 3.4. Cho hai họ , tập được xác đinh như nêu trong Bổ đề 2.4 và với mọi sao cho thỏa mãn Khi đó Chứng minh. Xét tương ứng Ta chỉ cần chứng tỏ tương ứng trên là một ánh xạ. Thật vậy, giả sử trong đó suy ra Do vậy Từ đó ta nhận được hay . Do đó là ánh xạ. Với mọi ta có biểu đồ giao hoán sau Thật vậy 2 1( ( ) ) ( ) 0.u u i ig b S a S     ,k i k M ( ) 0.ik ia  ( ) ( ( )) ( ( )). i i u k i k u u ua f b f b    f ( ) 0,uu ub  2( ) 0.u ub S   g limu uB N lim ,i iA M lim lim i i u u A B     M N lim (lim ) i i i i A g A     M M i u A B ( ) i u A f B  ', ( ) ,ii jA i j  MA =  , ( ) u u vB u v  NB= I ( , ), ( , )i u j vA B A B I ( , ) ( , )i u j vA B A B . u v i u j vB B f f  ( , ) lim lim . limi u ii i A B uu u A A B B       M J N     1, , lim : , ( ( )) ( ( ) ) lim . ( ) lim ii i ui u i i ui u i u uu u A A a f B a S B f B B             M N N ( ) ( )i u i ua f B b f B   ,i i ia b A ( ).i i ua b f B  1( ( ) ) lim 0.ui i i ua b S B     N 1 1( ( ) ) lim ( ( ) ) limu ui i u i i ua S B b S B       N N    , ,( ( )) ( ( ))i u i ui u i ua f B b f B     ,i u ( , ) ( , ),i u j vA B A B ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 1 1 1 ( , ) ( ( )) ( ( )) ( ( ) ) lim ( ( ( )) ) lim ( ( ) ) lim ( ). i u vj v j v i u j v i u j i v i v vj j i v i i v i u i u a f B a f B a S B a S B a S B a f B                             N N N TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 35.2017 50 Xét biểu đồ giao hoán Lấy Với mỗi luôn tồn tại cho . Vì là tập định hướng nên luôn tồn tại sao cho Khi đó nên Vì vậy ta xác định được tương ứng sau: Giả sử hay Khi đó tồn tại sao cho Giả sử Đặt ta có Khi đó Đặt suy ra Theo Mệnh đề 3.2 (ii) tồn tại sao cho hay Tồn tại sao cho Khi đó Vậy là một ánh xạ. Ngoài ra dễ dàng thấy là một toàn cấu. Khi đó ta có Lập luận tương tự trên, giả sử ta có Theo Mệnh đề 3.2 (ii), tồn tại sao cho hay như vậy Do vậy 1( ) lim .ii i ia S A    M vN tM ( )v tf B A M kM , .i t k ( , )k vA B  J ( , )( , ) ( ( )) lim .i v i A Bk v i v v A a f B S B      J ( , ) 1 ( , ): lim lim , ( ( ) ) ( ( ) ( )) .i u ii i A Bi i i k v k i v u A h A h a S a f B S B         M J 1 1( ) ( )i i j ja S a S    1( ) ( ) 0.i i j ja a S    ( , )t w 1 ( , )( ( ) ) ( ( ) ( )) . j j j t w t j wh a S a f B S      ( , ), ( , ) ( , ).k v t w   ( ) ( )i ji ja a a     ( , ) ( , ) ( , ) ( , )( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )). k v i t w j k i v t j wa f B a f B a f B             ( , ) ( , ) ( , )( ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) i j k v k i v t w t j wa f B a f B a f B            ( ) ( )i jt t i t ja a a   ( ) ( ) ( ).t t i i j ja a a    ,p t p M ( ( )) 0tp t ta   ( ) ( ) 0. i j p i p ja a   q p q z  M, , N ( , ), ( , ) ( , )t w q zA B A B A B   J. ( , ) ( , ) ( , ) ( , )( ( )) ( ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) 0 i j i j q z q z i j p i p j za f B a a f B a a f B                      h h ( , ) lim lim . ker( )i u ii i A B u A A B h      M J 1( ( ) ) 0i ih a S   ( , ) ( ( ) ( )) 0. i k v k i va f B S     ( , )t zA B J, ( , ) ( , )k v t zA B A B ( , ) ( , ) ( ( ) ( )) 