Bài toán biên thứ nhất cho phương trình cấp hai tuyến tính tổng quát với dạng đặc trưng đổi dấu - Nguyễn Thị Ngân

T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 2(46) Tập 2/N¨m 2008 111 BÀI TOÁN BIÊN THỨ NHẤT CHO PHƯƠNG TRÌNH CẤP HAI TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT VỚI DẠNG ĐẶC TRƯNG ĐỔI DẤU Nguyễn Thị Ngân (Trường ĐH Sư phạm – ĐH Thái Nguyên) 1. Mở đầu Bài toán biên thứ nhất cho phương trình cấp hai tuyến tính tổng quát với dạng đặc trưng không âm đã được trình bày trong nhiều tài liệu ( xem [1], [2], [3]). Trong mục này chúng tôi mô tả phương trình đạo hàm riêng cấp hai tuyến tính tổng quát với dạng đặc trưng đổi dấu trong miền Ω+ và Ω-, cách đặt bài toán biên thứ nhất cho từng miền Ω+ và Ω- một cách riêng biệt. 1.1 Phương trình với dạng đặc trưng đổi dấu Ta ký hiệu Ω là miền bị chặn trong Rn với biên ∑ ≡ ∂Ω . Trong Ω cho phương trình cấp hai tuyến tính tổng quát với dạng đặc trưng đổi dấu như sau: ∑∑ == =++= n k x k n jk xx kj xfuxcuxbuxaxuL kjk 11, )()()()()()( ϕ (1.1) với điều kiện: akj = ajk ; (1.2) , 1 ( , ) ( ) 0; n kj k j k j A x a xξ ξ ξ = = ≤∑ (1.3) cho mọi véc tơ ξ = (ξ1, , ξn) và mọi điểm x ∈ Ω. Hàm số ϕ(x), f(x), u(x) ∈ Lp (Ω). Ta giả thiết hàm ϕ(x) có tính chất: Nếu ϕ(x) = 0 thì grad ϕ(x) ≠ 0 (1.4) Ω = Ω+ ∪ S ∪ Ω- với: Ω+ = {x ∈ Ω ; ϕ (x) > 0} ; Ω - = {x ∈ Ω ; ϕ (x) < 0} ; S = {x ∈ Ω ; ϕ (x) = 0} ; Mặt S phân chia miền Ω (một cách địa phương) thành hai miền: một miền có ϕ(x) > 0, miền còn lại có ϕ(x) < 0. 1.2 Mô tả phương trình trong các miền Ω+ , Ω- Ta kí hiệu Σ+ là biên của miền Ω+. Σ - là biên của miền Ω- Biên Σ của miền Ω được chia dưới dạng: Σ = Σ' ∪ Σ " ; trong đó: ' +Σ = ∑∪Ω ; '' − Σ = ∑∪Ω . Do vậy: T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 2(46) Tập 2/N¨m 2008 112 ' ; " . S S + − ∑ ∪ = ∑ ∑ ∪ = ∑ Trong miền Ω+, ta xét phương trình cấp hai tuyến tính tổng quát có dạng: ∑∑ == =++= n k x k n jk xx kj xfuxcuxbuxaxuL kjk 11, )()()()()()( ϕ (1.5) Do điều kiện (1.3) và ϕ (x) > 0 trong miền Ω+ nên phương trình (1.5) là phương trình cấp hai tuyến tính tổng quát với dạng đặc trưng không âm. Hàm số: ∑ ∑ ∑ = = = + −−= n k n j n j k kj xjxj kjk aabxb 1 1 1 )()( ηϕϕ , trong đó )...,( `,21 nηηηη = là véc tơ pháp tuyến trong đơn vị tại mỗi điểm x∈ Σ+, là hàm Fikera cho phương trình (1.5). Ta ký hiệu: { } { } { } { } ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ + + + + + + + + + + + + + + = <∈= >∈= =∈= =∈= 3 0 2 0 1 0 0 0 0 000 \ ;0)(; ;0)(; ;0)(; ;0))(,(; xbx xbx xbx xxAx η Ta có: ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ +++++ ∪∪∪= 2103 Trong miền Ω - , nhân hai vế của (1.5) với (-1) ta có: ∑∑ == −=−−−= n k x k n jk xx kj xfuxcuxbuxaxuL kjk 11, )()()()()()( ϕ (1.6) Do điều kiện (1.3) và ϕ(x) < 0 trong miền Ω - nên phương trình (1.6) là phương trình cấp hai tuyến tính tổng quát với dạng đặc trưng không âm. Hàm số: 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) , j j n n n k k j k j kx x k j j b x b a aϕ ϕ η − = = =   = − − − − −    ∑ ∑ ∑ trong đó )...,( `,21 nηηηη = là véc tơ pháp tuyến trong đơn vị tại mỗi điểm x∈ Σ-, là hàm Fikera cho phương trình (1.6). Ta ký hiệu: { } { } { } { } ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ − − − − − − − − − − − − = <∈= >∈= =∈= =∈= 3 0 2 0 1 0 _ 0 0 0 _ 000 \ ;0)(; ;0)(; ;0)(; ;0))(,(; xbx xbx xbx xxAx η T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 2(46) Tập 2/N¨m 2008 113 Ta có: ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ −−−−− ∪∪∪= 2103 Ta dễ dàng chứng minh được các định lý sau: Định lý 1.2.1: Với mọi x ∈ S véc tơ grad ϕ(x) cùng hướng với véctơ pháp tuyến trong đơn vị miền Ω+. Định lý 1.2.2. ∑ ∑+ −∩⊂ 0 0S Định lý 1.2.3. Với mọi x ∈ S, ta có: b+(x) = b-(x) (1.7) Định lý 1.2.4. Giả sử hàm ϕ(x) thỏa mãn điều kiện sau: 1 , 1 ( ) ( ) ( ) ( ), k k j n n k kj x x x k k j b x x a x x x Sϕ ϕ ϕ = = < ∀ ∈∑ ∑ (1.8) Khi đó S ⊂ 2 2 + −∑ ∩∑ 1.3. Bài toán biên thứ nhất cho phương trình cấp hai tuyến tính trong miền Ω+, Ω- 1.3.1. Bài toán biên thứ nhất cho phương trình cấp hai tuyến tính trong miền Ω+ Bài toán biên thứ nhất cho phương trình (1.5) trên biên Σ+ của miền Ω+ được phát biểu như sau: Tìm hàm v(x) trong Ω+ ∪ Σ+ thỏa mãn: L(v) = f1 trong Ω+ ; (1.9) v = 0 trên ( )3 2 \S+ +∑ ∪ ∑ (1.10) v = h trên S; (1.11) với f1 = f|Ω+ Giả sử hàm ∑ ++ ∪Ω∈ )(2Cv và 0=v trên ∑ ∑ ++ ∪ )\( 23 S . Ta ký hiệu ψ là lớp các hàm ∑ =∪Ω∈ ++ 0),(2 ψψ C trên ∑∑ + + ∪ 13 . Định nghĩa 1.3.1: Ta gọi hàm số )( +Ω∈ PLv là nghiệm suy rộng của bài toán (1.9), (1.10), (1.11), nếu với mọi hàm ∈ψ ψ thì đẳng thức sau được thỏa mãn: ∫ +Ω =dxf 1ψ ∫∫ + Ω − + S dhbvdxL σψψ )(* (1.12) Trong miền Ω+, dạng đặc trưng của phương trình (1.9) không âm. Sự tồn tại nghiệm của bài toán biên thứ nhất trong không gian LP( Ω+) đã được chứng minh (xem [1], [2]). Định lý 1.3.2: Giả sử các điều kiện (1.2), (1.3) và (1.8) được thỏa mãn. Giả sử tồn tại hàm )()( 2 ++ Ω∈Cxw sao cho: ,0)( ≤+ xw L(w+) + (q-1)c*w+ > 0 trong +Ω (1.13) với +∞<< q1 Khi đó bài toán biên (1.9), (1.10), (1.11) luôn có nghiệm )( +Ω∈ PLv trong đó 1 11 =+ qp T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 2(46) Tập 2/N¨m 2008 114 1.3.2 Bài toán biên thứ nhất của phương trình cấp hai tuyến tính trong miền Ω - Bài toán biên thứ nhất cho phương trình (1.6) trên biên ∑ - của miền Ω - được phát biểu như sau: Tìm hàm w(x) trong Ω - ∪ Σ - thỏa mãn: (-L)(w) = -f2 trong Ω- ; (1.14) w = 0 trên ∑ ∑ −− ∪ )\( 23 S (1.15) w = h trên S; (1.16) với f2 = f|Ω- Giả sử hàm ∑ −− ∪Ω∈ )(2Cw và w = 0 trên ∑ ∑ −− ∪ )\( 23 S . Ta ký hiệu ψ là lớp các hàm ∑ =∪Ω∈ −− 0),(2 ψψ C trên ∑ ∑ −− ∪ 13 . Định nghĩa 1.3.3: Ta gọi hàm số )(Ω∈ PLw là nghiệm suy rộng của bài toán (1.14), (1.15), (1.16) nếu với mọi hàm ∈ψ ψ thì đẳng thức sau được thỏa mãn: 2 − Ω =∫ f d xψ − − − −∫ ∫ * S ( L )( )w d x b h