0 k v i t z k i va f B    ( ) ( )) 0,it i za f B   ( ) ( )). i t i za f B  ker( ) lim .u uh B  N ( , ) ( , ) i u j v TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 35.2017 51 Hệ quả 3.5. ([5, Corollary 5.38]) Cho A là R-môđun trái, là một hệ thuận các môđun con của A trên tập định hướng I. Khi đó ta có: i) . ii) . Chứng minh. (i) Áp dụng Định lý 3.4, cho hai môđun và B = 0 và cho hai hệ thuận các mô đun con của A, B là . Kết hợp với ta nhận kết quả (i) của Bổ đề. (ii) Áp dụng Định lý 3.4, cho hai môđun và B = 0 và cho hai hệ thuận các môđun con của A và B là . Kết hợp với ta nhận được kết quả của (ii) của bổ đề. Hệ quả 3.6. ([5, Proposition 5.37]) Cho B là môđun con của A và hai hệ thuận các môđun con của A và B lần lượt là , thỏa mãn với mọi luôn tồn tại sao cho và . Trên tập trang bị một quan hệ thứ tự bộ phận “ ” như sau: với mọi thì khi và chỉ khi và . Khi đó Chứng minh. Áp dụng Định lý 3.4, cho hai môđun A, B và cho hai hệ thuận các môđun con của A, B là . Kết hợp với và ta nhận kết quả của bổ đề. 4. KẾT LUẬN Ngoài phần giới thiệu, bài báo chia thành hai mục. Mục 2 xây dựng một hệ thuận mới từ hai hệ thuận ban đầu (Mệnh đề 2.4). Mục 3 trình bày kết quả chính của bài báo về tính bất biến của giới hạn thuận qua phép lấy thương (Định lý 3.4) và khi xét hai hệ thuận đặc biệt ta nhận được các kết quả của J. J. Rotman [5, Section 5.2] (Hệ quả 3.5, Hệ quả 3.6).  ', ( )ii j IA i j  limi I i i i I A A    lim / /i I i i i I A A A A    i i I A A      ' ', ( ) 0, ( )i ii j i jI IA i j B i j   A= ,B= limi I i i i I A A A     lim 0i I u u u I B B     i i I A A      ' ', ( ) 0, ( )i ii j i ju IB A i j A i j    A= ,B= limi I i i i I B B A     limi I i i u I A A     ', ( )ii jA i j  MA =  , ( ) u u vB u v  NB= uB B iA A u iB A ,i i i i A A B B     M N = = {( , ) | }A B B A    A B  ( , ), ( , )i u j vA B A B I ( , ) ( , )i u j vA B A B i jA A u vB B  ( , )lim / / .i uA B i uA B A B  J A,B lim i i i i A A A    M M lim i u u u B B B    N N TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 35.2017 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lê Quang Huy (2016), Bảo toàn giới hạn qua lấy tổng trực tiếp, Tạp chí khoa học, Trường Đại học Hồng Đức, Số 29, 6- 2016. [2] L. Angeleri-Hügel, J. Trlifaj (2004), Direct limits of modules of finite projective dimension, Lecture Notes in Pure and Appl. Math., 236, Dekker, New York, pp. 27-44. [3] M. F. Atiyah and I. G. Macdonald (1969), Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley. [4] M. Brodmann and R.Y. Sharp (1998), Local cohomology - an algebraic introduction with geometric applications, Cambridge University Press. [5] J. J. Rotman (2000), An introduction to homological algebra, Academic Press. [6] C. A. Weibel (1997), An introduction to homological algebra, Cambridge University press. QUOTIENT MODULES PRESERVES DIRECT LIMITS Pham Thi Bich Ha, Le Xuan Dung ABSTRACT In this paper, we show that quotient of left -modules preserves direct limits. These results extend previous results of J. J. Rotman. Keywords: Direct limits, left A-modules. A