d Ω ψ ψ σ (1.17) Trong miền Ω - , dạng đặc trưng của phương trình (1.14) không âm. Sự tồn tại nghiệm của bài toán biên thứ nhất trong không gian LP( Ω-) đã được chứng minh (xem [1], [2]). Định lý 1.3.4: Giả sử các điều kiện (1.2), (1.3) và (1.8) được thỏa mãn. Giả sử tồn tại hàm )()( 2 −− Ω∈ Cxw sao cho: ,0)( ≤ − xw (-L)(w - ) = (q-1)c*w - > 0 trong − Ω (1.18) với +∞<< q1 Khi đó bài toán biên (1.14), (1.15), (1.16) luôn có nghiệm )( − Ω∈ PLw với 1 11 =+ qp 2. Bài toán biên thứ nhất với dạng đặc trưng đổi dấu Trong mục này chúng tôi trình bày cách đặt bài toán biên thứ nhất cho phương trình với dạng đặc trưng đổi dấu (1.1), định nghĩa nghiệm suy rộng. Nhờ các bài toán biên thứ nhất trong từng miền riêng biệt Ω+ và Ω- đã được xét trong mục 1 chúng tôi chứng minh định lý về sự tồn tại nghiệm suy rộng của bài toán biên thứ nhất. Nghiệm đó nói chung là không duy nhất. 2.1. Bài toán biên thứ nhất với dạng đặc trưng đổi dấu Bài toán biên thứ nhất cho phương trình (1.1) với dạng đặc trưng đổi dấu trong miền Ω được phát biểu như sau: Tìm hàm u(x) trong Ω ∪ ∑ thoả mãn: L(u) = f trong Ω (2.1) u = 0 trên ∑3 ∪ ( 2 2\S) ( \S) + − ∪∑ ∑ (2.2) 2.2. Định nghĩa nghiệm suy rộng Định nghĩa 2.2.1: Ta gọi hàm u ∈ Lp(Ω) là nghiệm suy rộng của bài toán (2.1), (2.2) nếu với mọi hàm ψ ∈Ψ thì đẳng thức sau được thoả mãn: *fdx L ( )udx Ω Ω ψ = ψ∫ ∫ (2.3) T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 2(46) Tập 2/N¨m 2008 115 trong đó Ψ là lớp hàm ψ ∈ C2(Ω ∪ ∑), ψ = o trên ( ) ( )∑∑∑ ∑ −−+ + ∪∪∪ 133 1 \\ SS 2.3. Sự tồn tại của nghiệm suy rộng Định lý 2.3.1: Giả sử phương trình (2.1) thoả mãn các điều kiện (1.2), (1.3), (1.8), (1.13), (1.18). Khi đó tồn tại vô số nghiệm suy rộng của bài toán (2.1), (2.2). Chứng minh: Giả sử h (x) là hàm bất kỳ sao cho hạn chế của nó trên S là hàm liên tục. Giả thiết của định lý 2.3.1 đảm bảo sự tồn tại nghiệm của các bài toán biên (1.9) - (1.11) và (1.14) - (1.16) tương ứng trong miền Ω+ và Ω- . Ta ký hiệu v(x) , w(x) lần lượt là nghiệm của các bài toán biên (1.9) - (1.11) và (1.14) - (1.16) tương ứng trong Ω+ và Ω-. Đối với v(x) và w(x) ta có các đẳng thức (1.12) và (1.17). Ta xét hàm u(x) như sau: u(x) =      Ω∈ ∈ Ω∈ − + xxw Sxxh xxv ),( ),( ),( Ta chứng minh rằng u(x) là nghiệm của bài toán (2.1), (2.2). Thật vậy: ∫∫∫ ∫∫ −+−+ ΩΩΩ ΩΩ −−=+= dxfdxfdxfdxffdx )( 2121 ψψψψψ = ∫ +Ω vdxL )(* ψ - ∫ ∫ ∫         −−− − Ω −+ S S dhbwdxLdhb σψψσψ )*)(( = ∫ ∫ ∫ +Ω −Ω Ω =+ udxLwdxLvdxL )(*)(*)(* ψψψ trong đó −+ Ω=Ω= |;| 21 ffff Vậy *fdx L ( )udx Ω Ω ψ = ψ∫ ∫ , do đó u là nghiệm suy rộng của bài toán (2.1), (2.2). Do hàm h(x) là bất kỳ nên tồn tại vô số nghiệm suy rộng. Định lý chứng minh xong. 2.4. Ví dụ cụ thể Ta đưa ra ví dụ cụ thể như sau: Trong miền Ω = {(x1; x2) ∈ R2; x1 <1; x2< 1}, xét phương trình: 2 2 1 22 1 2 u u x f (x .x ) x x ∂ ∂ − = ∂ ∂ (2.4) Với 1 2; ( , )∑ = ∂Ω η = η η  là vectơ pháp tuyến trong đơn vị tại mỗi điểm x ∈ ∑. { } { } { } 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 (x , x ) R ; x 1,0 x 1 (x , x ) R ; x 1, 1 x 0 S (x ,0) R ; x 1 + − Ω = ∈ < < < Ω = ∈ < − < < = ∈ < -1 1 1 -1 x2 x1 0 1 +∑ 1 −∑ Σ3 Σ3 Ω+ Ω - T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 2(46) Tập 2/N¨m 2008 116 Trên x1 = 1 véctơ pháp tuyến trong đơn vị là ( 1,0)η = −  x1 = -1 véc tơ pháp tuyến trong đơn vị là (1,0)η =  x2 = 1 véc tơ pháp tuyến trong đơn vị là (0, 1)η = −  ; x2= -1 véc tơ pháp tuyến trong đơn vị là (0, 1)η = −  ; Ta xác định các phần của biên∑ trên đó cho các điều kiện biên của bài toán. 2 1, 2 1, 2, 2 1A(x x , ) xξ ξ = ξ 2221 .1),( ηη −=−=+ xxb 1 , 2 2 2b ( x x ) 1 .− = η = η Do đó: ( ){ } ( ){ } { } { } { } { } 3 2 2 2 2 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1, x ; 1 x 1 1, x ; 1 x 1 ; x , 1, 1 x 1 (x ,1), 1 x 1 ; (x ,1), 1 x 1 ; (x , 1), 1 x 1 ; + − + − ∑ = − − < < ∪ − < < ∑ ∪ ∑ = − − < < ∪ − < < ∑ = − < < ∑ = − − < < Ta phát biểu bài toán biên thứ nhất cho phương trình (2.4) như sau: Tìm hàm u(x) trong Ω ∪ Σ thỏa mãn: ),( 21 2 2 1 2 2 xxf x u x u x = ∂ ∂ − ∂ ∂ )(| 211 xgu x =−= (2.5) )(| 211 xlu x =−= (2.6) Kiểm tra các điều kiện (1.2), (1.3), (1.4), (1.8), (1.13), (1.18) đối với phương trình (2.4): Điều kiện (1.2), (1.3) hiển nhiên thỏa mãn. Ta có: k j 2 k j x x k , j 1 a ( x ) 0 = ϕ ϕ =∑ k 2 k x k 1 b ( x ) ( x ) 1 0 = ϕ = − <∑ Suy ra điều kiện (1.8) được thỏa mãn. Chọn w+ = -x2 - 1. Ta có w+ ≤ 0 trong +Ω Ta có: c = 0 c* = k j n n k j j x x x j k , j 1 j 1 a b c 0 = = + + =∑ ∑ L(w+) = 1 > 0, suy ra điều kiện (1.13) được thỏa mãn. Chọn w - = x2 - 1. Ta có w- ≤ 0 trong − Ω T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 2(46) Tập 2/N¨m 2008 117 Tương tự như trên ta có: (-L) (w _ ) = 1 > 0, do đó điều kiện (1.18) được thỏa mãn. Các giả thiết của định lý 2.3.1 thỏa mãn do đó bài toán (2.4), (2.5), (2.6) luôn tồn tại nghiệm suy rộng. Theo định lý 2.3.1.nghiệm suy rộng u(x) của bài toán này là không duy nhất
. Tóm tắt Trong bài báo này chúng tôi đưa ra định nghĩa nghiệm suy rộng của bài toán biên thứ nhất cho phương trình cấp hai tuyến tính tổng quát với dạng đặc trưng đổi dấu. Từ đó chứng tỏ sự tồn tại nghiệm suy rộng của bài toán này. Summary In this paper, we introduce the notion of the generalized root of the first boundary problem for generalized linear quadric equations with changeable sign quadricform. From that we prove the existence of generalized root of this problem. Tài liệu tham khảo [1] O.A. Ladyzhenskaya (1985), The Boundary Value Problems op Mathematical Physics, Springer – Verlag New York. [2] O.A.Oleinik, E.V.Radkevitz (1971), Second Order Partical Differentical Equations with Nonnegative Characteristive Form, Moscow, ( in Russian). [3] Nguyễn Minh Chương, Hà Tiến Ngoạn, Nguyễn Minh Trí, Lê Quang Trung (2000), Phương trình đạo hàm riêng, NXB Giáo dục, Hà Nội.